Este experimento apresenta a geometria do táxi e conceitos de combinatória como: 1) A menor distância entre dois pontos na geometria do táxi não é sempre um segmento de reta; 2) Os alunos aprenderão a contar os caminhos mínimos entre dois pontos e a relação com o triângulo de Pascal; 3) A soma dos caminhos para chegar às esquinas vizinhas de um ponto é igual ao total de caminhos para aquele ponto.

1. Experimento
O experimento
Análise de dados
e probabilidade
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Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo FederalSecretaria de
Educação a Distância
Táxi e combinatória
Objetivos da unidade
Fazer uma breve introdução da1. Geometria do Táxi;
Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução2.
de problemas de contagem;
Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.3.

2. O experimento
Sinopse
Neste experimento, será apresentada a seus alunos uma geometria
diferente da euclidiana, conhecida como Geometria do Táxi, em que
a menor distância entre dois pontos nem sempre é a medida
de um segmento de reta! A partir dela, eles poderão desenvolver
habilidades em combinatória e ser apresentados ao triângulo de Pascal.
Conteúdos
Combinatória: Combinação, Triângulo de Pascal.
Objetivos
Fazer uma breve introdução da1. Geometria do Táxi;
Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução de problemas2.
de contagem;
Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.3.
Duração
Uma aula dupla.
Material relacionado
Software: Geometria do táxi – distâncias; Geometria do táxi –„„
combinatória; Geometria do táxi – formas geométricas.
Experimentos: De quantas maneiras posso passar meu cadarço?„„
Vídeo: Vou de Táxi;„„
Áudio: O que é permutação?„„
Táxi e
combinatória

3. Táxi e combinatória O Experimento 2 / 8
Introdução
A partir de uma malha quadriculada que
representará os quarteirões de uma cidade,
este experimento explora um pouco
da Geometria do Táxi, que é aquela em que
se deve respeitar os quarteirões para chegar
de um ponto a outro.
A menor distância entre dois pontos nem
sempre é, como na geometria euclidiana,
dada pela medida do segmento de reta que
os une, uma vez que não é possível atra­
vessar as casas dos quarteirões com o carro.
Um menor caminho é dado por um percurso
entre duas localidades que tenha o número
mínimo de quadras. Sendo assim,na maioria
das vezes teremos vários menores caminhos.
Mas, quantos são esses menores caminhos?
E qual é essa menor distância?
Neste experimento, seus alunos apren­
derão a responder a essas perguntas, além
de serem apresentados a outros conceitos
de combinatória.

4. Táxi e combinatória O Experimento 3 / 8
O Experimento
Material necessário
Papel e lápis.„„
Comentários iniciais
Para este experimento ser bem realizado,
recomendamos que a classe já tenha
aprendido, em aulas anteriores, o Princípio
Fundamental da Contagem, que normalmente
configura o início do ensino de combinatória.
Qual é a menor distância?
Para esta etapa, o estudante terá, na Folha
do Aluno, uma malha quadriculada
representando as ruas de uma cidade.
Há um ponto representando a casa do aluno
no canto superior esquerdo desta malha,
onde haverá, também, um bairro destacado
do qual ele deverá escolher uma esquina
para representar a casa de um amigo. A figura
encontra-se logo abaixo:
Feita a escolha da esquina que represen­
tará a casa de um amigo, a seguinte questão
será proposta aos alunos:
Qual é a menor distância (em número
de quadras) que um taxista poderia fazer
para ligar as duas casas marcadas na malha?
Trace seis caminhos diferentes de sua
casa até a casa de seu amigo tendo, todos,
a menor distância encontrada (suponha
que, em todas as ruas, os carros podem
se locomover nos dois sentidos).
Assim, se os alunos escolherem, por
exemplo, a esquina indicada pelo ponto
ABCDEFGna figura 2 a seguir, seis dos possíveis
caminhos estão traçados (cada um com
Neste experimento, consi­!!
deraremos quarteirão
como sendo um quadrado
e chamaremos de quadra
o menor segmento que
une uma esquina a outra
de uma mesma rua.
etapa
1
sua casa
fig. 1
Questão para os alunos

5. Táxi e combinatória O Experimento 4 / 8
Para responder a essa pergunta, vamos
sistematizar os trajetos feitos, indicando
por HVum movimento de uma quadra feito
na horizontal e porHV um movimento de
uma quadra feito na vertical. Por exemplo,
na figura 2, temos os seguintes caminhos
traçados:
HV„„ HVHVHVHVHV (em laranja);
HV„„ HVHV HVHVHV(em verde);
HV„„ HVHVHV HVHV (em amarelo);
HV„„ HVHV HVHV HV(em vermelho);
HV„„ HV HVHVHVHV (em azul);
HV„„ HV HVHV HVHV(em roxo).
Analisando as sequências do exemplo
anterior, percebemos que todas têm a mesma
quantidade de letras no total, e as mesmas
quantidades de letras V e H. Isso se repetirá
para todos os trajetos de menor distância
que podemos fazer.
Dessa maneira, podemos ver que cada
trajeto mínimo formado pode ser enten­
dido como uma permutação das letras de
comando (HV e HV). Sendo assim, para saber
quantos menores caminhos existem, basta
calcular o total de anagramas que podemos
formar com a sequência. Podemos realizar
este cálculo pensando de diversas maneiras
e mostraremos duas delas logo abaixo.
Primeira maneira:„„ utilizando apenas técnicas
de contagem.
Em nosso exemplo, temos seis quadras
para percorrer, sendo três para a direita
e três para baixo (sequência HVHVHVHVHVHV).
uma cor diferente) e a resposta sobre
o menor caminho é seis quadras. Repare
que em todos os trajetos foram percorridas
no total três quadras da esquerda para
a direita e três de cima para baixo.
Verifique se todos os seus alunos
conseguiram obter os resultados desejados
corretamente. Isso será necessário para
a próxima etapa.
Quantos menores caminhos
existem?
Na etapa anterior, pedimos aos alunos para
que traçassem na figura seis caminhos
diferentes que tivessem a menor distância.
No entanto, deve haver ainda mais
possibilidades de trajetos para o táxi.
Quantas serão?
Para conseguir realizarºº
o percurso mais curto,
deve-se andar, neste
caso, apenas nos sentidos
de cima para baixo e
da esquerda para direita.
A quantidade total deºº
letras nas sequências é
igual à quantidade de
quadras percorridas.
Em nosso caso, temos seis
letras no total, sendo três
HVs e três HVs.
sua casa
C
fig. 2
etapa
2

6. Táxi e combinatória O Experimento 5 / 8
Para o nosso exemplo, em que temos
seis letras na sequência, três HVs e trêsHVs,
encontramos
N =
(6)!
(3)!(3)!
= 20.
Sendo assim, inicialmente, o que será
pedido aos alunos nesta etapa é que
sistematizem os seis caminhos traçados
utilizando a notação dos HVs eHVs. Depois,
perguntaremos se, observando a notação
que utilizaram, eles são capazes de descobrir
quantos menores caminhos existem até
a casa do amigo. É importante dar um tempo
para que eles tentem encontrar o número
desejado sozinhos e, quando achar que foi
suficiente, faça a explicação de como encon­
trar esse valor.
Uma propriedade
Nesta etapa, será solicitado aos alunos para
marcarem as duas esquinas vizinhas da casa
do amigo dele que estiverem mais próximas
de sua casa, como no exemplo abaixo:
Podemos usar o princípio fundamental da
contagem e pensar que há seis posições
na sequência para o primeiro HVaparecer, 5
para o segundo e 4 para o terceiro, obtendo
6·5·4 = 120 3! Npossibilidades. Porém, como
os Hs são iguais entre si, devemos dividir
esse valor pela permutação deles, que nesse
caso é6·5·4 = 120 3! N. Depois de posicionados os HVs,
basta completar as posições que faltam na
sequência comHVs para que tenhamos os
trajetos formados. Sendo assim, o número
de trajetos possíveis para esse caso é6·5·4 = 120 3! N,
sendo
N =
6·5·4
3!
=
6·5·4
3·2·1
= 20 Cn,p =

n
p

=
n!
p!·(n−p)!
.
Observe que a escolha da posição dos HVs
foi a combinação de seis, três a três, já que
tínhamos seis quadras, das quais deveriam
ser escolhidas três para serem horizontais.
Lembre-se que
)!
p+q = n Cp
n =
n!
p!(n−p)!
=
n!
p!q!
=
n!
(n−q)!q!
= Cq
n=
6·5·4
3·2·1
= 20 Cn,p =

n
p

=
n!
p!·(n−p)!
.
Segunda maneira„„ : utilizando permutação
com repetição.
Para descobrir quantos anagramas tem a
sequência obtida, podemos calcular o total
de permutações (com repetições) das letras.
Dessa maneira, podemos dizer que o número
total de menores caminhos possíveis é
N =
(n° de letras da sequência)!
(n° de Hs)!·(n° Vs)!
.
Se tivéssemos feitoºº
o cálculo ao lado com
as letrasHV ao invés de
HV, o valor de6·5·4 = 120 3! Nteria sido
o mesmo, ainda que as
quantidades deHVs e HVs
fossem diferentes.
Verifique!
Esta pode ser umaºº
oportunidade de ensinar
a permutação simples
e a permutação com
repetição a seus alunos.
etapa
3

7. Táxi e combinatória O Experimento 6 / 8
esquinas vizinhas. Daí vem a propriedade
mencionada.
Fechamento
Para finalizar a aula, sugerimos que seja
feita na lousa uma malha quadriculada
para representar as ruas de uma cidade.
Também propomos que um ponto no
canto superior esquerdo seja marcado,
representando uma casa. Feito isso, escreva,
em cada esquina, o valor associado ao
número de menores caminhos que há para
se chegar da casa até aquele ponto, como
no exemplo abaixo:
Nesta figura, podemos ver o Triângulo
de Pascal. Como? Observe a figura a seguir:
Depois disso, pediremos para que
calculem o número de menores caminhos
que se pode fazer para chegar a esses
dois pontos, e faremos a seguinte questão:
Há alguma relação entre os últimos dois
valores encontrados e o valor encontrado
na Etapa 2?
A resposta desta questão é que a soma
desses dois últimos números é igual
ao número encontrado na Etapa 2, ou seja,
o número de maneiras de se chegar à casa
do amigo é igual à soma do número de
maneiras de se chegar às duas esquinas
vizinhas dele (que estiverem mais próximos
de sua casa). A explicação para isso é bem
simples: essa relação é válida porque,
para se chegar à casa do amigo utilizando
um menor caminho, percebemos que sempre
teremos que passar por uma das duas
C
sua casa
fig. 3
Para o cálculo dosºº
números de caminhos
para os dois pontos,
eles deverão utilizar
o raciocínio expresso
na Etapa anterior.
Questão para os alunos
fig. 4

8. Táxi e combinatória O Experimento 7 / 8
Podemos, por fim, fazer analogias
das propriedades do Triângulo de Pascal
com conclusões que podemos obter usando
a Geometria do Táxi. A propriedade vista
na Etapa 3, por exemplo, é a propriedade
de formação do triângulo, em que cada valor
de uma linha é obtido pela soma dos dois
valores mais próximos da linha anterior.
Podemos observar que cada sequência de
números circulada na figura 5 corresponde
a uma linha do Triângulo de Pascal. Sendo
assim, esta pode ser uma ótima oportu­
nidade para a introdução dele e de suas
propriedades, encontrados em diversos livros
didáticos.
fig. 5
fig. 6

9. Ficha técnica
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Vice-Reitor e Pró-Reitor
de Pós-Graduação
Edgar Salvadori De Decca
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Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo FederalSecretaria de
Educação a Distância
Autores
Felipe M. Bittencourt Lima,
Leonardo Barichello e
Rita Santos Guimarães
Coordenação de redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Felipe Mascagna Bittencourt
Lima
Revisores
Matemática
José Plinio de O. Santos
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto