O documento discute conceitos básicos de filtros digitais, incluindo suas principais funções, vantagens sobre filtros analógicos e formas de representação. Apresenta também os tipos de filtros digitais FIR e IIR e métodos para projetar filtros no domínio da frequência, como inversão e reversão espectral.

1. Processamento Digital de Sinais
Introdução aos
Filtros Digitais
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2. Conceitos Básicos
• Funções principais dos filtros:
– separação de sinais
Exemplo: monitorar o sinal de ECG do feto ainda dentro do
útero da mãe.
– recuperação de sinais
Exemplo: recuperação de gravações de áudio e
melhoramento de imagens borradas.
• Digital vs analógico
– Os filtros analógicos são muito mais baratos que os
digitais.
– Os filtros digitais conseguem desempenhos muito (mas
muito mesmo) melhores.

3. Formas de representação
• Existem 3 formas de representar um filtro digital:
– Resposta a impulso
– Resposta a degrau
– Resposta em frequência
• Cada uma destas formas tem informações
completas sobre o filtro, mas de formas diferentes.
• Se uma delas estiver disponível, é sempre possível
obter as outras.
• Todas estas formas são importantes, pois
descrevem como o filtro irá reagir sob circunstâncias
diferentes.

4. Formas de representação

5. Tipos de filtros digitais
• Filtros de resposta a impulso finita (FIR)
– operam por convolução da resposta a impuslso (kernel) com
o sinal
– todos os filtros lineares possíveis podem ser implementados
desta maneira
– possuem desempenho impressionante, mas podem ser
lentos, dependendo do comprimento de seu kernel
• Filtros de resposta a impulso infinita (IIR)
– operam de forma recursiva
– têm um desempenho bom, em relação ao seu comprimento
– são mais rápidos que os filtros FIR
– podem se tornar instáveis

6. Representações: comentários
• resposta a impulso: saída do sistema quando aplica-
se um impulso na entrada
• resposta a degrau: saída do sistema quando aplica-
se um degrau na entrada. Formas de obter:
– coloque um degrau na entrada e verifique a saída
– integre a resposta a impulso (running sum)
• resposta em frequência: calcule a DFT da resposta a
impulso. Pode ser representada de duas formas:
– escala de amplitude linear: melhor para visualizar ripple
na banda de passagem
– escala de amplitude logarítmica: melhor para verificar a
atenuação na banda de rejeição

7. Decibels?
dB=10log10
P2
P1
dB=20log10
V2
V1
potência
tensão

8. Como a informação é representada
nos sinais?
• no domínio do tempo: cada amostra do sinal contém
informação relevante.
– ECG
– televisão
• no domínio da frequência: a informação está contida
na forma como as amostras variam com o tempo.
– áudio
– movimento de um pêndulo

9. Parâmetros de desempenho
• Parâmetros no domínio do tempo: estão
relacionados à resposta a degrau
• Parâmetros no domínio da freqüência: estão
relacionados à resposta em freqüência.
• Esta distinção é absolutamente crítica no projeto de
filtros, pois nunca é possível otimizá-los para ambas
as aplicações: um bom desempenho no domínio do
tempo implica em um desempenho ruim no domínio
da frequência, e vice-versa.

10. Parâmetros no domínio do tempo
• Por que a resposta a degrau, e não a resposta a
impulso?
– Porque ela funciona como a nossa mente. Se formos
analisar um sinal, por exemplo, naturalmente dividimos
este sinal e regiões de características similares. A resposta
a degrau é a forma mais pura de representar uma divisão
entre regiões dissimilares.
• Os parâmetros relacionados à resposta a degrau são:
– velocidade
– overshoot
– fase

11. Parâmetros no domínio do tempo
ruim bom

12. Parâmetros no domínio do tempo
• Velocidade (ou tempo de subida): número de amostras
que o sinal leva para subir de 10% a 90% da amplitude
máxima do sinal. Fatores como redução de ruído,
limitações inerentes ao sistema de aquisição, evitar o
aliasing, etc., limitam a velocidade.
• Overshoot: deve ser evitado, pois modifica as
amplitudes das amostras do sinal, distorcendo-o.
Quando isto ocorre fica a dúvida: o overshoot provem
do sinal ou do filtro que foi usado?
• Fase: quando a fase não é linear, a metade superior da
forma de onda não é simétrica em relação àindferior.
É do sinal? É por causa do filtro?

13. Filtros no domínio da frequência
• São usados para selecionar certas regiões no
espectro, bloqueando as demais.
• Existem três regiões importantes no espectro destes
filtros:
– banda de passagem: corresponde àquelas frequências que
devem passar inalteradas;
– banda de bloqueio ou banda de rejeição: região do
espectro que deve ser eliminada na saída do filtro;
– banda de transição: é a região entre as duas anteriores
– frequência de corte: divisão entre a banda de passagem e
a banda de transição. Em filtros analógicos corresponde ao
ponto em que a amplitude é reduzida de 0.707 (i.e. -3dB).
Para os filtros digitais estes pontos variam entre: 99%,
90%, 70.7%, 50%.

14. Tipos de filtro no domínio da
frequência

15. Parâmetros no domínio da frequência
ruim bom

16. Parâmetros no domínio da frequência
• Roll off: um roll off rápido significa que a banda de
transição é estreita. Desta forma, esta é uma
condição necessária para separar sinais de
frequências próximas.
• Ripple na banda de passagem: é importante que
seja baixo, para que as frequências nesta região
passem inalteradas.
• Atenuação da banda de bloqueio: deve ser alta para
realmente eliminar as frequências indesejadas.

17. Projetos de filtros no domínio da
frequência
• Filtros passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa são
todos projetados a partir de filtros passa-baixas, e
então convertendo para a resposta desejada.
• Existem dois métodos para se fazer isso:
– inversão espectral
– reversão espectral
IMPORTANTE: os procedimentos a seguir
valem apenas para os filtros FIR. Para os
filtros IIR a filosofia de projeto é outra.

18. Inversão espectral
• Procedimento:
– mude o sinal de todas as amostras do kernel do filtro
– some 1 à amostra no centro de simetria

19. Inversão espectral

20. Inversão espectral
• A inversão espectral “roda” a resposta a impulso no
sentido vertical, de modo que a banda de passagem
vira banda de bloqueio, e vice-versa.
• Em outras palavras, este procedimento transforma
um filtro passa-baixas em um passa-altas, um
passa-altas em um passa-baixas, um rejeita faixa
em um passa-faixa, e um passa-faixa em um rejeita
faixa.

21. Inversão espectral – Porque funciona?
• O sinal de entrada x[n] é
aplicado nos dois sistemas em
paralelo
– o de cima é um FPB
– o de baixo é um passa-tudo
• O sinal resultante y[n] é igual à saída do sistema
passa tudo menos a saída do FPB.
• Desde que as componentes de baixa frequência
foram subtraídas do sinal original, restaram apenas
as componentes de alta frequência!

22. Inversão espectral- implementação
• Esta operação podeser realizada de duas formas:
– passar o sinal através de um filtro passa baixas e depois
subtrair o sinal filtrado do sinal original
– combinar os kernels dos dois filtros em um único kernel,
como mostrado abaixo:

23. Inversão espectral – Condições de
implementação
• Para que esta técnica funcione, as componentes de
frequência que saem do filtro passa-baixas devem
estar em fase que as componentes correspondentes
do sinal original, para que possam ser corretamente
subtraídas.
• Com isto, as restrições para o método são:
– o kernel do FPB original deve ter simetria left-right (fase
nula ou linear). Portanto o kernel deve ter um número
ímpar de amostras.
– o impulso deve ser adicionado exatamente no centro de
simetria.

24. Reversão espectral
• Procedimento:
– Inverta o sinal das amostras pares do kernel de um FPB

25. Reversão espectral
• Este procedimento “roda” a resposta em frequência
na horizontal:0 torna-se 0,5 e 0,5 torna-se 0.
• Esta aparente mágica tem umaexplicação muito
simples: mudar o sinal das amostras pares
corresponde a multiplicar o kernel do filtro por um
cosseno de frequência 0,5fs.
• Como discutido anteriormente, este procedimento
corresponde a deslocar o espectro do kernel para a
posição 0,5fs. Imagine o espectro periódico que você
entenderá a idéia por trás disso.

26. Filtro passa-faixa

27. Filtro rejeita-faixa