O documento descreve a análise vibratória de um sistema composto por duas barras interligadas por uma mola em suas extremidades. O sistema foi modelado matematicamente e resolvido numericamente no MatLab para diferentes condições iniciais, gerando gráficos dos deslocamentos e velocidades das barras. O sistema apresenta dois modos vibratórios devido a seus dois graus de liberdade.

1. ANÁLISE VIBRATÓRIA DE UM SISTEMA
COM DUAS BARRAS INTERLIGADAS POR
UMA MOLA EM SUAS EXTREMIDADES
Teresina, fevereiro de 2018.

2. ANÁLISE VIBRATÓRIA DE UM SISTEMA
COM DUAS BARRAS INTERLIGADAS POR
UMA MOLA EM SUAS EXTREMIDADES
Paulo Henrique Rodrigues Damasceno
Misael Sousa Lima Júnior
Relatório elaborado a partir de
atividade apresentada em sala de
aula, referente a 3° nota da
disciplina de Vibrações Mecânica,
ministrada pelo Prof°.Msc. Ítalo
Pedrosa.

3. 1. INTRODUÇÃO
Vibração é o movimento alternado de um corpo ou partícula em relação ao seu
centro de equilíbrio: oscilação, balanço. A Mecânica é o ramo da Física responsável
pelo estudo do movimento dos corpos, bem como suas evoluções temporais e as
equações matemáticas que os determinam.
Um dos tipos mais comuns das vibrações existentes é o movimento periódico,
que se repete a intervalos de tempos iguais. O movimento periódico mais simples que
existe é o movimento harmônico. Todo movimento harmônico é periódico. Entretanto
nem todos os movimentos periódicos são harmônicos.
Inúmeras são as aplicações da vibração na indústria. Utilizada tanto como fonte
de energia, ou como ferramenta para eliminação de efeitos nocivos.
Problemas de vibração aparecem no projeto de praticamente toda a máquina e
estrutura de engenharia. Muitos deles são extremamente complexos, mas sua solução é
essencial se quisermos um projeto satisfatório e seguro. A meta da Mecânica é
descrever os movimentos de corpos materiais de forma simples, e assim, predizer o
comportamento de outros corpos que estejam ligados direta ou indiretamente a ele.
Em geral, um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia
potencial (mola ou elasticidade), um meio para armazenar energia cinética (massa ou
inércia) e um meio de perda gradual de energia (amortecedor).
Fig.01 - Sistema Massa Mola Amortecedor.
A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de sua energia
potencial para energia cinética e de energia cinética para energia potencial. Se o sistema
for amortecido, certa quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração e
deve ser substituída por um fonte externa, se for preciso manter um regime permanente
de vibração.
O número de coordenadas independentes necessárias para definir uma
configuração do sistema é chamado de Grau de Liberdade. As coordenadas podem ser
de um mesmo tipo, todas cartesianas ou todas esféricas, ou podem ser uma mistura dos
tipos existentes. Neste último caso são chamadas coordenadas generalizadas. Como
regra geral, o grau de liberdade de um sistema é dado pela diferença entre o número de
coordenadas generalizadas do sistema e o número de equações de restrição. Para N
graus de liberdade, teremos um conjunto de N equações diferenciais. No caso geral,

4. cada equação abrangerá todas as incógnitas (coordenadas), ou grande número delas,
sendo necessário dar um tratamento global ao conjunto, ou seja, não é possível resolver
cada equação separadamente.
Podemos classificar os sistemas vibratórios em duas classes distintas: discreto e
contínuo. A distinção é puramente matemática, pois, na realidade, rigorosamente todos
os sistemas existentes são contínuos.
Os sistemas discretos são estabelecidos por equações diferenciais ordinárias,
com um número finito de incógnitas em função apenas do tempo t. A característica
física de um sistema discreto é que ele possui um número finito de frequências naturais
e os correspondentes modos naturais de vibração. Possui um número finito de graus de
liberdade.
Os sistemas contínuos são, por sua vez, estabelecidos por equações diferenciais
parciais, e condições de contorno em função das variáveis espaciais x, y, z e do tempo t.
Possui um número infinito de frequências naturais e correspondentes infinitos modos
naturais de vibração. Possuí um número infinito de graus de liberdade.
A Vibração Livre ocorre quando um sistema, após uma perturbação inicial,
continuar a vibrar por conta própria, sem nenhuma força externa agindo sobre o sistema.
A Vibração forçada ocorre quando um sistema está sujeito a uma força externa
que o faz vibrar, que pode ser de natureza amortecida ou não amortecida.
Na natureza não existe vibração sem nenhum amortecimento. Por menor que
seja ele sempre está presente. Este amortecimento será responsável pela atenuação do
movimento, tendendo a diminuir a sua amplitude com o tempo.
Para resolução dos cálculos dos problemas vibracionais faz-se necessário a
utilização de ferramentas computacionais ou softwares para resolver as EDO’s ou
EDP’s que denotam a solução geral do problema. O software utilizado neste trabalho é
o MatLab®2015a.
Trata-se de um software interativo de alto desempenho voltado para o cálculo
numérico. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento
de sinais e construção de gráficos em um ambiente fácil de usar, onde problemas e
soluções são expressos na forma como eles são escritos matematicamente, ao contrário
da programação tradicional.
O MatLab®2015a possui funções ou comandos pré-definidos no seu sistema,
mas o utilizador também pode criar as suas próprias funções. Para a resolução dos
problemas vibracionais as funções mais utilizadas são ODE45 e EIG.
Ode45 é o comando utilizado para calcular soluções numéricas para equações
diferenciais ordinárias. Utiliza o método de Runge-Kutta para equações diferenciais de
quarta e quinta ordem. Esse método é constituído de passos simples e requerem apenas
derivadas de primeira ordem e pode fornecer aproximações precisas. No Ode45 você
entra com 3 dados, a função que será resolvida, o intervalo, e por último as condições
iniciais.

5. [t, x] = ode45(@function, tx, y0)
O comando Eig é utilizado para o cálculo dos autovalores e os autovetores de
uma determinada matriz. Na resolução de problemas vibracionais os auto-valores são as
frequências naturais do sistema e os auto-vetores são os modos vibracionais. O dado de
entrada para este comado é a matriz que se deseja calcular os auto-valores e auto-
vetores.
Possui a seguinte estrutura:
[V, D] = eig(A)
O sistema vibratório (figura (2)) foi analisado com mais de uma coordenada
independente. A figura apresenta um sistema com duas barras, sendo cada barra ligada a
um apoio por uma mola e a um sistema de amortecimento, e interligadas por uma mola
entre si. O diagrama de corpo livre (figura (3)) demonstra as energias cinéticas e
potenciais atuantes no sistema.
Fig.02 - Sistema com Duas Barras Mola Amortecedor

6. Fig.03 – Diagrama de Corpo Livre do Sistema
2. MODELANDO O SISTEMA
Primeiramente modelou-se o sistema para posteriormente serem determinadas as
equações de movimento do sistema representado pela Figura (2) de cada barra (bloco),
como disposto abaixo:
 Barra 1;
𝐽1 ∗ 𝜃1 − 𝑘1 ∗
𝑙
2
∗ 𝜃1 ∗
𝑙
2
− 𝑘2 ∗
𝑙
2
2
∗ 𝜃1 + 𝜃2 − 𝑐1 ∗
𝑙
2
∗ 𝜃1 ∗
𝑙
2
= 0 (1)
 Barra 2;
𝐽2 ∗ 𝜃2 − 𝑘2 ∗ 𝜃1 + 𝜃2 ∗
𝑙
2
2
− 𝑘3 ∗
𝑙
2
∗ 𝜃2 ∗
𝑙
2
− 𝑐3 ∗
𝑙
2
∗ 𝜃2 ∗
𝑙
2
= 0 (2)
Com a utilização do software Matlab® R2015a usando a função ode45, que tem
como finalidade resolver equações diferencias ordinárias estabelecidas pelo um

7. intervalo de tempo, a fim de gerar o algoritmo, foram estabelecidos as seguintes
condições inicias para um intervalo de tempo de 10s:
𝜃1 0 = 0,1 𝑟𝑎𝑑 (A)
𝜃1 0 = 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (B)
𝜃1 0 = 0,1 𝑟𝑎𝑑 , 𝜃2 0 = −0,1 𝑟𝑎𝑑 (C)
𝜃1 0 = 1𝑟𝑎𝑑/𝑠, 𝜃2 0 = −1𝑟𝑎𝑑/𝑠 (D)
𝐽1 = 10𝑘𝑔. 𝑚², 𝐽2 = 20𝑘𝑔. 𝑚²
𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 10𝑁/𝑚
𝑐1 = 𝑐3 = 10𝑁. 𝑠/𝑚
𝑙1 = 𝑙2 = 1𝑚
O algoritmo da função ode45 para resolver estas condições junto com a função
auxiliar encontra-se nos anexo I e II neste relatório.
Para esse problema foi determinado as equações de movimentos considerando
Ɵ1 e Ɵ2 como variáveis independentes, logo o sistema possui dois graus de liberdade,
consequentemente terá duas frequências naturais. O algoritmo para encontrar as
frequências está no anexo III neste relatório, onde faz uso do comando eig para calcular
os autovalores.
Após a execução dos algoritmos foram gerados seis gráficos (4 de
deslocamentos e 2 de velocidade), com base nas condições iniciais mostrada. Assim, os
resultados obtidos do primeiro sistema estão mostrados pelas Figuras (4), (5), (6), (7),
(8) e (9) e os resultados do segundo sistema está na Figura (9).

8. Fig.04 – Gráfico Condição (A)
Fig.05 – Gráfico da Condição (B)
A partir dos gráficos das figuras (4) e (5) verificar-se que as amplitudes de
deslocamento das barras seguem sentidos diferentes a partir de um dado tempo, a partir
das condições iniciais de deslocamento de 0,1 rad. e velocidade de 1 rad./s ambos na
barra 1.

9. Fig.06 – Gráfico da Condição (C)
Fig.07 – Gráfico da Condição (C)
De acordo com figuras (6) e (7) verificou-se que amplitudes de deslocamento e
velocidade seguem para o mesmo sentido após dado período, a partir das condições
iniciais de deslocamento de mesmo valor, mas com sinais contrários para as barras. A
barra 1 está estável em boa parte do tempo, mas com uma acentuada mudança de
sentido nos últimos 2 segundos, a mola que armazena a energia potencial entre elas e o
maior momento de inércia da barra 2 influenciam nesse movimento.

10. Fig.08 – Gráfico da Condição (D)
Fig.09 – Gráfico da Condição (D)
Em relação aos gráficos das figuras (8) e (9), a partir das condições iniciais de
velocidade para cada barra, com mesmo valor, mas com sinais contrários, percebeu-se
que as amplitudes de deslocamento e velocidade das barras seguem sentidos diferentes a
partir de um dado tempo, por ter um momento de inércia maior a barra 02 alcança
amplitudes maiores.
3. CONCLUSÃO
Quando aplicados condições de iniciais de deslocamento e velocidade somente
na barra 01, essa terá amplitudes maiores a partir de um dado momento, por estar ligada
por uma mola a barra 02, ela provocara movimentos de menores amplitudes na mesma,
com sentidos contrários a outra. Quando aplicadas condições de mesma intensidade em
ambas as barras, a 2 terá amplitudes maiores, devido ao seu maior momento de inércia.

11. Se aplicado valores de deslocamento e velocidade com mesma intensidade, mas com
sinais contrários, ocorrerá certa estabilidade na barra 01 em boa parte do tempo, mas
com uma acentuada mudança de sentido no final do período, fenômeno provocado por
estarem interligadas entre si.

12. 4. REFERÊNCIAS
Balachandran, B. e Magrab, E. B, 2009. Vibrations. Cengace Learning, 2º edição
Prodonoff,Victor, Vibrações mecânicas: simulação e análise. Ed.1990
Rao,S.S,2009. Vibrações Mecânicas. Pearson Prentice Hall, 4º edição.

13. 5. Anexo I
close all;
clear;
clc;
t = 0:0.1:10; %[s]
global J1 J2 c k l
J1 =10;
J2 = 20; %[kg]
c = 10; %[Ns/m]
k = 10; %[N/m]
l=1;
%Para Condição (A)
x10 = [0.1 0];
x20 = [0 0];
%Para Condição (B)
x10 = [0 1];
x20 = [0 0];
%Para Condição (C)
x10 = [0.1 0];
x20 = [-0.1 0];
%Para Condição (D)
x10 = [0 1];
x20 = [0 -1];
[t, x] = ode45('linkquestao1', t, [x10 x20]);
%Deslocamento do sistema [m]
plot(t, [x(:,1),x(:,3)])
title('Deslocamento D')
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('o [rad]')
legend o1 o2
figure
%Velocidade do sistema [m/s]
plot(t, [x(:,2), x(:,4)])
title('Velocidade D')
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('dx/dt [m/s]')
legend v1 v2

14. 6. Anexo II
function y = linkquestao1(t, x)
% x = [x1 x1p x2 x2p x3 x3p]
global J1 J2 c k l
J3 = J1;
J4 = J2;
k1 = k;
k2 = k;
k3 = k;
c1 = c;
c3 = c;
y(1,1) = x(2);
y(2,1) = ((k1*(l/2)*x(1))+(k2*(l^2/4)*x(3))+(c1*(l^2/4)*x(2)) )/J3;
y(3,1) = x(4);
y(4,1) = -((k2*(l^2/4)*(x(1)-x(3)))-(k3*(l^2/4)*x(3))-
(c3*(l^2/4)*x(4)))/J4;

15. 7. Anexo III
close all;
clear;
clc;
%Dados gerais
t = 0:0.001:10; %[s]
J1 = 10; %[kg.m²]
J2 = 20; %[kg.m²]
g= 9.81; %[m/s²]
k1 = 10; %[N/m]
k2 = 10; %[N/m]
k3 = 10; %[N/m]
l = 1; %[m]
c1= 10; %[N.s/m]
c3= 10; %[N.s/m]
teta10 = 1; %[rad]
%teta20 = 1; %[rad/s]
teta= teta10;
%equações do movimento matricial
M=[J1 0; 0 J2];
K= [-(k1+k2)*(l^2/4) -k2*(l^2/4);-k2*(l^2/4) -(k2+k3)*(l^2/4)];
[x, W]=eig(K,M);
%frequências naturais do sistema
w1=sqrt(W(1,1))
w2=sqrt(W(2,2))
%Considerando a condicao inicial teta10 = teta
TETA1=teta.*cos((w2-w1).*t/2).*cos((w2+w1).*t/2);
TETA2=teta.*sin((w2-w1).*t/2).*sin((w2+w1).*t/2);
%Deslocamento [m]
plot(t,TETA1,t,TETA2)
title('Deslocamento')
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('x [m]')
legend O1 O2