1) As equações de Euler-Lagrange são invariantes sob transformações de coordenadas generalizadas. 2) Uma Lagrangeana expressa em novas coordenadas através de equações de transformação satisfará as equações de Euler-Lagrange nas novas coordenadas. 3) Para manter um mecanismo em equilíbrio quando a força aplicada em um elemento é nula, a força no outro elemento deve equilibrar o momento em torno do ponto de apoio.

1. Resolução da Lista 3 de FF-207
01. Se L é uma Lagrangeana para um sistema de n graus de liberdade
satisfazendo as equações de Euler-Lagrange, mostre por
substituição direta que:
Também satisfaz as equações de Euler-Lagrange onde F é uma
função qualquer arbitrária, mas diferenciável de seus argumentos.
SOLUÇÃO:
Da hipótese, temos que:
Fazendo a substituição direta, vamos calcular:
Da equação (1), temos:
Como F é uma função diferenciável, temos:

2. Substituindo a equação (3), temos:
Como F é diferenciável, temos que suas derivadas mistas de 2ª
ordem são iguais, o que garante que também satisfaz as
equações de Euler-Lagrange.
02. Seja um conjunto independente de coordenadas
generalizadas para um sistema com n graus de liberdade, com
Lagrangeana . Suponha que transformamos para um outro
conjunto de coordenadas independentes através de
equações de transformação:
Mostre que se a Lagrangeana é expressa como função de
através de equações de transformação. Então, satisfaz as
equações de Euler-Lagrange com relação às coordenadas :
Em outras palavras, as equações de Euler-Lagrange são invariantes
sobre uma transformação de ponto.
SOLUÇÃO:
Da hipótese, temos que:

3. Usando as definições de diferencial de campos compostos, temos as
seguintes equações, :
Como , temos a seguinte equação:
De maneira análoga, temos:
Novamente, como , temos a
seguinte equação:
Substituindo diretamente as equações (1) e (2) na equação (0) do
enunciado, ficamos com:
Sabemos também que o que implica em
. Assim, podemos reescrever a equação (3) como:

4. Segue da hipótese que a equação (4) é uma identidade verdadeira,
assim provamos que é válida a equação (0) do enunciado, ou seja,
as equações de Euler-Lagrange são invariantes sobre uma
transformação de ponto.
03. Determine a força horizontal que o pino C deve aplicar sobre o
elemento BC de forma a manter o mecanismo da figura na condição
de equilíbrio quando . Despreze o peso dos elementos.
SOLUÇÃO:
Podemos utilizar o Princípio dos Trabalhos Virtuais, onde temos a
seguinte afirmativa:
A partir da figura, e pouco de geometria, podemos encontrar:
Calculando os trabalhos virtuais de em B e em C, temos:

5. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, temos:
Substituindo os valores do enunciado, temos:
(*) Pela Lei dos senos, temos: