O documento apresenta a resolução de três questões sobre a formulação de Hamilton-Jacobi. A primeira questão deriva a equação de Hamilton-Jacobi usando uma transformação canônica do tipo 1. A segunda obtém as equações de movimento quando a função característica de Hamilton é usada como função geradora. A terceira completa o cálculo para derivar a fórmula analítica do movimento de uma partícula em um potencial central newtoniano do tipo 1/r.

1. Resolução da Lista 11 de FF-207
01. Deduza a formulação equivalente a Hamilton-Jacobi usando uma
transformação canônica do tipo 1.
SOLUÇÃO:
Com a formulação de Hamilton-Jacobi, queremos encontrar uma
função geradora de uma transformação tal que as novas
coordenadas canônicas, Q e P, sejam constantes no tempo. Isso não
indica que o sistema analisado é estático. Suponhamos que essa
função geradora seja escolhida de tal forma que a Kamiltoniana seja
nula. Nessa circunstância, as equações da nova Hamiltoniana são
trivialmente resolvidas, como mostrada abaixo:
Então, procuremos por uma função geradora do tipo 1 (como
manda o enunciado), .
Da transformação canônica, temos que:
Das equações (2) e (3), chegamos em:
Denotando por , chamada de Função principal de Hamilton,
temos:
Essa EDP, comumente conhecida como Equação de Hamilton-Jacobi,
é de primeira ordem nas (n+1) variáveis independentes
. Consequentemente, a solução geral vai envolver
(n+1) constantes de integração, . Pode-se
notar, todavia, que ela só depende das derivadas parciais de com

2. respeito à e . Logo, se for solução, , para alguma
constante qualquer, também é. Por conta disso, qualquer solução,
contendo os (n+1) parâmetros necessários, pode ser escrita da
forma . Então, uma das constantes de integração, por
exemplo, é meramente aditiva e pode ser descartada. Dessa forma,
podemos escrever uma solução completa da equação (5) como:
Onde são constantes independentes não
meramente aditivas.
Agora, podemos tomar essas constantes de integração como as
novas coordenadas:
Essa escolha não contradiz o fato de que as novas coordenadas
estão conectadas com os valores iniciais de e no tempo . A
equação (3) pode ser reescrita como:
No instante , podemos analisar as constantes de integração em
termos das condições iniciais do problema. Então, as outras
equações de transformação, equações (4), podem ser reescritas
como:
Onde são constantes definidas pelas condições iniciais.
Assim, fazendo , vemos que os novos momentos estão
conectados com os valores iniciais de e .
Podemos isolar a variável , na equação (7), em termos de :
Resolvendo o problema em função do tempo e das condições
iniciais. Depois, substitui o resultado na equação (6) para encontrar:
As equações (8) e (9) são solução das equações de Hamilton.
Podemos, com isso, perceber que a função principal de Hamilton é a
função geradora da transformação canônica que deixa a
Hamiltoniana nula e, portanto, os novos momentos e coordenadas
constantes no tempo.

3. 02. Suponha que a função característica de Hamilton é usada como
função geradora de uma transformação canônica. Obtenha as
equações de movimento.
SOLUÇÃO:
Vamos inicialmente supor que a Hamiltoniana não depende
explicitamente de . Daí, a equação de Hamilton-Jacobi se torna:
Então, será possível integrá-la, bastando fazer uma separação de
variáveis na Função Principal de Hamilton (aqui tomada como uma
função geradora do tipo 2). será dividida em duas partes, uma
envolvendo somente o tempo e a outra somente , como mostrado
abaixo:
Onde a função é chamada de Função característica e são as
constantes de integração.
Substituindo diretamente (2) em (1), temos:
Da equação (2), também temos:
Agora, vamos considerar uma transformação em que os novos
momentos são todos constantes de movimento , e onde é, em
particular, a constante de movimento . Se a função geradora dessa
transformação for denotada por , então as equações de
transformação são:

4. Enquanto essas equações se assemelham às equações (4) e (5), a
condição agora determinando é que deve ser igual ao
momento :
Usando a equação (6) podemos chegar à seguinte EDP para :
Que é idêntica à equação (3) encontrada anteriormente. Portanto,
podemos concluir que se não dependendo do tempo
explicitamente, o novo e o velho Hamiltonianos são iguais, e segue
que . Então, a função gera uma transformação canônica
em que todas as novas coordenadas são cíclicas. Então, as novas
equações de movimento são:
O que nos conduz a:
03. Completar o cálculo faltante na página da internet.
SOLUÇÃO:
Vamos usar a equação de Hamilton-Jacobi para derivar a fórmula
analítica para o movimento de uma partícula num potencial central
Newtoniano do tipo . Essa fórmula derivada pode então ser usada
para comparar uma solução numérica aproximada com uma
analítica, ou seja, uma solução exata para o problema.
O problema é facilmente descrito em coordenadas esféricas
. Nessas coordenadas, a Hamiltoniana assume a seguinte
forma:
Onde assumimos a constante Gravitacional e a massa da
partícula .

5. Tomando como função principal de Hamilton uma função geradora
do tipo 2, temos:
Substituindo diretamente (1) e (2) na equação (3), chegamos à
equação de Hamilton-Jacobi correspondente a essa Hamiltoniana,
mostrada abaixo:
Como a Hamiltoniana não depende explicitamente de e ,
podemos usar um método que é comumente chamado de
separação de variáveis, e escrever a solução procurada como:
Onde C é uma constante.
Segue de (5) que:
Substituindo (6) dentro da equação (4), temos:
Multiplicando por , chegamos em:
Como os dois lados da expressão dependem de variáveis diferentes,
a igualdade se dá somente se eles forem iguais a uma constante.
Tomemos essa constante como :
Utilizando a primeira igualdade da equação (8), temos:

6. Utilizando a segunda igualdade da equação (8), temos:
As equações (9) e (10) são EDO’s de primeira ordem que podem ser
prontamente integradas.
O que nos conduz a:
Mas existem condições adicionais que a função S deve satisfazer.
Neste caso:
Onde são constantes e:
Onde também são constantes. A equação (15) vem do
fato ser uma função geradora do tipo 2, e as novas coordenadas e
os novos momentos são constantes pois a Kamiltoniana é nula.
Nesse caso, temos , e , e podemos fazer
iguais a zero tal que a equação (15) resulta em:
Calculando a derivada parcial de com relação à a partir da
equação (13), temos:

7. Multiplicando, o numerador e denominador, dentro da integral por
, temos:
Colocando dentro da raiz, ficamos com:
A última igualdade de (16) e (17) resultam em:
Pode ser provado que essa relação é satisfeita por um movimento
plano, ou seja, que a partícula se move em um plano com o vetor
perpendicular a este plano. Podemos, portanto, mudar o nosso
sistema de coordenadas de forma que . Então, a equação
(13) se torna:
Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir da
equação (19), temos:

8. Podemos juntar esse resultado com a segunda igualdade de (16), o
que nos conduz à equação abaixo que produz a forma da órbita:
Integrando a equação (20), chegaremos ao resultado já bem
conhecido para o movimento de uma partícula num potencial
central Newtoniano do tipo :
Onde é a excentricidade da órbita:
Outros parâmetros pertinentes da orbita são:
Onde é o semi-eixo maior da órbita (quando elíptica).
Lembremos que para uma partícula presa, a energia é negativa.
Onde é o semi-eixo menor da órbita (quando elíptica).
Onde é a distancia de maior aproximação. Por convenção, a
maior aproximação ocorre quando . Por isso,
temos a equação (24) dessa maneira.
Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir da
equação (19), temos:
Podemos juntar esse resultado com a primeira igualdade de (16), o
que nos conduz à em função de :

9. A solução para esta equação é bastante complicada e pode ser dada
em termos de funções de Bessel. O resultado é um movimento
harmônico com frequência média circular dada abaixo: