SlideShare uma empresa Scribd logo
QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
Uma questão debatida no forum da PUC-Rio sobre um problema de um
triângulo equilátero muito interessante e que vale a pena relembrar.
Problema:
Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo
equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de
preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma
cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.
Solução:
Eu consegui provar que bastam 10 moedas - também dispostas formando um
triângulo equilátero.
Infelizmente, a demonstração não usa nenhuma "sacada brilhante", mas
consiste apenas de uma análise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas,
eu recomendo fortemente o uso de papel e lápis.
Considere a seguinte disposição das moedas:
(01)
(02) (03)
(04) (05) (06)
(07) (08) (09) (10)
Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, então acabou.
Caso contrário, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) é
preta e (07) e (10) são brancas.
Se (02) e (03) forem ambas pretas, então (01), (02) e (03) serão pretas.
Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.
Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:
A) (02) é branca;
B) (02) é preta.
(o caso em que (02) é branca e (03) é preta será a imagem especular do caso
em que (02) é preta e (03) branca)
A) (02) é branca:
Se (08) ou (09) for branca, então (02), (07) e (09) serão brancas ou (03), (08)
e (10) serão brancas.
Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.
Nesse caso, se (05) for branca, então (02), (03) e (05) serão brancas
acabou
Por outro lado, se (05) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou
Assim, se (02) for branca, sempre haverá um triângulo monocromático.
B) (02) é preta:
Se (08) for branca, então (03), (08) e (10) serão brancas
acabou
Suponhamos que (08) seja preta.
Se (06) for preta, então (02), (06) e (08) serão pretas
acabou
Suponhamos que (06) seja branca.
Se (05) for branca, então (03), (05) e (06) serão brancas
acabou
Suponhamos que (05) seja preta.
Se (09) for branca, então (06), (09) e (10) serão brancas
acabou
Por outro lado, se (09) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou.
Portanto, no caso em que (02) é preta também estará assegurada a existência
de um triângulo monocromático.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

MATEMÁTICA 3
MATEMÁTICA 3MATEMÁTICA 3
MATEMÁTICA 3
Paulo Alexandre
 
Es a alg e arit
Es a    alg e aritEs a    alg e arit
Es a alg e arit
Jorge Pedro
 
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
ponce Lponce
 
Obm 5 ano
Obm 5 anoObm 5 ano
Obm 5 ano
Dany Nogueiira
 
Mbrl revisão
Mbrl   revisãoMbrl   revisão
Mbrl revisão
Airton Sabino
 
OBMEP-2010-Prova
OBMEP-2010-ProvaOBMEP-2010-Prova
OBMEP-2010-Prova
Professor Emerson
 
prova obmep 2016
prova obmep 2016prova obmep 2016
prova obmep 2016
profosvaldofilho
 
DASS - 3º simuladinho de matemática
DASS - 3º simuladinho de matemáticaDASS - 3º simuladinho de matemática
DASS - 3º simuladinho de matemática
Davidson Alves
 
OBMEP-2010-Solução da Prova
OBMEP-2010-Solução da ProvaOBMEP-2010-Solução da Prova
OBMEP-2010-Solução da Prova
Professor Emerson
 
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
Prof. Leandro
 
Lista de exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
Lista de  exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...Lista de  exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
Lista de exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
Jhow Almeida
 
Exame Nacional de Matemática 9ª Classe
Exame Nacional de Matemática 9ª ClasseExame Nacional de Matemática 9ª Classe
Exame Nacional de Matemática 9ª Classe
Wadiley Nascimento
 
Olimpíadas de matemática (nível 1)
Olimpíadas de matemática (nível 1)Olimpíadas de matemática (nível 1)
Olimpíadas de matemática (nível 1)
Robson Nascimento
 
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõesLista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
wab030
 
2ºano.01.agosto
2ºano.01.agosto2ºano.01.agosto
2ºano.01.agosto
Hélio Rocha
 
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramasExercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
movimento fitness
 
Análise combinatória (resumo)
Análise combinatória (resumo)Análise combinatória (resumo)
Análise combinatória (resumo)
josivaldopassos
 
Lista de exercicios de poliedros
Lista de exercicios de poliedrosLista de exercicios de poliedros
Lista de exercicios de poliedros
Amaral Te
 
Simulado olimpiadas 2
Simulado olimpiadas 2Simulado olimpiadas 2
Simulado olimpiadas 2
edmildo
 
Gabarito - Revisão 7º
Gabarito - Revisão 7ºGabarito - Revisão 7º
Gabarito - Revisão 7º
Airton Sabino
 

Mais procurados (20)

MATEMÁTICA 3
MATEMÁTICA 3MATEMÁTICA 3
MATEMÁTICA 3
 
Es a alg e arit
Es a    alg e aritEs a    alg e arit
Es a alg e arit
 
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
 
Obm 5 ano
Obm 5 anoObm 5 ano
Obm 5 ano
 
Mbrl revisão
Mbrl   revisãoMbrl   revisão
Mbrl revisão
 
OBMEP-2010-Prova
OBMEP-2010-ProvaOBMEP-2010-Prova
OBMEP-2010-Prova
 
prova obmep 2016
prova obmep 2016prova obmep 2016
prova obmep 2016
 
DASS - 3º simuladinho de matemática
DASS - 3º simuladinho de matemáticaDASS - 3º simuladinho de matemática
DASS - 3º simuladinho de matemática
 
OBMEP-2010-Solução da Prova
OBMEP-2010-Solução da ProvaOBMEP-2010-Solução da Prova
OBMEP-2010-Solução da Prova
 
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
 
Lista de exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
Lista de  exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...Lista de  exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
Lista de exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...
 
Exame Nacional de Matemática 9ª Classe
Exame Nacional de Matemática 9ª ClasseExame Nacional de Matemática 9ª Classe
Exame Nacional de Matemática 9ª Classe
 
Olimpíadas de matemática (nível 1)
Olimpíadas de matemática (nível 1)Olimpíadas de matemática (nível 1)
Olimpíadas de matemática (nível 1)
 
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõesLista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
 
2ºano.01.agosto
2ºano.01.agosto2ºano.01.agosto
2ºano.01.agosto
 
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramasExercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas
 
Análise combinatória (resumo)
Análise combinatória (resumo)Análise combinatória (resumo)
Análise combinatória (resumo)
 
Lista de exercicios de poliedros
Lista de exercicios de poliedrosLista de exercicios de poliedros
Lista de exercicios de poliedros
 
Simulado olimpiadas 2
Simulado olimpiadas 2Simulado olimpiadas 2
Simulado olimpiadas 2
 
Gabarito - Revisão 7º
Gabarito - Revisão 7ºGabarito - Revisão 7º
Gabarito - Revisão 7º
 

Semelhante a QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

Prova nivel 2 2008
Prova nivel 2 2008Prova nivel 2 2008
Prova nivel 2 2008
Prof. Leandro
 
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
Prof. Leandro
 
Sf2n1 2011
Sf2n1 2011Sf2n1 2011
Sf2n1 2011
cavip
 
Fichanc2ba3
Fichanc2ba3Fichanc2ba3
Fichanc2ba3
Rccl Carlos
 
2º+teste+..
2º+teste+..2º+teste+..
2º+teste+..
area4
 
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para usoProva da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
Otávio Sales
 
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
Célio Sousa
 
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdfExercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
Maria dos remédios
 
Pf1n3 2012
Pf1n3 2012Pf1n3 2012
Pf1n3 2012
cavip
 
Resposta 2011
Resposta 2011Resposta 2011
Resposta 2011
edmildo
 
Resposta 2011
Resposta 2011Resposta 2011
Resposta 2011
edmildo
 
Mat em poliedros sol vol2 cap10
Mat em poliedros sol vol2 cap10Mat em poliedros sol vol2 cap10
Mat em poliedros sol vol2 cap10
trigono_metrico
 
Sol 1afase2010 n1
Sol 1afase2010 n1Sol 1afase2010 n1
Sol 1afase2010 n1
jwfb
 
3o ano temática 3 bloco retangular vértices faces arestas
3o ano temática 3   bloco retangular vértices faces arestas3o ano temática 3   bloco retangular vértices faces arestas
3o ano temática 3 bloco retangular vértices faces arestas
Otávio Sales
 
Exercicios problems
Exercicios problemsExercicios problems
Exercicios problems
Celso Berredo
 
Fraccoes e decimais
Fraccoes e decimaisFraccoes e decimais
Fraccoes e decimais
Rute Almeida
 
Combinatória 2
Combinatória 2Combinatória 2
Combinatória 2
KalculosOnline
 
Jogos com palitos
Jogos com palitos Jogos com palitos
Jogos com palitos
Charmilla Freire
 
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
Célio Sousa
 

Semelhante a QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS (19)

Prova nivel 2 2008
Prova nivel 2 2008Prova nivel 2 2008
Prova nivel 2 2008
 
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2
 
Sf2n1 2011
Sf2n1 2011Sf2n1 2011
Sf2n1 2011
 
Fichanc2ba3
Fichanc2ba3Fichanc2ba3
Fichanc2ba3
 
2º+teste+..
2º+teste+..2º+teste+..
2º+teste+..
 
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para usoProva da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
Prova da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática, editada para uso
 
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
Solução da Prova Canguru de Matemática - Nível E - 2016
 
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdfExercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
Exercicios-8º e 9º ano-NIVEL_SOMOS_COOP (4).pdf
 
Pf1n3 2012
Pf1n3 2012Pf1n3 2012
Pf1n3 2012
 
Resposta 2011
Resposta 2011Resposta 2011
Resposta 2011
 
Resposta 2011
Resposta 2011Resposta 2011
Resposta 2011
 
Mat em poliedros sol vol2 cap10
Mat em poliedros sol vol2 cap10Mat em poliedros sol vol2 cap10
Mat em poliedros sol vol2 cap10
 
Sol 1afase2010 n1
Sol 1afase2010 n1Sol 1afase2010 n1
Sol 1afase2010 n1
 
3o ano temática 3 bloco retangular vértices faces arestas
3o ano temática 3   bloco retangular vértices faces arestas3o ano temática 3   bloco retangular vértices faces arestas
3o ano temática 3 bloco retangular vértices faces arestas
 
Exercicios problems
Exercicios problemsExercicios problems
Exercicios problems
 
Fraccoes e decimais
Fraccoes e decimaisFraccoes e decimais
Fraccoes e decimais
 
Combinatória 2
Combinatória 2Combinatória 2
Combinatória 2
 
Jogos com palitos
Jogos com palitos Jogos com palitos
Jogos com palitos
 
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
Prova Canguru da Matemática - 7º/8º ano - 2017
 

Mais de Antonio Claudio Lage Buffara

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOGANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADOANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIALANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.AANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCARANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Antonio Claudio Lage Buffara
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
Antonio Claudio Lage Buffara
 

Mais de Antonio Claudio Lage Buffara (20)

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - TÉCNICAS CRIATIVAS DE MEDIÇÕES: RESOLVENDO PRO...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOGANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - O USO DE QUEBRA-CABEÇAS NO DESENVOLVIMENTO LÓG...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBABILIDADE
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - JOGO DO CÂMBIO: UMA PROPOSTA PARA EDUCAÇÃO INF...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - APRENDENDO A ESTUDAR: ERROS COMUNS E SUAS POSS...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTEANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - ENEM 2018: POSSÍVEIS NOTAS DE CORTE
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO  - ORTOGONAIS?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ORTOGONAIS?
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADOANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - PROPOSIÇÕES: UM EXERCÍCIO COMENTADO
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA - DESAFIO MATEMÁTICO: QUANTO É 2 + 5 X 3 + 4 ?
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIALANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA VETORIAL
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOSANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO EM - UMA SOBRE COMPLEXOS
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PRIMOS E PA
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO AXIOMAS PARA RESOLUÇÃ...
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.AANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCARANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
 
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIAANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
 

Último

Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
TomasSousa7
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
Manuais Formação
 
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
JoanaFigueira11
 
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
ANDRÉA FERREIRA
 
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões.          pptxRimas, Luís Vaz de Camões.          pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
TomasSousa7
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
TomasSousa7
 
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptxAtpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
joaresmonte3
 
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
vinibolado86
 
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdfAULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
SthafaniHussin1
 
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdfJOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
ClaudiaMainoth
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
DouglasMoraes54
 
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdfUFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
Manuais Formação
 
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
fran0410
 
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
HisrelBlog
 
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIAAPRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
karinenobre2033
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
LILIANPRESTESSCUDELE
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
Eró Cunha
 
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).pptepidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
MarceloMonteiro213738
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
eaiprofpolly
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
CarinaSantos916505
 

Último (20)

Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
 
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
497417426-conheca-os-principais-graficos-da-radiestesia-e-da-radionica.pdf
 
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...
 
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões.          pptxRimas, Luís Vaz de Camões.          pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
 
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptxAtpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
Atpcg PEI Rev Irineu GESTÃO DE SALA DE AULA.pptx
 
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024Slide de biologia aula2  2 bimestre no ano de 2024
Slide de biologia aula2 2 bimestre no ano de 2024
 
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdfAULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
AULA-001---AS-CELULAS_5546dad041b949bbb7b1f0fa841a6d1f.pdf
 
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdfJOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
JOGO DA VELHA FESTA JUNINA - ARQUIVO GRATUITO.pdf
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
 
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdfUFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
 
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...
 
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
 
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIAAPRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
APRESENTAÇÃO PARA AULA DE URGÊNCIA E EMERGÊNCIA
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
 
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).pptepidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
epidemias endemia-pandemia-e-epidemia (1).ppt
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
 
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptxReino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
Reino-Vegetal plantas e demais conceitos .pptx
 

QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. Uma questão debatida no forum da PUC-Rio sobre um problema de um triângulo equilátero muito interessante e que vale a pena relembrar. Problema: Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.
  • 3. Solução: Eu consegui provar que bastam 10 moedas - também dispostas formando um triângulo equilátero. Infelizmente, a demonstração não usa nenhuma "sacada brilhante", mas consiste apenas de uma análise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas, eu recomendo fortemente o uso de papel e lápis. Considere a seguinte disposição das moedas:
  • 4. (01) (02) (03) (04) (05) (06) (07) (08) (09) (10) Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, então acabou. Caso contrário, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) é preta e (07) e (10) são brancas. Se (02) e (03) forem ambas pretas, então (01), (02) e (03) serão pretas.
  • 5. Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca. Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte: A) (02) é branca; B) (02) é preta. (o caso em que (02) é branca e (03) é preta será a imagem especular do caso em que (02) é preta e (03) branca) A) (02) é branca:
  • 6. Se (08) ou (09) for branca, então (02), (07) e (09) serão brancas ou (03), (08) e (10) serão brancas. Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas. Nesse caso, se (05) for branca, então (02), (03) e (05) serão brancas acabou
  • 7. Por outro lado, se (05) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas acabou Assim, se (02) for branca, sempre haverá um triângulo monocromático. B) (02) é preta: Se (08) for branca, então (03), (08) e (10) serão brancas acabou Suponhamos que (08) seja preta.
  • 8. Se (06) for preta, então (02), (06) e (08) serão pretas acabou Suponhamos que (06) seja branca. Se (05) for branca, então (03), (05) e (06) serão brancas acabou Suponhamos que (05) seja preta. Se (09) for branca, então (06), (09) e (10) serão brancas acabou
  • 9. Por outro lado, se (09) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas acabou. Portanto, no caso em que (02) é preta também estará assegurada a existência de um triângulo monocromático.