(1) O documento descreve os números de Euler, que contam o número de permutações de n elementos com k ascendentes. (2) Apresenta a definição formal de ascendente, descendente, excedente e excedente fraco em permutações. (3) Exemplifica o cálculo dos números de Euler para permutações do conjunto {1,2,3} e como podem ser usados para contar permutações com propriedades específicas.

1. Centro de Competência de Ciências Exactas e da Engenharia
Disciplina: Combinatória – Fundamentos e Aplicações
Docente: Teresa Gouveia
Discente: Raquel Camacho; Número: 2030305
Os Números de Euler (ou
números Eulerianos)
Funchal
2011

2. Números de Euler ou Números Eulerianos
Os números de Euler (ou Eulerianos) permitem contar o número de permutações de n
elementos com k ascendentes.
Nota 1: Uma permutação é um rearranjo de uma lista ordenada de elementos.
Ao olharmos atentamente para a descrição feita anteriormente, pode surgir a dúvida
sobre o termo “ascendente”. Para melhor compreendermos este conceito, suponhamos
que π = ( π1 , π 2 , π3 ,..., π n ) é uma permutação de {1, 2,3,..., n} . Dizemos que o índice i,
com 1 ≤ i < n , é um ascendente da permutação π se πi < πi+1 .
Exemplo1:
Consideremos o conjunto {1, 2,3} .
a) Determine as permutações de {1, 2,3} .
Facilmente conseguimos descobrir as diferentes permutações deste conjunto,
combinando todos os elementos em todas as posições possíveis:
(1, 2,3) ( 2,3,1)
(1,3, 2 ) ( 3,1, 2 )
( 2,1,3) ( 3, 2,1)
b) Das permutações encontradas, indique quantas têm apenas um ascendente.
Para determinarmos o número de ascendentes de cada uma das permutações, temos
de comparar os elementos dois a dois, tendo o cuidado de comparar um elemento
sempre com o seu sucessor. Para descobrir o número de ascendentes deveremos
sempre fazer a questão “Será que este elemento é menor do que este elemento?”. Se
a resposta for positiva, então estamos perante um ascendente.
Analisemos, pois, cada uma das permutações, assumindo cada uma das permutações
como π = ( π1 , π 2 , π3 ) :
Para π = (1, 2,3)
π1 π2 π3
1

3. Vamos, então, comparar o 1 com o 2, fazendo a questão “Será que 1 é menor do que
2?” A resposta é obviamente positiva. Logo, temos que π1 < π2 ⇔ 1 < 2 →
Verdadeiro.
Vamos agora comparar o 2 com o 3, questionando “Será que 2 é menor do que 3?”.
A resposta é positiva, logo temos que π2 < π3 ⇔ 2 < 3 → Verdadeiro.
Logo, esta permutação tem dois ascendentes, pois obtivemos duas respostas
verdadeiras. Estes ascendentes são i = 1 e i = 2 .
Para π = (1, 3, 2 )
Repetiremos o processo elaborado anteriormente, comparando os elementos dois a
dois:
π1 < π2 ⇔ 1 < 3 → Verdadeiro
π2 < π3 ⇔ 3 < 2 → Falso
Logo, esta permutação tem apenas um ascendente, pois só obtivemos uma condição
verdadeira. Este ascendente é i = 1 .
Para π = ( 2,1, 3) :
π1 < π2 ⇔ 2 < 1 → Falso
π2 < π3 ⇔ 1 < 3 → Verdadeiro
Logo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condição
verdadeira. Este ascendente é i = 2 .
Para π = ( 2,3,1) :
π1 < π2 ⇔ 2 < 3 → Verdadeiro
π2 < π3 ⇔ 3 < 1 → Falso
Logo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condição
verdadeira. Este ascendente é i = 1 .
Para π = ( 3,1, 2 ) :
π1 < π2 ⇔ 3 < 1 → Falso
π2 < π3 ⇔ 1 < 2 → Verdadeiro
Logo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condição
verdadeira. Este ascendente é i = 2 .
2

4. Para π = ( 3, 2,1) :
π1 < π2 ⇔ 3 < 2 → Falso
π2 < π3 ⇔ 2 < 1 → Falso
Logo, esta permutação não tem ascendentes, pois não obtivemos condições
verdadeiras.
Respondendo à questão, podemos concluir que quatro permutações de {1, 2,3} têm
apenas um ascendente.
No entanto, quando trabalhamos com permutações surge um outro termo quando
comparamos os elementos da permutação dois a dois. Já vimos o que é e como
identificar um ascendente, mas também podemos pensar no caso contrário. Se em vez
de perguntarmos “Será que este elemento é menor do que este?”, perguntarmos “Será
que este elemento é maior do que este?” estamos a falar de descendentes.
Ainda nesta linha das permutações surgem outros termos relacionados com a posição
que cada elemento da permutação ocupa: os excedentes e os excedentes fracos.
Podemos, portanto, definir cada um destes termos para o caso geral:
Suponhamos que π = ( π1 , π 2 , π3 ,..., π n ) é uma permutação de {1, 2,3,..., n} .
Dizemos que o índice i, com 1 ≤ i < n , é um ascendente da permutação π se
πi < πi+1.
Um descendente da permutação π é o índice i com 1 ≤ i < n , tal que πi > πi+1 .
O índice i, com 1 ≤ i ≤ n , é um excedente da permutação π se πi > i . Enquanto o
índice i, com 1 ≤ i ≤ n , diz-se um excedente fraco da permutação π se πi ≥ i .
Agora que sabemos como definir cada um destes conceitos, podemos completar uma
tabela com esses dados, referentes ao Exemplo 1:
3

5. Nº de
Nº de Nº de Nº de
Permutação excedentes
ascendentes descendentes excedentes
fracos
(1, 2,3) 2 0 0 3
(1,3, 2 ) 1 1 1 2
( 2,1,3) 1 1 1 2
( 2,3,1) 1 1 2 2
( 3,1, 2 ) 1 1 1 1
( 3, 2,1) 0 2 1 2
Nota 2: No caso dos excedentes, pode surgir alguma dúvida sobre como foram obtidos
estes valores. Por isso, mostraremos como foi obtido o valor para a permutação
π = (1, 3, 2 ) , já que para as outras permutações o processo é o mesmo.
Para ser excedente da permutação tem de verificar πi > i , com 1 ≤ i ≤ 3 (porque
n = 3 ), portanto:
π1 > 1 ⇔ 1 > 1 → Falso
π2 > 2 ⇔ 3 > 2 → Verdadeiro
π3 > 3 ⇔ 2 > 3 → Falso
Então, esta permutação de {1, 2,3} tem apenas um excedente. Este excedente é i = 2 .
Nota 3: No caso dos excedentes fracos, procedemos da mesma forma que no caso dos
excedentes, tendo apenas em atenção que para ser excedente fraco de uma permutação
tem de verificar πi ≥ i , com 1 ≤ i ≤ 3 (já que, no exemplo dado, n = 3 ).
A partir da tabela podemos responder a perguntas simples como: Quantas
permutações de {1, 2,3} têm apenas um ascendente? Quantas permutações de {1, 2,3}
têm um descendente? Quantas permutações de {1, 2,3} têm apenas um excedente? E, por
fim, quantas permutações de {1, 2,3} têm apenas dois excedente fracos?
A resposta a estas questões é quatro permutações.
A partir da análise da tabela, podemos facilmente chegar a uma conclusão: se
determinarmos o número de permutações com k ascendentes, saberemos
automaticamente o número de permutações com k descendentes, com k excedentes e
com k + 1 excedentes fracos.
4

6. Por exemplo, analisando a tabela, podemos responder às questões:
Quantas permutações têm exactamente dois ascendentes? Uma.
Quantas permutações têm exactamente dois descendentes? Uma.
Quantas permutações têm exactamente dois excedentes? Uma.
Quantas permutações têm exactamente três excedentes fracos? Uma.
( k + 1 = 2 + 1)
Nº de ascendentes
Assim, se tivermos um conjunto com n permutações com k ascendentes, sabemos
que esse conjunto terá n permutações com k descendentes, n permutações com k
excedentes e n permutações com k + 1 excedentes fracos.
O exemplo que trabalhámos anteriormente é bastante simples e perfeitamente
exequível aplicando este método de análise directa de cada uma das permutações,
verificando o número de ascendentes, descendentes, excedentes e excedentes fracos de
cada uma delas. No entanto, existem casos em que se torna moroso determinar todas as
permutações do conjunto e, consequentemente, determinar os ascendentes,
descendentes, excedentes e excedentes fracos torna-se numa tarefa extremamente
ingrata.
Nestes casos (como veremos de seguida), será útil utilizarmos os Números de Euler
neste processo de encontrar o número de permutações com um determinado número de
ascendentes. E, como vimos anteriormente, a partir do cálculo do número de
permutações com k ascendentes, poderemos saber o número de permutações com k
descendentes, com k excedentes e com k + 1 excedentes fracos.
Como já vimos anteriormente, o número de Euler é o número de permutações de
{1, 2,3,..., n} com exactamente k ascendentes. O número de Euler pode ser representado
n
por E ( n, k ) ou ,
k
Como determinar os números de Euler?
Podemos determinar os números de Euler, recorrendo à seguinte fórmula:
n i  n + 1
k
E ( n, k ) = = ∑ ( −1)  (k +1− i) , n ≥ 1
n
k i =0  i 
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7. Existem, ainda, algumas propriedades relativas aos números de Euler, que facilitam o
seu cálculo:
n n
i) = =1 , n ≥1
0 n −1
n n
ii) = , n ≥1
k n −1− k
n n −1 n −1
iii) = ( k + 1) + (n − k ) , n ≥1
k k k −1
Veremos, agora, um exemplo em que a utilização dos números de Euler é bastante
útil.
Exemplo 2:
Determine o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com:
a) um único ascendente;
Se utilizássemos o método utilizado no Exemplo 1, teríamos de determinar todas as
permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} , o que é bastante moroso.
Utilizando os números de Euler, temos apenas de recorrer, por exemplo, à fórmula da
propriedade iii). Neste caso, sabemos que n = 6 (número de elementos do conjunto)
e k = 1 (número de ascendentes):
n 6 6 −1 6 −1
= = (1 + 1) + ( 6 − 1)
k 1 1 1−1
5 5
=2 +5
1 0
=1, pela propriedade i)
 5 −1 5 −1 
= 2 (1 + 1) + ( 5 − 1)
Voltamos a utilizar a
+5
propriedade iii)  1 1−1 
 4 4  4 4
= 2 2 +4 +5= 4 +8+5 = 4 + 13
 1 0  1 1
=1, pela propriedade i)
6

8.  4 −1 4 −1 
= 4 (1 + 1) + ( 4 − 1)
Voltamos a utilizar a
 + 13
propriedade iii)  1 1−1 
 3 3  3 3
= 4 2 +3  + 13 = 8 + 12 + 13 = 8 + 25
 1 0  1 1
=1, pela propriedade i)
 3 −1 3 −1 
= 8 (1 + 1) + ( 3 − 1)
Voltamos a utilizar a
 + 25
propriedade iii)  1 1−1 
 2 2 
= 8 2 +2  + 25 = 16 + 16 + 25 = 57
 1 0 
=1, pela propriedade i)
Existem 57 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com apenas um ascendente.
b) exactamente quatro ascendentes;
Pela propriedade ii) temos que:
n n
= , n ≥1
k n −1− k
Então,
6 6 6
= = .
4 6 −1− 4 1
Quer isto dizer que o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com um ascendente é
igual ao número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com quatro ascendentes.
6 6 6 6
Como calculámos na alínea anterior = 57 e como = , então = 57 .
1 1 4 4
Logo, existem 57 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, quatro
ascendentes.
c) exactamente dois excedentes;
7

9. Como já vimos, os números de Euler também podem ser utilizados para calcular o
número de permutações com k excedentes.
Para resolver esta alínea vamos utilizar a fórmula
n i  n + 1
k
E ( n, k ) = = ∑ ( −1)  (k +1− i) , n ≥ 1
n
k i =0  i 
Nota 4: Poderíamos continuar a utilizar a fórmula da propriedade iii).
6 i  6 + 1
2
E ( 6, 2 ) = = ∑ ( −1)  (2 +1− i) =
6
2 i =0  i 
0 7 1 7 2 7
= ( −1)   ( 3 − 0 ) + ( −1)   ( 3 − 1) + ( −1)   ( 3 − 2 ) =
6 6 6
0 1   2
7! 6 7! 6 7! 6
= 3 − 2 + 1 =
0!7! 1!6! 2!5!
= 729 − 448 + 21 = 302
Portanto, existem 302 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, dois
excedentes.
d) exactamente dois descendentes;
n
Reparemos que E ( n, k ) = é o número de permutações com k ascendentes ou o
k
número de permutações com k descendentes ou o número de permutações com k
excedentes ou, ainda, o número de permutações com k + 1 excedentes fracos. Assim,
para calcular o número de permutações com exactamente dois descendentes,
6
podemos calcular .
2
6
Na alínea anterior, vimos que = 302. Logo, existem 302 permutações de
2
{1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, dois descendentes.
e) seis excedentes fracos.
8

10. n
Como já vimos, E ( n, k ) = é o número de permutações com k + 1 excedentes
k
fracos. Portanto, para determinar o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis
excedentes fracos, temos de pensar qual será o valor de k. Para isso basta reparar que
k + 1 terá de ser, necessariamente, igual a 6, já que este é o número de excedentes
fracos. Portanto, k + 1 = 6 ⇔ k = 5 .
Assim, para determinarmos o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis
excedentes fracos, basta calcularmos
n 6 6
= = =1
k 5 0
pela propriedade i)
Portanto, existe apenas uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis excedentes
fracos. Também podemos reparar que só existe uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6}
6
com apenas um excedente fraco, já que = 1 . Verificamos que neste caso k
0
(número de ascendentes) é 0, logo o número de excedentes fracos será
k + 1 = 0 + 1 = 1 . Assim, existe apenas uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} que não tem
ascendentes e uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} que tem apenas um excedente fraco.
Deste modo, verificámos a importância da utilização dos números de Euler. Sem este
método, seria quase impossível determinar o número de permutações de um
determinado conjunto com um certo número de ascendentes, descendentes, excedentes e
excedentes fracos.
O método utilizado no Exemplo 1 é prático apenas para conjuntos pequenos, onde
podemos facilmente determinar todas as suas permutações. Quando passamos para
conjuntos maiores, este método torna-se quase impraticável, o que nos leva aos
Números de Euler, já que é um método muito mais prático e de fácil utilização.
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