O documento discute a importância de professores de matemática lerem e escreverem expressões matemáticas corretamente para evitar erros que podem dificultar a compreensão dos alunos. Também enfatiza a necessidade de distinguir entre erros aceitáveis de linguagem e erros que realmente atrapalham a aprendizagem.

1. Não é incomum enfrentarmos situações em que, por “vício”, escrevemos e/ou lemos
expressões matemáticas de forma incorreta. Alguns desses erros são aceitáveis, pois não
podemos exigir de nossos alunos da educação básica (ensino fundamental), que eles leiam certas
sentenças com todo o rigor matemático. Esses “erros aceitáveis” são o que chamamos de abuso
de linguagem. Porém, em outras, precisamos nos atentar para esse “vício”, pois ele pode, e com
certeza, deve dificultar ainda mais o entendimento de situações reais vivenciadas no ensino-
aprendizagem de Matemática.
É importante que nós professores de Matemática, tenhamos o hábito da leitura,
“principalmente do lê e escrever matemática”.
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2. Comecemos nossa discussão.
Classifique como verdadeiro ou falso e/ou certo ou errado as seguintes implicações e/ou
sentenças:
1. x  1  0  x 2  3x  2  0 ______________________________________________
2. Se x.( x 2  2 x  1)  0; então x  0 ou x  1 ou x  2 _________________________
3. x2  2 x  1  0  x  1  0 ______________________________________________
4. Se x  1  x  1  0 ____________________________________________________
5. Se x  1 então x  1  0 __________________________________________________
6. Seja  um plano e r uma reta desse plano, então r  _______________________
7. Seja  um plano e r uma reta desse plano, então r   ______________________
8. Seja P a propriedade de um quadrilátero ter seus quatro ângulos retos e por Q a
propriedade de um quadrilátero ter seus lados opostos paralelos. Então podemos
escrever P  Q ________________________________________________________
9. Se a  b  c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo  a 2  b2  c 2
______________________________________________________________________
10. Se a  b  c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo então a 2  b2  c2
______________________________________________________________________
11. Se A  B e B  C  A  C _____________________________________
12. A  B e B  C  A  C ______________________________________
13. Se A  B e B  C então A  C ____________________________________
14. A  B e B  A  A  B ________________________________________
15. Se A  B e B  C  A  B ____________________________________
Há diferentes maneiras de se ler a relação P  Q .
Cite ao menos duas:
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A implicação Q  P chama-se a recíproca de P  Q . Evidentemente, a recíproca de uma
implicação verdadeira pode ser falsa. A recíproca das implicações 1 e 8 acima, por exemplo, são
falsas. Justifique.
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Escreva por extenso as seguintes expressões:
2

3. a) a  b _________________________________________________________________
b) a  b _________________________________________________________________
c) (a  b)2 ______________________________________________________________
d) a  b2 ________________________________________________________________
ab
e) ________________________________________________________________
2
b
f) a  ________________________________________________________________
2
Qual a negação de y  x ? ______________________________________________________
A relação de inclusão
Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A for também elemento de B, diz-se que A
é um subconjunto de B ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notação A  B .
Exemplo: sejam T o conjunto dos triângulos e P o conjunto dos polígonos do plano.
Todo triângulo é um polígono, logo T  P .
Dê dois exemplos de relação de inclusão:
I. Envolvendo conjuntos numéricos
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II. Envolvendo conceitos geométricos
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A relação A  B chama-se relação de inclusão. Quando A não é um subconjunto de B,
escreve-se A  B . O que isto significa?
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Há duas inclusões extremas. A primeira é óbvia: para todo conjunto A, vale A  A
(pois é claro que todo elemento de A pertence a A). A outra é, no mínimo, curiosa: tem-se
  A , seja qual for o conjunto A. Justifique. _______________________________________
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Diz-se que A é um subconjunto próprio de B quando se tem A  B com A   e
A B.
A relação de inclusão goza de três propriedades fundamentais. Dados quaisquer
conjuntos A, B e C tem-se:
I. Reflexividade: A  A
II. Antissimétrica: se A  B e B  A então A  B
III. Transitividade: se A  B e B  C então A  C
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4. Use a linguagem de conjuntos, para representar o *silogismo: todo ser humano é animal,
todo animal é mortal, logo todo ser humano é mortal.
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* Um silogismo (do grego antigo συλλογισμός, "conexão de idéias", "raciocínio";
composto pelos termos σύν "com" e λογισμός "cálculo") é um termo filosófico com o qual
Aristóteles designou a argumentação lógica perfeita e que mais tarde veio a ser chamada de
silogismo, constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que a
partir das duas primeiras, chamadas premissas, é possível deduzir uma conclusão.
Use uma conecção entre a implicação e a relação de inclusão, para justificar a
implicação 8 acima.
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Sejam P e Q propriedades referentes aos elementos dos conjuntos A e B
respectivamente. A negação da propriedade P, representada por P’ e a de Q, representada por
Q’, são tais que:
PQ se, e somente se, Q' P'
A implicação Q'  P' chama-se contrapositiva da implicação P  Q .
Recomendação:
Muitas vezes é necessário negar uma implicação P  Q . É preciso ter cuidado ao
fazer isto. A negação de “todo homem é mortal” não é “nenhum homem é mortal”, mas “existe
(pelo menos) um homem imortal”. Mais geralmente, negar que P  Q significa admitir que
existe (pelo menos) um objeto que tem a propriedade P mas não tem a propriedade Q. Isto é
bem diferente de admitir que nenhum objeto com a propriedade P tem também a propriedade Q.
Por exemplo, se P é a propriedade que tem um triângulo de ser isósceles e Q a propriedade de
ser equilátero, a implicação P  Q significaria que todo triângulo isósceles é equilátero (o que
é falso). A negação de P  Q é a afirmação de que existe (pelo menos) um triângulo isósceles
não-equilátero.
Neste cotexto, convém fazer uma distinção cuidadosa entre a ideia matemática de
negação e a noção (não-matemática) de contrário, ou oposto. Se um conceito é expresso por
uma palavra, o conceito contrário é expresso pelo antônimo daquela palavra. Por exemplo, o
contrário de gigantesco é minúsculo, mas a negação de gigantesco inclui outras gradações além
de minúsculo.
Classifique como verdadeiro ou falso a implicação abaixo e, expresse a sua negação:
se P é a propriedade que tem um quadilátero de ser retângulo e Q a propriedade de ser
quadrado, então P  Q .
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Falemos agora de Reunião e Intersecção de Conjuntos
Lembremos que, dados os conjuntos A e B, reunião A  B é o conjunto formado pelos
elementos de A mais os elementos de B, enquanto que a intersecção A  B é o conjunto dos
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5. objetos que são ao mesmo tempo elementos de A e de B. Portanto, se considerarmos as
afirmações
x  A, x  B,
veremos que x  A  B quando pelo menos uma dessas afirmações for verdadeira e, por outro
lado, x  A  B quando ambas as afirmações acima forem verdadeiras.
x  A  B significa " x  A ou x  B"
x  A  B significa " x  A e x  B"
Por exemplo, sejam A o conjunto dos elementos x, que satisfazem a condição x 2  3x  2  0 e
B o conjunto dos elementos x, que cumprem a condição x 2  5x  6  0 . Assim, a afirmação
" x 2  3x  2  0 ou x2  5x  6  0"
equivale a
" x {1,2,3},"
e a afirmação
" x 2  3x  2  0 e x2  5x  6  0"
equivale a
" x {2} ou x  2."
Noutras palavras,
A  B  {1,2,3} e A  B  {2}.
É importante ressaltar que a palavra “ou” em Matemática tem um significado específico
um tanto diferente daquele que lhe é atribuído na linguagem comum. No dia-a-dia, “ou” quase
sempre liga duas alternativas incompatíveis (“vamos de ônibus ou de trem?”). Em Matemática,
a afirmação “P ou Q” significa que pelo menos uma das alternativas P ou Q é válida, podendo
perfeitamente ocorrer que ambas sejam.
A diferença entre o uso comum e o uso matemático do conectivo “ou” é ilustrada pela
anedota do obstetra que também era matemático. Ao sair da sala onde acabara de realizar um
parto, foi abordado pelo pai da criança, que lhe perguntou: “Foi menino ou menina,
doutor?”. Resposta do médico: “Sim.”
Justifique a resposta do médico.
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Considere os conjuntos:
F = conjunto de todos os filósofos
M = conjunto de todos os matemáticos
C = conjunto de todos os cientistas
P = conjunto de todos os professores
Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:
1) Todos os matemáticos são cientistas ________________________________________
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6. 2) Alguns matemáticos são professores ________________________________________
3) Alguns cientistas são filósofos _____________________________________________
4) Todos os filósofos são cientistas ou professores _______________________________
5) Nem todo professor é cientista _____________________________________________
Recomendações:
1. Nunca escreva (ou diga) coisas do tipo
"se x 1  0  x2  2 x  1  0"
O símbolo  não significa “então”, mais sim “implica”. Também é incorreto empregar o
símbolo  com o significado conclusivo da palavra “portanto”. O símbolo adequado para esta
palavra é  e não  .
2. As definições matemáticas consistem em atribuir nomes a objetos que gozam de certas
propriedades particularmente interessantes. Por exemplo, um número natural n chama-se primo
quando 1 e n são os únicos números naturais que são seus divisores. Embora, estritamente
falando, não seja errado usar “se, e somente se,” numa definição, trata-se de um costume
didaticamente inadequado pois dá a impressão de um teorema, além de ocultar o fato de que se
trata de simplesmente dar um nome a um conceito.
Usando a 2ª recomendação, defina paralelogramo.
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Comentário Sobre a Noção de Igualdade
Uma coisa só é igual a si própria.
Quando se escreve a  b , isto significa que a e b são símbolos usados para designar o
mesmo objeto.
Por exemplo, se a é a reta perpendicular ao segmento AB, levantada a partir do seu
ponto médio e b é o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de A e B então a  b .
Em Geometria, às vezes ainda se usam expressões como “os ângulos  e  são iguais”
ou “os triângulos ABC e A’B’C’ são iguais” para significar que são figuras que podem ser
superpostas exatamente uma sobre a outra. A rigor, porém, esta terminologia é inadequada.
Duas figuras geométricas que coincidem por superposição devem ser chamadas congruentes.
Na linguagem corrente, às vezes se diz que duas pessoas ou objetos são iguais quando
um certo atributo, ao qual se refere o discurso naquele momento, é possuído igualmente pelas
pessoas ou objetos em questão. Assim, por exemplo, quando dizemos que “todos são iguais
perante a lei”, isto significa que dois cidadãos quaisquer têm os mesmos direito e deveres legais.
A relação “a é igual a b”, que se escreve a = b, goza das seguintes propriedades:
Reflexividade: a = a;
Simetria: se a = b então b = a;
Transitividade: se a = b e b = c então a = c.
Sobre funções
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7. A função Afim
Uma função f : R  R chama-se afim quando existem constantes a, b  R tais que
f ( x)  ax  b para todo x  R .
A função identidade f : R  R , definida por f ( x)  x para todo x  R , é afim.
Também são afins as translações f : R  R , f ( x)  x  b . São ainda casos particulares de
funções afins as funções lineares, f ( x)  x e as funções constantes f ( x)  b .
Comentários sobre terminologia
1. Se uma função afim f é dada por f ( x)  ax  b , não é adequado chamar o
número a de coeficiente angular da função f. O nome mais apropriado, que usamos, é taxa de
variação (ou taxa de crescimento). Em primeiro lugar não há, na maioria dos casos, ângulo
algum no problema estudado.
2. A maioria dos nossos textos escolares refere-se à função afim como “função do
primeiro grau”. Essa nomenclatura sugere a pergunta: o que é grau de uma função? Função não
tem grau. O que possui grau é um polinômio. O mesmo defeito de nomenclatura ocorre também
com as funções quadráticas.
Exemplo: O preço a pagar por uma corrida de taxi é dado por uma função afim f : x  ax  b ,
onde x é a distância percorrida, o valor inicial b é a chamada bandeirada e o coeficiente a é o
preço de cada quilômetro rodado.
Pode-se a partir desse exemplo ilustrar o porquê do citado acima (em 1). Explique:
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A função Quadrática
Uma função f : R  R chama-se quadrática quando existem números reais a, b e c,
com a  0 , tais que f ( x)  ax 2  bx  c para todo x  R .
Por hora, faremos apenas um comentário sobre terminologia, vide item 2 acima.
Recomendações
1. É importante ressaltar que f (x) é a imagem do elemento x  X pela função f,
ou o valor no ponto x  X . Os livros antigos, bem como alguns atuais, costumam dizer “a
função f (x) ” quando deveriam dizer “a função f ”. Algumas vezes essa linguagem inexata
torna a comunicação mais rápida e fica difícil resistir à tentação de usá-la. Mas é indispensável a
cada momento ter a noção precisa do que se está fazendo. Quando se trata de função polinomial,
por exemplo, o bom-senso nos leva a dizer
“a função x 2  5x  6 ”
em vez da forma mais correta “a função p : R  R tal que
p ( x)  x 2  5 x  6
Para todo x  R .”
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8. 2. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio
contradomínio e a lei de correspondência x  f (x) . Mesmo quando dizemos simplesmente “a
função f ”, ficam subentendidos seu domínio X e seu contradomínio Y.
Exemplo: em cada uma dos problemas a seguir (retirados do livro adotado na rede; páginas: 87,
105 e 108), classifique como certo ou errado, a escrita matemática nos enunciados, corrigindo-
os quando necessário.
i. Dada a função f ( x)  x²  3x , determine:
a) o valor de f para x = -7
b) os valores de x para que f ( x)  4
ii. A função g ( x)  2mx2  3mx  1 possui ponto de mínimo com coordenadas
 3 13 
 ;  .
4 4 
a) Qual o valor de m?
b) Construa o gráfico dessa função
iii. Utilizando uma malha quadriculada, construa os gráficos das funções f, g e h em um
mesmo plano cartesiano.
 f ( x)  3 x  2
 g ( x)  3 x  1
 h( x)  3x  4
iv. Para quais valores de n as retas que representam as funções f ( x)  (2n  1) x  5 e
g ( x)  x  2 não são paralelas?
Recomendações gerais
Seja cuidadoso, a fim de evitar cometer erros. A autocrítica é o maior aliado do bom
professor. Em cada aula, trate a si mesmo como um aluno cujo trabalho está sendo examinado.
Pense antes no que vai dizer mas critique-se também depois: será que falei bobagem? Se achar
que falou, não hesite em corrigir-se em público. Longe de desprestigiar, esse hábito fortalecerá a
confiança dos alunos no seu mestre.
Esteja atento também à correção gramatical. Linguagem correta é essencial para a
limpidez do raciocínio. Muitos colegas professores de Matemática, até mesmo autores de livros,
são um tanto descuidados a esse respeito. Dizem, por exemplo, que “a reta intercepta o plano
 no ponto P”, quando deveriam dizer “intersecta” já que o ponto P é a intersecção, mas não a
interceptação de r com  .
Eis aqui outros erros comuns de linguagem que devem ser evitados:
“Maior ou igual a”. O correto é: “maior do que ou igual a”
Não diga “completude”, diga “completeza”. (Belo  beleza; rico  riqueza;
nobre  nobreza; completo  completeza.)
Não diga “Espaço de tempo”. Espaço e tempo são conceitos físicos fundamentais e
independentes. Não se deve misturá-los. Diga “intervalo de tempo”.
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9. Referências Bibliográficas
Lima, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, Volume 1. Rio de Janeiro: SBM, Coleção
Professor de Matemática.
Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Rio
de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.
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