O documento apresenta uma série de exercícios de matemática sobre razão e proporção, divididos em dois grupos. No primeiro grupo há exercícios sobre verificar se pares de números formam proporção, resolver proporções, determinar valores faltantes em proporções numéricas e algébricas, e calcular valores relacionados a proporções como populações e áreas. O segundo grupo traz exercícios resolvidos sobre cálculo de produtos, razões, volumes e outras grandezas em situações modeladas por proporções.

1. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 1
MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013
GRUPO 01 - RAZÃO
01. Verificar se os seguintes pares de razões formam uma proporção:
a) = b) = c) =
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02. Resolva as seguintes proporções:
a) = b) = c) = d) = e) = f) =
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03. Os números 3, 9, 12 e t, nessa ordem, formam uma proporção. Determine o valor de t.
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04. Os números 3, 5, 4x e (x+17), nessa ordem, formam uma proporção. Determine o valor de x.
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05. Uma região A tem a terça parte da população de uma região B. Sabendo que a região A tem 15 milhões de
habitantes, qual é a população da região B?
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06. Determine a quarta proporcional dos números:
a) 6, 10 e 15 b) 20, 12 e 5 c) 0,4; 0,6 e 1,2 d) 2/3, 1/2 e 1/3
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07. Determine a terceira proporcional dos números:
a) 4 e 2 b) 2 e 10 c) e d) 0,2 e 0,4
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08. Determine x e y na proporção y, sabendo-se que x + y = 28. (x = 12 e y = 16).
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09. A razão de dois números é de 5 para 2, e a diferença entre eles é 60. Determinar os dois números. (x = 100 e y =
40).
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10. Vamos dividir o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
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11. Vamos dividir o numero 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
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12. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.
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13. A soma de dois números, x e y, é 42. A razão de x para y é de 4 para 3. Calcule os dois números.
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14. A soma de dois números é 55. O maior deles está para 7, assim como o menor está para 4. quais são os dois
números?
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15. A razão de dois números é de 5 para 3. Se a sua soma é 96, determine os dois números.
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16. Dois números estão entre si como 2 está para 1. Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os dois
números.
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17. Adimitindo-se que a razão ideal do número de habitantes de uma cidade para cada metro quadrado de área
verde fosse 2 para 5, então, a população máxima que deveria ter uma cidade com 400. 000 m2
de área verde seria
de:
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18. Uma herança de $ 140.000,00 foi dividida em duas partes na razão de 2/5. Determine o valor de cada parte.
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19. Há dez anos uma cidade fez um recenseamento e verificou que, de seus 5200 habitantes, 780 eram analfabetos.
Hoje essa cidade tem 6000 habitantes. Se a razão “número de analfabetos/população” permaneceu a mesma, qual é
o número de analfabetos hoje?
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20. O mapa de um loteamento foi desenhado de forma que cada 2 cm no mapa representassem 300m na realidade.
No mapa, a chácara de meu tio é um retângulo de lados 1,5 cm e 2,4 cm. Qual é a área, em metros quadrados, da
chácara?
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21. Para fazer um suco de caju, misturam-se 9 medidas de água para cada medida de suco concentrado de caju.
Quantos litros de água são necessários para 6 litros de suco concentrado?
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22. Para prestar um exame, havia 12.500 candidatos. Tendo sido aprovados 500, a razão entre o número de
reprovados e o total de candidatos é:
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23. Os números a,b,c são diretamente proporcionais aos números da sucessão 2,5,7 e o fator de proporcionalidade é
4. Calcule a,b,c.

2. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 2
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24. Claudinha e Roseli compraram em sociedade uma bicicleta. Claudinha entrou com $ 400,00 e Roseli com
$500,00. Depois de algum tempo, venderam a bicicleta por $ 720 e repartiram o dinheiro recebido
proporcionalmente à quantia investida. Quanto Roseli recebeu de volta?
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25. Determine os números a, b, c e d, diretamente proporcionais a 6,3,9 e 15, sabendo que a+3b+4c+5d= 252.
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26. A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².
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27. A diferença dos volumes de dois sólidos é 9 cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.
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GRUPO 02 - PROPORÇÃO
1) Calcule o produto a x b na proporção a/2 : 3 = 4 : b/3
2) Se a razão entre dois números é 3 : 5, calcule a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo.
3) (UFRJ – 2008) Um produtor de café embalou, para venda no varejo, 3750 kg de sua produção. Metade dessa
produção foi distribuída em sacos com capacidade de 3/4 de quilograma cada. Determine quantos sacos foram
usados.
4) (UFRJ – 2008) Por curiosidade, Vera pôs 800 “anéis” de latas de refrigerante em um recipiente com água, e
percebeu que o volume de líquido deslocado pelos anéis foi de 50 ml (quer dizer, o nível da água aumentou em 50
ml). Depois, pegou uma garrafa vazia, com capacidade de 2,5 L, e a encheu até a boca com 3100 daqueles anéis.
Ainda é possível pôr 2,3 L de água no espaço restante no interior da garrafa sem transbordar?
5) (UERJ – 2005) O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal
estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9
kcal em atividades físicas signfica a queima de 1 g de gordura corporal.
Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo,
em média, 12kcal/min, corresponde a:
a) 2000 b) 4500 c) 80000 d) 60000
6) (UFF – 2005) Na reta final de uma corrida verificou-se que, em um determinado instante, a distância entre dois
corredores era de 2,25 m. Considerando L e H as distâncias de cada um desses corredores até a linha de chegada,
verificou-se também que L/H = 1,10.
Pode-se afirmar que L + H é igual a:
a) 22,50 m b) 24,25 m c) 46,75 m d) 47,25 m e) 69,70 m
7) (UFF – 2005) Em situações do cotidiano é comum usar-se como unidade de medida o palmo ( da própria mão).
Porém, essa medida varia de pessoa para pessoa. João mediu o comprimento de uma peça de tecido e encontrou 30
palmos. Alfredo mediu esta mesma peça de tecido usando sua mão, e encontrou para ela a medida de 27 palmos.
Pode-se afirmar que 10 palmos de João equivalem a:
a) 0,1 palmo de Alfredo b) 0,9 palmo de Alfredo
c) 9 palmos de Alfredo d) 11,1 palmos de Alfredo e) 1,1 palmos de Alfredo
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08. (UFF – 2005) O limite máximo de ingestão diária aceitável (IDA) de cálcio para um adolescente é de 1,2 mg/kg de
seu peso corporal. Pode-se afirmar que o volume de leite contendo cálcio na concentração de 0,6g/L que um
adolescente de 60 kg pode ingerir para que o IDA máximo seja alcançável é:
a) 0,05 L b) 0,12 L c) 0,15 L d) 0,25 L e) 0,30 L
9) (UFRRJ – 2007) Um tanque de volume V é abastecido por duas torneiras A e B. A torneira A, sozinha, enche o
tanque em 10 minutos e a torneira B, também sozinha, em 20 minutos. Calcule o tempo que as torneiras A e B juntas
gastam para encher o tanque.
10) (UFRRJ – 2006) Misturando suco concentrado líquido e água na proporção de uma parte de suco para três partes
de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado, na
proporção de duas partes de suco para cinco de água, teríamos conseguido fazer:
a) 12 litros de refresco b) 18 litros de refresco
c) 21 litros de refresco d) 20 litros de refresco e) 30 litros de refresco
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11. (UFLA - adaptada) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente,
R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se
que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, quanto cada sócio receberá?

3. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 3
GABARITO GRUPO 02 - PROPORÇÃO
01. R: 2500; 02. R: 9; 03. R: 72;
04. R: sim.
RESOLUÇÃO:
Veja: 800 anéis —> 50 ml
3100 anéis —> x 800x = 50 . 3100 x = 155000 / 800 = 193,75 ml
Assim, sobra de espaço: 2,5 L = 2500 ml -> 2500 – 193,75 = 2306,25 ml
Logo, é possível pôr 2,3 litros de água sem transbordar.
05. B. Solução: 9 kcal —-> 1 g queimada
12 kcal —–> x g queimadas ——–> x = 4/3 g gordura queimada
Sabemos que 6 kg = 6000 g
Assim, 4/3 g ——–> 1 min atividades físicas
6000g ———> x min atividades físicas
(4x)/3 = 6000 —-> 4x = 18000 —-> x = 18000/4 = 4500 minutos de atividades físicas
06. D. Solução:
Se L/H = 1,10, logo L > H. Como a distância entre os corredores é 2,25 m, logo L = 2,25 + H
Substituindo na proporção, temos (2,25 + H)/H = 1,10 —> 2,25 + H = 1,10H —> 2,25= 1,1H –
H
e assim 1,1H – H = 2,25 —-> 0,1H = 2,25 —> H = 2,25/0,1 = 22,5/1 = 22,5 m
Logo, L = 22,5 + 2,25 = 24,75
No final, temos L + H = 22,5 + 24,75 = 47,25
Resp.: letra d
Observação: quando chegamos a 2,25/0,1, podemos deslocar a vírgula tanto em cima
quanto em baixo o quanto nos for conveniente. Só se deslocou uma casa para a direita pois
assim o denominador virou 1, e qualquer coisa dividida por um dá ela mesma.
07. C. Solução: m.m.c (30,27) = 270
Assim, 270/30 = 9 e 270/27 = 10
Assim, 10 palmos de João equivalem a 9 palmos de Alfredo.
08. B. Solução: precisamos transformar 0,6 g em miligramas. Sabemos que 1000 mg = 1 g,
logo 0,6 g = 600 mg.
O leite tem concentração de 600mg/L de cálcio. O peso do adolescente é 60 kg, assim o
limite máximo de ingestão diária de cálcio será 1,2 * 60 = 72 mg cálcio por dia.
72 mg —–>: x Litros
600 mg —-> 1 Litro
x = 72/600 = 0,12 L ou 120 mL
09. Resp.: 6 min 40 seg.
Solução:

4. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 4
A torneira A enche o tanque em 10 minutos, enquanto a torneira B enche em 20 minutos.
Assim, A é duas vezes mais potente que B. Assim, podemos dizer que, se as duas torneiras
estiverem abertas, é como se tivéssemos 3 torneiras B abertas. Se uma torneira B enche o
tanque em 20 minutos, três torneiras B enchem o tanque em 20/3 minutos, ou em 6
minutos e 40 segundos.
10.
11.
GABARITO - MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013
10. 24 e 36 /// 11. 12 e 9 /// 12. x + y= 35, portanto x= 14 e y= 21 /// 13. x+y=
66, portanto x= 24 e y= 42 /// 14. y-x= 9 portanto y=27 e x=18 /// 15. /// 16. ///
17. 160.000 /// 18. 100.000 e 40.000 /// 19. 900 /// 20. 81.000 m2
/// 21. 54 L
/// 22. 24 : 25 /// 23. a = 8, b = 20 e c = 28 /// 24. 400 /// 25. a = 12, b = 6, c = 18
e d = 30 ///
GABARITO GRUPO 01 – RAZÃO
Resolução 01 : Sejam x e y as partes procuradas. Se a divisão é proporcional a 2 e 3, devemos ter:
k3yek2xouk
3
y
2
x
Porém, sabemos que x + y = 60. Desta forma, temos:
x + y = 2k + 3k = 5k = 60
k = 12
Logo, x = 2.12 e y = 3.12
Resolução 02: Sejam x e y as partes procuradas. Como a divisão pedida é inversamente proporcional a 3 e 4,
devemos ter:
4
k
ye
3
k
xouk
4
1
y
3
1
x
Porém, sabemos que x + y = 21. Desta forma, temos:

5. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 5
36
7
2112
k
2112k7
12
2112
12
k3k4
21
4
k
3
k
Logo, x = 36:3 e y = 36:4

6. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 6
TEORIA
RAZÃO
Definimos razão entre dois números como sendo o quociente do primeiro pelo segundo, numa mesma unidade,
sendo o segundo sempre diferente de zero.
Assim, a razão entre dois números reais a e b é ou a : b. O numerador da fração é chamado de antecedente e o
denominador de consequente.
PROPORÇÃO
É uma igualdade entre razões. Sendo a, b, c e d números reais diferentes de zero, temos:
ou a : b = c : d
a e d são os extremos da proporção
b e c são os meios da proporção
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)
termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere as proporções:
Adicionando 1 a cada membro obtemos:
Exemplo:
Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
Solução:

7. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 7
Assim:
x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)
termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere as proporções:
Subtraindo 1 a cada membro obtemos:
(Mult. os 2 membros por -1)
Exemplo:
Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
Solução:
Pela 2ª propriedade temos que:

8. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 8
x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.
3ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos
consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
4ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos
consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

9. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 9
Permutando os meios, finalmente obtemos:
Exemplo:
Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
Solução:
Pela 4ª propriedade, temos que:
5ª propriedade:
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos
consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu
consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Multiplicando os dois membros por , temos:
Assim:

10. MATEMÁTICA – RAZÃO E PROPORÇÃO 01 – 2013 Página 10
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões.
Exemplo:
5ª propriedade: Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
é uma proporção múltipla.
Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: