Introdução à Computação Aula 08 - Algoritmos (Lógica de Programação, Álgebra Booleana)

# Introdução à Computação #
Aula 08 – ALGORITMOS
(Lógica de Programação, Álgebra Booleana)
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

Na aula anterior...
ALGORITMOS
# Sistemas de Numeração
# Aritmética Binária
11:01
I.C.C.: Aula 08 – ALGORITMOS (Lógica de Programação, Álgebra Booleana)

Introdução
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O que vamos aprender?
 ALGORITMOS
# Lógica de Programação
# Álgebra Booleana
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Vamos começar?
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Histórico
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 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
“A única maneira de garantir a
consistência de nossos raciocínios é
torná-los tão tangíveis quanto os dos
matemáticos…”.
“Se duas pessoas discordarem, basta
calcular quem está certo”.
(The Art of Discovery, 1685)

Leibniz
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 Primeiro a propor o sistema binário;
 Criador do Cálculo (paralelamente a Newton);
 Os princípios da lógica de Leibniz (e de toda sua filosofia) eram:
# (i) Todas as nossas idéias são formadas a partir de um pequeno número de
idéias simples, que formam o alfabeto do pensamento humano;
# (ii) Idéias complexas procedem dessas idéias simples por uma combinação
uniforme e simétrica, análoga à multiplicação aritmética.

Ideias de Leibniz
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Com relação ao princípio (i), o número de ideias simples é bem maior do que
Leibniz pensou;
Quanto a (ii), a lógica pode, de fato, ser situada em uma operação de
combinação simétrica, mas tal operação é análoga também à adição, e não só à
multiplicação;
 A Lógica Formal que surgiria no início do século XX exige também, no mínimo,
negação unária e variáveis quantificadas sobre algum universo de discurso;
 Leibniz não publicou nada em Lógica Formal durante sua vida; a maior parte
do que ele escreveu no assunto consiste de rascunhos e trabalhos não
terminados.

Histórico
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 George Boole (1815-1864)
 Considerado um dos
fundadores da Ciência da
Computação

Ideias de Boole
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 Usar símbolos algébricos como x, y, z, p, q, r para denotar palavras, frases, ou
proposições;
 O que Boole estava pensando era em criar um sistema algébrico com operações
como adição e multiplicação e métodos de resolução de equações;
 A Álgebra de Boole exigia a formulação de uma linguagem simbólica do
pensamento;
 Resolver uma equação em tal linguagem não levaria a uma resposta numérica, mas
sim a uma conclusão lógica.
 Sua álgebra seria a “álgebra do pensamento”

Álgebra Booleana
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 Álgebra “Tradicional”:
# Variáveis representam números reais;
# Operadores são aplicados às variáveis e o resultado é um número real;
 Álgebra Booleana:
# Variáveis representam apenas 0 ou 1
# Operadores retornam apenas 0 ou 1

Álgebra Booleana
11:01
x = jovem e y = faz Ciência da Computação;
Então (1 − 𝑥) iria então representar a operação de selecionar todas as coisas
no mundo exceto jovens, isto é, todas as coisas que não são jovens;
(𝑥𝑦) representaria o conjunto dos jovens que fazem Ciência da Computação;
(1 − 𝑥) (1 − 𝑦) seria todas as coisas que não são jovens nem fazem
Ciência da Computação;
(𝑥 + 𝑦) seria o conjunto das coisas que são jovens ou que fazem Ciência da
Computação.

Operações Booleanas Básicas
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Representação Diagramática
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Operações Booleanas Derivadas
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Definição da Álgebra de Boole
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 Conjunto de elementos B
 Operações binárias:{. , +}
 Operações unárias: { ` }, também pode ser utilizado o ‾
 Regras de prioridade: ` , . , +
 O conjunto B contém pelo menos dois elementos 𝑎, 𝑏 sendo 𝑎 ≠ 𝑏

Álgebra de Boole de Dois Valores
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 O conjunto 𝐵 = {1, 0} e as operações lógicas OR, AND e NOT satisfazem os
axiomas da álgebra booleana?
# AND (E)
• Símbolo: . ou nenhum
# OR (OU)
• Símbolo: +
# NOT (COMPLEMENTO)
• Símbolo: ` ou ‾
# Também são encontrados na literatura os seguintes símbolos:
AND (&, ^); OR , v); NOT(~, !)

Avaliando Equações Booleanas
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 Ex: “Eu irei almoçar se Maria ou João forem e se Célia não for.”
 Suponha que F represente o meu comparecimento ao almoço
# 1 significa presença, 0 indica ausência
 Do mesmo modo
# 𝑚 significa a presença de Maria, 𝑗 a de João e 𝑐 a de Célia
F = (m OR j) AND NOT(c)
F = (m + j) c’

Lógica Proposicional
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A Lógica
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Lógica
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Origem da Lógica
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Argumento Lógico
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Argumento Lógico
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Argumento
Se eu estudar, aprenderei Premissas
Eu estudei
Logo, eu aprendi Conclusão

Inferência Lógica
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Princípios Lógicos
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Lógica Proposicional
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Proposições
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O Que São Proposições?
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Não São Proposições
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Orações exclamativas
Quero mais café!
Bom dia!
Orações interrogativas
ICC é uma boa disciplina?
Será que o Brasil ganha?
Orações imperativas
Compre batom.
Baixe o material da aula.
Sentenças abertas
7 − 2
𝑥 > 2
Ele é um bom lutador.
𝑥 − 2 = 5
Paradoxos
Sou mentiroso.
Essa sentença é falsa.
“A frase dentro desta aspa é
uma mentira”
Frases semverbo
A vida de Francisco.
O rei do camarote.

A Linguagem da Lógica Proposicional
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Letras Sentenciais
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Proposições Simples (Atômicas)
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Proposições Simples
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Proposições Compostas (Molecular)
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Proposições Compostas
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Conectivos Lógicos
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Operador de Negação
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Operador de Conjunção
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Operador de Disjunção
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Disjunção Exclusiva
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Operador de Disjunção Exclusiva
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Operador de Condicional
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Operador Bicondicional
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Mais exemplos
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Uso dos Parênteses ( e )
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Tabela Verdade de uma Proposição Composta
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Ordem de Precedência dos Operadores
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Construindo a Tabela Verdade
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Tautologia
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Tautologia
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 p (pq) é sempre verdadeira (uma tautologia) independentemente dos
valores verdade das subproposições envolvidas (p e q):
“se bananas são laranjas então bananas são laranjas ou bananas são bananas”
 “se 2 = 2, então 2 = 2 ou 3 + 1 = 5”

Contradição
11:01

Contradição
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 Por exemplo, a fórmula (pq)  (pq) configura uma contradição:
p q q (p  q) (p  q) (p  q)  (p  q)
F F V V F F
F V F V F F
V F V F V F
V V F V F F

Contradição
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 Proposição falsa
“2 + 2 = 5”
 Contradição
“2 + 2 = 5 𝑒 2 + 2 ≠ 5”

Contingência
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Equivalência Lógica
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 Se duas proposições 𝑝, 𝑞 têm a mesma tabela verdade
então 𝑝 é logicamente equivalente a 𝑞.
pq

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 Equivalência lógica entre proposições (pq) e pq
p q  p  q (p  q )  (p  q )  p  q
F F V V F V V
F V V F F V V
V F F V F V V
V V F F V F F

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 Proposições verdadeiras, mas não logicamente equivalentes:
“2 + 5 = 7” 𝑒 “3 − 1 = 2”
 Proposições verdadeiras e logicamente equivalentes:
“2 + 5 = 7 𝑜𝑢 3 − 1 = 2” 𝑒 “3 − 1 = 2 𝑜𝑢 2 + 5 = 7”

Regras Hipotéticas
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 Raciocínio hipotético: raciocínio baseado em hipóteses
# Uma suposição feita a fim de mostrar que uma conclusão segue da suposição

Regras Hipotéticas
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Postulados e Teoremas
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Atividade
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Transcreva as sentenças para a linguagem do cálculo proposicional

Atividade
11:01
(1) Está chovendo.
(2) Não está chovendo.
(3) Está chovendo ou nevando.
(4) Está chovendo e nevando.
(5) Está chovendo, mas não está nevando

Atividade
11:01
(6) Não é o caso que está chovendo e nevando.
(7) Se não está chovendo, então está nevando.
(8) Não é o caso que se está nevando então está chovendo.
(9) Está chovendo somente se não está nevando.
(10) Está chovendo se e somente se não está nevando.

Atividade
11:01
(11) Não é o caso que está chovendo ou nevando.
(12) Se está nevando e chovendo, então está nevando.
(13) Se não está chovendo, então não é o caso que está nevando e chovendo.
(14) Ou está chovendo, ou está nevando e chovendo.
(15) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando mas não está chovendo.

Atividade
11:01
A: Alice vai à festa.
B: Beatriz vai à festa.
C: Cláudia vai à festa.
D: Débora vai à festa.

Atividade
11:01
(16) Alice não vai à festa.
(17) Alice vai à festa, mas Beatriz não.
(18) Se Alice for à festa, entao Beatriz também irá.
(19) Alice vai à festa, se Beatriz também for.
(20) Alice vai à festa somente se Beatriz for.

Atividade
11:01
(21) Alice vai à festa se e somente se Beatriz for.
(22) Nem Alice nem Beatriz vão à festa.
(23) Não é o caso que Alice e Beatriz ambas irão à festa.
(24) Ou Alice vai à festa, ou Beatriz não vai.
(25) Alice não vai à festa, se Beatriz for.

Atividade
11:01
(26) Ou Alice vai à festa, ou Beatriz e Cláudia vão.
(27) Se Alice for à festa, então Beatriz e Débora também irão.
(28) Alice não vai à festa, mas Beatriz e Cláudia irão.
(29) Se Cláudia for à festa, então, se Alice não for à festa, Beatriz vai.
(30) Se nem Cláudia nem Beatriz forem à festa, então Alice irá.

Atividade
11:01
(31) Cláudia vai à festa somente se Alice e Beatriz não forem.
(32) Cláudia e Débora vão à festa, apesar de Alice e Beatriz não irem.
(33) Se Cláudia ou Beatriz forem à festa, então Alice vai à festa e Beatriz não vai.
(34) Cláudia e Beatriz vão à festa se e somente se Alice ou Débora forem.
(35) Se Débora for à festa, então Cláudia ou Alice irão, e se Débora não for, então
Alice e Beatriz irão.

Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi
11:01
Aula baseada no material de
 Introdução ao Computador, Bernardo Gonçalves
 Lógica Computacional, Prof. Rodrigo Baluz
 Proposições simples, compostas e Princípios da lógica
proposicional, Fábio Reccanello
 Toda a Matemática, Gustavo Viegas

Nesta aula aprendemos...
 ALGORITMOS
# Lógica de Programação
# Álgebra Booleana
11:01

Na próxima aula veremos...
 ALGORITMOS
# Simulando Operações com Portas Lógicas
# Aula Prática
11:01

Alguma Dúvida?
11:01
Até a próxima aula...
leinylson@gmail.com

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