Este documento discute o ensino de funções do 1o e 2o graus utilizando ferramentas da Web 2.0. Apresenta a história do desenvolvimento das funções desde Ptolomeu, passando por Galileu, Descartes até Newton e Leibniz. Propõe atividades com alunos utilizando o software Geogebra para explorar exemplos de funções do 1o grau e suas gráficas.

1. UFF Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática / Laboratório de Novas Tecnologias do Ensino - LANTE. Curso: Pós-Graduação Lato Sensu - Especialização à distância em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Trabalho Final de Curso – Práticas – Parte 1. Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0 Carmelita F. dos Santos Ribeiro Claudio Teixeira Miguel Helio Pinho Gutterres Jalline Berriel Rafael Alves de Araújo Orientadora: Alessandreia Marta de Oliveira Campos dos Goytacazes, 19 de abril de 2011

4. A figura anterior compõe a coletânea das mais antigas destas tabelas, que hoje são tão conhecidas e encontram-se na célebre obra de Ptolomeu, ALMAGESTE (em árabe: "o maior", publicada entre 125 e 150 a.C). Uma representação mais visível destas tabelas foi reescrita conforme mostra a figura 1.2, por Katz (1998, página 149) no seu livro “A History of Mathematics. An Introduction”: Figura 1.2: Ptolemy and the Almagest Galileu (1564-1642) com a queda dos corpos, tendo estudado a relação entre espaço e o tempo, conseguiu aprimorar estas pesquisas e passou a usar tabelas para representar tais relações:

14. Outra etapa: Iraci quis modificar o modelo de preço da sua empada e atribuiu o custo como uma perda, construa o gráfico da nova função criada por Iraci, ou seja, f(x)= - x+1: Solução: Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} Podemos traçar o gráfico da função estudada de maneira mais rápida usando o geogebra. Vamos fazer? O que podemos observar entre as variáveis custo e preço da empada agora, Iraci está indo pelo caminho certo? O que aconteceu agora? Os dois gráficos acima são chamados de Gráficos crescente e decrescente, respectivamente! Por que estes foram assim? x y=f(x)=-x+1 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1

15. Vamos fazer algumas análises trocando os valores o coeficiente a, o que vocês observam? Para y = -x+1 ( a < 0 ) ; onde a = -1, temos: Para y = x+1 ( a > 0 ) ; onde a = 1, temos: Função crescente Função decrescente

16. Raiz ou zero da função do 1º grau: Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y= ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). Este é o ponto onde y = 0 e x = -b/a. Logo, teremos: Sinal de uma função de 1º grau: Observe os gráficos: Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Quando a função é crescente, quando x > -b/a, f(x) será positivo. Para x < -b/a, f(x) tem sinal negativo. Quando a função é decrescente, quando x > -b/a, f(x) será negativo. Para x < -b/a, f(x) tem sinal positivo.

17. Estudo: Vamos fazer o estudo do sinal no problema de Iraci? Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0. a) y = f(x) = x+1 Solução: x+1> 0 » x > -1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1. Isto mostra que Iraci terá ganho sempre que o custo for maior que -1. Em reais isto significa que a medida que o custo aumenta, o ganho também aumenta. x+1<0 » x< -1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1. Isto mostra que Iraci terá perda sempre que o custo for menor que -1. Em reais isto significa que a medida que o custo diminui, o ganho também diminui, podendo gerar até dívidas. b) y = f(x) = -x+1 Solução: -x+1 > 0 » -x > -1 » x < 1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1. Isto mostra que Iraci terá ganho sempre que o custo for menor que 1. Em reais isto significa que a medida que o custo diminui, o preço aumenta. -x+1<0 » -x<-1 » x>1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1. Isto mostra que Iraci terá perda sempre que o custo for menor que 1. Em reais isto significa que a medida que o custo aumenta, o preço diminui.