Este documento descreve um projeto de aprendizagem em matemática utilizando um software educacional para ensinar sobre funções. O projeto é dividido em 4 etapas: 1) Apresentar situações-problema para motivar os alunos; 2) Utilizar videoaulas para revisar conceitos de funções; 3) Usar o software para explorar gráficos de funções; 4) Resolver as situações-problema iniciais para fechar o projeto. O objetivo é tornar o aprendizado sobre funções mais significativo e dinâmico para os alunos.

1. Informática Educativa I - Projeto de Aprendizagem - EXECUÇÃO
Título: Estudando Funções com o auxilio de um Software
Nome do Aluno: Greicy Moraes Martinelle Gustavo
INTRODUÇÃO
Este Projeto de Execução refere-se a um Planejamento tendo a Matemática como disciplina
central e destina-se a alunos do 1º Ano do Ensino Médio. Ele pode e deve ser aplicado
também para alunos que estão cursando o 2º Ano e 3º Ano do Ensino Médio, pois seu
principal objetivo é revisar e reforçar os conhecimentos adquiridos e construídos pelos
alunos ao longo do ano, conhecimentos referentes ao estudo das funções. Para tanto, será
utilizado um software, o Graphmatica, para tornar a aprendizagem mais significativa,
dinâmica e prazerosa. Espera-se que todos os alunos, inclusive aqueles que ainda não
entenderam plenamente o conteúdo, possam se sentir mais seguros quanto sua
capacidade de resolução de questões, e também, que percebam a importância do tema em
assuntos do cotidiano, que vejam que a Matemática está inserida em diversos assuntos e
diversos contextos.
Aqui serão definidas as etapas que deverão ser seguidas para que os objetivos do
Planejamento sejam atingidos através da execução da proposta.
DESENVOLVIMENTO DO PROJETO
1ª ETAPA - Estimulação da curiosidade dos alunos sobre a
aplicabilidade dos temas que serão abordados através da
apresentação de três situações-problema, conforme abaixo:
Situação 1 – Em uma fazenda, um trabalhador deve
construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 30m de tela, o
homem decide aproveitar um velho muro com uma das laterais do galinheiro.
Qual será a área máxima do cercado, sabendo que o muro tem extensão
suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela?
Situação 2 – O salário mensal fixo de um vendedor de computadores é de
R$700,00. Além disso, ele ganha R$40,00 por unidade vendida. Sendo S o salário
do vendedor em reais e x o número de unidades vendidas, determine quantos
computadores ele deverá vender para que seu salário em um determinado mês
atinja R$1500,00.
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2. Situação 3 – Certamente você já teve uma infecção na garganta. Quando estamos
com algum tipo de infecção, o número de leucócitos no sangue aumenta e para
curar essa infecção são receitados antibióticos que normalmente são tomados de
8 em 8 horas durante alguns dias. Por que respeitar este horário é tão
importante para a cura da infecção?
Após a apresentação das situações acima, o professor poderá perguntar o que os alunos
pensam sobre as questões. Espera-se que, ao analisar as questões, os alunos percebem
que questões do cotidiano e inserido em contextos diferentes envolvem, naturalmente, a
Matemática. O objetivo é desperta-los para o fato que a Matemática é e sempre será uma
auxiliadora na vida deles. Dominá-la e entendê-la são apenas alguns dos objetivos que
eles devem traçar ao começar a participar desse projeto de aprendizagem.
2ª ETAPA - Utilização do projetor de imagens (datashow).
Apresentação de videoaulas editadas por IESDE - Inteligência Educacional visando ajudar
os alunos a relembrar conceitos e características das funções abrangidas por este projeto,
da seguinte maneira:
Videoaula 05 – Função afim (39 minutos);
Videoaula 06 – Função quadrática/Parte II (23 minutos);
Videoaula 08 – Função exponencial (32 minutos);
Durante as videoaulas, o professor poderá solicitar que os alunos se manifestem sobre os
temas e poderá, também, polar pedaços desnecessários dos vídeos e explorar
principalmente as questões resolvidas que são abordadas no fim de cada aula.
OBS.: Entre as questões abordadas, pelo menos uma das situações apresentadas na etapa
anterior é respondida. Assim, os alunos percebem que as aulas estão interligadas e
coerentes.
3ª ETAPA – Revendo ou aprendendo a explorar as ferramentas do
Graphmatica e, através do software, reforçando a aprendizagem
sobre as características do gráfico de uma função dada sua lei de
formação.
Esta etapa usa permite que os alunos se familiarizem com as ferramentas do programa e,
ao mesmo tempo, reforcem seus conhecimentos sobre os três tipos de funções estudadas.
Veja abaixo alguns passos que podem ser seguidos:
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3. O professor pode trabalhar com um computador para dois ou três alunos que vão interagir
entre si e elaborar questionamentos voltados para características das funções.
FUNÇÃO DO 1º GRAU
O professor pode solicitar que os alunos anotem em um papel, de preferência no caderno
juntamente com todos os registros que serão feitos ao longo de todas as tarefas, a
generalização da lei de formação de uma função do 1º grau. Espera-se que eles anotem
y=ax+b. Depois, pede-se que eles escolham valores diferentes para os coeficientes a e b
e, então, sigam os passos abaixo:
Analisar através da lei de formação que tipo de curva será desenha em sua
representação gráfica (reta);
Verificar se a função é crescente, decrescente ou constante (análise do coeficiente
a)
Visualizar a ordenada do ponto de encontro entre o gráfico e o eixo y (análise do
coeficiente b).
Agora, com a ajuda do aplicativo, após uma prévia explicação para os alunos da
linguagem que o programa utiliza (1/2 para representar 0,5; x^2 para representar
x², por exemplo), o professor poderá ampliar a visão do aluno sobre as
características previamente observadas com sua representação gráfica de maneira
dinâmica e rápida. Com o gráfico pronto, os alunos analisaram se suas conclusões
estavam corretas.
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Agora, vamos estudar as raízes e os coeficientes da FUNÇÃO DO 2º GRAU. O
procedimento será parecido com o adotado anteriormente. O professor pode solicitar que
os alunos anotem a generalização da lei de formação de uma função do 2º grau e sua
restrição. Espera-se que eles anotem y=ax²+bx+c, com a 0.
Elaborar questionamentos relacionados com as maneiras de se encontrar as raízes (zeros)
desse tipo de função. Quando o aluno está no 9º ano, a simples determinação das raízes
de uma equação do 2º grau pode ser feita com a equação original ou uma equação
equivalente. Ou seja, muitas vezes quando o coeficiente a é negativo o aluno prefere
multiplicar todos os temos da equação por -1 encontrando, então, uma equação
equivalente com o coeficiente a positivo. O que ele até o momento não sabe, é que essa
modificação não altera as raízes, porém, muda a concavidade e outras características da
curva gerada a partir da função. Com o auxílio do Graphmatica e sob coordenação do
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4. professor, o aluno poderá rapidamente confirmar essas afirmações e fixá-las, reforçando a
aprendizagem. Além disso, estudo dos coeficientes da função é apresentado de maneira
dinâmica. Vejamos alguns procedimentos que o professor pode adotar e alguns exemplos.
Apresentar algebricamente uma função do 2º grau (y=x²-2x-3);
Analisar com os alunos que curva será gerada a partir dela (neste caso, uma
parábola);
Perguntar sobre a concavidade da parábola (coeficiente a);
Solicitar que eles informem a ordenada do ponto de interseção entre a parábola e o
eixo y (coeficiente c);
Solicitar que eles digitem as informações da função no Graphmatica para
visualização de seu gráfico (y=x^2-2x-3);
Solicitar que eles multipliquem a equação por -1 e digitem as novas informações
(y=-x^2+2x+3)no Graphmatica para visualização desse novo gráfico, para
confirmação dos conteúdos estudados até o momento e das mudanças sofridas
após essa multiplicação.
Vejamos o que teremos até então:
A parábola azul foi gerada a partir da função y=x²-2x-3 e a parábola rosa, a partir da
função y=-x²+2x+3. Percebemos as características analisadas previamente. Neste
momento, o professor pode estudar com os alunos o coeficiente b e o vértice da parábola
(-b/2a , -̅/4a) que também são temas já apresentados em aulas anteriores. Quando
̅
devemos visualizar qual será a lei de formação de uma função através da análise de seu
gráfico, é bom temos pleno conhecimento das contribuições dadas pelo estudo do
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5. coeficiente. O coeficiente b é analisado após análise dos coeficientes a e c. Seu sinal
dependerá do que acontecerá com a curva logo após seu encontro com o eixo y. Se a
curva continuar decrescente por um tempo, o sinal do coeficiente b é negativo. Se a
curva continuar crescente por um tempo, o sinal do coeficiente b é positivo. Se o
encontro do gráfico com o eixo y for justamente o vértice da parábola, temos que b é
nulo (b=0).
Vejamos os procedimentos finais abaixo:
Solicitar que eles identifiquem o coeficiente b da função (y=x²-2x-3) e analisar
que, da esquerda para a direita (dos números negativos para os positivos) a curva
do gráfico azul logo após seu encontro com o eixo y continua decrescente e,
portanto, o sinal do coeficiente b e negativo. Pedir que eles façam a mesma
avaliação após identificar o coeficiente b da outra equação (y=-x²+2x+3) e
analisar o gráfico rosa;
Pedir que eles calculem os vértices de cada função e verifiquem seus cálculos
visualizando esse ponto no plano cartesiano do aplicativo que contém os gráficos
construídos.
OBS.: Esse procedimento pode ser realizando com diversos exemplos, principalmente com
funções que apresentam equações incompletas do 2º grau.
Além da atividade propostas aqui, o professor pode construir com os alunos, através do
aplicativo, o gráfico de uma função do 1º grau e outro de uma função do 2º grau
(analisados previamente) de maneira que haja interseção entre eles. Após essa
construção, desenvolver com eles os métodos algébricos para determinação deste(s)
ponto(s) de encontro.
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6. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Agora, vamos falar um pouco sobre as características da FUNÇÃO EXPONENCIAL.
Inicialmente, solicitar que os alunos anotem a generalização da lei de formação de uma
função do 2º grau e sua restrição. Espera-se que eles anotem y=ax, com a>0 e a 1. O
professor deve certificar-se que os alunos entendem bem as restrições para os valores de
a. A partir daqui, seguem-se os seguintes passos:
Apresentar algebricamente uma função exponencial (y=3x);
Analisar com os alunos que curva será gerada a partir dela;
Perguntar sobre a função é crescente ou decrescente (verificar o intervalo no qual
pertence o coeficiente a);
Solicitar que eles informem a ordenada do ponto de interseção entre o grágico e o
eixo y (sempre y=1 para x=0);
Solicitar que eles digitem as informações da função (y=3^x) no Graphmatica para
visualização de seu gráfico;
Solicitar que eles fazem as mesmas análises para a função y=(1/3)x e, depois,
digitem as novas informações (y=(1/3)^x) no Graphmatica para visualização
desse novo gráfico, para confirmação dos conteúdos estudados até o momento e
das mudanças sofridas (neste caso, de função crescente para função decrescente).
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7. Enfim, é só o professor colocar a criatividade para funcionar, motivar e direcionar os
alunos. Com certeza, após alguns exemplos e algumas análises, os próprios alunos vão
criar outras funções para fazer as investigações necessárias de forma dinâmica e divertida.
4ª ETAPA – Fechamento do projeto através da exploração dos
problemas iniciais propostos na primeira etapa.
O professor auxiliará, se necessário, os alunos nas conclusões que exigidas para resolução
de cada situação, conforme descrições seguintes:
Situação 1 – Em uma fazenda, um trabalhador deve
construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 30m de tela, o
homem decide aproveitar um velho muro com uma das laterais do galinheiro.
Qual será a área máxima do cercado, sabendo que o muro tem extensão
suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela?
Espera-se que os alunos concluam que este problema os leva para uma função do 2º grau.
Chamando de F a frente do galinheiro e L sua lateral, temos que a área (A) do
galinheiro é dada por F.L. Como F+L+L=30, podemos escrever F=30–2L. Assim, A=FL
A=(30–2L).L A=30L–2L². Ou seja, a área do galinheiro pode ser calculada em função
da medida de sua lateral, sendo A(L)=–2L²+30L. Assim, basta que os alunos calculem y
do vértice para determinar tal área. Ou melhor, basta determinarem x do vértice para
determinar o valor da lateral que gera a maior área possível. Porém, após a determinação
desta função, o professor solicita que os alunos utilizem o Graphmatica para geral a
curva referente a função e, apartir de tal curva, verifiquem a área máxima.
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8. Situação 2 – O salário mensal fixo de um vendedor de computadores é de
R$700,00. Além disso, ele ganha R$40,00 por unidade vendida. Sendo S o salário
do vendedor em reais e x o número de unidades vendidas, determine quantos
computadores ele deverá vender para que seu salário em um determinado mês
atinja R$1500,00.
Espera-se que os alunos percebem, facilmente, que se trata de um problema envolvendo
função do 1º grau. Representado a situação de uma forma genérica, tem-se que
S(x)=700+40x. Assim, com o auxílio do software Graphmatica, espera-se que eles
fazem a construção do gráfico e analisando-o, verifiquem a solução para a questão.
OBS.: Aproveita esta atividade para mostrar que o aluno deve, algumas vezes,
utilizar a barra de rolagem para chegar ao ponto relevante do gráfico.
Situação 3 – Certamente você já teve uma infecção na garganta. Quando estamos
com algum tipo de infecção, o número de leucócitos no sangue aumenta e para
curar essa infecção são receitados antibióticos que normalmente são tomados de
8 em 8 horas durante alguns dias. Por que respeitar este horário é tão
importante para a cura da infecção? (Permita que os alunos pensem sobre o assunto e
ouça suas respostas. Depois, questione sobre o tipo de função que eles acham que será
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9. abordada ao falar sobre este problema. Espera-se que eles percebam que será uma função
exponencial, porém, que até o momento, não forma informados dados necessários para
que se efetue nenhum tipo de cálculo).
RESPOSTA: Porque tanto o crescimento da população de bactérias quanto a
atuação do remédio têm comportamento exponencial.
Para ampliar este tema e trabalhar função exponencial, apresente para os alunos uma
folha com a questão abaixo:
(Enem 2007) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua
meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no
organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma
meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo
é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.
O gráfico anterior representa, de forma genérica, o que acontece com a
quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.
F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica.
Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse
antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que
restará em seu organismo às 13 h 30min será aproximadamente de
a) 10%.
b) 15%.
c) 25%.
d) 35%.
e) 50%.
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10. RESPOSTA: Das 12h às 13h30min, temos decorrida 1,5 hora. Como a meia-vida
da amoxilina é de 1 hora, passou-se 1,5
meia-vida. Logo, de acordo com o gráfico, teremos:
Imagem: download.globo.com
Solicite que os alunos digitem a função y=(1/2)^x no programa para obterem o gráfico
completo. Informe-os sobre a necessidade de utilizarem a tabela de pontos (barra de
ferramentas – ver – tabela de pontos). Peça que eles percebam a similaridade e a
diferença entre o gráfico apresentado na tela do computador e o gráfico da folha de
questão. Peça para que eles transfiram os valores de y para a forma de porcentagem e
façam uma nova análise. Esse exercício e esse tema já foram abordados anteriormente no
vídeo. Espera-se que os alunos vejam que, após 8 horas de ingestão do medicamento, há
no organismo 4% de fármacos e que 12 horas após a ingestão, há apenas 0,02% de
fármacos, ou seja, praticamente nada, o que possibilita que as bactérias voltem a se
multiplicar no organismo, aumentando a infecção. Daí a importância de seguir com
responsabilidade das orientações médicas.
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11. IMPORTANTE!!! Após execução dessas etapas, questione os alunos sobre a
visão que eles tinham a respeito do tema FUNÇÕES antes da execução
deste projeto e depois das tarefas realizadas.
OBSERVAÇÕES FINAIS
Espera-se que as etapas deste projeto sejam executadas no período máximo de 8 tempos
de aula. Caso o perfil da turma permita, a primeira etapa poderá ser cumprida em 1
tempo de aula, já contando que os alunos comecem a raciocinar sobre os procedimentos
que podem ser adotados para a resolução das questões propostas. A segunda etapa
deve ser contemplada em 2 tempos de aula. A etapa três pode ser aplicada em 2 tempos
de aula. A etapa final e mais relevante pode ser aplicada com calma e concluída em 3
tempos de aula para que todos os alunos tirem bastante proveito da aula e que esta atinja
seus objetivos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COSTA, Rosa M., SILVA, Elaine C. Os diferentes papéis do computador na educação:
algumas classificações e diretrizes – Material de Estudo, 2008.
COSTA, Rosa M. Ambientes Computacionais na Educação - Material de Estudo,
2008.
Site oficial do programa GRAPHMATICA: <www.graphmatica.com>. Acesso em
25/09/12.
Guia do Usuário. Disponível em: <www.graphmatica.com/user/GuiaDoUsuario-
Graphmaticav2003p.pdf. Acesso em 25/09/12>. Acesse em 25/09/12.
RESOLUÇÕES DE QUESTÕES DO ENEM 2007 – Disponíveis em
<http://download.globo.com/vestibular/enem2007_questao25_anglo.pdf>. Acesso em: 21
de outubro de 2012.
QUESTÕES DO ENEM 2007 – Disponíveis em
<http://www.etapa.com.br/gabaritos/resolucao_pdf/gab_2007/enem2007/enem07.pdf>.
Acesso: 21 de outubro de 2012.
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