O documento discute as relações entre geometria e outras áreas como ciências naturais, matemática, física e biologia. Apresenta como a geometria está presente em conceitos-chave como cálculo, óptica, astronomia e estruturas microscópicas. Também discute o papel histórico da geometria no desenvolvimento de ideias científicas como a teoria heliocêntrica.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
A Geometria e as ciências experimentais
Docente: Renato Machado Aquino
Discentes: Allexsandro Martins 2010190031
André Rocha 2010190058
Ismael Ledoino 2010190
Mauricio Petroceli 2010190457
Disciplina: Geometria Euclidiana Plana

2. INTRODUÇÃO
Os objetos geométricos surgem ao nossos
olhos quando contemplamos o mundo a nossa volta.
Circunferências, triângulos, elipses, esferas estão ao
alcance da vista de qualquer um que o contemple.
Por isso é impossível desassociar a geometria das
ciências naturais. É de se esperar que as ciências
que estudam o nosso mundo se depare uma vez ou
outra com o objeto de estudo da geometria.

3. GEOMETRIA E MATEMÁTICA

4. A MATEMÁTICA É CIÊNCIA NATURAL?
Embora o objeto de estudo da matemática
seja abstrato, não os encontrando, em si, no mundo
natural, são inegáveis as aplicações da matemática
nas ciências naturais. Então, se não for possível
considerá-la como tal, deve-se verificar a
importância fundamental da matemática para estas
ciências.
“Uma ciência natural é, apenas, uma ciência
matemática.”
Emanuel Kant

5. A GEOMETRIA E O DESENVOLVIMENTO DO
CÁLCULO
A geometria está diretamente ligada à origem
da própria matemática, mas talvez, a área da
matemática que encontrou maiores aplicações nas
ciências naturais tenha sido o Cálculo. Vale lembrar
que as ideias de derivada e integral, primordiais no
Cálculo, surgiram diretamente das conceitos de reta
tangente a uma curva e cálculo da área de uma
figura, problemas clássicos da geometria.

6. Interpretação geométrica da Interpretação geométrica da
derivada integral

7. CÁLCULO APLICADO
 Problemas de diversas áreas são modelados por
funções oriundas de soluções de equações
diferenciais ordinárias ou parciais.
 Derivadas e integrais estão presentes nas maiorias
das equações da física.
 Funções trigonométricas que são de origem
profundamente geométricas são de vital
importância no Cálculo.

8. GEOMETRIA ANALÍTICA
 Área da matemática de forte influência geométrica
com grande aplicação no Cálculo e, por
consequência, em muitas das ciências naturais.
 Procura dar uma forma algébrica a geometria.

9. Superfícies geométricas e
respectivas relações
algébricas

10. CONSIDERAÇÃO IMPORTANTE
 A relação entre geometria e matemática permite
não só resolver problemas puramente geométricos
com álgebra como também problemas puramente
algébricos com geometria. Existe um momento
onde é impossível isolar a geometria das outras
áreas da matemática.

11. QUÍMICA E GEOMETRIA

12. Geometria Molecular.
A geometria molecular baseia-se na forma espacial
que as moléculas assumem pelo arranjo dos átomos ligados. Assim,
cada molécula apresenta uma forma geométrica característica da
natureza das ligações (iônicas ou covalentes) e dos constituintes (como
elétrons de valência e eletronegatividade).
A teoria da repulsão dos pares eletrônicos de valência
(TRPEV) aponta que os pares eletrônicos (elétrons de valência, ligantes
ou não) do átomo central se comportam como nuvens eletrônicas que
se repelem e, portanto, tendem a manter a maior distância possível
entre si. Mas, como as forças de repulsão eletrônica não são suficientes
para que a ligação entre os átomos seja desfeita, essa distância é
verificada no ângulo formado entre eles.
O efeito das zonas de repulsão tende a formar três
disposições geométricas básicas em um molécula apolar (aquela na
qual os elétrons não se concentram em pólos): a linear, a triangular
plana e a tetraédrica, conforme as três figuras a seguir:

13. Disposição geométrica linear. Os
átomos se posicionam em linha.
Disposição geométrica triangular
plana. Os átomos formam um
triângulo equilátero.
Disposição geométrica
tetraédrica. Formato de tetraedro
(pirâmide triangular).

14. As geometrias mais comuns obtidas (observando-se,
principalmente, os pares eletrônicos não ligantes) são:

15. FÍSICA E GEOMETRIA
Todas a minha Física não passa de uma Geometria.
Descartes

16. GEOMETRIA DIFERENCIAL
Geometria Diferencial é o ramo da Geometria
no qual os conceitos de Cálculo são aplicados a curvas,
superfícies e outros objetos geométricos. A Geometria
Diferencial clássica usa a geometria de coordenadas, como
geometria analítica, coordenadas cartesianas, etc., embora
no século XX os métodos de Geometria Diferencial tem sido
aplicados a outras áreas de Geometria, como Geometria
Projetiva.
A Geometria Diferencial foi estudada por
Gaspard Monge e Carl F. Gauss no início do século XIX.
Trabalhos importantes no século XIX foram feitas por
matemáticos como: B. Riemann, E. B. Christoffel e C. G.
Ricci, que foram colecionados e sistematizados no final do
século por J. G. Darboux e Luigi Bianchi. A importância da
Geometria Diferencial é vista no estudo da Teoria da
Relatividade Geral que Einstein formulou inteiramente em
função da Geometria Diferencial de uma variedade tetra-
dimensional combinando espaço e tempo, usando a notação
tensorial.

17. RELATIVIDADE GERAL
A Relatividade Geral é uma generalização da primeira ( a Relatividade
Especial que diz “ o espaço e o tempo são faces distintas de uma única
estrutura que denominamos espaço-tempo”).
O espaço-tempo nada mais é do que um
conjunto de pontos que obedecem a certas
relações. Os pontos do espaço-tempo são
denominados eventos. Precisamos
de quatro números para localizar um ponto no
espaço-tempo. Não é por acaso que quando
marcamos um encontro precisamos fixar, em
geral, um conjunto com quatro informações: o
logradouro, o número, o andar, e o horário.
Matematicamente isso é codificado dizendo-se
que o espaço-tempo
possui quatro dimensões. A evolução de uma
partícula pontual, por exemplo, será
representada por uma linha no espaço-tempo
(como na figura).

18. ÓPTICA GEOMÉTRICA
Estuda as leis que descrevem o comportamento
geométrico da luz nos fenômenos ópticos.
Reflexão da luz – Fenômeno óptico que ocorre quando
a luz, ao incidir em uma superfície que separa dois
meios, volta ao meio original.
a) Reflexão difusa – Efetua-se em todas as direções,
como a reflexão produzida por todos os corpos que não
apresentam uma superfície polida como um espelho
(esta página que você está lendo, por exemplo).
b) Reflexão especular – Ocorre quando um feixe incide
numa superfície polida e volta regularmente para o meio
original; por exemplo, se o feixe incidente é paralelo, o
refletido também é paralelo. A reflexão especular
permite a formação de imagens.

19.  AS LEIS DA REFLEXÃO
1.a – O raio incidente, a
normal à superfície refletora
no ponto de incidência e o
raio refletido pertencem a
um mesmo plano.
2.a – O ângulo de incidência
é igual ao ângulo de
reflexão (figura).

20.  ESPELHO PLANO
Qualquer superfície lisa e
plana que reflita
especularmente a luz.
Características da
imagem em um espelho
plano:
a) Imagem virtual – Forma-
se atrás do espelho, na
interseção dos
prolongamentos dos raios
refletidos.

21. ESPELHO PLANO
Imagem de um objeto
extenso – Tem o mesmo
tamanho do objeto e é
simétrica dele em relação
ao espelho: invertem-se
os lados esquerdo e
direito. A distância da
imagem ao espelho é
igual à distância do
objeto ao espelho.

22. A GEOMETRIA DOS ASTROS
A sabedoria da natureza é tal que não produz
nada de supérfluo ou inútil.
Nicolau Copérnico

23. Astronomia, que etimologicamente significa
“lei das estrelas" é hoje uma ciências que se abre
num leque de categorias complementares aos
interesses da geografia, da física, da matemática.
Envolve diversas observações procurando
respostas aos fenômenos físicos que ocorrem
dentro e fora da Terra bem como em
sua atmosfera e estuda as origens, evolução e
propriedades físicas e químicas de todos os
objetos que podem ser observados no céu (e estão
além da Terra), bem como todos os processos que
os envolvem.

24. A TEORIA HELIOCÊNTRICA
 É a teoria que o Sol está estacionário no centro
do universo. Historicamente, o heliocentrismo era
oposto ao geocentrismo, que colocava a Terra no
centro. Apesar das discussões da possibilidade do
heliocentrismo datarem da antiguidade clássica,
somente 1.800 anos mais tarde, no século XVI, que
o matemático e astrônomo polonês Nicolau
Copérnico apresentou um modelo matemático
preditivo completo de um sistema heliocêntrico.
Copérnico calculou os períodos de revolução do
planetas e suas distâncias ao Sol, admitindo
órbitas circulares centradas no Sol e movimentos
uniformes dos planetas em suas órbitas.

25. APLICAÇÃO DA GEOMETRIA NO CÁLCULO DE
DISTÂNCIAS ENTRE O SOL E PLANETAS
Imaginemos, como ilustra a figura, que Marte em M
esteja em oposição, em a Terra estando em T e o
Sol em S. Sabemos, por dados de observação,
que 106 dias após, a Terra e Marte se encontrarão
em posições 7" e M’, respectivamente, tais que
ST´M´ = 90. Durante esse tempo, o ângulo α,
descrito pela Terra, é de aproximadamente 105°,
como é fácil calcular (pois α: 106 = 360° : 365).
Quanto a Marte, ele terá descrito um ângulo β ≈ 56
pois
Como conseqüência, T’SM’ = 105 – 56 = 490.
Finalmente, o triângulo retângulo ST’M’ nos dá:
Fica assim calculada a distância de Marte ao Sol
como 1,5 vezes a distância da Terra ao Sol.

26. A GEOMETRIA E O UNIVERSO
 Ao que se sabe, as secções cônicas começaram a ser estudadas pelo menos no
século III a.C., muito embora tenham sido particularmente utilizadas pelos
matemáticos e astronomos do século XVII quando estes procuravam equacionar
movimentos de vários objetos naturais.
 No início do Renascimento, Nicolau Copérnio afirmava que as órbitas dos planetas então
conhecidos eram circulares.
 Algum tempo mais tarde, Johannes Kepler e depois Edmund Halley descreveram as
órbitas de planetas e cometas, recorrendo à elipse.
 Outros corpos celestes percorrem trajetórias em forma de hipérbole.
 Galileu Galilei explicou o movimento de projéteis na Terra por intermédio da parábola.
Mas, para além das cônicas, encontramos na Natureza outros tipos de curvas,
como a catenária, muito semelhante à parábola - e que podemos distinguir, por
exemplo, ao observarmos uma liana suspensa pelos dois extremos -, ou a
conhecida oval, cuja designação imediatamente denuncia a sua origem.

27. GEOMETRIA E BIOLOGIA

28. GEOMETRIA MICROSCÓPICA
 Muitas mais formas geométricas abundam no
mundo natural em nosso redor, embora nem
sempre visíveis a olho nu. Ainda entre os minerais,
a geometria está particularmente presente,
sobretudo em elementos que tendem a
cristalizar.De resto, podemos facilmente verificar
isso mesmo, sempre que observamos flocos de
neve e gelo. Todos eles exibem um padrão que
poderá ser mais ou menos complexo, mas sempre
de base hexagonal, o que se torna
verdadeiramente assombroso, sobretudo se
dermos crédito à crença generalizada segundo a
qual não existem dois flocos iguais. E, obviamente,
entre os cristais de minério propriamente ditos, as
formas e figuras geométricas encontram-se
profusamente representadas. Para finalizar,
mencionaremos apenas um outro tipo de estrutura
geométrica, invisível, porém inevitavelmente
presente sempre que nos encontramos perante
qualquer manifestação de vida, tal como a
conhecemos: a dupla hélice de Ácido
Desoxirribonucleico, mais conhecido por ADN,
existente no núcleo de todas as células vivas.

29. BIBLIOGRAFIA
 http://www.ita.br/online/2005/eventos05/folderanofisica_arquivos/relativid
adegeral.htm
 (http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/gdif/gd14.pdf)
 (http://www.colegioweb.com.br/fisica/o-que-e-a-optica-geometrica.html)
 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/geometria.htm
 http://www.ufsm.br/gpscom/professores/Renato%20Machado/Telefonia/T
elCelular02Renato.pdf
 www.spq.pt/boletim/docs/boletimSPQ_103_025_15.pdf
 www.algosobre.com.br/fisica/fisica-optica-geometrica.html
www.scribd.com/doc/4038398/Fisica-Optica-Geometria-Otica
 www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/.../rpm_geom_astro.PDF
 www.wiki pedia.org. pt/wiki/Geometria_esférica
 http://www.isaude.net/pt-BR/noticia/5988/ciencia-e-tecnologia/geometria-
e-quimica-influenciam-o-desenvolvimento-das-celulas-tronco
 http://www.isaude.net/pt-BR/noticia/5988/ciencia-e-tecnologia/geometria-e-
quimica-influenciam-o-desenvolvimento-das-celulas-tronco
 Albert Einstein Geometria e experiência (1921)