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TEMA: ANÁLISE COMBINATÓRIO Claudia Edivani Soares Marinuci TRABALHO  PÓS DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: INFORMÁTICA  II PROF. ROGÉRIO UFF: UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (RJ)
INTRODUÇÃO Neste trabalho, contém um pequeno resumo do que é análise combinatório, logo terá um jogo de matemática sobre o mesmo tema. Elaborado com questões pertinente aos conteúdos trabalhados em sala de aula, para alunos do 2º ano do Ensino Médio.
Resumo: Análise Combinatório A muitos anos, o sistema de emplacamentos de veículos no Brasil obedece ao sistema alfanumérico, combinando letras com algarismos. Até 1990, as placas eram formadas por duas letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos, escolhidos entre 10 do nosso sistema de numeração decimal. Na definição dos algarismos, a sequência 0000 não era utilizada. A partir de 1990, com o grande crescimento da quantidade de veículos em circulação, o sistema de emplacamento foi modificado. As placas passaram a ser formadas por três letras, seguidas de quatro algarismos, ainda sem utilização da sequência 0000. Esse sistema persiste até hoje. Problemas como: Quantos veículos podiam ser emplacados, no sistema vigente, antes de 1990? E no atual sistema? Quantas placas foram disponibilizadas para São Paulo, no sistema atual? Podem ser resolvidos utilizando-se os princípios e a teoria do cálculo combinatório.
Nome do Jogo: Atualizando chances  Número de participantes: 4 a 6 Material: Tabuleiro, fichas com situações-problema,um dado, tampinhas de creme dental ou de canetas de cores diferentes que  serão utilizadas como peões. Regras: Corte 30 pedaços de papel de mais ou menos 3 cm x 3 cm. Numere os papéis de 1 a 30. Dobre-os e coloque-os em um saco plástico. Cada jogador coloca o seu peão na saída do percurso e, na sua vez, sorteia um dos papéis. Resolve, então, a situação-problema que corresponde ao número sorteado. Se conseguir resolver a situação proposta, avança o número de casas indicado pelo dado jogado pelo jogador, caso contrário, permanece onde está. Resolvida ou não a situação-problema, o número sorteado deve retornar ao saco plástico e ser misturado aos outros. Ganha o jogo quem primeiro alcançar o final do percurso.
Perguntas para o jogo questões de 1 a 3   1)  Uma casa comercial oferece três marcas de geladeiras, cada uma em três tamanhos e quatro cores diferentes. De quantos modos possíveis um cliente pode escolher uma dessas geladeiras?   a)  36   b)  18   c)  24   d)  12   e)  10     2)  Deborah , Alessandra , Letícia , Marina , Isabel e Raissa desejam posar uma ao lado da outra para uma foto. Quantas fotos diferentes podem ser tiradas sabendo-se que Deborah e Raissa não querem ficar juntas?    a)  720   b)  480   c)  360   d)  240   e)  120 3)  Numa circunferência são marcados 12 pontos. O número de cordas que estes pontos determinam é:   a)  C 12,2  b)  P 12  c)  A 12,2   d)  12!   e)  C 12,2  -12    
Questões 4 a 7  4)  Em quantos anagramas da palavra colega as consoantes aparecem intercaladas com as vogais? a)  24   b)  36   c)  72   d)  48   e)  12   5)  Com n elementos iguais a K e 3 elementos iguais a W pode-se formar 7n + 7 permutações. O valor de n é:     a)  8   b)  7   c)  6   d)  5   e)  4     6)  Seis pessoas decidem formar duas comissões com três pessoas cada. O número de comissões diferentes que pode ser formado é igual a: a)  12   b)  9   c)  20   d)  15   e)  18 7)  Maria possui 3 blusas de cores diferentes, 4 saias de cores diferentes e 2 botas de cores diferentes. De quantos modos diferentes Maria pode se vestir combinando essas blusas, essas saias e essas botas?  a)  9  b)  12  c)  18  d)  24
Questões 8 a 10   8) A quantidade de números de três algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 0, 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:  a) 5.5.4  b) 6.5.4  c) 5.5.5  d) 6.6.6  e) 5.4.3 9) Numa loja existem  camisas de 6 cores diferentes , calças de 4 cores diferentes e sapatos pretos e marrons. O número de maneiras distintas que uma pessoa pode comprar uma camisa, uma calça e um sapato é igual a:   a) 12  b) 24  c) 36  d) 48  e) 60     10) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar K números de 6 algarismos distintos. Entre estes k números existem P números múltiplos de 5. Então,a razão entre eles fica?      
Questões 11 a 14 11) Marcela dispõe de ações de dez empresas para a compra e, dentre elas, as da empresa A e as da empresa B. O número de maneiras que ela pode escolher seis empresas, se nelas devem figurar, obrigatoriamente, as empresas A e B, é: a)  70  b)  210  c)  90  d)  45  e)  105     12) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e não divisíveis por 15, é:   a) 100  b)  39  c)  41  d)  59  e)  80 13) O próximo número da seqüência (3, 13, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,...) é:  a) 308.  b) 309.  c) 310.  d) 300.  e) 333.     14)  O jogo de dominó é conhecido por um número grande de pessoas. Sabe-se que ele é constituído de 28 peças diferentes, enumeradas duplamente de zero (em branco) a 6. Se quatro pessoas resolvem  jogar, cada uma delas recebe 7 peças diferentes, Qual será o número de maneiras diferentes que o primeiro jogador poderá dispor as 7 peças?        
Questões 15 e 16 15) )  O jogo de dominó é conhecido por um número grande de pessoas. Sabe-se que ele é constituído de 28 peças diferentes, enumeradas duplamente de zero (em branco) a 6. Se duas pessoas resolvem jogar, cada uma delas recebe 14 peças diferentes. O número de maneiras diferentes que os dois jogadores poderiam dispor as peças será de: 16) Cinco amigos se propõem a um jogo de dados. Cada um escolherá um número de 1 a 36, e dois dados serão  lançados simultaneamente. O jogador marcará ponto quando o produto dos números do dado der o número por ele escolhido. João escolheu o número 24, Pedro escolheu o 36, José escolheu 12, Maria escolheu o 20 e Carlos escolheu o 30, logo, quem tem maior número de possibilidades tem maior chance de ganhar o jogo. Então, pode-se afirmar que quem tem o maior número de possibilidades é:  a) João.  b) Pedro.  c) José.  d) Maria.  e) Carlos.    
Questões 17 a 19 17)Ao jogar dois dados (6 faces) simultaneamente e somar os dois números obtidos, a soma de maior freqüência será:  a) 7  b) 8  c) 9  d) 10  e) 12 18) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (5x - y) n  é igual a 1024, então o número n é:  a) 12  b) 10  c) 8  d) 5  e) 3 19) João foi com sua mãe à uma lanchonete que tinha as seguintes opções: refrigerante, salgado, bolo, torta e chocolate. João queria comprar um item de cada, mas sua mãe não tinha dinheiro para comprar as cinco opções e deixou-o comprar somente três. João ficou com uma dúvida cruel:  "Quais devo escolher?" A quantidade de maneiras distintas que João poderia escolher três opções entre as cinco disponíveis é: a) 60.  b) 15.  c) 10.  d) 20.  e) 30.
Questões 20 a 25 20)  Quantos números de 4 algarismos distintos existem em nosso sistema de numeração? 21) a) Quantos números ímpares de quatro algarismos podem formar? 22) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podemos formar? 23) Quantos números ímpares de quatro algarismos possuem pelo menos um algarismo repetido? 24)  QUANTOS  são os números, entre 2000 e 3000, compostos por algarismos distintos escolhidos entre 2,4,5,6,7 e 8 ?   25)Quinze amigos, todos motoristas habilitados, vão viajar. Existem 3 carros com 5 lugares cada um.  QUAL  o número de formas que estas pessoas podem se distribuir entre os carros?  
Questões 26 a 30 26) Determine de quantas maneiras diferentes um casal pode ter quatro filhos, sem preferência de sexo.     27) Determine de quantas maneiras diferentes um casal pode ter quatro filhos, sendo uma menina e três meninos?   28)Quantos anagramas distintos podemos formar com a palavra Biscoito?  29) Quantos anagramas terminam com "oito" nessa ordem?    30) Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. Qual é o total de números formados.

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  • 1. TEMA: ANÁLISE COMBINATÓRIO Claudia Edivani Soares Marinuci TRABALHO PÓS DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: INFORMÁTICA II PROF. ROGÉRIO UFF: UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (RJ)
  • 2. INTRODUÇÃO Neste trabalho, contém um pequeno resumo do que é análise combinatório, logo terá um jogo de matemática sobre o mesmo tema. Elaborado com questões pertinente aos conteúdos trabalhados em sala de aula, para alunos do 2º ano do Ensino Médio.
  • 3. Resumo: Análise Combinatório A muitos anos, o sistema de emplacamentos de veículos no Brasil obedece ao sistema alfanumérico, combinando letras com algarismos. Até 1990, as placas eram formadas por duas letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos, escolhidos entre 10 do nosso sistema de numeração decimal. Na definição dos algarismos, a sequência 0000 não era utilizada. A partir de 1990, com o grande crescimento da quantidade de veículos em circulação, o sistema de emplacamento foi modificado. As placas passaram a ser formadas por três letras, seguidas de quatro algarismos, ainda sem utilização da sequência 0000. Esse sistema persiste até hoje. Problemas como: Quantos veículos podiam ser emplacados, no sistema vigente, antes de 1990? E no atual sistema? Quantas placas foram disponibilizadas para São Paulo, no sistema atual? Podem ser resolvidos utilizando-se os princípios e a teoria do cálculo combinatório.
  • 4. Nome do Jogo: Atualizando chances Número de participantes: 4 a 6 Material: Tabuleiro, fichas com situações-problema,um dado, tampinhas de creme dental ou de canetas de cores diferentes que serão utilizadas como peões. Regras: Corte 30 pedaços de papel de mais ou menos 3 cm x 3 cm. Numere os papéis de 1 a 30. Dobre-os e coloque-os em um saco plástico. Cada jogador coloca o seu peão na saída do percurso e, na sua vez, sorteia um dos papéis. Resolve, então, a situação-problema que corresponde ao número sorteado. Se conseguir resolver a situação proposta, avança o número de casas indicado pelo dado jogado pelo jogador, caso contrário, permanece onde está. Resolvida ou não a situação-problema, o número sorteado deve retornar ao saco plástico e ser misturado aos outros. Ganha o jogo quem primeiro alcançar o final do percurso.
  • 5. Perguntas para o jogo questões de 1 a 3   1) Uma casa comercial oferece três marcas de geladeiras, cada uma em três tamanhos e quatro cores diferentes. De quantos modos possíveis um cliente pode escolher uma dessas geladeiras?   a) 36 b) 18 c) 24 d) 12 e) 10     2) Deborah , Alessandra , Letícia , Marina , Isabel e Raissa desejam posar uma ao lado da outra para uma foto. Quantas fotos diferentes podem ser tiradas sabendo-se que Deborah e Raissa não querem ficar juntas?   a) 720 b) 480 c) 360 d) 240 e) 120 3) Numa circunferência são marcados 12 pontos. O número de cordas que estes pontos determinam é:   a) C 12,2 b) P 12 c) A 12,2 d) 12! e) C 12,2 -12    
  • 6. Questões 4 a 7 4) Em quantos anagramas da palavra colega as consoantes aparecem intercaladas com as vogais? a) 24 b) 36 c) 72 d) 48 e) 12   5) Com n elementos iguais a K e 3 elementos iguais a W pode-se formar 7n + 7 permutações. O valor de n é:   a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4     6) Seis pessoas decidem formar duas comissões com três pessoas cada. O número de comissões diferentes que pode ser formado é igual a: a) 12 b) 9 c) 20 d) 15 e) 18 7)  Maria possui 3 blusas de cores diferentes, 4 saias de cores diferentes e 2 botas de cores diferentes. De quantos modos diferentes Maria pode se vestir combinando essas blusas, essas saias e essas botas?  a) 9 b) 12 c) 18 d) 24
  • 7. Questões 8 a 10   8) A quantidade de números de três algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 0, 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a: a) 5.5.4 b) 6.5.4 c) 5.5.5 d) 6.6.6 e) 5.4.3 9) Numa loja existem camisas de 6 cores diferentes , calças de 4 cores diferentes e sapatos pretos e marrons. O número de maneiras distintas que uma pessoa pode comprar uma camisa, uma calça e um sapato é igual a:   a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60     10) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar K números de 6 algarismos distintos. Entre estes k números existem P números múltiplos de 5. Então,a razão entre eles fica?      
  • 8. Questões 11 a 14 11) Marcela dispõe de ações de dez empresas para a compra e, dentre elas, as da empresa A e as da empresa B. O número de maneiras que ela pode escolher seis empresas, se nelas devem figurar, obrigatoriamente, as empresas A e B, é: a) 70 b) 210 c) 90 d) 45 e) 105     12) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e não divisíveis por 15, é:   a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80 13) O próximo número da seqüência (3, 13, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,...) é:  a) 308. b) 309. c) 310. d) 300. e) 333.     14) O jogo de dominó é conhecido por um número grande de pessoas. Sabe-se que ele é constituído de 28 peças diferentes, enumeradas duplamente de zero (em branco) a 6. Se quatro pessoas resolvem jogar, cada uma delas recebe 7 peças diferentes, Qual será o número de maneiras diferentes que o primeiro jogador poderá dispor as 7 peças?        
  • 9. Questões 15 e 16 15) ) O jogo de dominó é conhecido por um número grande de pessoas. Sabe-se que ele é constituído de 28 peças diferentes, enumeradas duplamente de zero (em branco) a 6. Se duas pessoas resolvem jogar, cada uma delas recebe 14 peças diferentes. O número de maneiras diferentes que os dois jogadores poderiam dispor as peças será de: 16) Cinco amigos se propõem a um jogo de dados. Cada um escolherá um número de 1 a 36, e dois dados serão lançados simultaneamente. O jogador marcará ponto quando o produto dos números do dado der o número por ele escolhido. João escolheu o número 24, Pedro escolheu o 36, José escolheu 12, Maria escolheu o 20 e Carlos escolheu o 30, logo, quem tem maior número de possibilidades tem maior chance de ganhar o jogo. Então, pode-se afirmar que quem tem o maior número de possibilidades é:  a) João. b) Pedro. c) José. d) Maria. e) Carlos.    
  • 10. Questões 17 a 19 17)Ao jogar dois dados (6 faces) simultaneamente e somar os dois números obtidos, a soma de maior freqüência será:  a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 18) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (5x - y) n é igual a 1024, então o número n é:  a) 12 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3 19) João foi com sua mãe à uma lanchonete que tinha as seguintes opções: refrigerante, salgado, bolo, torta e chocolate. João queria comprar um item de cada, mas sua mãe não tinha dinheiro para comprar as cinco opções e deixou-o comprar somente três. João ficou com uma dúvida cruel: "Quais devo escolher?" A quantidade de maneiras distintas que João poderia escolher três opções entre as cinco disponíveis é: a) 60. b) 15. c) 10. d) 20. e) 30.
  • 11. Questões 20 a 25 20) Quantos números de 4 algarismos distintos existem em nosso sistema de numeração? 21) a) Quantos números ímpares de quatro algarismos podem formar? 22) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podemos formar? 23) Quantos números ímpares de quatro algarismos possuem pelo menos um algarismo repetido? 24) QUANTOS são os números, entre 2000 e 3000, compostos por algarismos distintos escolhidos entre 2,4,5,6,7 e 8 ?   25)Quinze amigos, todos motoristas habilitados, vão viajar. Existem 3 carros com 5 lugares cada um. QUAL o número de formas que estas pessoas podem se distribuir entre os carros?  
  • 12. Questões 26 a 30 26) Determine de quantas maneiras diferentes um casal pode ter quatro filhos, sem preferência de sexo.     27) Determine de quantas maneiras diferentes um casal pode ter quatro filhos, sendo uma menina e três meninos?   28)Quantos anagramas distintos podemos formar com a palavra Biscoito?  29) Quantos anagramas terminam com "oito" nessa ordem?   30) Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. Qual é o total de números formados.