Eca Estruturas de concreto armado

Eng. Marcos Luís Alves da Silva
luisalves1969@gmail.com
unip-comunidade-eca@googlegroups.com
Estruturas de
Concreto Armado
1

ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
CP 04 – Vigas com seção T
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EA 851J – TEORIA
EC6P30/EC7P30
EC6Q30/EC7Q30

Departamento de Engenharia Civil – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
5.7 CÁLCULO DE SEÇÕES EM FORMA DE "T"
5.7.1 Introdução
Nas estruturas de concreto armado, com o concreto moldado no
local, na maioria dos casos as lajes e as vigas que as suportam
estão fisicamente interligadas, isto é, trabalham solidárias.
Quando a laje trabalha solidariamente com a viga e é também
comprimida pelo momento fletor, como na Figura 5.9, tem-se um
aumento significativo na zona de compressão de concreto, que
pode ser aproveitado para o cálculo da armadura.

Apesar de ser uma solução que, em geral, resulta em grande
economia de aço e concreto, parte dos projetistas só lança mão
da alternativa de considerar no cálculo a seção transversal em T
em vigas de altura muito reduzida, quando a seção retangular
se mostra inviável mesmo com armadura dupla.
Segundo a NBR 6118 => 14.6.2.2: "A consideração da seção T
pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços
internos, tensões, deformações e deslocamentos na
estrutura, de uma forma mais realista".

5.7.2 Largura da laje colaborante ou mesa
A largura da mesa da viga de seção T, bf ou seja, a parte da laje
que pode ser considerada no cálculo colaborando com a viga
(Figura 5.10), é definida como a soma da largura da nervura, bw,
com as distâncias das extremidades da mesa às faces
respectivas da nervura: b1 do lado interno em que existe uma
viga adjacente, e b3 do lado externo, no caso de haver bordo
sem viga, válido também para a viga T isolada, comum em caso
de peças pré-moldadas.

Nas vigas contínuas, podem ocorrer diferentes valores para a
largura bf da mesa da seção T, nos vários tramos da viga,
conforme a disposição relativa das demais vigas em um
determinado piso. Segundo a NBR 6118: "No caso de vigas
contínuas, permite-se calculá-las com uma largura
colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios
sob momentos negativos, desde que essa largura seja
calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a
largura resulte mínima".

5.7.3 Altura útil de comparação
Conceito: a altura útil de comparação (d0) de uma seção T é
definida como o valor da altura para o qual a linha neutra
fictícia é tangente à face inferior da mesa, ficando a mesa da
seção completamente comprimida, ou seja, y = hf.
A altura útil de comparação é, na realidade, um valor teórico,
obtido como um recurso para se estimar a posição da linha neutra
da seção T e, dessa forma, definir em cada caso as situações de
cálculo.

Na Figura 5.11, o equilíbrio do momento fletor solicitante de
cálculo Md é garantido por um binário resistente em que a
resultante de compressão é fornecida pela mesa comprimida
de concreto, que compreende toda a espessura da laje, hf.
Dessa forma, pode-se obter a expressão para cálculo da altura
útil de comparação:

Obtido o valor da altura útil de comparação, d0, sendo “d” a altura
real da viga, predefinida em função do projeto de arquitetura,
pode-se verificar a posição da linha neutra fictícia comparando
esses dois valores, podendo ocorrer as situações seguintes:
Nas duas primeiras situações, a zona comprimida da seção será
retangular, enquanto, na terceira, a linha neutra fictícia estará
situada dentro da nervura, com a zona comprimida assumindo a
forma de T.

5.7.4 Dimensionamento
Com a linha neutra fictícia no interior da mesa, ou, no limite,
tangente à face inferior da mesa, a zona comprimida da seção é
retangular. Dessa forma, o cálculo pode ser feito como uma
seção retangular de largura bf e altura h, visto que na zona de
tração, abaixo da linha neutra, apenas a armadura deve ser
considerada para fins de cálculo, uma vez que é desprezada a
resistência do concreto à tração. Dessa forma, serão usadas no
cálculo as expressões seguintes, originadas das anteriores (5.5)
e (5.8):

Nesse caso, estando a linha neutra fictícia dentro da nervura, a
zona comprimida de concreto tem a forma de T, como mostra a
Figura 5. 13. 0 cálculo da armadura será feito, então, dividindo-se
o momento fletor de cálculo, Md, em duas parcelas, como se
segue:

5.7.5 Comentários sobre o cálculo como seção T
a) No dimensionamento da viga como seção T, tanto no 1º caso
de cálculo como para a nervura da viga no 2º caso, o cálculo é
feito como seção retangular. Dessa forma, os limites para os
coeficientes adimensionais, descritos anteriormente neste
capítulo, devem ser observados. No entanto, caso ocorra kmd >
kmd,lim, ou seja, caso esteja a seção no domínio 4 no ELU, deve-se
evitar o dimensionamento de seções T com armadura dupla,
pois isso iria resultar em uma altura de viga bastante reduzida,
implicando uma diminuição da segurança adicional da estrutura,
além da considerada no cálculo. Nesse caso, as alternativas
podem ser o aumento das dimensões da viga ou a introdução de
mudanças no lançamento estrutural.

b) É bastante comum no dimensionamento como seção T,
especialmente no 1º caso de cálculo, se encontrar valores para
os coeficientes adimensionais abaixo do limite inferior da Tabela
5.2 (kx < 0,167 ou kmd < 0,088). Nesse caso, aplicam-se as
mesmas disposições do item 5.5.3 deste capítulo, com as taxas
geométricas mínimas da Tabela 5.1 sendo referidas à área de
concreto de toda a seção T, isto é, a alma acrescida da laje
colaborante (ver expressão abaixo). Notar que a tabela distingue
dois casos para o cálculo da armadura mínima: seção T com a
mesa toda comprimida (linha neutra na nervura: y > hf) e seção T
com mesa tracionada (linha neutra na mesa: y < hf).

c) Algumas normas proíbem o cálculo de vigas como seção T em
vãos em que exista carga concentrada. Outras permitem o
cálculo desde que se reduza o valor de bf, com a aplicação de um
fatorde redução (1 – MP /MT), em que MP é o momento da carga
concentrada e MT o momento da carga total (MORAES, 1982). A
norma brasileira não aborda essa questão.
d) Em seu item 18.3.7 - Armaduras de ligação mesa-alma ou
talão-alma, a NBR 6118 dispõe sobre a necessidade de
colocação dessa armadura em seções calculadas como T, na
forma seguinte: "As armaduras de flexão da laje, existentes no
plano de ligação, podem ser consideradas como parte da
armadura de ligação, complementando-se a diferença entre
ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa
armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada
na alma, será de 1,5 cm2 por metro".

Exercício 5.9.1.11, página 223.
Dimensionar as armaduras de flexão das seções mais solicitadas
de uma viga engastada-apoiada de vão 12m, sujeita a uma
carga total de 15 kN/m,com as dimensões da nervura central
mostrada na figura abaixo, sendo fck = 30 MPa e aço CA-50.

Resolução:
1) Cálculo dos momentos máximos: positivo e negativo



2,14
²
,
lq
M posmáx



8
²
,
lq
M negmáx
].[1,152
2,14
²])²[12(]/[15
, mkN
mmkN
M posmáx 


].[0,270
8
²])²[12(]/[15
, mkN
mmkN
M negmáx 


2) Majoração dos esforços
 posmáxposd MM ,, 4,1 ].[9,212].[1,1524,1, mkNmkNM posd 
].[0,378].[0,2704,1, mkNmkNM negd  negmáxnegd MM ,, 4,1

3) Definição dos parâmetros da seção T

][90,0][0,1275,010,010,0 mma 
][50,0][0,150,050,0 2 mmb 

][90,0][0,1275,010,010,0 mma 
][50,0][0,150,050,0 2 mmb 
]![50,0b:Conclusão 1 m
:teremos,bSendo ,1,1 diresqwf bbb 
 ][50][50][15b cmcmcmf 1,15[m]ou][115b cmf 
.booscalcularem,eparâmetrososCom 1 fw bb

4) Minoração das resistências
4.1) Concreto
]
²
[14,2
4,1
²
0,3
cm
kN
fcm
kN
f
f
f cdcd
c
ck
cd 

4.2) Aço
]
²
[5,43
15,1
²
0,50
cm
kN
fcm
kN
f
f
f ydyd
s
yk
yd 


5) Marcha de cálculo para o momento máximo positivo
5.1) Cálculo do posicionamento da linha neutra



285,0
0
f
ffcd
d
h
hbf
M
d



2
][8
][8][15,1]
²
[14,285,0
].[9,212
0
cm
cmm
cm
kN
mkN
d
 ][72,160 cmd mesa!dadentroneutraLinhaComo 0  dd

5.1) Cálculo do coeficientes adimensionais e domínios de
deformações
030,0
²][54][15,1]
²
[14,2
].[9,212
2
2





cmm
cm
kN
mkN
dbf
M
k
fcd
d
md
simples)(armação2!Domínio030,0 mdk
 mdx kk 425,0917,125,1
 030,0425,0917,125,1xk  045,0xk
982,0045,040,0140,01  xz kk

5.2) Cálculo da armaduras

sdz
s
dk
Md
A




][50,43][54,0982,0
].[9,212
2
cm
kN
m
mkN
As ²23,9 cmAs 
5.3) Opções de desbitolagem
²23,9 cmAs 
cmmmmmb disps 990)525525150(, 
)5,7b(9,82cm²;mm2521 s cmOpção  

5.4) Detalhamento da Opção 1
atende!todetalhamenOdoComo ,1real1,  adotadod

Dúvidas ??? => unip-comunidade-eca@googlegroups.com

6.1) Cálculo do coeficientes adimensionais e domínios de
deformações
404,0
²][54][15,0]
²
[14,2
].[0,378
2
2





cmm
cm
kN
mkN
dbf
M
k
wcd
d
md
)dupla!(armadura4!Domínio320,0404,0 mdk
6) Marcha de cálculo para o momento máximo negativo
6.2) Dimensionamento como armadura dupla
6.2.1) Cálculo do momento limite do Domínio 3
 cdwmdd fdbkM 2
lim.1
²
14,2]54[][15,0272,0 2
1
cm
kN
cmmMd 
][6,2541 kNmMd 

6.2.2) Cálculo do momento excedente
)(4,123)6,254378(12 kNmkNmMMMd dd 
6.2.3) Cálculo das armaduras
fletormomentodeparcela1ªdatraçãodeArmadura6.2.3.1)
 500,0xk 800,0zk

sdz
d
s
dk
M
A

1
1 


²]/[50,43][54,0800,0
][6,254
1
cmkNm
kNm
As ²][55,131 cmAs 
fletormomentodeparcela2ªdatraçãodeArmadura6.2.3.2)



yd
d
s
fdd
M
A
)( 2
2
2 


²)/(50,43)06,054,0(
][4,123
2
cmkNm
kNm
As ²][91,52 cmAs 
 272,0mdk

traçãodeotalArmadura t6.2.3.3)
 21 sss AAA  ²)91,555,13( cmAs ²][46,19 cmAs 
cmmmmmb disps 990)525525150(, 
dupla!Camada(6,28cm²)mm202e)5,7b(9,82cm²;mm2521 mins,   cmOpção
compressãodeArmadura6.2.3.4)
;
)(
,
2
2,
sd
d
s
dd
M
A

 1000/72,20035,0
500,0
54/6500,0,



cmcm
sd
 )1000/07,2(1000/72,2 50,
,
Aydsd  ²/50,43
,
cmkNfydsd 
²][91,5
²)/(50,43])[06,054,0(
][4,123,
cm
cmkNm
kNm
As 


)8,8b(6,03cm²;mm1631 mins, cmOpção  

][02,61
²][10,16
][90²][14,32][5,42²][91,42
,1 mm
cm
mmcmmmcm
d real 


1OpçãodantoDetalhame5.5)
][98,538)02,61600(,1 mmdhd realreal 
][540)60600( mmdadotado 
atende!todetalhamenO95,0998,0
][0,540
][98,538

mm
mm
d
d
adotado
real

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