Dycap13a

MECÂNICA - DINÂMICA
Cinética Plana de uma
Partícula: Força e Aceleração
Cap. 13

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 2
! Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e
Atração Gravitacional e definir massa e peso
! Analisar o movimento acelerado de uma partícula
utilizando a equação de movimento escrita em
diferentes sistemas coordenados
Objetivos

1.2 * 3 Leis do Movimento de Newton
! Primeira Lei
" Uma partícula originalmente em
repouso, ou em movimento constante,
permanecerá neste estado se não for
submetida a uma força desbalanceadora
! Segunda Lei
" F = ma
! Terceira Lei
" Para cada ação existe uma reação em
direção contrária
Aula 01 Mec I

1.2 * Lei de Atração Gravitacional de Newton
! F = força de gravitação entre duas partículas
! G = constante universal de gravitação;
" G = 66.73 x 10-12 m3/(kg.s2)
! m1, m2 = massa de cada uma das partículas
! r = distância entre as duas partículas
2
21
r
mm
GF =

mgW
r
mM
GW
r
mm
GF
e
=⇒
=
=⇒
=
=
=⇒
=
gravidadedaaceleraçãoaégonde
r
GM
gSendo
mMTerradamassa
mmpartículadamassa
WF
TerradasuperfícienapartículaumaPara
2
e
2
2e
1
2
21
1.2 * Peso

1.3 Unidades de Medida
Unidades do SI
É o sistema internacional de unidades
Versão atualizada do sistema métrico
F = ma
F = força em Newton (N)
m = massa in kg
a = aceleração em m/s2
N = kg. m/s2
W = mg (g = 9.81 m/s2)

1.3 Unidades de Medida
Unidades dos USA (FPS)
F = ma
F = força em libras (lb)
m = massa em slugs
a = aceleração em ft/s2
slug = lb. s2/ft
W = mg (g = 32.2 ft/s2)

13.1 Leis de Newton para Movimentos
! Primeira Lei
" Uma partícula originalmente em repouso, ou movendo-se em
uma linha reta com velocidade constante, permanecerá neste
estado se não for submetida a uma força desequilibrante.
! Segunda Lei
" Uma partícula sob a ação de uma força desequilibrante F
sofre uma aceleração a que tem a mesma direção e sentido da
força e um módulo diretamente proporcional à força.
! Terceira Lei
" As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são
iguais em módulo, têm sentidos opostos e são colineares.

! Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e
Atração Gravitacional e definir massa e peso
! Analisar o movimento acelerado de uma partícula
utilizando a equação de movimento escrita em
diferentes sistemas de coordenadas
Objetivos

Quando várias forças atuam:
aF m=∑
13.2 Equação de Movimento

É um sistema que não gira e que esta fixo ou em translação com
velocidade constante (aceleração nula)
Sistema Referencial Inercial

( )x y z x y
x x
y y
z
z
z
m a a a
m
ma
ma
ma
+ + = +
=
+
=
=
=
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑
∑
F i F j
F a
F
F
j
F
F k i k
13.4 Equações de Movimento: Coordenadas Retangulares
Seja uma partícula movendo-se em relação a um sistema inercial

Exemplo 13.2
Um projétil de 10 kg é disparado para cima na vertical,
a partir do solo, com velocidade de 50 m/s. Determine
a altura máxima do projétil quando: a) a resistência do ar
é desprezível; b) a resistência do 2
ar é 0.01 N, onde
é a velocidade do projétil em m/s.
DF v
v
=

Exemplo 13.2 - Solução
0 0
Caso a:
e peso do projétil 10(9.81) 98.1 N
Somente atua a aceleração da gravidade
-98.1 10 -9.81 m/s²
No instante inicial, 0 e 50 m/s e
Na máxima altura alcançada, eA
z Z
W mg
a a
z
F ma
F ma
v
z h v
= = =
∴ =
=
=
=
∴ ==
=
∑
( )
( )( )
0 0
0
0 50² 2 -9.81 -0
127.42 12
² ² 2 -
m7
A
Ah
A
h
AA
v
h
h
v a z
h
z
=
= +
= ∴
=
=
+
m=10kg

( )D
Caso b:
e peso do projétil 10(9.81) 98.1 N
A força F = 0.01v² N retarda o movimento ascendente
atuando na mesma direção da gravidade.
-0.01 ² -98.1 10
-0.001 ² -9.81
A aceleração não
z z
F ma
F m
W mg
v a
a v
a
= = ==
=
= ∴ =∑
( )
( )
é constante, pois depende da
velocidade. Como , podemos relacionar a
aceleração com a posição usando
-0.001 ² -9.81
D
adz vdv
F
a f v
v dz vdv
=
= ∴ =
m=10kg

( )
( )
0 0
0
0 50
0
50
Caso b:
-0.001 ² -9.81
Lembrando que para 0, 50 m/s e que para
para , 0 e integrando:
-
0.001 ² 9.81
- 500 ln 0.001 ² 9.81
114113.51 m
B
B
B h
B
h
B
B
v dz vdv
z v
z h v
adz v
v
dz dv
v
h v
h
d
h
v ∴ =
= =
= =
=
+
= +
= ∴
=
=
∫ ∫ m=10kg

Exemplo 13.3
O carrinho de bagagem A de peso 900 lb reboca dois
reboques B de 550 lb, e C de 325 lb. Por um pequeno
intervalo de tempo, a força de atrito na roda do
carrinho é FA=(40t) lb, onde t é dado em segundos.
Se o carrinho parte do repouso, determine sua
velocidade em 2 segundos. Qual o valor da força
atuante no acoplamento entre o carrinho e o reboque
B nesse instante. Despreze o tamanho do carrinho e
reboques.

Massa do conjunto:
m =
900+550+325
32.2
!
"
#
$
%
&
m = 55.124 slugs

Diagrama de corpo livre e cinemático do conjunto
m=55.124 slugs
a

Equações de movimento do conjunto
Fx∑ = max
40t = 55.124a
a = 0.72563t
m=55.124 slugs
a

Cinemática do conjunto – Velocidade em 2 s
a =
dv
dt
∴dv = adt
dv
0
v
∫ = 0.72563t dt
0
2
∫
v = 0.36282t2!
"
#
$0
2
∴v =1.4513 ft/s
v =1.45 ft/s

Diagrama de corpo livre e cinemático
do carrinho
m=900/32.2=
27.950 slugs
a

m=27.950
slugs
a
Equações de movimento do carrinho
Fx∑ = max
40t −T = 27.950(0.72563t)
40(2) −T = 27.950(0.72563(2))
T = 39.4 lb

Problema 13.11
O bote de 800lb parte do repouso e escorrega pela calha inclinada
entrando na piscina. Se a força de atrito na calha é FR
= 30lb e na
piscina, FRP
= 80lb, determine a velocidade do bote quando s = 5pés.

Problema 13.11 - Solução
Massa do bote:
m =
800
32.2
!
"
#
$
%
& = 24.845 slugs

Diagrama de corpo livre e cinemático
α 800lb
a
N
v 24.845 slugs

Aceleração na calha:
F∑ = ma
Pcos45°− FR
= ma
800cos45°−30 = 24.845a
a = 21.561 pés/s2

12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante
a = ac
v = v0
+ ac
t
s = s0
+ v0
t +
1
2
ac
t2
v
2
= v0
2
+ 2ac
s− s0( )

Velocidade no final da calha:
v1
2
= v0
2
+ 2aΔx
v1
2
= 02
+ 2 21.561( ) 1002
+1002
v1
= 6098.4
v1
= 78.092∴v = 78.1 pés/s

Aceleração na piscina:
F∑ = ma
−FRP
= 24.845a
a = −
80
24.845
a = -3.2200∴a = −3.22 pés/s2

Velocidade na piscina:
v2
2
= v1
2
+ 2as
v2
= 78.0922
+ 2 −3.2200( )5
v2
= 6066.2
v2
= 77.886∴v2
= 77.9 pés/s

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