1) O documento descreve as contribuições de Euclides de Alexandria para a geometria, incluindo sua obra mais famosa Os Elementos, que compilou o conhecimento matemático da época de forma sistemática e lógica e se tornou um texto fundamental de ensino por 2000 anos. 2) Euclides introduziu o método dedutivo na geometria através de definições, postulados, axiomas e teoremas, tornando a geometria uma ciência rigorosa. 3) Sua obra Os Elementos continha 13 livros tratando

2. 44. AAss mmaarrggeennss ddoo NNiilloo
__________________________________________________________________________________________________________________________
66. AA GGeeoommeettrriiaa GGrreeggaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
88. AAss ccoonnttrriibbuuiiççõõeess ddee EEuucclliiddeess ddee AAlleexxaannddrriiaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
11 00.. OOss PPoossttuullaaddooss ddee EEuucclliiddeess
__________________________________________________________________________________________________________________________
11 22. OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuucclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppoo
__________________________________________________________________________________________________________________________
11 44.. OO ssuurrggiimmeennttoo ddaa GGeeoommeettrriiaa nnããoo EEuucclliiddiiaannaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
11 66.. LLoobbaacchheevvsskkyy,, GGaauussss,, BBeellttrraammii ee aa GGeeoommeettrriiaa HHiippeerrbbóólliiccaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
11 88. RRiieemmaannnn ee aa GGeeoommeettrriiaa EEssfféérriiccaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
2200. AA GGeeoommeettrriiaa TTooppoollóóggiiccaa
__________________________________________________________________________________________________________________________
2222. GGeeoommeettrriiaa FFrraaccttaall
__________________________________________________________________________________________________________________________
2244 AAllgguummaass SSuuggeessttõõeess
__________________________________________________________________________________________________________________________
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

3. A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na
repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito,
onde uma pessoa que acabada de falecer teria de jurar aos
deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era
um pecado que terminava com o coração do infrator
arrancado e comido por uma besta horrível chamada o
“devorador”. Roubar a terra do vizinho era considerado uma
ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar
alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e
administradores de templos, palácios e demais unidades
produtivas fundadas na agricultura não tinham referência
clara do limite das suas possessões para poderem cultivá -
la e pagarem os impostos devidos na medida da sua
extensão aos governantes.
A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos.
De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir a terra") está intimamente
ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram
os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos
campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra arável do mundo antigo. A má
notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, nasciam daí
conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.
Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários,
os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das
cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses.
Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou
esticadores de corda (assim chamados devido aos
instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas
para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a
determinar as áreas de lotes de terreno dividindo - os em
retângulos e triângulos.
PPaarraa ddeemmaarrccaarreemm nnoovvaammeennttee ooss lliimmiitteess eexxiissttiiaamm ooss
""ppuuxxaaddoorreess ddee ccoorrddaa"",, ooss ""hhaarrppeeddoonnaappttaass"" qquuee bbaasseeaavvaamm aa
ssuuaa aarrttee eesssseenncciiaallmmeennttee nnoo ccoonnhheecciimmeennttoo ddee qquuee oo ttrriiâânngguulloo
ddee llaaddooss 33,, 44,, 55 éé rreettâânngguulloo..

4. Após as cheias, as margens do rio ficavam cobertar por húmus - adubo natural, que dava ao solo a fertilidade necessária para o plantio. No
tempo da estiagem, num trabalho de união de forças e de conjunto, os egípcios aproveitaram as águas do rio para levar a irrigação até terras
mais distantes ou construir diques para controlar as cheias, protegendo o vale contra essas catástrofes terríveis. No período das cheias, os
camponeses eram encaminhados para as cidades, onde realizavam outros trabalhos que não a agricultura.
Todo o conhecimento que temos hoje sobre a Matemática
egípcia baseia - se em dois grandes documentos: o papiro de
Rhind e o papiro de Moscovo. Outros documentos importantes
sãoospapirosdeBerlim, deKahunedoCairo.
Estes papiros são compostos por
exposições de problemas triviais e suas
resoluções. Na verdade, o que distingue
a matemática egípcia da matemática
babilônica e, mais tarde, da grega é o
fato de não exstirem demonstrações
nem serem conhecidas as origens das
fórmulas utilizadas. O que se encontra
são exemplos comprovatórios; nunca
demonstrações.
44
As margens doNilo
44
Papiro de Rhind

5. Será na Grécia do séc. VII a.C. que a geometria se estabelece como ciência dedutiva. A
geometria grega é a geometria da régua e do compasso. Os gregos herdam toda a
experimentação, intuição e empirismo dos egípcios, estipulando leis e regras acerca do espaço..
Platão foi um filósofo e matemático do período
clássico da Grécia Antiga, autor de diversos
diálogos filosóficos e fundador da Academia em
Atenas, a primeira instituição de educação
superior do mundo ocidental. Juntamente com
seu mentor, Sócrates, e seu pupilo, Aristóteles,
Platão ajudou a construir os alicerces da
filosofia natural, da ciência e da filosofia
ocidental.
Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemático
grego que nasceu em Samos entre cerca de 571
a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca
de 497 a.C. ou 496 a.C. A sua biografia está
envolta em lendas. Diz-se que o nome significa
altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois
mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança
seria um ser excepcional. Pitágoras foi o fundador
de uma escola de pensamento grega denominada
em sua homenagem de pitagórica. Teve como sua
principal mestra, a filósofa e matemática
Temstocléia.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego,
nascido por volta do ano 640 e falecido em 550
a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor,
descendente de uma família oriunda da Fenícia
ou Beócia. Tales foi incluído entre os sete sábios
da antiguidade. Estrangeiro rico e respeitável, o
famoso Tales durante a sua estadia no Egito
estudou Astronomia e Geometria.
Fundou a mais antiga escola filosófica que se
conhece - a Escola Jónica.
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C) foi
um matemático, físico, engenheiro, inventor, e
astrônomo grego. Entre suas contribuições à Física,
estão as fundações da hidrostática e da estática,
tendo descoberto a lei do empuxo e a lei da
alavanca, além de muitas outras. Ele inventou
ainda vários tipos de máquinas para usos militar e
civil, incluindo armas de cerco, e a bomba de
parafuso que leva seu nome. Experimentos
modernos testaram alegações de que, para
defender sua cidade, Arquimedes projetou
máquinas capazes de levantar navios inimigos para
fora da água e colocar navios em chamas usando
um conjunto de espelhos.

6. A Geometria Grega
1: Zenón de Citio o Zenón de Elea – 2: Epicuro – 3: Federico II Gonzaga – 4: Boecio o Anaximandro o Empédocles – 5: Averroes – 6: Pitágoras – 7: Alcibíades o Alejandro
Magno – 8: Antístenes o Jenofonte – 9: Hipatia (pintada como Margherita pelo jovem Francesco Maria della Rovere) – 10: Esquines o Jenofonte – 11: Parménides – 12:
Sócrates – 13: Heráclito (pintado como Miguel Ángel) – 14: Platão (pintado como Leonardo da Vinci) – 15: Aristóteles – 16: Diógenes de Sinope – 17: Plotino – 18: Euclides e
Arquimedes junto a um grupo de estudantes (pintado como Bramante) – 19: Estrabón o Zoroastro? – 20: Claudio Ptolomeu – R: Apeles como Rafael – 21: Protógenes como
Sodoma.
OOss ttrrêêss pprroobblleemmaass cclláássssiiccooss ddaa GGeeoommeettrriiaa ggrreeggaa
Os três problemas clássicos da Geometria grega eram sobre como realizar uma construção geométrica usando somente régua e compasso. Tratavam-se dos seguintes problemas:
Duplicação do cubo: Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.
Trissecção do ângulo: Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude.
Quadratura do círculo: Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.
66

7. AAss ccoonnttrriibbuuiiççõõeess ddee EEuu
No ano de 325 a.C. nasce na Síria um professor,
escritor grego e célebre matemático, Euclides de
Alexandria. Foi educado em Atenas e frequentou a
Academia de Platão. Anos mais tarde, a convite do
rei Ptolomeu I, fez parte do quadro de professores da
recém fundada Academia, o Museu, em Alexandria,
no Egito. Passando aí grande parte da sua vida
alcançou grande prestígio pela forma extraordinária
como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo
deste modo aliciar um grande número de discípulos
para as suas lições públicas.
Muitas das suas obras foram perdidas, mas a mais importante, a monumental publicação Stoichia (Os
Elementos, 300 a.C.) resistiu passando assim até os dias de hoje. Compõe-se de um conjunto de 13 livros (ou
capítulos), em que Euclides faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemática
elementar, incluindo aritmética, geometria e álgebra..
Os Elementos é considerada a obra mais antiga da história da
matemática e uma das mais importantes segundo alguns
historiadores. A sua contribuição foi tão grande que a maior parte das
proposições nela contida é tratada na escola atual, principalmente no
campo da geometria, conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana,
em homenagem ao seu criador.
É unânime entre os historiadores que a geometria, antes dos
gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer
cuidado com os princípios matemáticos que regiam os
conhecimentos geométricos. Foram então, os gregos os primeiros a
introduzir o raciocín io dedutivo.
O nome de Euclides ficou na história da ciência
para sempre associado à primeira concepção
da Geometria como um conjunto sistematizado
e lógico de propriedades. Muitas dessas
propriedades eram já utilizadas anteriormente,
de forma dispersa e com objetivos, tanto
utilitário como de mero prazer intelectual ou
artístico, por outras civilizações.

8. cclliiddeess ddee AAlleexxaannddrriiaa 88
Os Elementos é a compilação de todo o conhecimento
matemático e se tornou parte do ensino da matemática
por2000 anos.
A obra está dividida em 13 livros. Os seis primeiros tratam da Geometria plana elementar; os três
seguintes são sobre Teoria dos Números; o livro X sobre os Irracionais e os três últimos tratam da
Geometria espacial.
Euclides escreveu outras obras, entre elas: Os Dados, onde apresenta 94 proposições a respeito
de diversas propriedades de figuras geométricas; Divisão de Figuras onde podemos encontrar
maneiras de dividir figuras em duas partes com suas áreas representando uma razão dada; Óptica
onde apresenta o primeiro trabalho grego sobre perspectiva e Os Fenômenos que é uma
introdução elementar à Astronomia.
Leonard Mlodinow, PhD em Física e
Matemática, é um cientista fora do
convencional. Como imaginar que um
físico especializado em educação para
crianças e adolescentes e fascinado
com números pudesse ser também um
roteirista para filmes de entretenimento,
como a série “Jornada nas Estrelas”?
O Partenon materializa os princípios que levaram a
arquitetura grega à perfeição: harmonia, proporção,
elegância e graça

9. Um Postulado ou axioma é uma preposição pequena que não necessita de demonstração. “Postular” significa “pedir para aceitar”.
Apesar dos matemáticos modernos considerarem que não existe nenhuma diferença essencial entre os dois, Aristóteles sugeriu duas formas de
distinguir postulados e axiomas:
Os postulados não seriam tão evidentes como os axiomas,
Os postulados só seriam aplicáveis numa ciência específica enquanto que os axiomas seriam mais gerais.
Teoremas escritos
(Livro: Os Elementos)
Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo
reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.
(Teorema 47)
São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo
(412 ­ 485), Herão (c. 10 ­ 75) e Simplício (490 ­ 560); na Idade­Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram­se dela numerosas
edições em todas as línguas europeias.
A primeira destas edições foi a de Campano (1220 ­ 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 ­ 1578).

10. OOss PPoossttuullaaddooss ddee EEuucclliiddeess
II IIII
IIIIII IIVV
VV
11 00
Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois
ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então
essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam - se do
mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
Dados um ponto qualquer e uma distância
qualquer pode - se construir um círculo de
centro naquele ponto e com raio igual à
distância dada.
Todos os ângulos retos
são iguais.
Dados dois pontos, há um
segmento de reta que os une.
Um segmento de reta
pode ser prolongado
indefinidamente para
construir uma reta.
PPrrooppoossiiççõõeess eeqquuiivvaalleenntteess aaoo VV ppoossttuullaaddoo ddee EEuucclliiddeess::
Os ângulos colaterais internos formados por duas paralelas são
suplementares. (Ptolomeu)
Duas retas paralelas são equidistantes. (Ptolomeu)
Dadas duas paralelas, toda a reta que cortar uma delas corta também a
outra. (Próclus)
Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

11. OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuu
((11 3355 -- 5511 aa..cc))
Posidônio apresentou uma definição de
paralelismo segundo a qual as retas
paralelas são as retas equidistantes.
((4411 22 -- 448855))
Próclus, no século V, criticou
esta definição de Posidônio e
apontou o fato de que é
plausível a ideia do quinto
postulado não se verificar, pois
há linhas como a hipérbole que
convergem para as suas
assíntotas, mas não chegam a
intersectar-se.
Nasiraddin apresenta uma
demonstração que falha no
fato de admitir que dadas
duas retas paralelas, são
cortadas por outra reta que
é perpendicular a uma
delas somente.
((11 550099 –– 11 557755))
Commandino cai no erro de juntar à
definição de paralelismo a idéia de
equidistância. No entanto, no que toca
ao quinto postulado, acaba por aceitar a
demonstração de Proclus que como já
se referiu, está errada.
((sséécc.. XXIIIIII))

12. cclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppoo
Crisóbal Clavio traduziu para latim os Elementos,
reproduziu e criticou a demonstração de Proclus e
apresentou uma demonstração sua do quinto postulado.
A sua demonstração assenta no fato de o conjunto dos
pontos eqüidistantes de uma reta (de um lado da reta)
formarem uma linha reta. Ora, supor isso é equivalente
a supor o quinto postulado. A sua demonstração acaba
por ter algumas semelhanças com a de Nasiraddin.
((11 553377--11 6611 22))
((11 554488--11 662266))
Pietro Cataldi foi o primeiro
matemático a publicar uma obra
exclusivamente dedicada à teoria das
paralelas. Cataldi assume uma
hipótese que é equivalente ao quinto
postulado: linhas retas não
equidistantes convergem numa
direção e diverge na outra.
Giovanni Alfonso Borelli
regressou à ideia de
equidistância das linhas
paralelas, que havia sido
levantada por Posidônio.
((11 660088--11 667799))
John Wallis desiste de tentar demonstrar o
quinto postulado a partir unicamente dos
primeiros quatro postulados e introduz um
axioma que considera ser mais plausível
que o quinto postulado: sobre um
segmento é sempre possível construir um
triângulo semelhante a um triângulo dado.
((11 6611 66--11 770033))
((11 666677--11 773333))
Saccheri analisou e criticou muitas das tentativas de
demonstrar o quinto postulado por matemáticos
anteriores. Nessas análises, Saccheri sublinhou que
tudo tinha que ser demonstrado e que, portanto, não
fazia sentido tomar certas hipóteses sem as
demonstrar, como haviam feito muitos matemáticos
anteriores.
((11 772288--11 777777))
Johann Heinrich Lambert teve também
uma aproximação semelhante à de
Saccheri, ao estudar quadriláteros cujas
características essenciais seriam ter pelo
menos três ângulos retos (quadriláteros
de Lambert).
11 22

13. 1 - Pelo fim do século XVIII foram feitas novas tentativas de
demonstrar o quinto postulado de Euclides por meio de
demonstrações indiretas. Mas, em vez de conduzir a uma
contradição, este novo conjunto de axiomas formou a base de uma
teoria consistente chamada hoje de Geometrias não Euclidianas.
3 - Em 1832, Bolyai, independentemente,
obteve os mesmos resultados. Essa
geometria passou a ser chamada de
geometria hiperbólica.
4 - Em 1854, Riemann nega o quinto postulado de Euclides admitindo a outra
negação: por um ponto fora de uma reta não se pode conduzir uma reta paralela à reta
dada. Essa outra geometria não euclidiana passou a ser chamada de geometria
esférica.
Escreve ao seu pai Farkas Bolyai:
"Eu descobri coisas tão maravilhosas que sinto-
me aturdido ... do nada eu criei um
estranho mundo novo."
Gauss ao ser informado da descoberta correspondeu-se com
o colega Farkas para elogiar seu filho: "Eu considero este
jovem geômetra Bolyai um gênio de primeira ordem."
7 - Felix Christian Klein (1849 - 1925) foi
um matemático alemão. Seu trabalho
incidiu na geometria não - euclidiana e
nas interligações entre a teoria dos
grupos e a geometria.
EEssffeerraa

14. 11 44
O surgimento da
Geometria não Euclidiana
2 - Lobachevsky em 1829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas
retas paralelas. Ele foi a primeiro a publicar esta teoria, por isso é considerado o fundador oficial das geometrias não euclidianas, embora
Gauss em 1824 numa carta enviada a Taurinus, já soubesse dessa possibilidade.
5 - Na época, as diferenças entre as geometrias
euclidiana e hiperbólica eram puramente formais, ou
seja, diferiam no conjunto dos axiomas. Isto quer dizer
que não havia um modelo concreto para a geometria
hiperbólica, ou seja, não havia uma representação
gráfica para os objetos geométricos, por exemplo, para
uma reta hiperbólica. O primeiro modelo para a
geometria hiperbólica foi criado por Eugenio Beltrami
(1835-1900).
6 - Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras
da geometria não Euclidiana. O termo foi criado em 1975 por
Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia,
quedescobriu ageometriafractal nadécadade70.
GGaarrrraaffaa ddee KKlleeiinn
PPsseeuuddoo -- EEssffeerraa

15. Os primeiros a suspeitar que era impossível obter uma contradição negando o postulado
das paralelas, ou seja, que ele era independente dos outros postulados foram Gauss, o
húngaro Janos Bolyai (1802-1860) e o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856).
Carl Friederich Gauss (1777-1855) foi o primeiro a descobrir esta geometria, embora não
tivesse publicado nada, pois a Geometria Euclidiana ainda era vista como uma verdade
infalível. Qualquer um que se atrevesse a contradizer isso era desprestigiado e era a última
coisa que Gauss desejaria, manchar a reputação que tinha frente ao meio científico.
A Geometria Hiperbólica é a Geometria não Euclidiana que admite
os quatro primeiros postulados de Euclides, mas nega a existência
da unicidade das paralelas, ou seja, o V postulado. Nessa
Geometria o postulado das paralelas é substituído pelo postulado
deLobachevsky,dizendo:
””PPoorr uumm ppoonnttoo PP ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr ppaassssaa mmaaiiss ddee uummaa rreettaa
ppaarraalleellaa àà rreettaa rr””
Beltrami usou uma superfície para representar a
geometria hiperbólica. Ele chamou essa superfície
de pseudo-esfera.
A soma dos ângulos de um
triângulo desenhado sobre a
superfície de uma pseudo-
esfera é MENOR que 180o,
como esperado de uma
superfície que represente a
geometria hiperbólica.
Mauritius Escher usou o disco SOMA em algumas de suas
gravuras. Essas duas vistas são chamadas de Círculo Limite I
(esquerda) e Círculo Limite III. Essa última, umas das poucas
gravuras coloridas de Escher, foi feita em 1959.
CCíírrccuulloo LLiimmiittee IIIIII CCíírrccuulloo LLiimmiittee II
A soma dos
ângulos de um
triângulo sobre
um superfície de
ccuurrvvaattuurraa
nneeggaattiivvaa é menor
que a da curva
plana.
Busca da chamada física pós - Einstein.
TTooddooss aa bboorrddoo
ddoo EExxpprreessssoo
BBuurraaccoo ddee
MMiinnhhooccaa,, rruummoo àà
pprriimmeeiirraa vviiaaggeemm
rreeaallmmeennttee
eessppaacciiaall ddaa
eessppéécciiee hhuummaannaa..
Os ângulos do plano hiperbólico correspondem aos
ângulos euclidianos, são medidos como no plano
euclidiano. Eles são, por definição, a medida do menor
ângulo formado pelas semirretas euclidianas tangente aos
arcos.
Área de um triângulo hiperbólico

16. Abóbada hiperbólica para o giro das
carruagens da entrada do Parc Güell
(Barcelona - Espanha).
As bromélias florescem somente uma vez durante seu
tempo de vida. Após a floração, a planta geralmente
desenvolve uma brotação lateral que substituirá a
planta que irá morrer.
Tenda confeccionada em estrutura metálica, montada por
sistema de encaixe e fixação. Seu design especial e arrojado
oferece ampla área interna e efeitos visuais impressionantes
quando aplicada iluminação.
(Catedral de Brasília) Oscar Niemeyer, notável arquiteto brasileiro.
Trombeta do Zeferino
11 66

17. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) deixou um grande legado para
a humanidade, quando na tentativa de demonstrar o quinto postulado de
Euclides introduziu o conceito de espaço com mais de três dimensões. Abriu
um grande campo para novos estudos, criando um novo universo geométrico,
que contribuiu para grandes descobertas, como o caso de Einstein que só
resolveu problemas fundamentais da Teoria da Relatividade depois de utilizar
conceitos desta Geometria.
Indo contra o quinto postulado de Euclides, Riemann
estabeleceu um de seus axiomas
que:
““PPoorr uumm ppoonnttoo PP qquuaallqquueerr,, ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr,,
nneennhhuummaa rreettaa qquuee ppaassssaa ppoorr PP éé ppaarraalleellaa aa eellaa..””
QQuuaaiissqquueerr dduuaass rreettaass
eemm uumm ppllaannoo ttêêmm uumm
ppoonnttoo ddee eennccoonnttrroo..
DDaaddooss ddooiiss ppoonnttooss ssoobbrree aa eessffeerraa,,
ppooddee--ssee eennccoonnttrraarr iinnffiinniittaass rreettaass qquuee
ppaassssaamm ppoorr eesssseess ppoonnttooss..
DDuuaass cciirrccuunnffeerrêênncciiaass mmááxxiimmaass qquuee
ppaassssaamm ppeellooss PPóóllooss,, iinntteerrcceeccttaamm uummaa
cciirrccuunnffeerrêênncciiaa mmááxxiimmaa ooppoossttaa aaooss PPóóllooss,, AA
ee BB,, ffoorrmmaannddoo uumm âânngguulloo ddee 9900ºº..
OO âânngguulloo ssoobbrree aa eessffeerraa éé
cchhaammaaddoo ddee âânngguulloo eessfféérriiccoo..
AA uunniiããoo ddee ttrrêêss ppoonnttooss AA,, BB ee CC nnããoo
ppeerrtteenncceenntteess aa uummaa mmeessmmaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa
mmááxxiimmaa,, ffoorrmmaa uumm ttrriiâânngguulloo eessfféérriiccoo..
Área de um triângulo esférico
A Geometria Esférica é a Geometria de
curvatura positiva
AA ssoommaa ddooss âânngguullooss
ddee uumm ttrriiâânngguulloo
eessfféérriiccoo éé sseemmpprree
mmaaiioorr qquuee 11 8800ºº ee
mmeennoorr ddoo qquuee 554400ºº..

18. Do Rio Pinheiros (SP) pode - se apreciar a cúpula geodésica que envolve a prestigiosa
cidadela de Higienópolis.
Bolha de SabãoDente de leão
Quase cem anos depois, uma sonda espacial da
Nasa, a agência espacial americana, confirmou
previsões cruciais feitas pelo físico alemão Albert
Einstein em 1915. As observações da sonda de
gravidade B (GP-B) comprovaram que a massa da
Terra está muito sutilmente causando uma
curvatura no tempo e no espaço ao seu redor, e até
arrastando-os consigo.
As esferas tem uma função científica,
servindo para representar o Universo, em
exata proporção, ou para efetuar
transformações numéricas entre
quantidades, de modo semelhante aos
antigos computadores analógicos.
11 88
RIEMANN E A GEOMETRIA
ESFÉRICA

19. OOss eessttuuddooss ddee TTooppoollooggiiaa aabbrriirraamm ccaammiinnhhooss ppaarraa aa mmooddeerrnnaa tteeoorriiaa ddooss GGrraaffooss.. EEsssseess ppooddeemm sseerr aapplliiccaaddooss ppaarraa ppllaanneejjaarr ddeessddee aass rreeddeess ddee sseerrvviiççooss
uurrbbaannooss,, ccoommoo áágguuaa ee eelleettrriicciiddaaddee,, aattéé aass ddee ccoommppuuttaaddoorreess..
Garrafa Klein
Garrafa TunelConjectura de Poincaré: A superfície tridimensional de uma esfera é o único espaço fechado de dimensão 3
onde todos os contornos ou caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples ponto.
Em 2003, o russo Grigory Perelman, anunciou uma solução positiva para o
problema, recusando o prêmio Clay no valor de um milhão de dólares.

20. GEOMETRIA TOPOLÓGICA 2200
TTooppoollooggiiaa ((ddoo ggrreeggoo ttooppooss,, ""lluuggaarr"",, ee llooggooss,, ""eessttuuddoo"")) éé oo rraammoo ddaa mmaatteemmááttiiccaa qquuee eessttuuddaa ooss eessppaaççooss ttooppoollóóggiiccooss,, sseennddoo
ccoonnssiiddeerraaddoo ccoommoo uummaa eexxtteennssããoo ddaa ggeeoommeettrriiaa..
No século XVIII havia na cidade de Königsberg um conjunto
de sete pontes que cruzavam o rio Pregel. Os moradores de
Köenigsberg (hoje Kaliningrad, cidade da Rússia) se
perguntavam se era possível fazer um passeio pela cidade
passando exatamente uma vez em cada uma das sete
pontes.
Descoberta em 1865 pelo matemático e astrônomo alemão August
Ferdinand Moebius (1790-1868), a faixa de Moebius foi o embrião de
um ramo inteiramente novo da matemática conhecido como topologia,
o estudo das propriedades de uma superfície que permanecem
invariantes quando a superfície sofre uma deformação contínua.Superfície de Boy. Trata-se de uma superfície
unilátera, sem bordo, fechada sobre si mesma.
Pode ser obtida a partir do rebatimento das
coordenadas cartesianas x, y, z, ou se costurando o
bordo único de uma cinta de Moebius triplamente
torcida.
Toro ou Toróide - é um espaço topológico
hhoommeeoommoorrffoo ao produto de dois círculos. Apresenta
o formato aproximado de um pneu. Em geometria
pode ser definido com o lugar geométrico
tridimensional dos pontos que distam r de uma
circunferência.
Mas o que é um
homeomorfismo?Um
homeomorfismo é a
noção principal de
igualdade em topologia.
A imagem ilustra a interseção de uma mola com uma esfera,
onde mostra o domínio das funções das superfícies. A mola
é uma superfície flexível obtida através do enrolamento em
torno de um cilindro e a esfera é um sólido geométrico
formado por uma superfície curva contínua cujos pontos
estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado
centro. Utilizar como ferramenta de ilustração do conteúdo
de geometria e topologia.
Celso Costa em sua tese de doutorado no IMPA (Rio de
Janeiro), exibiu em 1982 um exemplo de uma superfície mínima
com certas propriedades especiais. Esta superfície, que é
conhecida no mundo inteiro como a ssuuppeerrffíícciiee ddee CCoossttaa, foi
inspirada, segundo o autor, por um chapéu de uma passista de
uma escola de samba do Rio de Janeiro.

21. A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983), o criador da Teoria dos Fractais,
insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos e dos
processos do mundo real.

22. Geometria Fractal
A palavra Fractal vem do Latim “fractus”, que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: “Frac” dá a ideia de fração (parte), e “tal” dá a ideia de total (todo).
Fractais são formas geométricas elementares, cujo padrão se replica indefinidamente, gerando complexas figuras que preservam, em cada uma de suas partes,
as características do todo. Por isso, podem apresentar dimensão espacial inclusive fracionária. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte.
2222

23. Ávila, Geraldo : Cálculo, Funções de uma Variável (vol. 2)
LTC, Rio de Janeiro, 1989.
Boyer, Carl: História da Matemática, Edgard Blucher, São
Paulo, 1996.
Algumas Sugestões
Courant, R; Robbins H.: O Que é a Matemática?, Ciência
Moderna, Rio de Janeiro, 2000.
Eves, Howard: Introdução à História da Matemática, Editora
Unicamp, Campinas,1990.
Russel, B.: História do Pensamento Ocidental, Ediouro, Rio
deJaneiro,2001.
Smith, D. E.: History of Modern Mathematics, Mathematical
Monographs No. 1, Project Gutenberg, 1906.
CAMPOS E LOPES, Aldo Peres. Geometria Esférica.
Monografia apresentada à II Semana de Iniciação Científica do
IMPA. 2005.
COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas.
Rio de Janeiro, 2 ed. Interciência, 2001.
PETIT, Jean-Pierre. As aventuras de Anselmo Curioso – Os
mistérios da Geometria. 1ª edição.Editora: Gráfica Barbosa &
Santos, Lda, 1982, Lisboa.
BICUDO, I. O
Primeiro
Livro
dos Elementos de
Euclides
(tradução). John A.Fossa - Editor geral. Série Textos de História
daMatemática;v.1.Natal:EditoraSBHMat,2001.BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal
paraasaladeaula.BeloHorizonte:Autêntica,2002.
KALEFF, Ana Maria M. R. Da rigidez do olhar euclidiano às
(im)possilidades
de
(trans)formação
dos
conhecimentos
geométricos do professor de Matemática. 2004. 450 f. Tese
(Doutorado
em
Educação).
Faculdade
de
Educação,
Universidade Federal Fluminense.
Niterói.
2004.
MEC
-
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
–
Matemática - 5ª- 8ª Series. Brasília. 1998.
Barbosa, J.L. Geometria
Euclidiana
Plana. 8ª. Ed.
Rio de
Janeiro: SBM, 2004.
Gans,
D.
An
Introduction
to
Non-Euclidean
Geometry. New
York,
NY:
Academic
Press,
1973.
Lénárt,
I.
Non-Euclidean
Adventures
on
the
Lénárt
Sphere:
Activities
Comparing
Planar
and
Spherical
Geometry.
Berkeley:
Key
Curriculum,
1996.

24. A
Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas.
(Poincaré)
Não há estradas reais para chegar à Geometria.
(Euclides de Alexandria)
A
matemática, de modo geral, é fundamentalmente a ciência das coisas que
são evidentes por si mesmas.
( Felix Klein)
"Deuséograndegeômetra.Deusgeometrizasem
cessar"."Osnúmeros
governam
omundo"."Nãoentreaquiquem
nãofôrgeômetra".
"Chama­seretaalinhacujomeioestácolocadosôbreotrajetoentreas
duasextremidades".(Platão)
"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam
seriamente esta
ciência acabam
tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em
verdade, o
que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim
a aprendizagem,
não e a posse mas a aquisição, não e a presença, mas o ato de atingir a meta".
(Gauss Carl Friederich)
Os três grandes fundamentos para se conseguir
qualquer coisa são, primeiro, trabalho árduo;
segundo, perseverança; terceiro, senso comum.
Thomas A. Edison

25. Wanderley Pivatto Brum é natural de Itajaí (SC), graduado em Matemática pela
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), pós graduado em Metodologia no
Ensino de Matemática, Mestrando em Ensino de Ciências Naturais e Matemática pela
Universidade Regional de Blumenau (FURB). Atualmente é professor da rede estadual e
particular de Ensino no Estado de Santa Catarina.
Este livro destina - se aos docentes que atuam nas escolas de Ensino Fundamental e Médio na disciplina de Matemática. Contempla aspectos que auxiliam no
desenvolvimento do ensino de Geometria, contribuindo junto aos estudantes para a compreensão acerca do tema, de tal modo que a estrutura do conhecimento
científico assim como seu potencial explicativo possam ser apropriados. Pressupõe que os conhecimentos de Geometria devem se concebidos como parte do
mundo que o estudante caminha e vive.
Elcio Schuhmacher é licenciado em Física pela Universidade Federal de Santa Catarina, mestre em Física e
doutor em Química. Atualmente é PROFESSOR DO QUADRO - CONCURSADO da Fundação Universidade
Regional de Blumenau. Atuando principalmente nos seguintes temas: Construção de Conceitos, Ensino de
Ciências e Ensino de Física. Atualmente coordena o Mestrado de Ciências Naturais e Matemática, e desenvolve
a sua linha de pesquisa nos seguintes temas: Ensino de Física, Educação Tecnológica, Ciências para Todos.

26. WWAANNDDEERRLLEEYY PPIIVVAATTTTOO BBRRUUMM
ELCIO SCHUHMACHER
O MUNDO SOB A ÓTICA DA GEOMETRIA