Geometria euclidiana slides

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Geometria euclidiana slides

  1. 1. O homem, através da observação da natureza e de tudo o que está ao seu redor, concebeu conceitos para formas, figuras planas, corpos, volumes, retas e curvas.
  2. 2. A Geometria não é só um dos ramos mais fascinantes da Matemática, é, sobretudo, um dos mais notáveis produtos do intelecto do Homem e desempenha um papel na sua Civilização que nunca será demasiado sublinhar.
  3. 3. Euclides baseia-se nos seus antecessores gregos, organiza as matérias de um modo sistemático a partir de primeiros princípios e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva.
  4. 4. Euclides de Alexandria (360 a.c. - 295 a.c.)foi um professor, matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana. Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão, em pleno florescimento da cultura helenística. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia. (Os elementos,300 a.c)
  5. 5.  Os Elementos, Os Dados, Da Divisão, Fenômenos, Óptica , Introdução Harmônica Livros existentes: Livros Perdidos:  Lugares de superfície, Pseudaria, Porismas, As Cônicas
  6. 6.  “Os Elementos” é a principal obra de Euclides. (É o 2º livro mais vendido do mundo)  O livro é subdividido em 13 capítulos.  Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua época.  Euclides foi o primeiro a utilizar método axiomático.
  7. 7. 1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4. Todos os ângulos retos são iguais; 5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
  8. 8. Boa parte dos resultados encontrados em Elementos, já eram conhecidos. Entre os autores originais, a historia lembra os nomes de Tales de Mileto (625 – 546 a.c.), Eudoxo (391 – 332 a.c.), Teeteto (414 – 369 a.c.). Em sua demonstrações Euclides fazia uso apenas de régua e compasso, além de contar com sua intuição e dedução
  9. 9. 8.1 - Áreas de Polígonos Para Euclides duas figuras são congruentes quando é possível deslocar uma delas até fazê-las coincidir com a outra. Dado um polígono qualquer, Euclides começa decompondo-o em vários triângulos. Os primeiros passos são muito simples. Comece por um triângulo como indicado na figura. O triângulo violeta tem seus vértices inferiores nos pontos médios dos lados; o triângulo amarelo é retângulo. Deslocando as peças como indicado, passamos de um triângulo qualquer para um retângulo de mesma área.
  10. 10. 8.2 - Método de Exaustão O método da exaustão foi criado por Eudoxus um pouco antes da inserção por Euclides nos Elementos, permite encontrar aproximações sucessivas de uma dada área, por comparação com áreas conhecidas.
  11. 11. • A área do busto de Euclides foi coberta com quadrados e retângulos de dois modos: um cobrindo apenas a região interna, o outro, a interna e as bordas, sendo cada quadrado ou retângulo de um busto tinha o seu correspondente nos outros bustos. • Assim, comparando a soma das dos quadrados e retângulos que estavam internas ao busto com os que estavam na região interna e mais a borda, tinha-se uma aproximação da área do busto.
  12. 12. 8.3 – Números primos são infinitos Uma das jóias dos Elementos de geometria é a demonstração de que existem infinitos números primos. De forma muito resumida, se a lista dos primos tivesse k termos, poderíamos escrevê-los como p1, p2,..., pk. O número (p1* p2*... pk) + 1, obtido somando 1 ao produto de todos os primos, não poderia ter nenhum dos primos da lista como seu divisor, já que cada um deles divide o produto mas não o 1 que foi somado ao produto. Assim, por definição, esse número gerado também é primo.
  13. 13. 8.4 – Poliedros Regulares Os poliedros regulares são apenas cinco: o tetraedro, o octaedro, o cubo, o dodecaedro e o icosaedro. Contudo foi Euclides, baseado em resultados de Teeteto, que apresentou a demonstração de que, de fato só existem cinco poliedros regulares. Para isso ele obteve as relações entre seus lados e os raios das esferas inscrita e circunscrita para cada poliedro.
  14. 14. 5º Postulado separa a Geometria Euclidiana da Não Euclidiana
  15. 15. Euclides com as poucas ferramentas que possuía foi capaz de desenvolver demonstrações apenas pela sensibilidade da intuição, criar conceitos, etc. Os conceitos mais primitivos, a noções mais básicas foram compiladas por ele, e seus erros foram um ponto de partida para que novas pesquisas fossem feitas, novas geometrias fossem criadas. Afinal, pode-se dizer que Os Elementos é um manual com conceitos e resultados que se tornaram imensamente úteis aos que viriam depois de Euclides

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