1. A história da matemática no antigo Egito, onde surgiram conceitos como geometria e frações através da necessidade de medir terras após enchentes do Nilo. 2. Os egípcios desenvolveram um sistema numérico hieroglífico baseado no decimal e construíram as primeiras pirâmides, assim como o primeiro calendário. 3. Papiros encontrados continham problemas matemáticos que revelaram o conhecimento egípcio de frações e álgebra.

1. ´ ´
A HISTORIA DA MATEMATICA NO EGITO
Por
Clenilson Dos Reis, Henrique S. Miranda e
Simone Jacobsen.
´ ´
POLO UNIVERSITARIO-UFES
2005

2. Ses´stris... repartiu o solo do Egito entre seus habitantes... Se o rio levava qualquer
o
parte do lote de um homem... o rei mandava pessoas para para examinar,e determinar
por medida a extens˜o exata da perda... Por esse costume, eu creio, que a geometria
a
veio a ser conhecida no Egito, de onde passou para a Gr´cia.
e

3. Sum´rio
a
Cap´
ıtulo II 1
0.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 O Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Escrita eg´ ıpcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Rocha de Behistun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 A Pedra de Rosetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.6 A numera¸˜o eg´
ca ıpcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.7 A t´cnica de calcular dos eg´
e ıpcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.8 Os escribas do Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.9 As pirˆmides e o primeiro calend´rio
a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.10 Os papiros da Matem´tica . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.11 Os problemas de Rhind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.12 O surgimento das Fra¸˜es . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.13 As fra¸˜es unit´rias . . . . . . . . . .
co a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.14 A Estagna¸˜o da Ciˆncia no Egito . .
ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bibliografia 12
1

4. Cap´
ıtulo II
0.1 Introdu¸˜o
ca
Antes do quarto milˆnio a.C. uma forma primitiva de escrita estava em uso na
e
Mesopotˆmia. Num processo gradual evolu´
a ıram os primitivos registros pictogr´ficos para
a
uma ordem linear de s´ ımbolos mais simples. Surge a escrita cuneiforme, que dava sig-
nificado pelos arranjos das marcas em cunha.
Foi encontrada uma rocha A Pedra Rosetta, em 1799, eg´ ıpcia, que trouxe muitas
informa¸˜es a respeito dos n´meros. Encontrou-se uma numera¸˜o hierogl´
co u ca ıfica que era
baseada no sistema decimal.
Determinados s´ ımbolos indicavam valores de 10, 100, 1.000, 10.000 e 100.000. Por
repeti¸˜o desses s´
ca ımbolos, escrevia-se o n´mero desejado.
u
As pirˆmides eg´
a ıpcias exibiam t˜o alto grau de precis˜o na constru¸˜o e orienta¸ao
a a ca c˜
que lendas surgiram em torno delas. A sugest˜o de que a raz˜o do per´
a a ımetro da base da
pirˆmide Queops, para a altura foi conscientemente posta no valor 2p est´ em desacordo
a a
com o que se sabe da geometria dos eg´ ıpcios.
Aos eg´ıpcios tamb´m podemos atribuir a autoria do primeiro calend´rio. Tendo-se
e a
interessado pela observa¸˜o dos astros, conclu´
ca ıram que a inunda¸˜o anual do Nilo ocorria
ca
pouco depois que a estrela Siri´s se levantava a leste, logo antes do sol. Assim, como
u
essas apari¸˜es da Siri´s ocorriam em intervalos de 365 dias, os eg´
co u ıpcios estabeleceram
um calend´rio solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa.
a
Ocorre que esse ano oficial era curto demais por um quarto de dia e foram necess´rias a
corre¸˜es desta forma a cada quatro anos, as esta¸˜es avan¸avam em um dia.
co co c
Outra fonte de informa¸˜o sobre a matem´tica antiga, al´m dos escritos hierogl´
ca a e ıficos,
´ alguns papiros eg´
e ıpcios de mais de trˆs milˆnios de idade.
e e
O maior deles, conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro Ahmes usa uma escrita
chamada hier´tica, diferente da hierogl´
a ıfica.
A base ainda ´ o sistema decimal, mas j´ s˜o adotados sinais especiais para representar
e a a
d´ıgitos e m´ltiplos de potˆncias de dez. O n´mero quatro, por exemplo, n˜o ´ mais
u e u a e
representado com quatro barras verticais e sim com uma barra horizontal. E assim por
diante com outros n´meros.
u
2

5. 0.2 O Egito
”D´divas do Nilo”, segundo a express˜o de Her´doto, historiador grego do s´culo V
a a o e
a.C., o Egito Antigo era, na realidade,um extenso o´sis com mais de 1000 quilˆmetros
a o
de comprimento por 10 a 20 de largura. O Rio Nilo era, ent˜o, muito mais largo do que
a
´ hoje e corria atrav´s de uma vasta plan´
e e ıcie. Ao longo do tempo, a largura do rio foi
diminuindo e seu leito ficando cada vez mais profundo.
O vale do Nilo compreendia o Alto Egito, ou Terra do Sul, e o Baixo Egito, ou Terra
do Norte. O Baixo Egito acupava a vasta plan´ aluvial formada pelo delta.
ıcie
De junho a outubro, as ´guas do Nilo inundavam as terras de ambas as margens.
a
Depois das cheias, os camponeses iniciavam as sementeiras num terreno fertilizado pelos
sedimentos trazidos pela inunda¸˜o.
ca
O Rio Nilo fornecia aos eg´ıpcios, ´gua para beber e para irrigar as lavouras, e peixes
a
e aves aqu´ticas para a alimenta¸˜o. Em suas margens cresciam muitas plantas, entre as
a ca
quais v´rios tipos de bambu, que serviam para in´meros fins. Com um deles, o papiro,
a u
fabricava-se uma esp´cie de papel.
e
O Nilo era t˜o generoso que os eg´
a ıpcios tinham um hino que come¸ava com as seguintes
c
palavras: ”Salve, ´ Nilo, que sais da terra e conservas vivo o Egito”.
o
Nem todas as d´divas do Nilo, por´m, eram simp´ticas e uteis. Havia os crocodilos
a e a ´
e os hipop´tamos que tornavam o rio bastante perigoso. Al´m disso, ´s vezes, as cheias
o e a
inundavam as casas, afogando homens e animais.
0.3 Escrita eg´
ıpcia
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar
ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas `s margens de rios transformaram-se
a
em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo,
gra¸as,sobretudo, ao desenvolvimento do com´rcio. Os agricultores passaram a produzir
c e
alimentos em quantidades superiores `s suas necessidades. Com isso algumas pessoas
a
puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artes˜os, comerciantes, sacerdotes,
a
administradores.
Como conseq¨ˆncia desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pr´-Hist´ria
ue e o
e o come¸o da Hist´ria. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pr´-Hist´ria
c o e o
verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Vocˆ certamente j´ ouviu falar
e a
nas pirˆmides do Egito. Para fazer os projetos de constru¸˜o das pirˆmides e dos templos,
a ca a
o n´mero concreto n˜o era nada pr´tico. Ele tamb´m n˜o ajudava muito na resolu¸ao
u a a e a c˜
dos dif´
ıceis problemas criados pelo desenvolvimento da ind´stria e do com´rcio.
u e
Durante quase 15 s´culos, a humanidade olhou fascinada para os hier´glifos eg´
e o ıpcios
sem lhe entender o sentido. Os sacerdotes eg´ıpcios do s´culo IV de nossa era foram
e
3

6. os ultimos homens a utilizar essa linguagem. Eles, mantendo a linguagem t˜o fechada,
´ a
fizeram com que o significado dessas mensagens se perdesse. Os Europeus da ´poca, e e
posteriormente, pensavam que os hier´glifos eram instrumentos m´
o ısticos de algum rito
demon´ ıaco.
Os hier´glifos podem ter come¸ado em tempos pr´-hist´ricos como uma escrita por
o c e o
meio de imagens. Embora os eg´ ıpcios nunca tivessem formado um alfabeto como o
conhecemos, estabeleceram s´ ımbolos para todas os sons consonantais da sua l´ ıngua. O
sistema mostrou-se notavelmente eficiente. Combinando-se fonogramas, formavam-se
vers˜es esquematizadas de palavras.
o
Nem todos os hier´glifos abandonavam a sua fun¸˜o de imagens de palavras para se
o ca
tornarem s´ımbolos fon´ticos. Pelo menos 100 hier´glifos eram usados para representar a
e o
palavra que retratavam, sendo usados tamb´m como determinativos do significado das
e
palavras.
Durante 3000 anos constitu´ ıram a linguagem monumental do Egito. A ultima in-
´
scri¸˜o conhecida ´ do ano de 394 d.C., quando o Egito era uma prov´
ca e ıncia romana. J´ a
ent˜o, tantos hierogl´ tinham sido propositadamente obscurecidos pelos escribas sac-
a ıfos
erdotais fazendo com que os sinais fossem incompreens´ ıveis para a maioria dos eg´ ıpcios.
Em 1822, um ling¨ista francˆs provou que os desenhos podiam formar palavras n˜o
u e a
relacionadas com a imagem. S´ ent˜o os homens do Ocidente come¸aram a compreender
o a c
que tinham diante de si toda uma linguagem que representava a chave para o que at´ e
ent˜o tinha sido um povo misterioso.
a
0.4 Rocha de Behistun
Na d´cada de 1870 foi feito um processo significativo na leitura quando se descobriu
e
que a Rocha Behistun trazia narra¸˜o trilingue da vit´ria da Dario sobre Cambisses, a
ca o
inscri¸˜o sendo em persa, elam´
ca ıtico e babilˆnico. O conhecimento do persa consequente-
o
mente forneceu a chave para a leitura do ass´ ırio, l´
ıngua proximamente aparentada com
o babilˆnico, mais antigo. Mesmo depois desta importante descoberta, a decifra¸˜o e
o ca
an´lise das tabletas com conte´do matem´tico avan¸aram devagar, e foi s´ no segundo
a u a c o
quarto do s´culo vinte que a percep¸˜o das contribui¸˜es matem´ticas da Mesopotˆmia
e ca co a a
se tornou apreci´vel, devido em grande parte ` obra pioneira de Fr.Thureau-Dangin na
a a
fran¸a e Otto Neugebauer na Alemanha e Am´rica.
c e
4

7. 0.5 A Pedra de Rosetta
A Escrita eg´ ıpcia permaneceu um verdadeiro mist´rio at´ o inicio do s´culo XIX :
e e e
placas de pedra, papiros, monumentos cobertos de desenhos cujo sentido ningu´m, apesar
e
dos esfor¸os, conseguira at´ ent˜o decifrar.
c e a
O Francˆs Jean-Fran¸ois Champollion tinha 12 anos de idade quando, em 1802, de-
e c
cidiu dedicar-se a resolver esse enigma. Onze anos mais tarde, conseguiu decifrar o
primeiro hierogl´ e, em 1821, iniciou o estudo intensivo do documento conhecido como
ıfo
pedra de Rosetta, que o levaria a descobrir o segredo de toda a escrita eg´ıpsia.
A pedra de Rosetta ´ um bloco de basalto encontrado junto ao Forte de Rosetta, no
e
bra¸o ocidental do nilo. Foi levada para a Fran¸a pelo imperador Napole˜o Bonaparte,
c c a
quando retornou da expedi¸˜o militar ao Egito. Hoje ela est´ no museu Britˆnico, em
ca a a
Londres.
Esse documento traz, em trˆs escritas diferentes, uma proclama¸˜o em honra do
e ca
fara´ Ptolomeu V, feita no ano de 196 a.C. Na primeira, proclama¸˜o est´ em caracteres
o ca a
hierogl´
ıfos; na segunda, na escrita dem´tica( escrita mais simplificada que os hierogl´
o ıfos
); na terceira, em grego. Comparando a escrita hierogl´ ıfica com a grega, Champollion
conseguiu decifrar a palavra Ptolomeu. Com isso, descobriu a chave para decifrar os
hierogl´
ıfos, em 1822.
Gra¸as a essa descoberta, muitos outros documentos puderam ser entendidos e a
c
Hist´ria do Antigo Egito passou a ser bem conhecida pelos estudiosos modernos do que
o
pelos antigos.
0.6 A numera¸˜o eg´
ca ıpcia
Tamb´m os algarismos hierogl´
e ıficos (numera¸˜o correspondente ` escrita da antiga
ca a
civiliza¸˜o eg´
ca ıpcia) acompanharam a evolu¸˜o da escrita. Inicialmente representavam a
ca
5

8. unidade e as seis primeiras potˆncias de 10. Estes algarismos eram simbolizados pelos
e
seguintes hierogl´
ıficos particulares:
Algarismos fundamentais da numera¸˜o hierogl´
ca ıfica eg´
ıpcia e as suas principais vari-
antes.
0.7 A t´cnica de calcular dos eg´
e ıpcios
Com a ajuda deste sistema de numera¸˜o, os eg´
ca ıpcios conseguiam efetuar todos os
c´lculos que envolviam n´meros inteiros. Para isso, empregavam uma t´cnica de c´lculo
a u e a
muito especial: todas as opera¸˜es matem´ticas eram efetuadas atrav´s de uma adi¸˜o.
co a e ca
Por exemplo, a multiplica¸˜o 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
ca
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda
a compreender como os eg´ ıpcios conclu´ıam a multiplica¸˜o:
ca
N´mero de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72
u
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das trˆs e
colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplica¸˜o 13 * 9 era a soma dos resultados destas
ca
trˆs colunas:
e
9 + 36 + 72 = 117 Os eg´ ıpcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos
c´lculos com n´meros inteiros. Mas, em muitos problemas pr´ticos, eles sentiam neces-
a u a
sidades de expressar um peda¸o de alguma coisa atrav´s de um n´mero. E para isso os
c e u
n´meros inteiros n˜o serviam.
u a
6

9. 0.8 Os escribas do Egito
N˜o existe no Egito profiss˜o mais bem sucedida e sem esfor¸o do que a do escriba.
a a c
Eles sendo altos funcion´rios a servi¸o do fara´ tinham como dever, anotar o que acontecia
a c o
nos campos, contar os gr˜os, registrar as cheias do Nilo, calcular os impostos que os
a
camponeses deveriam pagar, escrever contratos, atas judiciais, cartas, al´m de registrar
e
os outros produtos que entravam no armaz´m. Mas n˜o para por a´ Alguns sacerdotes
e a ı.
tamb´m sabiam escrever e receitar f´rmulas m´gicas.
e o a
O principal material utilizado pelos escribas era o papiro, acompanhado de pinc´is,e
paletas, tinteiros e um pil˜o. Quando eles iam escrever esmagavam os pigmentos no pil˜o
a a
e depois transferiam a tinta para o tinteiro, que tinha duas cavidades: Uma para tinta
vermelha e outra para a tinta preta. Os pinc´is eram umidecidos com ´gua que ficava
e a
numa bolsa de couro. Algumas paletas tinham car´ter espiritual para os escribas, sendo
a
guardadas em seus t´mulos.
u
0.9 As pirˆmides e o primeiro calend´rio
a a
As famosas pirˆmides eg´
a ıpcias s˜o enormes monumentos em forma de pirˆmides de
a a
base retangular que foram mandadas construir pelos reis das diversas dinastias. A sua
antig¨idade, magnitude e esplendor davam-lhes uma gl´ria imperec´
u o ıvel, cujo brilho per-
durou, atrav´s dos longos s´culos, at´ os nossos dias. Sabe-se que houve mais de 170
e e e
pirˆmides no Egito e na N´bia.
a u
As maiores pirˆmides eg´
a ıpcias s˜o conhecidas pelo nome de ”Pirˆmides de Giz´”,
a a e
porque est˜o perto da cidade deste nome, situadas nas margens do Nilo e nas prox-
a
imidades das ru´ ınas de Mˆnfis. S˜o trˆs essas pirˆmides, e levam os nomes dos mais
e a e a
not´veis reis da quarta dinastia: Khufu (ou Qu´ops), Krafre (ou Qu´fren) e Menkaura
a e e
(ou Miquerinos).
A pirˆmide de Qu´ops excede em muito as outras em tamanho e maravilhas. Segundo
a e
Her´doto, a sua constru¸˜o exigiu 30 anos de trabalho, no qual foram empregados cerca
o ca
de cem mil oper´rios. A sua altura ´ de 147 metros, e a base de qualquer das faces
a e
laterais ´ de 234 metros. Era orientada esta pirˆmide conforme os 4 pontos cardeais
e a
celestes, sendo a entrada na face norte. Atualmente est´ a 4 minutos de grau, do Norte
a
para Oeste; mas, como a posi¸˜o do p´lo terrestre varia no valor de um minuto em
ca o
mil anos, fica claro que a orienta¸˜o da pirˆmide era absolutamente exata quando foi
ca a
constru´ıda, cerca de 4.000 anos antes do Cristo. Esse colosso consta de dois milh˜es o
e meio de blocos de pedra, todas pesad´ ıssimas. No centro da pirˆmide faltam alguns
a
7

10. blocos, omitidos para dar passagem ao corpo embalsamado do rei Khufu. Nas paredes
h´ s´ries de pinturas que representam esse rei em v´rias ocupa¸˜es: comendo, lavrando
a e a co
campo, conduzindo bois etc. O espa¸o interior da pirˆmide ´ de tal tamanho que nele
c a e
caberia a igreja de S. Pedro, de Roma. Se a pirˆmide fosse desmanchada, suas pedras
a
dariam material bastante para um muro que circulasse toda a Fran¸a. c
As dimens˜es das duas pirˆmides que s˜o vizinhas da pirˆmide de Que´ps s˜o menores:
o a a a o a
a de Qu´fren tem 137 metros de altura, a de Miquerinos, 66 metros.
e
E quais foram, as raz˜es que levaram os fara´s a construir as pirˆmides? Geralmente
o o a
se pensa que unicamente para lhes servirem de mausol´us; ´, por´m, imposs´
e e e ıvel que
os reis eg´ıpcios, cujos atos eram controlados pelo sacerd´cio cient´
o ıfico, gastassem tanto
dinheiro e tantos anos de trabalhos, feitos por milhares de oper´rios, com o unico fim de
a ´
satisfazer uma in´til vaidade. Ponderando as aludidas coincidˆncias astronˆmicas com os
u e o
detalhes na constru¸˜o, temos de aceitar a opini˜o daqueles que dizem que, al´m de serem
ca a e
t´mulos de reis, as pirˆmides eram postos astronˆmicos e sagrados redutos de grandes
u a o
iniciados. Marsham Adams considera a pirˆmide como exemplo apresentado em pedra
a
do que o ”Livro dos Mortos”ensina em palavras: que ali a alma, livre do corpo f´ ısico,
passava atrav´s de portas sucessivas; fazia diversas viagens m´
e ısticas e adquiria a posse de
poderes conquistados sobre o seu ”eu”inferior; assim, progredindo de uma inicia¸˜o para
ca
outra, o estudante das leis da Vida e da Morte aprende os segredos da Vida Integral e
entra no segredo da Mans˜o de Luz.
a
Primeiro calend´rio da hist´ria da humanidade e come¸a com a enchente anual do rio
a o c
Nilo. Surge por volta de 3000 a.C. O ano tem 365 dias, divididos em 12 meses de 30 dias
e mais cinco dias extras, dedicados aos deuses.
Os eg´ıpcios s˜o os primeiros a utilizar um calend´rio solar, embora os 12 meses de 30
a a
dias sejam de origem lunar. O ano tem 365 dias - e 6 horas a menos que o ano solar, o
que significa atraso de um dia a cada quatro anos.
Havia trˆs esta¸˜es determinadas pelo fluxo do rio Nilo: Cheias (akket); Semeio
e co
(pert) e Colheita (shemu). A rela¸˜o entre as esta¸˜es definidas pelo Nilo e as esta¸˜es
ca co co
naturais era feita pelo nascer heliacal da estrela Sirius, conhecida dos eg´
ıpcios pelo nome
de Sothis. A primeira apari¸˜o da estrela no c´u da manh˜, depois da sua conjun¸˜o com
ca e a ca
o sol determinava o in´ da contagem das esta¸˜es das Cheias.
ıcio co
O calend´rio eg´
a ıpcio foi reconhecido pelos astrˆnomos gregos e tornou-se o calend´rio
o a
de referˆncia da astronomia por muito tempo. Cop´rnico usou-o para construir suas
e e
t´buas da lua e planetas.
a
8

11. 0.10 Os papiros da Matem´tica
a
Quase tudo o que sabemos sobre a Matem´tica dos antigos eg´
a ıpcios se baseia em
dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por
volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura.
Foi comprado em 1.858 por um antiqu´rio escocˆs chamado Henry Rhind. Por isso ´
a e e
conhecido tamb´m como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum,
e
de Londres. O Papiro de Moscou ´ uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8
e
cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. O papiro de
Golonishev ou de Moscou foi datado aproximadamente no ano de 1850 a.C. Em 1893
Abra˜o V.S Golonishev adquiriu esse papiro e o trouxe para Moscou e n˜o se sabe nada
a a
sobre o seu autor.
O problema mais interessante do papiro de Moscou ´ o problema 14 que mostra
e
o problema do volume de um tronco de uma pirˆmide quadrada ( com a transcri¸˜o
a ca
hierogl´
ıfica ) .
O papiro Rhind descreve os m´todos de multiplica¸˜o e divis˜o dos eg´
e ca a ıpcios, o uso
que faziam das fra¸˜es unit´rias, o emprego da regra da falsa posi¸˜o, a solu¸˜o para o
co a ca ca
problema da determina¸˜o da ´rea de um c´
ca a ırculo e muitas aplica¸˜es da matem´tica a
co a
problemas pr´ticos.
a
0.11 Os problemas de Rhind
O papiro cont´m uma s´rie de tabelas e 85 problemas e as suas solu¸˜es. Eis uma
e e co
lista das suas tabelas e problemas:
C´lculos que mostram 2 dividido por cada um dos n´meros ´
a u ımpares de 3 a 101.
Uma tabela contendo os resultados da divis˜o de cada n´mero de 1 a 9 por 10. 1 a
a u
6 Divis˜o de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 p˜es por 10 homens. 7 a 20 Multiplica¸˜o de diferentes
a a ca
fra¸˜es por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3 21 a 23: Subtra¸˜es: 1 - (2/3 + 1/15),
co co
1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45). 24 a 29 Problemas de
quantidades, envolvendo equa¸˜es do 1o grau com uma inc´gnita, resolvida pelo m´todo
co o e
da falsa posi¸˜o. 30 a 34 Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados
ca
(envolvendo fra¸˜es) e resolvidos pelo m´todo da divis˜o. 35 a 38 Problemas de hekat
co e a
(medida de capacidade), envolvendo equa¸˜es do 1o grau com uma inc´gnita mas ainda
co o
mais complexas que as anteriores, resolvidos pelo m´todo da falsa posi¸˜o. 39 Divis˜o
e ca a
de p˜es. 40 Divis˜o de p˜es envolvendo progress˜es aritm´ticas. 41 a 43 Volumes de
a a a o e
9

12. contentores cil´
ındricos de cereais. 44 a 47 Volumes de contentores paralelepip´dicos de
e
e co o ´
cereais. 47 Tabela das fra¸˜es de 1 h´kat, como fra¸˜es do olho de H´rus. 48 a 53 Areas
co
de triˆngulos, retˆngulos, trap´zios e c´
a a e ırculos. 54 e 55 Divis˜o relacionada com ´rea. 56
a a
a 60 Problemas relacionados com pirˆmides (sekeds, alturas e bases) 61 e 61B Tabela
a
de uma regra para encontrar 2/3 de n´meros ´
u ımpares e fra¸˜es unit´rias. 62 Problema
co a
de propor¸˜es, sobre metais preciosos e os seu peso. 63 e 65 Divis˜o proporcional de
co a
p˜es por um n´mero de homens. 64 Problema envolvendo uma progress˜o aritm´tica. 66
a u a e
Divis˜o de gordura. 67 Propor¸˜o de gado devido a imposto. 68 Divis˜o proporcional de
a ca a
cereais entre grupos de homens. 69 a 78 Problemas de pesos de p˜o e cerveja. Propor¸˜o
a ca
inversa. 79 Progress˜o geom´trica de raz˜o 7. 80 e 81 Tabelas das fra¸˜es do olho de
a e a co
H´rus. 82 a 84 Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de v´rios animais
o a
dom´sticos, como gansos e outras aves.
e
0.12 O surgimento das Fra¸˜es
co
Os eg´ ıpcios usavam cordas para medir o tamanho da perda de cada lote dos habitantes
devido `s cheias do rio Nilo. Havia uma unidade de medida assinada na pr´pria corda.
a o
As pessoas encarregadas de medir o tamanho da perda, esticavam a corda e verificavam
quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Esses
encarregados eram chamados de estiradores de corda.
No entanto, o mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente
cabia um n´mero inteiro de vezes no lado do terreno.
u
Foi por essa raz˜o que os eg´
a ıpcios criaram um novo tipo de n´mero: o n´mero fra-
u u
cion´rio.
a
Para representar os n´meros fracion´rios, usavam fra¸˜es.
u a co
0.13 As fra¸˜es unit´rias
co a
Os eg´
ıpcios trabalhavam bem com a fra¸˜o 2/3, para a qual tinham um sinal hier´tico.
ca a
Tanto que para achar um ter¸o de um n´mero, primeiro achavam 2/3 e tomavam a metade
c u
disso.
Conheciam usavam o fato de que dois ter¸os da fra¸˜o unit´ria 1/p ser a soma de
c ca a
duas fra¸˜es unit´rias 1/2p e 1/6p, e sabiam que o dobro da fra¸˜o 1/2p ´ a fra¸˜o 1/p.
co a ca e ca
10

13. ´
E interessante verificar o modo como os eg´ ıpcios encaravam fra¸˜es de forma geral
co
m/n. N˜o como uma ”coisa”elementar, mas como parte de um processo incompleto.
a
Por exemplo, a fra¸˜o 3/5, para n´s irredut´
ca o ıvel, era pensada como soma de trˆs fra¸oes
e c˜
unit´rias 1/3 + 1/5 + 1/15.
a
O papiro de Rhind fornece uma tabela para a transforma¸˜o de fra¸˜es gerais em
ca co
somas de fra¸˜es unit´rias. Come¸a fornecendo 2/n como soma de fra¸˜es unit´rias,
co a c co a
para todos os valores ´ımpares de n de 5 a 101. E assim outros equivalentes.O ultimo item
´
da tabela decomp˜e 2/101 em 1/101 mais 1/202 mais 1/303 mais 1/606. Isso mostra
o
uma habilidade aritm´tica que ´ dif´ de encontrar mesmo atualmente, apesar de nossos
e e ıcil
recursos t´cnicos e tecnol´gicos.
e o
O tipo de combina¸˜es de fra¸˜es escolhida n˜o ´ explicada. O porque de uma certa
co co a e
combina¸˜o e n˜o outra, ficam sem resposta.
ca a
V´rios investigadores ao analizarem a tabela (c´lculos que mostram 2 dividido por
a a
cada um dos n´meros ´
u ımpares de 5 ` 101) do papiro de Rhind, tiraram algumas conclus˜es
a o
a cerca do sistema de decomposi¸˜o: * Todas as fra¸˜es da forma 2/3K est˜o expressas
ca co a
como soma de fra¸˜es unit´rias da forma 1/2K + 1/6K. * Todas as fra¸˜es da forma
co a co
2/5K s˜o decompostas em 1/3K + 1/5K excetuando a fra¸˜o 2/95 ( K=19 ) que aparece
a ca
decomposta como 1/60 + 1/380 + 1/570.
Estes dois exemplos n˜o s˜o unicos, e atrav´s da analise desta tabela muitos investi-
a a ´ e
gadores acreditam que os eg´ ıpcios possu´
ıam m´todos eruditos (inteligentes), na decom-
e
posi¸˜o de fra¸˜es em soma de fra¸˜es unit´rias.
ca co co a
0.14 A Estagna¸˜o da Ciˆncia no Egito
ca e
O amor aos deuses benevolentes, o respeito ` tradi¸˜o, a preocupa¸˜o com morte e
a ca ca
as necessidades dos mortos, tudo isso encorajou um grau de estagna¸˜o. A geometia
ca
pode ter sido uma d´diva do Nilo, como Her´doto acreditava, mas os eg´
a o ıpcios pouco o
aproveitaram. A matem´tica de Ahmes era a de seus antepassados e descentes. Para real-
a
iza¸˜es matem´ticas mais progressistas devemos examinar o vale fluvial mais turbulento
co a
conhecido como Mesopotˆmia.
a
11

14. Referˆncias Bibliogr´ficas
e a
[1] B.Boyer Carl ,Traducao:F.Gomide Elza, Hist´ria da Matem´tica, Editora
¸˜ o a
Edgard Blucher LTDA (1974).
`
[2] Pileti Nelson, Piletti Claudino , Hist´ria e Vida, III, Editora Atica (1997).
o
[3] , Internet Explorer.
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