O documento apresenta definições e exercícios sobre cinemática de fluidos, incluindo: 1) Definição de velocidade média em uma seção e expressão para seu cálculo. 2) Exemplos de perfis de velocidade em tubos circulares para escoamentos laminar e turbulento. 3) Exercícios resolvidos sobre cálculo de vazão, velocidade e tempo para encher/esvaziar tanques.

1. Capítulo 7 – Cinemática dos Fluidos
Definição: Define-se velocidade média na seção como uma velocidade uniforme que,
substituída no lugar da velocidade real, reproduziria a mesma vazão na seção.
Logo: AvvdAQ m
A
== ∫ .
Dessa desigualdade, surge a expressão para o cálculo da velocidade média na seção:
∫=
A
m vdA
A
v
1
.
Dica: para escoamento em dutos circulares, use rdrdA .2π=
1) No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades
é representado pela equação
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
max 1
R
r
vv , onde maxv é a velocidade no eixo do
conduto, R é o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual a velocidade v é genérica.
Verificar que vm/vmax = 0,5, onde vm = velocidade média na seção.
2) No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares, o diagrama de
velocidades é dado pela equação
7/1
max 1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
R
r
vv , onde todas as grandezas têm o mesmo
significado do Exercício 3.1. Verificar que vm/vmax = 49/60.
3) Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é 6000L, em 1h40min.
Determinar a vazão em volume, em massa e em peso em unidade do SI se ρH2O = 1000
kg/m3
e g = 10 m/s2
.
Resp.: Q = 10-3
m3
/s; m& = 1 kg/s; Q& =10 N/s
4) Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de
diâmetro. A vazão no tubo é 10 L/s. Determinar a velocidade de descida da superfície livre
da água do tanque e, supondo desprezível a variação da vazão, determinar quanto tempo o
nível da água levará para descer 20 cm.
Resp.: v = 4 x 10-4
m/s; t = 500 s.
5) A água escoa por um conduto que possui dois ramais em derivação. O diâmetro do
conduto principal é 15 cm e os das derivações são 2,5 cm e 5 cm, respectivamente. O perfil
das velocidades no conduto principal é dado por:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
2
1
1max 1
R
r
vv e nas derivações
por:
7/1
3,2
3,2max 1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
R
r
vv . Se vmax1 = 0,02 m/s e vmax2 = 0,13 m/s, determinar a velocidade
média no tubo de 5 cm de diâmetro. (Ri = raio da seção A)

2. Resp.: v3 = 0,064 m/s
6) O tanque maior da figura abaixo permanece em nível constante. O escoamento na calha
tem uma seção transversal quadrada e é bidimensional, obedecendo à equação v = 3y2
.
Sabendo que o tanque (B) tem 1 m3
e é totalmente preenchido em 5 segundos e que o
conduto circular tem 30 cm de diâmetro, determinar:
a) Qual é a velocidade média na calha quadrada?
b) Qual é a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro?
c) Qual é a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro?
a) 1 m/s; b) 0,8 m3
/s; c) 13,86 m/s
Definição: Reynolds verificou que o fato de o movimento ser laminar ou turbulento
depende do valor do número adimensional dado por:
υµ
ρ DvDv mm
==Re
onde: ρ é a massa específica, mv é a velocidade média na seção, D é o diâmetro da seção,
µ é a viscosidade dinâmica e υ é a viscosidade cinemática.
Reynolds verificou que, no caso de tubos, seriam observados os seguintes valores:
Re < 2000 - Escoamento laminar
2000 < Re < 2400 - Escoamento de transição
Re > 2400 - Escoamento turbulento

3. 7) No sistema da figura, tem-se um único fluido incompressível de =υ 10-4
m2
/s e
=ρ 1000 kg/m3
.
a) Qual é o número de Re nas seções (1) e (4)?
b) Qual é a velocidade média na seção (2) (m/s)?
c) Qual é a vazão em volume nas seções (1) e (4) (L/s)?
d) Qual é a vazão em volume na derivação e qual o sentido do escoamento? (Indicar no
desenho.)
e) Qual é a vazão em peso na seção (0)?
f) Qual é a velocidade a 1 cm de distância da parede do tubo (4)?
Resp.: a) Re1 = 3430; Re4 = 2000; b) vm2 = 5 m/s; c) Q1 = 18,9 L/s; Q4 = 7,8 L/s;
d) Qder = 38,8 L/s; e) QG0 = 199 N/s; f) v = 5,12 m/s
8) Um propulsor a jato queima 1 kg/s de combustível quando o avião voa à velocidade de
200 m/s. Sendo dados arρ =1,2 kg/m3
; =gρ 0,5 kg/m3
(na seção 2), A1 = 0,3 m2
e A2 = 0,2
m2
, determinar a velocidade dos gases (vg) na seção de saída.
Resp.: 730 m/s

4. 9) Um escoamento é definido pelo campo de velocidades )1(2 tvx += , )1(3 tvy += ,
)1(4 tvz += . Qual é o módulo da velocidade no ponto (3;1;4) no instante t = 2 s? Qual é o
módulo da aceleração no mesmo ponto e instante?
Resp.: v = 16,2; a = 5,4
10) O campo de velocidades de um escoamento bidimensional é dado por
2
423 txyvx ++= , txyvy 32
+= , Determinar os módulos da velocidade e aceleração no
ponto (2;1) no instante t = 5 s.