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Prof.              Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire”                   Matemática
Sérgio Henrique                    Caderno 01 - Conjuntos                             Data __ / __ / __
                                                      de conjunto é a mesma de            coleção,   que
Introdução                                            exemplificaremos a seguir.
  Analise a seguinte situação - problema:             EXEMPLOS
 Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para
                                                      a)   Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada
 saber que esporte elas apreciam entre futebol,
                                                           revista é um elemento desse conjunto.
 basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23
 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei;     b)   Os alunos de nossa sala de aula formam um
 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e        conjunto. Você é um elemento desse conjunto.
 de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das
 três modalidades.
        Quantas pessoas não gostam de nenhum          Relação de Pertinência
        desses esportes?                                 Um conjunto é formado por elementos. Um
        Quantas gostam somente de futebol?            objeto qualquer pode ser elemento de um
                                                      determinado conjunto      . Quando for,
        Quantas gostam só de basquete?
                                                      dizemos que: pertence a      e escrevemos
        Quantas gostam apenas de vôlei?                     .
        E quantas não gostam nem de basquete
                                                           Caso    contrário,   dizemos   que        não
        nem de vôlei?
                                                      pertence a     e escrevemos         .
        Quantas pessoas gostam só de futebol ou
        só de basquete ou de ambos?
                                                      Representação de um conjunto
  Para resolver questões desse tipo,           Um conjunto pode ser representado de três
devemos utilizar conhecimentos de conjuntos. maneiras: por extenso, enumerando elemento
                                             por elemento entre chaves; abreviadamente,
                                             destacando uma propriedade comum apenas
Conceitos Primitivos                         aos seus elementos ou utilizando o Diagrama
  A teoria de conjuntos foi desenvolvida por de Venn.
Georg Cantor por volta de 1872. Além de EXEMPLOS
padronizar a linguagem em todos os ramos
da matemática, essa teoria trouxe-nos outras Vamos fazer as representações possíveis para o
grandes contribuições, como, por exemplo, a conjunto V das vogais:
definição precisa do conceito de infinito.
                                                      a)
  Para dar início à sua teoria, Cantor admitiu
os conceitos primitivos (não definidos) de
                                                      b)
conjunto e de elemento de um conjunto. A idéia
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Sérgio Henrique                   Caderno 01 - Conjuntos                                Data __ / __ / __
                                                         Quando            , podemos também escrever
                                                             (lê-se       contém ).
                                                         Se       não for subconjunto de     , escrevemos
                                                              .
                                                    EXEMPLOS:
                                                    a)

Tipos de conjunto
•   Conjunto Unitário é todo conjunto formado
    por um único elemento.
•   Conjunto Vazioé aquele que não possui
    elemento algum.
                                                    c)
    Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou
    por { }.                                             A relação                 chama-se    Relação de
•   Conjunto Finito  é todo conjunto que, Inclusão. São casos particulares extremos de
    contando os elementos, um a um, chega- inclusão:
    se ao fim da contagem.                 •

•   Conjunto Infinito é todo conjunto que não é     •
    finito, ou seja, não conseguimos chegar
    ao fim da contagem.
                                                    Igualdade de conjuntos
•   Conjunto Universo é o conjunto formado por
                                               Dois conjuntos                  e    são iguais (           )
    todos os elementos com os quais estamos
    trabalhando num determinado assunto.    se, e somente se,                       e       .
    O conjunto universo é representado por          EXEMPLOS:
    .                                               a)
                                                    b)
Relação de Inclusão
                                                                    OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
   Consideremos dois conjuntos,  e . Se
todos os elementos de      forem também                      A Relação de Pertinência é utilizada para
elementos de , dizemos que         é um                  relacionar elemento e conjunto, e a Relação de
                                                         Inclusão é utilizada para relacionar conjunto e
subconjunto de       ou que     está contido em
                                                                           conjunto!!!
ou, ainda, que     é parte de    . Indicamos esse
fato por       .
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                    Exercícios                      Operações entre conjuntos
   1) Represente na forma tabular os seguintes • União (ou reunião) de conjuntos
      conjuntos:
                                                      A união (ou reunião) de dois conjuntos e
   a)                                                , que indicaremos por         , é o conjunto
   b)                                               cujos elementos são todos aqueles que
   c)                                               pertencem a ou a .
   d)
   e)
                                                    EXEMPLOS:
2) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como    a)   Sendo              e                , temos que:
   finito ou infinito.
   a)
                                                    b)   Sendo                  e                       ,
   b)
                                                         temos que:                              .
   c)
   d)                                               c)   Sendo                  e                       ,
                                                         temos que:                      .
3) (Unirio) Sendo       e        números tais que
                         , pode-se afirmar que:          Representação da união de conjuntos em
                                                                   diagramas de Venn
   a)           e           d)
   b)                       e)
   c)


4) Represente              os           conjuntos
                                                e
                       no diagrama.




5) Determine todos os subconjuntos de
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        Propriedades da União de Conjuntos              Representação da intersecção de conjuntos em
                                                                   diagramas de Venn
     Em      particular,    temos:                  e
                      .



                                            e

• Intersecção de conjuntos
   A intersecção de dois conjuntos e , que
indicaremos por          , é o conjunto cujos
elementos são todos aqueles que pertencem a
  ea .


EXEMPLOS:
a)   Sendo                       e                  ,
     temos que:
b)   Sendo                   e               , temos
     que:                                                   Propriedades da intersecção de Conjuntos
c)   Sendo                   e                      ,   
     temos que:                      .                      Em   particular,   temos:                   e
                                                                          .

                                                        
              OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
                                                                                                 e
      Dizemos que dois conjuntos dão disjuntos
     se, e somente se, a intersecção entre eles é       

     o conjunto vazio. Note no exemplo (b) que              e
           os conjuntos C e D são disjuntos.            
                                                            e


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Sérgio Henrique                   Caderno 01 - Conjuntos                                     Data __ / __ / __
• Diferença de conjuntos                                   Propriedades da diferença de Conjuntos
  A diferença de dois conjuntos e , nessa            
ordem, que indicaremos por          , é o                 Em     particular,     temos:                       e
conjunto cujos elementos são todos aqueles                                 .
que pertencem a e não pertencem a
                                                     

                                                          Em particular,
EXEMPLOS:                                            

a)   Sendo                                       e
                            ,     temos       que: • Complementar de conjuntos
                        e                              Sejam e dois conjuntos tais que        .
                                                     Chama-se complementar de em relação a
b)   Sendo                       e                 , , que indicamos por       o conjunto cujos
     temos que:                   e               . elementos são todos aqueles que pertencem a
                                                       e não pertencem a .
     Representação da diferença de conjuntos em
                diagramas de Venn
                                                       Note que o conjunto                                 é
                                                     exatamente a diferença                   . Assim, temos
                                                     que:



                                                                     OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
                                                             A condição necessária e suficiente para que
                                                           exista é que . Caso contrário, dizemos que não
                                                                               existe .

                                                     EXEMPLOS:
                                                     a)   Sendo                      e                         ,
                                                          temos que:           logo existe       , que é igual a
                                                                 , isto é:


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b)   Sendo                       e             ,               OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
     temos que:       ; logo, não existe   .
                                                       Se possui elementos, então terá elementos.
Representação do complementar de um conjunto
            em diagramas de Venn
                                                                     Exercícios
                                                   6) Dados                os                 conjuntos
                                                                                                      e
                                                                         , determine:
                                                      a)                        f)
                                                      b)                                g)
                                                      c)                                h)
          Propriedades do complementar                d)                                i)
                                                     e)


                                                   7) Considerando o universo de todas as pessoas
     Em particular,                                   brasileiras, sejam os conjuntos:
     




Partes de um conjunto                                 Indicando o complementar de em relação a
                                                      , escreva uma propriedade que determine os
  Dado o conjunto               , é possível          elementos dos conjuntos a seguir:
escrever todos os subconjuntos (ou todas as
partes) de . Esse conjunto formado por                a)
todos os subconjuntos de     é chamado de             b)
conjunto das partes de e é indicado por               c)
      . Assim, temos:
                                                      d)

                                                      e)




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8)        (Cesgranrio) Se        e      são conjuntos e      c)
                     , pode-se sempre concluir que:
     a)
                                                          11) Dados             e                  , determine:
                                                             a)
     b)
                                                             b)
     c)

     d)                                                      c)   Número de elementos de
     e)                                                      d)   Número de elementos de

9) Observando os conjuntos representados pelo 12) Se         tem 64 elementos, quantos elementos
   diagrama, determine:                           têm o conjunto ?

                                                          13) Escreva um subconjunto dos números naturais
                                                              tal que      tenha 16 elementos.

                                                          Número de elementos da União de
                                                          conjuntos
     a)                  d)                               • Dois conjuntos:
                                                                  Sejam     e    dois conjuntos, tais que
     b)                  e)                                               . Então, temos que:
     c)                           f)

10) (UFPI) Considerando os conjuntos         e na            Caso,                  , temos que:
   figura abaixo, a região hachurada representa:


                                                          • Três conjuntos
                                                                Para três conjuntos temos a seguinte
                                                             fórmula:



     a)                           d)
     b)                           e)

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                   Exercícios                             17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se
                                                              verificar a audiência dos programas de
                                                              televisão, os seguintes resultados foram
14) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as
                                                              encontrados: 510 famílias assistem ao
    seguintes perguntas para que respondessem sim ou
                                                              programa , 305 assistem ao programa e
    não: gosta de música? Gosta de esportes?
                                                              386 assistem ao programa . Sabe-se ainda
    Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens;
                                                              que 180 famílias assistem aos programas e
    70 responderam sim à segunda; 25 responderam
                                                                , 60 assistem aos programas e , 25
    sim a ambas; e 40 responderam não a ambas.
                                                              assistem a e , e 10 famílias assistem aos
    Quantos jovens foram entrevistados?
                                                              três programas.
   15) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas           a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses
       para saber que esporte elas apreciam entre            programas?
       futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o       b)   Quantas famílias assistem somente ao
       seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete          programa ?
       e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de
                                                          c)   Quantas famílias não assistem nem ao
       basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete
                                                               programa nem ao programa ?
       e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
   a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses         18) Um professor de Português sugeriu em uma
      esportes?                                               classe a leitura dos livros Helena, de Machado
   b) Quantas gostam somente de futebol?                      de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte
                                                              alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10
   c) Quantas gostam só de basquete?
                                                              leram os dois livros e 15 não leram nenhum
   d) Quantas gostam apenas de vôlei?                         deles.
   e) E quantas não gostam nem de futebol nem de          a) Quantos alunos leram Iracema?
      vôlei?
                                                          b) Quantos alunos leram só Helena?
   f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de
                                                          c) Qual é o número de alunos nessa classe?
      basquete ou de ambos?
                                                          19) Na porta de um supermercado foi realizada
16) Uma prova de duas questões foi dada a uma classe
                                                              uma enquete, com 100 pessoas, sobre três
    de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas
                                                              produtos. As respostas foram: 10 pessoas
    questões, 25 acertaram a primeira questão e 20
                                                              compram somente o produto , 30 pessoas
    acertaram a segunda questão. Quantos alunos
                                                              compram somente o produto , 15 pessoas
    erraram as duas questões?
                                                              compram somente o produto , 8 pessoas

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        compram e , 5 pessoas compram e , 6            a) Quanto por cento não lê nenhum desses
        pessoas compram e , e 4 compram os três           jornais?
        produtos.                                      b)   Quanto por cento lê os jornais   e    e não lê
   a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos               ?
      três produtos?                                   c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
   b) Quantas pessoas não compram nenhum desses
      três produtos?                                   22) Numa pesquisa sobre audiência de TV entre
   c)   Quantas pessoas compram os produtos e      e       125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao
        não compram ?                                      canal , 40 ao canal , 15 ao canal , 25
                                                           assistem a e , 8 a e , 3 a e , e 1
   d)   Quantas pessoas compram os produtos   ou           assiste aos três.
        ?
                                                       a) Quantos não assistem a nenhum desses três
   e)   Quantas pessoas compram o produto ?               canais?
   f)   Quantas pessoas compram o produto ?            b)   Quantos assistem somente ao canal ?
   20) Num levantamento sobre 100 estudantes sobre     c)   Quantos não assistem nem a nem a ?
       o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes
       resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam       23) Foram entrevistadas cinqüenta donas de casa
       Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam           sobre suas preferências em relação a duas
       Inglês e Francês, 8 estudam Francês e               marcas e de sabão em pó. Os resultados
       Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5           da pesquisa foram precisamente:
       estudam os três idiomas.                        •    21 pessoas responderam que usam a marca .
   a) Quantos estudantes não estudam nenhum            •    10 pessoas responderam que usam a marca     e
      desses idiomas?                                       a marca .
   b) Quantos estudantes estudam apenas um desses      • 5 pessoas responderam que não usam nenhuma
      idiomas?                                           das duas marcas.
                                                  De acordo com esses dados, quantas pessoas usam
   21) Uma pesquisa mostrou que 33% dos           somente a marca ?
       entrevistados lêem o jornal , 29% lêem o
       jornal , 22% lêem o jornal , 13% lêem e 24) O departamento de seleção de pessoal de uma
         , 6% lêem e , 14% lêem e e 6%             indústria automobilística, analisando o currículo
       lêem os três jornais.                       de 47 candidatos, conclui que apenas três dos
                                                   candidatos nunca trabalharam em montagem ou

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   pintura; e que precisamente 32 candidatos já           • 30 alunos lêem revista;
   trabalharam em montagem e 29 já trabalharam
                                                          • 5 alunos não lêem jornal nem revista.
   em pintura. Quantos desses candidatos já
   trabalharam nos dois setores?                          Quantos alunos lêem jornal e revista?

   25) Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois        28) (PUC/Campinas – SP) Numa comunidade
       filmes e . Precisamente:                               constituída de 1800 pessoas, há três programas
                                                              de TV favoritos: esporte      , novela       e
   •   13 dessas pessoas assistiram ao filme .
                                                              humorismo        . A tabela a seguir indica
   • 5 pessoas assistiram aos dois filmes.                    quantas pessoas assistem a esses programas:
   • 6 pessoas não assistiram a nenhum dos dois
     filmes.
  Quantas pessoas assistiram ao filme        , sabendo
  que todas as 29 pessoas opinaram?                       Por meio desses dados, verifica-se que o número de
                                                          pessoas da comunidade que não assistem a
   26) A partir de uma pesquisa feita com 2200            qualquer dos três programas é:
       gaúchos, a Secretaria de Turismo do Estado         a) 100
       concluiu que:
                                                          b) 200
   • Exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na
     região nordeste do Brasil;                           c) 900
                                                          d) Os dados do problema estão incorretos
   • Exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na
     região norte do Brasil;                              e) N.d.a.
   • Exatamente 206 dessas pessoas já estiveram
                                                          29) Um conjunto universo       possui precisamente
     nas duas regiões.
                                                              23 elementos.
   Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram
   em nenhuma das duas regiões?

   27) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram
       numa pesquisa em que eram solicitados a
                                                          Dois subconjuntos e de são tais que:
       responder se eram leitores de jornal ou revista.
       Conclui-se exatamente que:                         •      possui 12 elementos, precisamente;
   • 24 alunos lêem jornal;                               •      possui 9 elementos, precisamente;


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Sérgio Henrique                   Caderno 01 - Conjuntos                                      Data __ / __ / __
   •   Existem exatamente 5 elementos de      que não         •    17 professores lecionam no prédio e ;
       pertencem a        .                                   •    18 professores lecionam no prédio e ;
   Determine o número de elementos de          .              •    13 professores lecionam no prédio e .
   30) Um conjunto universo           é tal que               Quantos desses professores lecionam nos três
                     e os subconjuntos e de                   prédios da escola?
       são tais que:
                                                              33) (UESPI) Sejam       e conjuntos finitos de
                                                    e             modo que e são disjuntos. Se
                  .                                               possui 8 elementos,               possui 24
   Determine             .                                        elementos e        possui 17 elementos, então
                                                                  o número de elementos de                 é:
   31) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes          a)   7                   d) 2
       de dois refrigerantes: o grud-cola e o pimba-
       cola. Para se saber qual o preferido em uma            b)   9                   e) 1
       certa região, foi feita uma pesquisa entre 245         c) 4
       jovens dessa localidade. Precisamente:
                                                              34) (ITA – SP) Denotemos por         o número de
   • 135 jovens entrevistados bebem grud-cola;
                                                                  elementos de um conjunto finito . Sejam
   • 75 jovens bebem os dois refrigerantes;                       e               conjuntos       tais     que
   • 40 jovens não bebem nenhum dos dois                                                               ,
     refrigerantes.
                                                                   e                     .
   Sabendo que todos os 245 jovens opinaram,
   conclua você qual é o refrigerante preferido por           Então                            é igual a:
   eles e quantos jovens bebem esse refrigerante.             a)   11                  d) 18
                                                              b)   14                  e) 25
   32) Cada um dos 51 professores de uma escola
       leciona em pelo menos um dos três prédios              c) 15
             e que possui a escola. A distribuição
       de aulas aos professores foi feita de modo que,                 Questões de vestibulares
       precisamente:
   •   32 professores lecionam no prédio ;               1)   (UFPA – PSS 07) Um professor de Matemática, ao
                                                              lecionar Teoria dos Conjuntos em uma turma,
   •   30 professores lecionam no prédio ;
                                                              realizou uma pesquisa sobre as preferências
   •   29 professores lecionam no prédio ;
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Sérgio Henrique                       Caderno 01 - Conjuntos                                  Data __ / __ / __
     clubísticas de seus     alunos, tendo chegado ao          c) 10
     seguinte resultado:
     • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;         3)   (UFPA – PSE 01/09) Em uma turma de 50
                                                               alunos, 30 gostam de azul, 10 gostam igualmente
     • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;                    de azul e amarelo, 5 não gostam de azul nem de
     • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco            amarelo. Os alunos que gostam de amarelo são
        da Gama;                                               a) 25.
     • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;             b) 20.
     • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.                 c) 18.
     Se designarmos por o conjunto dos torcedores              d) 15.
     do Paysandu, por o conjunto dos torcedores do             e) 10.
     Remo e por o conjunto dos torcedores do Vasco,
     todos da referida turma, teremos, evidentemente,
                                                          4)    (UEPA – PROSEL 06) A Câmara dos Deputados
                  .
                                                               reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a
     Concluímos que o número de alunos desta turma             instalação de duas Comissões Parlamentares de
     é                                                         Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos
     a)   49                   d) 45                           320 deputados presentes, 190 votaram a favor da
                                                               instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação
     b)   50                   e) 46
                                                               da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da
     c) 47                                                     instalação das duas comissões e           deputados
                                                               foram contrários à instalação das CPIs. O número
2)   (UFPA – PSS 08) Feita uma pesquisa entre 100              de deputados que votaram contra a instalação das
     alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas           CPIs é:
     português, geografia e história, constatou-se que
                                                               a) 160
     65 gostam de português, 60 gostam de geografia,
     50 gostam de história, 35 gostam de português e           b) 90
     geografia, 30 gostam de geografia e história, 20          c) 70
     gostam de história e português e 10 gostam dessas         d) 50
     três disciplinas. O número de alunos que não gosta
     de nenhuma dessas disciplinas é:                          e) 20
     a)   0                    d) 15
                                                          5)    (UEPA – PROSEL 07) Os carros podem ser
     b)   5                    e) 20                           adquiridos dentre três alternativas em termos de
                                                               combustível. Podem ser movidos a gasolina, a
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Sérgio Henrique                    Caderno 01 - Conjuntos              Data __ / __ / __
   álcool ou aos dois combustíveis (flex). Desta forma,
   foi verificado que no pátio de uma concessionária
   de veículos há: 120 automóveis que podem ser
   movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a
   álcool e 93 que podem ser movidos com os dois
   combustíveis (flex). O número de carros existentes
   no pátio dessa concessionária é:
   a) 325
   b) 232
   c) 213
   d) 205
   e) 139




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  • 1. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ de conjunto é a mesma de coleção, que Introdução exemplificaremos a seguir. Analise a seguinte situação - problema: EXEMPLOS Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada saber que esporte elas apreciam entre futebol, revista é um elemento desse conjunto. basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; b) Os alunos de nossa sala de aula formam um 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e conjunto. Você é um elemento desse conjunto. de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. Quantas pessoas não gostam de nenhum Relação de Pertinência desses esportes? Um conjunto é formado por elementos. Um Quantas gostam somente de futebol? objeto qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto . Quando for, Quantas gostam só de basquete? dizemos que: pertence a e escrevemos Quantas gostam apenas de vôlei? . E quantas não gostam nem de basquete Caso contrário, dizemos que não nem de vôlei? pertence a e escrevemos . Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos? Representação de um conjunto Para resolver questões desse tipo, Um conjunto pode ser representado de três devemos utilizar conhecimentos de conjuntos. maneiras: por extenso, enumerando elemento por elemento entre chaves; abreviadamente, destacando uma propriedade comum apenas Conceitos Primitivos aos seus elementos ou utilizando o Diagrama A teoria de conjuntos foi desenvolvida por de Venn. Georg Cantor por volta de 1872. Além de EXEMPLOS padronizar a linguagem em todos os ramos da matemática, essa teoria trouxe-nos outras Vamos fazer as representações possíveis para o grandes contribuições, como, por exemplo, a conjunto V das vogais: definição precisa do conceito de infinito. a) Para dar início à sua teoria, Cantor admitiu os conceitos primitivos (não definidos) de b) conjunto e de elemento de um conjunto. A idéia Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 1
  • 2. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ Quando , podemos também escrever (lê-se contém ). Se não for subconjunto de , escrevemos . EXEMPLOS: a) Tipos de conjunto • Conjunto Unitário é todo conjunto formado por um único elemento. • Conjunto Vazioé aquele que não possui elemento algum. c) Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou por { }. A relação chama-se Relação de • Conjunto Finito é todo conjunto que, Inclusão. São casos particulares extremos de contando os elementos, um a um, chega- inclusão: se ao fim da contagem. • • Conjunto Infinito é todo conjunto que não é • finito, ou seja, não conseguimos chegar ao fim da contagem. Igualdade de conjuntos • Conjunto Universo é o conjunto formado por Dois conjuntos e são iguais ( ) todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. se, e somente se, e . O conjunto universo é representado por EXEMPLOS: . a) b) Relação de Inclusão OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Consideremos dois conjuntos, e . Se todos os elementos de forem também A Relação de Pertinência é utilizada para elementos de , dizemos que é um relacionar elemento e conjunto, e a Relação de Inclusão é utilizada para relacionar conjunto e subconjunto de ou que está contido em conjunto!!! ou, ainda, que é parte de . Indicamos esse fato por . Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 2
  • 3. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ Exercícios Operações entre conjuntos 1) Represente na forma tabular os seguintes • União (ou reunião) de conjuntos conjuntos: A união (ou reunião) de dois conjuntos e a) , que indicaremos por , é o conjunto b) cujos elementos são todos aqueles que c) pertencem a ou a . d) e) EXEMPLOS: 2) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como a) Sendo e , temos que: finito ou infinito. a) b) Sendo e , b) temos que: . c) d) c) Sendo e , temos que: . 3) (Unirio) Sendo e números tais que , pode-se afirmar que: Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn a) e d) b) e) c) 4) Represente os conjuntos e no diagrama. 5) Determine todos os subconjuntos de Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 3
  • 4. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ Propriedades da União de Conjuntos Representação da intersecção de conjuntos em  diagramas de Venn Em particular, temos: e .   e • Intersecção de conjuntos A intersecção de dois conjuntos e , que indicaremos por , é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a ea . EXEMPLOS: a) Sendo e , temos que: b) Sendo e , temos que: Propriedades da intersecção de Conjuntos c) Sendo e ,  temos que: . Em particular, temos: e .  OBSERVAÇÃO IMPORTANTE  e Dizemos que dois conjuntos dão disjuntos se, e somente se, a intersecção entre eles é  o conjunto vazio. Note no exemplo (b) que e os conjuntos C e D são disjuntos.  e Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 4
  • 5. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ • Diferença de conjuntos Propriedades da diferença de Conjuntos A diferença de dois conjuntos e , nessa  ordem, que indicaremos por , é o Em particular, temos: e conjunto cujos elementos são todos aqueles . que pertencem a e não pertencem a  Em particular, EXEMPLOS:  a) Sendo e , temos que: • Complementar de conjuntos e Sejam e dois conjuntos tais que . Chama-se complementar de em relação a b) Sendo e , , que indicamos por o conjunto cujos temos que: e . elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a . Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn Note que o conjunto é exatamente a diferença . Assim, temos que: OBSERVAÇÃO IMPORTANTE A condição necessária e suficiente para que exista é que . Caso contrário, dizemos que não existe . EXEMPLOS: a) Sendo e , temos que: logo existe , que é igual a , isto é: Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 5
  • 6. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ b) Sendo e , OBSERVAÇÃO IMPORTANTE temos que: ; logo, não existe . Se possui elementos, então terá elementos. Representação do complementar de um conjunto em diagramas de Venn Exercícios 6) Dados os conjuntos e , determine: a) f) b) g) c) h) Propriedades do complementar d) i)  e)  7) Considerando o universo de todas as pessoas Em particular, brasileiras, sejam os conjuntos:   Partes de um conjunto Indicando o complementar de em relação a , escreva uma propriedade que determine os Dado o conjunto , é possível elementos dos conjuntos a seguir: escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de . Esse conjunto formado por a) todos os subconjuntos de é chamado de b) conjunto das partes de e é indicado por c) . Assim, temos: d) e) Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 6
  • 7. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ 8) (Cesgranrio) Se e são conjuntos e c) , pode-se sempre concluir que: a) 11) Dados e , determine: a) b) b) c) d) c) Número de elementos de e) d) Número de elementos de 9) Observando os conjuntos representados pelo 12) Se tem 64 elementos, quantos elementos diagrama, determine: têm o conjunto ? 13) Escreva um subconjunto dos números naturais tal que tenha 16 elementos. Número de elementos da União de conjuntos a) d) • Dois conjuntos: Sejam e dois conjuntos, tais que b) e) . Então, temos que: c) f) 10) (UFPI) Considerando os conjuntos e na Caso, , temos que: figura abaixo, a região hachurada representa: • Três conjuntos Para três conjuntos temos a seguinte fórmula: a) d) b) e) Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 7
  • 8. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ Exercícios 17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram 14) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as encontrados: 510 famílias assistem ao seguintes perguntas para que respondessem sim ou programa , 305 assistem ao programa e não: gosta de música? Gosta de esportes? 386 assistem ao programa . Sabe-se ainda Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; que 180 famílias assistem aos programas e 70 responderam sim à segunda; 25 responderam , 60 assistem aos programas e , 25 sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. assistem a e , e 10 famílias assistem aos Quantos jovens foram entrevistados? três programas. 15) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses para saber que esporte elas apreciam entre programas? futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o b) Quantas famílias assistem somente ao seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete programa ? e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de c) Quantas famílias não assistem nem ao basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete programa nem ao programa ? e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses 18) Um professor de Português sugeriu em uma esportes? classe a leitura dos livros Helena, de Machado b) Quantas gostam somente de futebol? de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 c) Quantas gostam só de basquete? leram os dois livros e 15 não leram nenhum d) Quantas gostam apenas de vôlei? deles. e) E quantas não gostam nem de futebol nem de a) Quantos alunos leram Iracema? vôlei? b) Quantos alunos leram só Helena? f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de c) Qual é o número de alunos nessa classe? basquete ou de ambos? 19) Na porta de um supermercado foi realizada 16) Uma prova de duas questões foi dada a uma classe uma enquete, com 100 pessoas, sobre três de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas produtos. As respostas foram: 10 pessoas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 compram somente o produto , 30 pessoas acertaram a segunda questão. Quantos alunos compram somente o produto , 15 pessoas erraram as duas questões? compram somente o produto , 8 pessoas Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 8
  • 9. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ compram e , 5 pessoas compram e , 6 a) Quanto por cento não lê nenhum desses pessoas compram e , e 4 compram os três jornais? produtos. b) Quanto por cento lê os jornais e e não lê a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos ? três produtos? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal? b) Quantas pessoas não compram nenhum desses três produtos? 22) Numa pesquisa sobre audiência de TV entre c) Quantas pessoas compram os produtos e e 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao não compram ? canal , 40 ao canal , 15 ao canal , 25 assistem a e , 8 a e , 3 a e , e 1 d) Quantas pessoas compram os produtos ou assiste aos três. ? a) Quantos não assistem a nenhum desses três e) Quantas pessoas compram o produto ? canais? f) Quantas pessoas compram o produto ? b) Quantos assistem somente ao canal ? 20) Num levantamento sobre 100 estudantes sobre c) Quantos não assistem nem a nem a ? o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam 23) Foram entrevistadas cinqüenta donas de casa Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam sobre suas preferências em relação a duas Inglês e Francês, 8 estudam Francês e marcas e de sabão em pó. Os resultados Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5 da pesquisa foram precisamente: estudam os três idiomas. • 21 pessoas responderam que usam a marca . a) Quantos estudantes não estudam nenhum • 10 pessoas responderam que usam a marca e desses idiomas? a marca . b) Quantos estudantes estudam apenas um desses • 5 pessoas responderam que não usam nenhuma idiomas? das duas marcas. De acordo com esses dados, quantas pessoas usam 21) Uma pesquisa mostrou que 33% dos somente a marca ? entrevistados lêem o jornal , 29% lêem o jornal , 22% lêem o jornal , 13% lêem e 24) O departamento de seleção de pessoal de uma , 6% lêem e , 14% lêem e e 6% indústria automobilística, analisando o currículo lêem os três jornais. de 47 candidatos, conclui que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em montagem ou Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 9
  • 10. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ pintura; e que precisamente 32 candidatos já • 30 alunos lêem revista; trabalharam em montagem e 29 já trabalharam • 5 alunos não lêem jornal nem revista. em pintura. Quantos desses candidatos já trabalharam nos dois setores? Quantos alunos lêem jornal e revista? 25) Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois 28) (PUC/Campinas – SP) Numa comunidade filmes e . Precisamente: constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte , novela e • 13 dessas pessoas assistiram ao filme . humorismo . A tabela a seguir indica • 5 pessoas assistiram aos dois filmes. quantas pessoas assistem a esses programas: • 6 pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes. Quantas pessoas assistiram ao filme , sabendo que todas as 29 pessoas opinaram? Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a 26) A partir de uma pesquisa feita com 2200 qualquer dos três programas é: gaúchos, a Secretaria de Turismo do Estado a) 100 concluiu que: b) 200 • Exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na região nordeste do Brasil; c) 900 d) Os dados do problema estão incorretos • Exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na região norte do Brasil; e) N.d.a. • Exatamente 206 dessas pessoas já estiveram 29) Um conjunto universo possui precisamente nas duas regiões. 23 elementos. Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram em nenhuma das duas regiões? 27) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a Dois subconjuntos e de são tais que: responder se eram leitores de jornal ou revista. Conclui-se exatamente que: • possui 12 elementos, precisamente; • 24 alunos lêem jornal; • possui 9 elementos, precisamente; Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 10
  • 11. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ • Existem exatamente 5 elementos de que não • 17 professores lecionam no prédio e ; pertencem a . • 18 professores lecionam no prédio e ; Determine o número de elementos de . • 13 professores lecionam no prédio e . 30) Um conjunto universo é tal que Quantos desses professores lecionam nos três e os subconjuntos e de prédios da escola? são tais que: 33) (UESPI) Sejam e conjuntos finitos de e modo que e são disjuntos. Se . possui 8 elementos, possui 24 Determine . elementos e possui 17 elementos, então o número de elementos de é: 31) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes a) 7 d) 2 de dois refrigerantes: o grud-cola e o pimba- cola. Para se saber qual o preferido em uma b) 9 e) 1 certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 c) 4 jovens dessa localidade. Precisamente: 34) (ITA – SP) Denotemos por o número de • 135 jovens entrevistados bebem grud-cola; elementos de um conjunto finito . Sejam • 75 jovens bebem os dois refrigerantes; e conjuntos tais que • 40 jovens não bebem nenhum dos dois , refrigerantes. e . Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua você qual é o refrigerante preferido por Então é igual a: eles e quantos jovens bebem esse refrigerante. a) 11 d) 18 b) 14 e) 25 32) Cada um dos 51 professores de uma escola leciona em pelo menos um dos três prédios c) 15 e que possui a escola. A distribuição de aulas aos professores foi feita de modo que, Questões de vestibulares precisamente: • 32 professores lecionam no prédio ; 1) (UFPA – PSS 07) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma turma, • 30 professores lecionam no prédio ; realizou uma pesquisa sobre as preferências • 29 professores lecionam no prédio ; Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 11
  • 12. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao c) 10 seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 3) (UFPA – PSE 01/09) Em uma turma de 50 alunos, 30 gostam de azul, 10 gostam igualmente • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; de azul e amarelo, 5 não gostam de azul nem de • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco amarelo. Os alunos que gostam de amarelo são da Gama; a) 25. • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; b) 20. • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. c) 18. Se designarmos por o conjunto dos torcedores d) 15. do Paysandu, por o conjunto dos torcedores do e) 10. Remo e por o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, 4) (UEPA – PROSEL 06) A Câmara dos Deputados . reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a Concluímos que o número de alunos desta turma instalação de duas Comissões Parlamentares de é Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos a) 49 d) 45 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação b) 50 e) 46 da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da c) 47 instalação das duas comissões e deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número 2) (UFPA – PSS 08) Feita uma pesquisa entre 100 de deputados que votaram contra a instalação das alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas CPIs é: português, geografia e história, constatou-se que a) 160 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e b) 90 geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 c) 70 gostam de história e português e 10 gostam dessas d) 50 três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é: e) 20 a) 0 d) 15 5) (UEPA – PROSEL 07) Os carros podem ser b) 5 e) 20 adquiridos dentre três alternativas em termos de combustível. Podem ser movidos a gasolina, a Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 12
  • 13. Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __ álcool ou aos dois combustíveis (flex). Desta forma, foi verificado que no pátio de uma concessionária de veículos há: 120 automóveis que podem ser movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a álcool e 93 que podem ser movidos com os dois combustíveis (flex). O número de carros existentes no pátio dessa concessionária é: a) 325 b) 232 c) 213 d) 205 e) 139 Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 13