Conjuntos e operações matemáticas

Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática
Sérgio Henrique Caderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __
de conjunto é a mesma de coleção, que
Introdução exemplificaremos a seguir.
Analise a seguinte situação - problema: EXEMPLOS
Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para
a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada
saber que esporte elas apreciam entre futebol,
revista é um elemento desse conjunto.
basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23
gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; b) Os alunos de nossa sala de aula formam um
10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e conjunto. Você é um elemento desse conjunto.
de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das
três modalidades.
Quantas pessoas não gostam de nenhum Relação de Pertinência
desses esportes? Um conjunto é formado por elementos. Um
Quantas gostam somente de futebol? objeto qualquer pode ser elemento de um
determinado conjunto . Quando for,
Quantas gostam só de basquete?
dizemos que: pertence a e escrevemos
Quantas gostam apenas de vôlei? .
E quantas não gostam nem de basquete
Caso contrário, dizemos que não
nem de vôlei?
pertence a e escrevemos .
Quantas pessoas gostam só de futebol ou
só de basquete ou de ambos?
Representação de um conjunto
Para resolver questões desse tipo, Um conjunto pode ser representado de três
devemos utilizar conhecimentos de conjuntos. maneiras: por extenso, enumerando elemento
por elemento entre chaves; abreviadamente,
destacando uma propriedade comum apenas
Conceitos Primitivos aos seus elementos ou utilizando o Diagrama
A teoria de conjuntos foi desenvolvida por de Venn.
Georg Cantor por volta de 1872. Além de EXEMPLOS
padronizar a linguagem em todos os ramos
da matemática, essa teoria trouxe-nos outras Vamos fazer as representações possíveis para o
grandes contribuições, como, por exemplo, a conjunto V das vogais:
definição precisa do conceito de infinito.
a)
Para dar início à sua teoria, Cantor admitiu
os conceitos primitivos (não definidos) de
b)
conjunto e de elemento de um conjunto. A idéia
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Quando , podemos também escrever
(lê-se contém ).
Se não for subconjunto de , escrevemos
.
EXEMPLOS:
a)

Tipos de conjunto
• Conjunto Unitário é todo conjunto formado
por um único elemento.
• Conjunto Vazioé aquele que não possui
elemento algum.
c)
Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou
por { }. A relação chama-se Relação de
• Conjunto Finito é todo conjunto que, Inclusão. São casos particulares extremos de
contando os elementos, um a um, chega- inclusão:
se ao fim da contagem. •

• Conjunto Infinito é todo conjunto que não é •
finito, ou seja, não conseguimos chegar
ao fim da contagem.
Igualdade de conjuntos
• Conjunto Universo é o conjunto formado por
Dois conjuntos e são iguais ( )
todos os elementos com os quais estamos
trabalhando num determinado assunto. se, e somente se, e .
O conjunto universo é representado por EXEMPLOS:
. a)
b)
Relação de Inclusão
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Consideremos dois conjuntos, e . Se
todos os elementos de forem também A Relação de Pertinência é utilizada para
elementos de , dizemos que é um relacionar elemento e conjunto, e a Relação de
Inclusão é utilizada para relacionar conjunto e
subconjunto de ou que está contido em
conjunto!!!
ou, ainda, que é parte de . Indicamos esse
fato por .
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Exercícios Operações entre conjuntos
1) Represente na forma tabular os seguintes • União (ou reunião) de conjuntos
conjuntos:
A união (ou reunião) de dois conjuntos e
a) , que indicaremos por , é o conjunto
b) cujos elementos são todos aqueles que
c) pertencem a ou a .
d)
e)
EXEMPLOS:
2) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como a) Sendo e , temos que:
finito ou infinito.
a)
b) Sendo e ,
b)
temos que: .
c)
d) c) Sendo e ,
temos que: .
3) (Unirio) Sendo e números tais que
, pode-se afirmar que: Representação da união de conjuntos em
diagramas de Venn
a) e d)
b) e)
c)

4) Represente os conjuntos
e
no diagrama.

5) Determine todos os subconjuntos de
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Propriedades da União de Conjuntos Representação da intersecção de conjuntos em
 diagramas de Venn
Em particular, temos: e
.



 e

• Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois conjuntos e , que
indicaremos por , é o conjunto cujos
elementos são todos aqueles que pertencem a
ea .

EXEMPLOS:
a) Sendo e ,
temos que:
b) Sendo e , temos
que: Propriedades da intersecção de Conjuntos
c) Sendo e , 
temos que: . Em particular, temos: e
.


 e
Dizemos que dois conjuntos dão disjuntos
se, e somente se, a intersecção entre eles é 

o conjunto vazio. Note no exemplo (b) que e
os conjuntos C e D são disjuntos. 
e

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• Diferença de conjuntos Propriedades da diferença de Conjuntos
A diferença de dois conjuntos e , nessa 
ordem, que indicaremos por , é o Em particular, temos: e
conjunto cujos elementos são todos aqueles .
que pertencem a e não pertencem a


Em particular,
EXEMPLOS: 

a) Sendo e
, temos que: • Complementar de conjuntos
e Sejam e dois conjuntos tais que .
Chama-se complementar de em relação a
b) Sendo e , , que indicamos por o conjunto cujos
temos que: e . elementos são todos aqueles que pertencem a
e não pertencem a .
Representação da diferença de conjuntos em
diagramas de Venn
Note que o conjunto é
exatamente a diferença . Assim, temos
que:

A condição necessária e suficiente para que
exista é que . Caso contrário, dizemos que não
existe .

EXEMPLOS:
a) Sendo e ,
temos que: logo existe , que é igual a
, isto é:

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b) Sendo e , OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
temos que: ; logo, não existe .
Se possui elementos, então terá elementos.
Representação do complementar de um conjunto
em diagramas de Venn
Exercícios
6) Dados os conjuntos
e
, determine:
a) f)
b) g)
c) h)
Propriedades do complementar d) i)
 e)


7) Considerando o universo de todas as pessoas
Em particular, brasileiras, sejam os conjuntos:




Partes de um conjunto Indicando o complementar de em relação a
, escreva uma propriedade que determine os
Dado o conjunto , é possível elementos dos conjuntos a seguir:
escrever todos os subconjuntos (ou todas as
partes) de . Esse conjunto formado por a)
todos os subconjuntos de é chamado de b)
conjunto das partes de e é indicado por c)
. Assim, temos:
d)

e)

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8) (Cesgranrio) Se e são conjuntos e c)
, pode-se sempre concluir que:
a)
11) Dados e , determine:
a)
b)
b)
c)

d) c) Número de elementos de
e) d) Número de elementos de

9) Observando os conjuntos representados pelo 12) Se tem 64 elementos, quantos elementos
diagrama, determine: têm o conjunto ?

13) Escreva um subconjunto dos números naturais
tal que tenha 16 elementos.

Número de elementos da União de
conjuntos
a) d) • Dois conjuntos:
Sejam e dois conjuntos, tais que
b) e) . Então, temos que:
c) f)

10) (UFPI) Considerando os conjuntos e na Caso, , temos que:
figura abaixo, a região hachurada representa:

• Três conjuntos
Para três conjuntos temos a seguinte
fórmula:

a) d)
b) e)

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Exercícios 17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se
verificar a audiência dos programas de
televisão, os seguintes resultados foram
14) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as
encontrados: 510 famílias assistem ao
seguintes perguntas para que respondessem sim ou
programa , 305 assistem ao programa e
não: gosta de música? Gosta de esportes?
386 assistem ao programa . Sabe-se ainda
Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens;
que 180 famílias assistem aos programas e
70 responderam sim à segunda; 25 responderam
, 60 assistem aos programas e , 25
sim a ambas; e 40 responderam não a ambas.
assistem a e , e 10 famílias assistem aos
Quantos jovens foram entrevistados?
três programas.
15) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses
para saber que esporte elas apreciam entre programas?
futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o b) Quantas famílias assistem somente ao
seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete programa ?
e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de
c) Quantas famílias não assistem nem ao
basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete
programa nem ao programa ?
e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses 18) Um professor de Português sugeriu em uma
esportes? classe a leitura dos livros Helena, de Machado
b) Quantas gostam somente de futebol? de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte
alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10
c) Quantas gostam só de basquete?
leram os dois livros e 15 não leram nenhum
d) Quantas gostam apenas de vôlei? deles.
e) E quantas não gostam nem de futebol nem de a) Quantos alunos leram Iracema?
vôlei?
b) Quantos alunos leram só Helena?
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de
c) Qual é o número de alunos nessa classe?
basquete ou de ambos?
19) Na porta de um supermercado foi realizada
16) Uma prova de duas questões foi dada a uma classe
uma enquete, com 100 pessoas, sobre três
de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas
produtos. As respostas foram: 10 pessoas
questões, 25 acertaram a primeira questão e 20
compram somente o produto , 30 pessoas
acertaram a segunda questão. Quantos alunos
erraram as duas questões?

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compram e , 5 pessoas compram e , 6 a) Quanto por cento não lê nenhum desses
pessoas compram e , e 4 compram os três jornais?
produtos. b) Quanto por cento lê os jornais e e não lê
a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos ?
três produtos? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
b) Quantas pessoas não compram nenhum desses
três produtos? 22) Numa pesquisa sobre audiência de TV entre
c) Quantas pessoas compram os produtos e e 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao
não compram ? canal , 40 ao canal , 15 ao canal , 25
assistem a e , 8 a e , 3 a e , e 1
d) Quantas pessoas compram os produtos ou assiste aos três.
?
a) Quantos não assistem a nenhum desses três
e) Quantas pessoas compram o produto ? canais?
f) Quantas pessoas compram o produto ? b) Quantos assistem somente ao canal ?
20) Num levantamento sobre 100 estudantes sobre c) Quantos não assistem nem a nem a ?
o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes
resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam 23) Foram entrevistadas cinqüenta donas de casa
Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam sobre suas preferências em relação a duas
Inglês e Francês, 8 estudam Francês e marcas e de sabão em pó. Os resultados
Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5 da pesquisa foram precisamente:
estudam os três idiomas. • 21 pessoas responderam que usam a marca .
a) Quantos estudantes não estudam nenhum • 10 pessoas responderam que usam a marca e
desses idiomas? a marca .
b) Quantos estudantes estudam apenas um desses • 5 pessoas responderam que não usam nenhuma
idiomas? das duas marcas.
De acordo com esses dados, quantas pessoas usam
21) Uma pesquisa mostrou que 33% dos somente a marca ?
entrevistados lêem o jornal , 29% lêem o
jornal , 22% lêem o jornal , 13% lêem e 24) O departamento de seleção de pessoal de uma
, 6% lêem e , 14% lêem e e 6% indústria automobilística, analisando o currículo
lêem os três jornais. de 47 candidatos, conclui que apenas três dos
candidatos nunca trabalharam em montagem ou

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pintura; e que precisamente 32 candidatos já • 30 alunos lêem revista;
trabalharam em montagem e 29 já trabalharam
• 5 alunos não lêem jornal nem revista.
em pintura. Quantos desses candidatos já
trabalharam nos dois setores? Quantos alunos lêem jornal e revista?

25) Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois 28) (PUC/Campinas – SP) Numa comunidade
filmes e . Precisamente: constituída de 1800 pessoas, há três programas
de TV favoritos: esporte , novela e
• 13 dessas pessoas assistiram ao filme .
humorismo . A tabela a seguir indica
• 5 pessoas assistiram aos dois filmes. quantas pessoas assistem a esses programas:
• 6 pessoas não assistiram a nenhum dos dois
filmes.
Quantas pessoas assistiram ao filme , sabendo
que todas as 29 pessoas opinaram? Por meio desses dados, verifica-se que o número de
pessoas da comunidade que não assistem a
26) A partir de uma pesquisa feita com 2200 qualquer dos três programas é:
gaúchos, a Secretaria de Turismo do Estado a) 100
concluiu que:
b) 200
• Exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na
região nordeste do Brasil; c) 900
d) Os dados do problema estão incorretos
• Exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na
região norte do Brasil; e) N.d.a.
• Exatamente 206 dessas pessoas já estiveram
29) Um conjunto universo possui precisamente
nas duas regiões.
23 elementos.
Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram
em nenhuma das duas regiões?

27) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram
numa pesquisa em que eram solicitados a
Dois subconjuntos e de são tais que:
responder se eram leitores de jornal ou revista.
Conclui-se exatamente que: • possui 12 elementos, precisamente;
• 24 alunos lêem jornal; • possui 9 elementos, precisamente;

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• Existem exatamente 5 elementos de que não • 17 professores lecionam no prédio e ;
pertencem a . • 18 professores lecionam no prédio e ;
Determine o número de elementos de . • 13 professores lecionam no prédio e .
30) Um conjunto universo é tal que Quantos desses professores lecionam nos três
e os subconjuntos e de prédios da escola?
são tais que:
33) (UESPI) Sejam e conjuntos finitos de
e modo que e são disjuntos. Se
. possui 8 elementos, possui 24
Determine . elementos e possui 17 elementos, então
o número de elementos de é:
31) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes a) 7 d) 2
de dois refrigerantes: o grud-cola e o pimba-
cola. Para se saber qual o preferido em uma b) 9 e) 1
certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 c) 4
jovens dessa localidade. Precisamente:
34) (ITA – SP) Denotemos por o número de
• 135 jovens entrevistados bebem grud-cola;
elementos de um conjunto finito . Sejam
• 75 jovens bebem os dois refrigerantes; e conjuntos tais que
• 40 jovens não bebem nenhum dos dois ,
refrigerantes.
e .
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram,
conclua você qual é o refrigerante preferido por Então é igual a:
eles e quantos jovens bebem esse refrigerante. a) 11 d) 18
b) 14 e) 25
32) Cada um dos 51 professores de uma escola
leciona em pelo menos um dos três prédios c) 15
e que possui a escola. A distribuição
de aulas aos professores foi feita de modo que, Questões de vestibulares
precisamente:
• 32 professores lecionam no prédio ; 1) (UFPA – PSS 07) Um professor de Matemática, ao
lecionar Teoria dos Conjuntos em uma turma,
• 30 professores lecionam no prédio ;
realizou uma pesquisa sobre as preferências
• 29 professores lecionam no prédio ;
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clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao c) 10
seguinte resultado:
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 3) (UFPA – PSE 01/09) Em uma turma de 50
alunos, 30 gostam de azul, 10 gostam igualmente
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; de azul e amarelo, 5 não gostam de azul nem de
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco amarelo. Os alunos que gostam de amarelo são
da Gama; a) 25.
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; b) 20.
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. c) 18.
Se designarmos por o conjunto dos torcedores d) 15.
do Paysandu, por o conjunto dos torcedores do e) 10.
Remo e por o conjunto dos torcedores do Vasco,
todos da referida turma, teremos, evidentemente,
4) (UEPA – PROSEL 06) A Câmara dos Deputados
.
reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a
Concluímos que o número de alunos desta turma instalação de duas Comissões Parlamentares de
é Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos
a) 49 d) 45 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da
instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação
b) 50 e) 46
da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da
c) 47 instalação das duas comissões e deputados
foram contrários à instalação das CPIs. O número
2) (UFPA – PSS 08) Feita uma pesquisa entre 100 de deputados que votaram contra a instalação das
alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas CPIs é:
português, geografia e história, constatou-se que
a) 160
65 gostam de português, 60 gostam de geografia,
50 gostam de história, 35 gostam de português e b) 90
geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 c) 70
gostam de história e português e 10 gostam dessas d) 50
três disciplinas. O número de alunos que não gosta
de nenhuma dessas disciplinas é: e) 20
a) 0 d) 15
5) (UEPA – PROSEL 07) Os carros podem ser
b) 5 e) 20 adquiridos dentre três alternativas em termos de
combustível. Podem ser movidos a gasolina, a
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álcool ou aos dois combustíveis (flex). Desta forma,
foi verificado que no pátio de uma concessionária
de veículos há: 120 automóveis que podem ser
movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a
álcool e 93 que podem ser movidos com os dois
combustíveis (flex). O número de carros existentes
no pátio dessa concessionária é:
a) 325
b) 232
c) 213
d) 205
e) 139

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