INTRODUCAO A TEORIA DOS CONJUNTOS

1. INTRODUÇÃO À TEORIA DOS
CONJUNTOS
• Prof. Elionaro Rochelly

2. O QUE É UM CONJUNTO?
• Não existe uma definição formalizada do que
vem a ser um conjunto. O que temos é uma
ideia ou uma noção do que vem a ser um
conjunto.
• De uma maneira geral, temos que um conjunto
é tudo aquilo que nos dá uma ideia de coleção
ou de agrupamento.

3. POR EXEMPLO:
Conjuntos de times de futebol.
Melhores jogadores do mundo
Conjunto de políticos? É uma
quadrilha.

4. • Todo conjunto é formado por um ou vários
objetos que são denominados elementos.
• De maneira geral indicamos um conjunto por
uma letra maiúscula.
• PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura
relacionar um elemento com um conjunto.
• Para representar um elemento pertencente a um
conjunto usamos o símbolo  e para indicar um
elemento que não pertence a um conjunto usamos o
símbolo ∉.
• CONCEITOS IMPORTANTES

5. Exemplo:
• Seja o conjunto M = {2;4;6;8;10},
complete com  ou ∉ as lacunas
abaixo.
• 2__ M
• 5__M
• 10__M
• Brasil__M


∉
∉

6. SUBCONJUNTO
• Esse conceito visa estabelecer uma relação entre
dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B,
dizemos que A é subconjunto de B se cada
elemento do conjunto A também é um elemento
do conjunto B. Indica-se por:
• A  B (lê-se A está contido em B)

7. Exemplos:

8. Relação de Inclusão
• Quando relacionamos conjunto com conjunto
utilizamos os símbolos de ⊂ está contido
e ⊄ não está contido .
• Por Exemplo:
• {1,2,3} ⊂ {1,2,3,4,5,6}
• {1,2,0} ⊄ {1,2,3,4,5,7}

9. IGUALDADE DE CONJUNTOS
• Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando
possuem exatamente os mesmos elementos.
• Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B =
{2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais
podemos dizer que A = B.

10. • Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um
tipo particular de conjunto, já que ele não possui
elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma
situação impossível de ocorrer.
• Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou 
• Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial
de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que
possui apenas um elemento.
• Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual
pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso
estudo.

11. CONJUNTO DAS PARTES
• O conjunto das partes de um conjunto é formado por
todos os subconjuntos de A. Ou seja:
• ℙ (A) = {x / {x} A}
• Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo:
A = {0, 1} é:
• ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}}
• Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes
será
• ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1,
2}}

12. PROPRIEDADES IMPORTANTES
• a) Ø  ℙ (A)
• b) A  ℙ (A)
• c) Se A possui n elementos, ℙ (A)
possui elementos

13. Operações com conjuntos:
• União: Os elementos pertences aos dois
conjuntos.
• A  B = {x/xA ou x  B} (União)
• Intersecção: Os elementos que pertencem
simultaneamente a dois ou mais
conjuntos.
• A  B = {x/xA e x  B}
• Diferença: Os elementos pertences aos
conjunto A, mas não pertence ao conjunto
B.
• A - B = {x/xA e xB}

14. Diagrama de Venn
A B
A  B
A  B
A - B
B - A

15. Exemplo:
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, encontre:
• A) A B B) AUB c) A-B
A
B
1 3 4 5 6
0 2

16. Problemas com operações de conjuntos
Numa sala de aula:
 85 alunos jogam basquete;
 75 jogam futebol;
17 praticam duas atividades: basquete e futebol.
Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo
menos por um dos dois esportes?

17. Diagramas de Venn com três conjuntos
 

18. Exemplo:
• . Observe o diagrama e responda:
• Vamos responder o que se pede abaixo:
• a) A =
• b) B =
• c) C =
• d) (A∩B)U(B∩C) =
• e) (A∩C) U B=

19. Questões
• 1)Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C
= {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou
falso (F) cada afirmação abaixo:
• a) ( ) A ⊂ B
• b) ( ) {1} ⊂ A
• c) ( ) A ⊂ C
• d) ( ) B ⊄ C
• e) ( ) B ⊂ C
• f) ( ) {0;2}  B

20. • 3(Unifap)O dono de um canil vacinou todos os
seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e
60% contra cinomose. Determine o porcentual
de animais que foram vacinados contra as duas
doenças.

21. • 2) Uma atividade com duas questões foi aplicada
em uma classe de 40 alunos. Os resultados
apontaram que 20 alunos haviam acertado as
duas questões, 35 acertaram a primeira questão
e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o
percentual de alunos que acertou apenas uma
questão?

22. • 4 (FATEC) Para a identificação de pacientes com
sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência
Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os
voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova
Zelândia também serão inspecionados por uma equipe
da agência e por médicos da Empresa Brasileira de
Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente,
apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados
Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada
durante reunião da Anvisa com representantes das
companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil
(Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de
Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
(Adaptado de:
http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5
772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

23. • Em um voo proveniente de Miami,
a Anvisa constatou que entre todas
as pessoas a bordo (passageiros e
tripulantes) algumas haviam
passado pela cidade do México.
No diagrama, U representa o
conjunto das pessoas que estavam
nesse voo; P o conjunto dos
passageiros; M o conjunto das
pessoas que haviam passado pela
cidade do México e A o conjunto
das pessoas com sintomas da gripe
influenza A. Considerando
verdadeiro esse diagrama, conclui-
se que a região sombreada
representa o conjunto das pessoas
que, de modo inequívoco, são
aquelas caracterizadas como
• (A) passageiros com sintomas da gripe que
não passaram pela cidade do México.
• (B) passageiros com sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.
• (C) tripulantes com sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.
• (D) tripulantes com sintomas da gripe que
não passaram pela cidade do México.
• (E) tripulantes sem sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.

24. 5) Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a
audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram
entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370
famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao
programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A
e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20
famílias aos 3 programas. Com base nesses dados, determine:
• a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas?
• b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao
programa C?
• c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos
espectadores assistem somente a esse programa?

25. • 6. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir
três diferentes catálogos de seus produtos, visando a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão
presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e
C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica
que C1 e C2 terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6
páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum,
das quais 4 também estarão em C1. Nessas condições, o
fabricante, para a montagem dos três catálogos,
necessitará de quantos originais de impressão?

26. Conjuntos Numéricos

27. Conjunto dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...}
Medida unitária

28. Propriedades dos Nº Naturais
1) A soma de dois números naturais é um número natural.
2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural.
3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o
antecessor de n+1

29. Conjunto dos números inteiros
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Inteiros não nulos: * = {..., −2, −1, 1, 2, ...}
 Inteiros não negativos: + = {0, 1, 2, 3, ...}
 Inteiros não positivos: — = {..., −3, −2, −1, 0}
Números opostos

30. Propriedades dos Nº Inteiros
1) Todo número natural é um número inteiro.
2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um
outro número inteiro.
3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um
número inteiro.

31. Conjunto dos números racionais
= 0
 .
8
25
= –2
– 2
1
 . = 0,333…
1
3
 .
0
10
 .

32. Propriedades dos Nº Racionais
1) Todo número natural e todo número inteiro é um número
racional.
2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em
um outro número racional.
3) O produto entre dois números racionais é um número racional.
4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor
diferente de zero, é um número racional.

33. Conjunto dos números irracionais
Exemplo
A medida da diagonal (d) de um quadrado de lado 1
= 1,414213562... é um número cuja
representação decimal tem infinitas
casas não periódicas depois da vírgula.
2
Qual o outro irracional que você conhece?

34. Propriedades dos Nº Irracionais
1) Um número irracional não é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um
número racional é um número irracional.
3) A produto entre um número irracional e um número racional é
um número irracional.
4) O quociente entre um número irracional e número racional ,
diferente de zero, é um número irracional.

35. Conjunto dos números reais
Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais
= conjunto dos números reais
(Conjunto dos
números
irracionais)

36. Questões.
1) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os
números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos
numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes
invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses
conjuntos, é correto afirmar que:
• A) o produto de dois números irracionais é sempre um número
irracional.
• B) a soma de dois números irracionais é sempre um número
irracional.
• C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número
irracional.
• D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um
número racional.
• E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um
número inteiro negativo.

37. • 2) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas
operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em
que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números
inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais.
Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um
número natural (a adição é fechada no conjunto dos números
naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais
nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação
verdadeira:
• a) Os números naturais são fechados em relação à divisão.
• b) Os números inteiros são fechados em relação à adição.
• c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão.
• d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um
número irracional.
• e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um
número irracional.