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Classifica¸˜o dos Grupos de Ordem ≤ 11
                           ca

                                  Jos´ S´rgio Domingues
                                     e e
                      Departamento de Pesquisa e P´s-gradua¸˜o, Cefet-MG
                                                   o        ca
                           30480-000, Campus II, Belo Horizonte, MG
                               E-mail: jsergio− mat@yahoo.com.br




1    Grupos Finitos Gerados por                  Teorema 1.1 Sejam n, m, s, n´meros inteiros
                                                                             u
     dois Elementos a e b com                    positivos.

     ba = as b                                   (a) Existe um grupo G de ordem nm que possui
                                                     elementos a, b tais que
    Resumo: Nos conceitos iniciais da Teoria
de Grupos ´ poss´ classificar com uma certa
            e     ıvel                                               
facilidade os grupos c´ıclicos, que s˜o os grupos
                                     a                                G
                                                                      n =      a, b
                                                                       a    = e
                                                                     
gerados por um unico elemento. Tamb´m
                    ´                         e                  (∗)
                                                                      bm = au
podemos trabalhar com grupos gerados por dois
                                                                     
                                                                       ba = as b
                                                                     
elementos, por´m estes grupos podem apresen-
               e
tar uma complexidade elevada. Estudaremos
                                                      se e somente se, sm ≡ 1 mod n e
ent˜o aqui, os grupos finitos gerados por dois
   a
                                                      u(s − 1) ≡ 0 mod n.
elementos a e b, ou seja, G = a, b onde a
e b satisfazem uma rela¸˜o do tipo ba = as b,
                           ca
                                                  (b) Quando existir um grupo de ordem nm sa-
s ∈ N. Veremos que os resultados j´ conhecidos
                                     a
                                                      tisfazendo as condi¸˜es (∗) , ele ´ unico a
                                                                         co             e´
de Teoria de Grupos e tamb´m os resultados
                                e
                                                      menos de isomorfismo.
mencionados na primeira parte desse artigo,
ser˜o de grande ajuda na determina¸ao dos
   a                                     c˜
grupos de ordem pequena, em particular, dos         A demonstra¸˜o desse teorema pode ser
                                                                  ca
grupos de ordem ≤ 11.                             encontrada em [2].

  Inicialmente, podemos perceber que o grupo Obs: Se n, m, s s˜o n´meros inteiros positivos
                                                                a u
(S3 , ◦), das permuta¸˜es de grau 3, ´ um exem- e u = 0, o Teorema 1.1 se resume a:
                     co              e
plo de grupo com essa propriedade, onde:
                                                (a) Existir´ um grupo G de ordem nm que
                                                           a
        e = Id     α = (1 2 3) β = (1 2)            possui elementos a, b tais que
       γ = (2 3) δ = (1 3 2)       = (1 3)                       
                                                                      G
                                                                      n    =    a, b
                                                                       a    =   e
                                                                     
   De fato, S3 ´ um grupo de ordem seis, ou
                e                                                (∗)
                                                                      m
                                                                      b    =   e
seja, |S3 | = 6. Al´m disso, pode-se verificar
                   e                                                   ba   =   as b
                                                                     

facilmente que:
                                                      se e somente se, sm ≡ 1 mod n.
               
                S3
                3    =    α, β
                 α    =   e
               
                2
                β    =   e
               
                 βα   =   α2 β
                                                 (b) Quando existir um grupo de ordem nm sa-
                                                     tisfazendo as condi¸˜es (∗), ele ´ unico a
                                                                        co            e ´
                                                     menos de isomorfismo.
2    Determina¸˜o dos grupos de
              ca
                                                                  Ψ : Z2 × Z2   −→   G
     ordem ≤ 11:                                                       (0, 0)   −→   e
                                                                       (1, 0)   −→   a
Veremos agora que, aplicando os resultados                             (0, 1)   −→   b
obtidos at´ aqui e conhecimentos pr´vios de
           e                          e                                (1, 1)   −→   c
teoria de grupos, podemos classicar e entender
melhor, todos os grupos de ordem ≤ 11.               Verifica-se facilmente que Ψ ´ um isomor-
                                                                                   e
                                                   fismo. Logo, a menos de isomorfismos, Z4 e
Grupo de ordem 1:                                  Z2 × Z2 s˜o os unicos grupos de ordem 4.
                                                            a     ´
   Todo grupo G, com |G| = 1 ´ tal que      e
G {0}.                                               Grupos de ordem 6:
                                                        Sabemos que Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e S3 s˜o a
Grupos de ordem p, com p ∈ {2, 3, 5, 7, 11}: grupos de ordem 6. Obviamente eles n˜o s˜o         a a
   Sendo |G| = p com p primo, temos que G ´        e isomorfos pois Z6 ´ abeliano e S3 n˜o. Mos-
                                                                         e                   a
c´
 ıclico com p elementos e portanto, G Zp .           traremos agora que, estes dois grupos s˜o osa
                                                     unicos grupos de ordem 6, a menos de isomor-
                                                     ´
Grupos de ordem 4:                                   fismos. Seja G um grupo arbitr´rio de ordem
                                                                                        a
   Tomemos os grupos de ordem 4 a seguir:            6.
                                                        Ent˜o, G possui um elemento α, com O(α) =
                                                            a
         Z4 = {0, 1, 2, 3} e Z2 × Z2 =               3 e um elemento β, com O(β) = 2, logo,
           {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}          α, α2 ∈ G, β ∈ G e os novos elementos αβ e
   Os dois grupos citados acima n˜o s˜o iso- α2 β tamb´m pertencem a G, e como |G| = 6
                                          a a                   e
morfos pois Z4 possui elementos de ordem 4 conclu´          ımos que G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β}, por-
e Z2 × Z2 n˜o. Mostraremos agora que, estes tanto:
             a
dois grupos s˜o os unicos grupos de ordem 4,
               a      ´                                             
                                                                     |G| = 6
a menos de isomorfismos. Seja G um grupo de                          
                                                                    
                                                                       G   =    α, β
ordem 4. Se G possui um elemento de ordem                            α3 = e
                                                                     2
4, G Z4 . Mas se G n˜o possui tal elemento,
                           a                                           β   = e
                                                                    

pelo Teorema de Lagrange, todos os seus
                                                        Agora, note que | α | = 3, ent˜o (G : α ) =
                                                                                        a
elementos diferentes do elemento neutro s˜o dea                                 −1 = βαβ ∈ α =⇒
                                                     2 logo α G e assim, βαβ
ordem 2, uma vez que a ordem dos elementos
                                                     βαβ = α ou βαβ = α2 =⇒ βα = αβ ou βα =
deve dividir a ordem do grupo. Portanto, G ´       e
                                                     α2 β. Ent˜o, existem duas possibilidades:
                                                               a
um grupo abeliano.
   Como |G|          =       4,    vamos escrever        
                                                          |G| = 6 = 3 · 2
                                                                                     
                                                                                      |G| = 6 = 3 · 2
G = {e, a, b, c}, com O(a) = O(b) = O(c) = 2
                                                                                    
                                                          G
                                                         
                                                               =   α, β              G
                                                                                     
                                                                                            =    α, β
                                                             3
e com todos os elementos obviamente dis-             (i)   α    = e             (ii)    α3 = e
                                                          β2 = e
                                                                                     β2 = e
                                                                                     
tintos.    Procuramos ent˜o na sua tabela
                                a                        
                                                                                    
                                                                                     
                                                           βα = αβ                      βα = α2 β
                                                                                    
de multiplica¸˜o, o resultado das poss´
               ca                              ıveis
multiplica¸˜es de seus elementos. Ora:
           co                                           Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em
• ab = e, pois caso contr´rio, a = b−1 , o que cada um dos casos, temos no m´ximo um
                          a                                                        a
´ um absurdo, j´ que O(b) = 2 implica em grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo
e                 a
b−1 = b;                                        as condi¸˜es indicadas.
                                                         co                 Mas tais grupos
                                                existem de fato? A resposta ´ sim.
                                                                            e
   Com racioc´ ınio an´logo ao que efetuamos
                       a
acima, verifica-se facilmente que ab = c, ac = b   Basta tomar G = Z6 no caso (i) e G = S3 no
e bc = a, mas como o grupo ´ abeliano, tamb´m caso (ii).
                            e               e
tem-se que ba = c, ca = b e cb = a.               Observe que Z2 × Z3 tamb´m satisfaz as
                                                                               e
Tome agora a fun¸˜o:
                   ca                           condi¸˜es do caso (i) e pela unicidade, temos
                                                      co
que Z2 × Z3       Z6 .                                            
                                                                   |Q3 |
                                                                           =   8
                                                                   Q3
                                                                  
                                                                            =    C, E
Grupos de ordem 8:
                                                                  
                                                                    C4      =   e
 Tomemos os grupos de ordem 8 a seguir:                            2
                                                                   E
                                                                  
                                                                           =   C2
                                                                    EC      =   C3E
                                                                  
     Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 ,
                                                       Pela parte (b) do Teorema 1.1, sabemos que
onde D4 ´ o grupo das simetrias do quadrado.
         e                                          Q3 ´ caracterizado pelas rela¸˜es acima. Q3
                                                        e                            co
Esses grupos, n˜o s˜o isomorfos entre si, pois:
               a a                                  n˜o ´ isomorfo aos grupos Z8 , Z4 × Z2 , Z2 ×
                                                      a e
   •   Z8 possui quatro elementos de or-            Z2 × Z2 . Para verificar que D4 e Q3 n˜o s˜oa a
dem 8 (a saber:          1, 3, 5, 7), enquanto      isomorfos, basta verificar que D4 possui exata-
Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 n˜o pos-   a            mente 5 elementos de ordem 2 enquanto que
suem tais elementos, o que possibilita afirmar       Q3 possui somente 1 elemento de ordem 2.
que Z8 n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos
         a e                                           Seja agora um grupo arbitr´rio G tal que
                                                                                      a
citados.                                            |G| = 8. Temos pelo Teorema de Lagrange, que
                                                    as poss´ıveis ordens dos elementos de G−{e} s˜oa
   • Z4 × Z2 possui quatro elementos de 2, 4 e 8.
ordem 4 (a saber: (1, 0); (1, 1); (3, 0) e (3, 1)),
                                                    Caso 1: G possui um elemento de ordem 8:
enquanto Z2 × Z2 × Z2 s´ possui elementos
                            o
                                                       Seja ent˜o γ ∈ G tal que O(γ) = 8; logo
                                                                a
de ordem 2 e D4 s´ possui dois elementos de
                   o
                                                    G = γ e G Z8 .
ordem 4, o que possibilita afirmar que Z4 × Z2
n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos citados.
 a e                                                Caso 2: G n˜o possui nenhum elemento de
                                                                     a
                                                    ordem 8:
   • Z2 × Z2 × Z2 possui 8 elementos de ordem          Ent˜o, as poss´
                                                           a           ıveis ordens dos elementos = e
2 e D4 possui somente 5 desses elementos, logo s˜o 2 e 4.
                                                     a
esses dois grupos n˜o s˜o isomorfos.
                   a a                                 Dividindo o Caso 2 em dois subcasos, temos:
   Mostraremos agora que, o grupo dos Caso 2.1: G n˜o possui nenhum elemento de
                                                                      a
quat´rnios, que ´ denotado por Q3 e os grupos ordem 4:
     e          e
citados acima s˜o os unicos grupos de ordem
                a     ´                                Ent˜o, todos os elementos de G = e s˜o de
                                                           a                                    a
8, a menos de isomorfismos. Q3 ´ dado por:
                                   e                ordem 2 e, consequentemente, G ´ um grupo
                                                                                          e
                                                    abeliano. Seja a = e; como O(a) = 2, temos
   Q3 = {A, B, C, D, E, F, G, H} com                que K = a = {e, a} ´ um subgrupo de G.
                                                                                e
                                                    Tome agora b ∈ G − K; ent˜o R = {e, a, b, ab}
                                                                                   a
                                                    ´ um subgrupo de G. Tomando c ∈ G − R;
                                                    e
              −1    0              1 0
       A=               , B=                        temos:
               0 −1                0 1

                                                            G = {e, a, b, ab, c, ac, bc, abc} =
       C=
              i      0
                                ,   D=
                                           −i    0            {ai bj cw | i, j, w ∈ {0, 1}}.
              0     −i                      0    i
                                                       Logo, a fun¸˜o abaixo ´ um isomorfismo, de
                                                                  ca         e
                                                     grupos.
               0        1                  0    −1
       E=                       ,   F =
              −1        0                  1     0
                                                            ϕ : Z2 × Z2 × Z2 −→     G
                                                                   (i, j, w) −→ ai bj cw .
              0     i                      0    −i
       G=                   ,       H=
              i     0                     −i     0
                                                 Caso 2.2: G possui um elemento de ordem 4:
  Observe que |Q3 | = 8, pois todos os elemen-     Seja a ∈ G tal que O(a) = 4 e seja K =
tos s˜o distintos. Al´m disso ´ f´cil demonstrar a . Tome b ∈ G − K e considere o subgrupo
     a               e        e a
que,                                             R de G gerado por a e b, isto ´, R = a, b .
                                                                               e
Como b ∈ K, temos |R| > 4 e, pelo Teorema
             /                                            Ent˜o, pela parte (b) do Teorema 1.1, em
                                                              a
de Lagrange, |R| divide 8; portanto R = G =             cada um dos casos, temos no m´ximo um
                                                                                           a
 a, b = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}.            grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo
  Temos que b2 ∈ K pois, obviamente, b2 ∈    /          as condi¸˜es indicadas. Tamb´m ´ f´cil verifi-
                                                                co                    e e a
{b, ab, a2 b, a3 b}. Temos tamb´m que ba ∈
                                         e   /          car que tais grupos de fato existem, basta to-
{e, a, a 2 , a3 , b}.                                   mar G = Z4 × Z2 no caso (v) e G = Q3 no caso
  Desta forma, provamos que:                            (vi). Portanto:

                                                         Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 e Q3
    |G|
             =   8
    G
   
              =    a, b
                                                       s˜o os unicos cinco grupos de ordem 8, a
                                                         a     ´
     a4       =   e
    2
    b
             =   au (para algum u ∈ {0, 1, 2, 3})      menos de isomorfismos.
   
     ba       =   as b (para algum s ∈ {1, 2, 3})
   
                                                 Grupos de ordem 9:
  Vejamos agora quais as possibilidades para           Tomemos os grupos de ordem 9 a seguir:
u ∈ {0, 1, 2, 3} e s ∈ {1, 2, 3}. Primeiramente,
                                                                  Z9 e Z3 × Z3
O(bab−1 ) = O(a) = 4, portanto s = 1 ou
s = 3. Mas, b2 ∈ {a, a3 }, pois caso contr´rio a
                 /                        a        Eles n˜o s˜o isomorfos, pois Z9 possui ele-
                                                           a a
O(b 2 ) = 4, o que implicaria que O(b) seria um
                                                 mentos de ordem 9 enquanto Z3 ×Z3 n˜o. Mos-
                                                                                        a
m´ltiplo de 4 e conseq¨entemente O(b) = 8 traremos agora que, estes dois grupos s˜o os
  u                       u                                                               a
(absurdo, pois por hip´tese, G n˜o possui ele- unicos grupos de ordem 9, a menos de isomor-
                        o          a             ´
mentos de ordem 8) ou que O(b) = 4 (absurdo, fismos.
pois ter´ıamos nesse caso O(b2 ) = 2). Portanto,   Seja G um grupo de ordem 9, n˜o c´ a ıclico.
u = 0 ou u = 2 e como j´ foi visto, s = 1 ou Pelo Teorema de Lagrange, todos seus elemen-
                            a
s = 3.                                           tos = e tem ordem igual a 3. Sejam ent˜o    a
  Considerando u = 0, temos dois casos corres- e = α ∈ G e β ∈ G α . Ent˜o, α =     a
pondentes a s = 1 e s = 3:                       {α, α2 , α3 = e} ⊂ G, β = {β, β 2 , β 3 = e} ⊂
                                   
                                                        G e αi = β j ∀ i, j ∈ {1, 2}. Portanto, por
       |G|
             =    8                 |G|
                                           =   8       raz˜es elementares, temos que
                                                           o
       G
      
             =     a, b             G
                                    
                                           =    a, b
(iii)   a4    =    e           (iv)   a4    =   e          G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β, β 2 , αβ 2 , α2 β 2 }
       2
       b                            2
      
             =    e                 b
                                    
                                           =   e
        ba    =    ab                 ba    =   a3 b
                                   
                                                        e consequentemente que
                                                                        
   Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em                           = 9 |G|
                                                                        
                                                                     =    G
                                                                         α, β
                                                                        
cada um dos casos, temos no m´ximo um
                                    a                                = e α3
grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo
                                                                        
                                                                         3
                                                                     = e  β
                        ´
as condi¸˜es indicadas. E claro que tais grupos
          co
existem, basta tomar G = Z4 × Z2 no caso          Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o
                                                                a                          e
(iii) e G = D4 no caso (iv).                    produto βα?
                                                  Ora, obviamente βα ∈ {e, α, α2 , β, β 2 }.
                                                                          /
   Considerando u = 2, temos dois casos corres- Falta ent˜o analisar os casos onde βα =
                                                          a
pondentes a s = 1 e s = 3:                      αβ, βα = α2 β, βα = αβ 2 , βα = α2 β 2 , ob-
                                                servando sempre que pela parte (b) do Teorema
                                              9.4 temos no m´ximo um grupo a menos de iso-
                                                               a
     |G| = 8                   |G| = 8
    
     G
    
            =  a, b
                               
                                G
                               
                                     =    a, b morfismo em cada caso. Ser´ que tais grupos
                                                                            a
(v)    a4    = e          (vi)   a4   = e       existem de fato?
    2
                  a2
                                     2
    b
             =                      b
                                           =   a2
                                                        (a) Se βα = αβ, existe, basta tomar G = Z3 ×
                                   
     ba       =   ab                  ba    =   a3 b
                                   

                                                            Z3 .
(b) Se βα = α2 β, n˜o existe tal grupo, basta de fato, basta tomar G = Z10 no caso (i) e
                    a
    observar a parte (a) do Teorema 9.4, uma G := D5 no caso (ii), onde D5 ´ o grupo das
                                                                               e
    vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3.
                    /                                                            ´ a
                                              simetrias do pent´gono regular. E f´cil veri-
                                                                a
                                              ficar que o grupo Z2 × Z5 tamb´m satisfaz as
                                                                              e
(c) Se βα = αβ 2 , n˜o existe tal grupo, pois condi¸˜es do caso (i) e que portanto pela uni-
                     a                             co
    caso contr´rio, tomando A = β 2 e B = cidade estabelecida na parte (b) do Teorema
              a
         ıamos G = A, B , com A3 = B 3 = 1.1 temos que Z × Z
    α,ter´                                                              Z10 .
                                                              2     5
    e, BA = αβ 2 = βα = A2 B o que ´ um e       Desta forma, conclu´ ımos que os grupos
    absurdo pela parte (a) do Teorema 1.1,
    uma vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3.
                         /                                      Z10 e D5

(d) Se βα = α2 β 2 , n˜o existe tal grupo, pois s˜o os unicos dois grupos de ordem 10, a
                      a                          a     ´
    caso contr´rio ter´
              a       ıamos que                 menos de isomorfismos.

     (αβ)2 = αβαβ = α(βα)β = α(α2 β 2 )β = e,                  Segue na tabela abaixo, a lista de todos os
                                                             grupos encontrados, a menos de isomorfismos,
                                                             e as suas respectivas ordens.
     o que ´ um absurdo pois sabemos que
           e
     O(αβ) = 3.
                                                              Ordem                Grupos
  Portanto, a menos de isomorfismos                              1                     {0}
Z9 e Z3 × Z3 s˜o os unicos grupos de
               a    ´                                           2                     Z2
ordem 9.                                                        3                     Z3
                                                                4               Z4 , Z2 × Z2
Grupos de ordem 10                                              5                     Z5
  Tome G um grupo arbitr´rio com |G| = 10.
                        a                                       6                   Z6 , S3
  Temos que G possui um elemento α tal que                      7                     Z7
O(α) = 5 e um elemento β tal que O(β) = 2.                      8   Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 , Q3
Logo, fica claro que                                             9                Z9 , Z3 × Z3
                    G = α, β =                                  10                 Z10 , D5
     {e, α, α2 , α3 , α4 , β, αβ, α2 β, α3 β, α4 β}             11                    Z11

  Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o
                      a                        e
produto βα?
  Ora, por raz˜es elementares, temos que βα ∈
                   o                             /
{e, α, α 2 , α3 , α4 , β}. Portanto, pelo Teorema

1.1, βα = α2 β j´ que 22 = 4 / 1 mod
                         a                ≡
5 e βα = α3 β pois 32 = 9 / 1 mod 5.   ≡
Desta forma, temos duas possibilidades:
                                   
     |G|
           =   10 = 5 · 2           |G|
                                           =   10 = 5 · 2
     G
    
           =    α, β                G
                                    
                                           =    α, β
(i)   α5    =   e              (ii)   α5    =   e
     2
     β                              2
    
           =   e                    β
                                    
                                           =   e
      βα    =   αβ                    βα    =   α4 β
                                   


  Portanto, pela parte (b) do Teorema 1.1,
em cada um dos casos, temos no m´ximo um
                                   a
grupo, a menos de isomorfismos, que satisfaz
as condi¸˜es indicadas. E tais grupos existem
        co
3   Referˆncias
         e
    [1]    Gon¸alves, Adilson: In-
                c
         ca a ´
    trodu¸˜o ` Algebra, Projeto Euclides,
    IMPA, 2006
    [2] Garcia, Arnaldo & Lequain,
                       ´
    Yves: Elementos de Algebra, IMPA,
    2003

    [3]   Simis, Aron: Introdu¸˜o `
                              ca a
    ´
    Algebra, IMPA, 1976

    [4]   Domingues, Hygino H. &
                   ´
    Iezzi, Gelson: Algebra Moderna,
    Atual, 1982

    [5] Coutinho, S.C: N´meros Intei-
                          u
    ros e Criptografia RSA, Computa¸˜o
                                  ca
    Matem´tica, IMPA, 2003
           a

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  • 1. Classifica¸˜o dos Grupos de Ordem ≤ 11 ca Jos´ S´rgio Domingues e e Departamento de Pesquisa e P´s-gradua¸˜o, Cefet-MG o ca 30480-000, Campus II, Belo Horizonte, MG E-mail: jsergio− mat@yahoo.com.br 1 Grupos Finitos Gerados por Teorema 1.1 Sejam n, m, s, n´meros inteiros u dois Elementos a e b com positivos. ba = as b (a) Existe um grupo G de ordem nm que possui elementos a, b tais que Resumo: Nos conceitos iniciais da Teoria de Grupos ´ poss´ classificar com uma certa e ıvel  facilidade os grupos c´ıclicos, que s˜o os grupos a  G  n = a, b a = e  gerados por um unico elemento. Tamb´m ´ e (∗)  bm = au podemos trabalhar com grupos gerados por dois  ba = as b  elementos, por´m estes grupos podem apresen- e tar uma complexidade elevada. Estudaremos se e somente se, sm ≡ 1 mod n e ent˜o aqui, os grupos finitos gerados por dois a u(s − 1) ≡ 0 mod n. elementos a e b, ou seja, G = a, b onde a e b satisfazem uma rela¸˜o do tipo ba = as b, ca (b) Quando existir um grupo de ordem nm sa- s ∈ N. Veremos que os resultados j´ conhecidos a tisfazendo as condi¸˜es (∗) , ele ´ unico a co e´ de Teoria de Grupos e tamb´m os resultados e menos de isomorfismo. mencionados na primeira parte desse artigo, ser˜o de grande ajuda na determina¸ao dos a c˜ grupos de ordem pequena, em particular, dos A demonstra¸˜o desse teorema pode ser ca grupos de ordem ≤ 11. encontrada em [2]. Inicialmente, podemos perceber que o grupo Obs: Se n, m, s s˜o n´meros inteiros positivos a u (S3 , ◦), das permuta¸˜es de grau 3, ´ um exem- e u = 0, o Teorema 1.1 se resume a: co e plo de grupo com essa propriedade, onde: (a) Existir´ um grupo G de ordem nm que a e = Id α = (1 2 3) β = (1 2) possui elementos a, b tais que γ = (2 3) δ = (1 3 2) = (1 3)   G  n = a, b a = e  De fato, S3 ´ um grupo de ordem seis, ou e (∗)  m  b = e seja, |S3 | = 6. Al´m disso, pode-se verificar e ba = as b  facilmente que: se e somente se, sm ≡ 1 mod n.   S3  3 = α, β α = e   2  β = e  βα = α2 β (b) Quando existir um grupo de ordem nm sa- tisfazendo as condi¸˜es (∗), ele ´ unico a co e ´ menos de isomorfismo.
  • 2. 2 Determina¸˜o dos grupos de ca Ψ : Z2 × Z2 −→ G ordem ≤ 11: (0, 0) −→ e (1, 0) −→ a Veremos agora que, aplicando os resultados (0, 1) −→ b obtidos at´ aqui e conhecimentos pr´vios de e e (1, 1) −→ c teoria de grupos, podemos classicar e entender melhor, todos os grupos de ordem ≤ 11. Verifica-se facilmente que Ψ ´ um isomor- e fismo. Logo, a menos de isomorfismos, Z4 e Grupo de ordem 1: Z2 × Z2 s˜o os unicos grupos de ordem 4. a ´ Todo grupo G, com |G| = 1 ´ tal que e G {0}. Grupos de ordem 6: Sabemos que Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e S3 s˜o a Grupos de ordem p, com p ∈ {2, 3, 5, 7, 11}: grupos de ordem 6. Obviamente eles n˜o s˜o a a Sendo |G| = p com p primo, temos que G ´ e isomorfos pois Z6 ´ abeliano e S3 n˜o. Mos- e a c´ ıclico com p elementos e portanto, G Zp . traremos agora que, estes dois grupos s˜o osa unicos grupos de ordem 6, a menos de isomor- ´ Grupos de ordem 4: fismos. Seja G um grupo arbitr´rio de ordem a Tomemos os grupos de ordem 4 a seguir: 6. Ent˜o, G possui um elemento α, com O(α) = a Z4 = {0, 1, 2, 3} e Z2 × Z2 = 3 e um elemento β, com O(β) = 2, logo, {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} α, α2 ∈ G, β ∈ G e os novos elementos αβ e Os dois grupos citados acima n˜o s˜o iso- α2 β tamb´m pertencem a G, e como |G| = 6 a a e morfos pois Z4 possui elementos de ordem 4 conclu´ ımos que G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β}, por- e Z2 × Z2 n˜o. Mostraremos agora que, estes tanto: a dois grupos s˜o os unicos grupos de ordem 4, a ´   |G| = 6 a menos de isomorfismos. Seja G um grupo de   G = α, β ordem 4. Se G possui um elemento de ordem  α3 = e  2 4, G Z4 . Mas se G n˜o possui tal elemento, a β = e  pelo Teorema de Lagrange, todos os seus Agora, note que | α | = 3, ent˜o (G : α ) = a elementos diferentes do elemento neutro s˜o dea −1 = βαβ ∈ α =⇒ 2 logo α G e assim, βαβ ordem 2, uma vez que a ordem dos elementos βαβ = α ou βαβ = α2 =⇒ βα = αβ ou βα = deve dividir a ordem do grupo. Portanto, G ´ e α2 β. Ent˜o, existem duas possibilidades: a um grupo abeliano. Como |G| = 4, vamos escrever   |G| = 6 = 3 · 2   |G| = 6 = 3 · 2 G = {e, a, b, c}, com O(a) = O(b) = O(c) = 2    G   = α, β  G   = α, β 3 e com todos os elementos obviamente dis- (i) α = e (ii) α3 = e  β2 = e   β2 = e  tintos. Procuramos ent˜o na sua tabela a     βα = αβ βα = α2 β   de multiplica¸˜o, o resultado das poss´ ca ıveis multiplica¸˜es de seus elementos. Ora: co Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em • ab = e, pois caso contr´rio, a = b−1 , o que cada um dos casos, temos no m´ximo um a a ´ um absurdo, j´ que O(b) = 2 implica em grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo e a b−1 = b; as condi¸˜es indicadas. co Mas tais grupos existem de fato? A resposta ´ sim. e Com racioc´ ınio an´logo ao que efetuamos a acima, verifica-se facilmente que ab = c, ac = b Basta tomar G = Z6 no caso (i) e G = S3 no e bc = a, mas como o grupo ´ abeliano, tamb´m caso (ii). e e tem-se que ba = c, ca = b e cb = a. Observe que Z2 × Z3 tamb´m satisfaz as e Tome agora a fun¸˜o: ca condi¸˜es do caso (i) e pela unicidade, temos co
  • 3. que Z2 × Z3 Z6 .   |Q3 |  = 8  Q3  = C, E Grupos de ordem 8:  C4 = e Tomemos os grupos de ordem 8 a seguir:  2  E   = C2 EC = C3E  Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 , Pela parte (b) do Teorema 1.1, sabemos que onde D4 ´ o grupo das simetrias do quadrado. e Q3 ´ caracterizado pelas rela¸˜es acima. Q3 e co Esses grupos, n˜o s˜o isomorfos entre si, pois: a a n˜o ´ isomorfo aos grupos Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × a e • Z8 possui quatro elementos de or- Z2 × Z2 . Para verificar que D4 e Q3 n˜o s˜oa a dem 8 (a saber: 1, 3, 5, 7), enquanto isomorfos, basta verificar que D4 possui exata- Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 n˜o pos- a mente 5 elementos de ordem 2 enquanto que suem tais elementos, o que possibilita afirmar Q3 possui somente 1 elemento de ordem 2. que Z8 n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos a e Seja agora um grupo arbitr´rio G tal que a citados. |G| = 8. Temos pelo Teorema de Lagrange, que as poss´ıveis ordens dos elementos de G−{e} s˜oa • Z4 × Z2 possui quatro elementos de 2, 4 e 8. ordem 4 (a saber: (1, 0); (1, 1); (3, 0) e (3, 1)), Caso 1: G possui um elemento de ordem 8: enquanto Z2 × Z2 × Z2 s´ possui elementos o Seja ent˜o γ ∈ G tal que O(γ) = 8; logo a de ordem 2 e D4 s´ possui dois elementos de o G = γ e G Z8 . ordem 4, o que possibilita afirmar que Z4 × Z2 n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos citados. a e Caso 2: G n˜o possui nenhum elemento de a ordem 8: • Z2 × Z2 × Z2 possui 8 elementos de ordem Ent˜o, as poss´ a ıveis ordens dos elementos = e 2 e D4 possui somente 5 desses elementos, logo s˜o 2 e 4. a esses dois grupos n˜o s˜o isomorfos. a a Dividindo o Caso 2 em dois subcasos, temos: Mostraremos agora que, o grupo dos Caso 2.1: G n˜o possui nenhum elemento de a quat´rnios, que ´ denotado por Q3 e os grupos ordem 4: e e citados acima s˜o os unicos grupos de ordem a ´ Ent˜o, todos os elementos de G = e s˜o de a a 8, a menos de isomorfismos. Q3 ´ dado por: e ordem 2 e, consequentemente, G ´ um grupo e abeliano. Seja a = e; como O(a) = 2, temos Q3 = {A, B, C, D, E, F, G, H} com que K = a = {e, a} ´ um subgrupo de G. e Tome agora b ∈ G − K; ent˜o R = {e, a, b, ab} a ´ um subgrupo de G. Tomando c ∈ G − R; e −1 0 1 0 A= , B= temos: 0 −1 0 1 G = {e, a, b, ab, c, ac, bc, abc} = C= i 0 , D= −i 0 {ai bj cw | i, j, w ∈ {0, 1}}. 0 −i 0 i Logo, a fun¸˜o abaixo ´ um isomorfismo, de ca e grupos. 0 1 0 −1 E= , F = −1 0 1 0 ϕ : Z2 × Z2 × Z2 −→ G (i, j, w) −→ ai bj cw . 0 i 0 −i G= , H= i 0 −i 0 Caso 2.2: G possui um elemento de ordem 4: Observe que |Q3 | = 8, pois todos os elemen- Seja a ∈ G tal que O(a) = 4 e seja K = tos s˜o distintos. Al´m disso ´ f´cil demonstrar a . Tome b ∈ G − K e considere o subgrupo a e e a que, R de G gerado por a e b, isto ´, R = a, b . e
  • 4. Como b ∈ K, temos |R| > 4 e, pelo Teorema / Ent˜o, pela parte (b) do Teorema 1.1, em a de Lagrange, |R| divide 8; portanto R = G = cada um dos casos, temos no m´ximo um a a, b = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo Temos que b2 ∈ K pois, obviamente, b2 ∈ / as condi¸˜es indicadas. Tamb´m ´ f´cil verifi- co e e a {b, ab, a2 b, a3 b}. Temos tamb´m que ba ∈ e / car que tais grupos de fato existem, basta to- {e, a, a 2 , a3 , b}. mar G = Z4 × Z2 no caso (v) e G = Q3 no caso Desta forma, provamos que: (vi). Portanto:  Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 e Q3  |G|  = 8  G  = a, b  s˜o os unicos cinco grupos de ordem 8, a a ´ a4 = e  2  b  = au (para algum u ∈ {0, 1, 2, 3}) menos de isomorfismos.  ba = as b (para algum s ∈ {1, 2, 3})  Grupos de ordem 9: Vejamos agora quais as possibilidades para Tomemos os grupos de ordem 9 a seguir: u ∈ {0, 1, 2, 3} e s ∈ {1, 2, 3}. Primeiramente, Z9 e Z3 × Z3 O(bab−1 ) = O(a) = 4, portanto s = 1 ou s = 3. Mas, b2 ∈ {a, a3 }, pois caso contr´rio a / a Eles n˜o s˜o isomorfos, pois Z9 possui ele- a a O(b 2 ) = 4, o que implicaria que O(b) seria um mentos de ordem 9 enquanto Z3 ×Z3 n˜o. Mos- a m´ltiplo de 4 e conseq¨entemente O(b) = 8 traremos agora que, estes dois grupos s˜o os u u a (absurdo, pois por hip´tese, G n˜o possui ele- unicos grupos de ordem 9, a menos de isomor- o a ´ mentos de ordem 8) ou que O(b) = 4 (absurdo, fismos. pois ter´ıamos nesse caso O(b2 ) = 2). Portanto, Seja G um grupo de ordem 9, n˜o c´ a ıclico. u = 0 ou u = 2 e como j´ foi visto, s = 1 ou Pelo Teorema de Lagrange, todos seus elemen- a s = 3. tos = e tem ordem igual a 3. Sejam ent˜o a Considerando u = 0, temos dois casos corres- e = α ∈ G e β ∈ G α . Ent˜o, α = a pondentes a s = 1 e s = 3: {α, α2 , α3 = e} ⊂ G, β = {β, β 2 , β 3 = e} ⊂   G e αi = β j ∀ i, j ∈ {1, 2}. Portanto, por  |G|  = 8  |G|  = 8 raz˜es elementares, temos que o  G   = a, b  G   = a, b (iii) a4 = e (iv) a4 = e G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β, β 2 , αβ 2 , α2 β 2 }  2  b  2   = e  b   = e ba = ab ba = a3 b   e consequentemente que  Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em = 9 |G|  = G α, β  cada um dos casos, temos no m´ximo um a = e α3 grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo   3 = e β ´ as condi¸˜es indicadas. E claro que tais grupos co existem, basta tomar G = Z4 × Z2 no caso Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o a e (iii) e G = D4 no caso (iv). produto βα? Ora, obviamente βα ∈ {e, α, α2 , β, β 2 }. / Considerando u = 2, temos dois casos corres- Falta ent˜o analisar os casos onde βα = a pondentes a s = 1 e s = 3: αβ, βα = α2 β, βα = αβ 2 , βα = α2 β 2 , ob- servando sempre que pela parte (b) do Teorema   9.4 temos no m´ximo um grupo a menos de iso- a  |G| = 8  |G| = 8   G   = a, b   G   = a, b morfismo em cada caso. Ser´ que tais grupos a (v) a4 = e (vi) a4 = e existem de fato?  2 a2  2  b  =  b  = a2 (a) Se βα = αβ, existe, basta tomar G = Z3 ×   ba = ab ba = a3 b   Z3 .
  • 5. (b) Se βα = α2 β, n˜o existe tal grupo, basta de fato, basta tomar G = Z10 no caso (i) e a observar a parte (a) do Teorema 9.4, uma G := D5 no caso (ii), onde D5 ´ o grupo das e vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3. / ´ a simetrias do pent´gono regular. E f´cil veri- a ficar que o grupo Z2 × Z5 tamb´m satisfaz as e (c) Se βα = αβ 2 , n˜o existe tal grupo, pois condi¸˜es do caso (i) e que portanto pela uni- a co caso contr´rio, tomando A = β 2 e B = cidade estabelecida na parte (b) do Teorema a ıamos G = A, B , com A3 = B 3 = 1.1 temos que Z × Z α,ter´ Z10 . 2 5 e, BA = αβ 2 = βα = A2 B o que ´ um e Desta forma, conclu´ ımos que os grupos absurdo pela parte (a) do Teorema 1.1, uma vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3. / Z10 e D5 (d) Se βα = α2 β 2 , n˜o existe tal grupo, pois s˜o os unicos dois grupos de ordem 10, a a a ´ caso contr´rio ter´ a ıamos que menos de isomorfismos. (αβ)2 = αβαβ = α(βα)β = α(α2 β 2 )β = e, Segue na tabela abaixo, a lista de todos os grupos encontrados, a menos de isomorfismos, e as suas respectivas ordens. o que ´ um absurdo pois sabemos que e O(αβ) = 3. Ordem Grupos Portanto, a menos de isomorfismos 1 {0} Z9 e Z3 × Z3 s˜o os unicos grupos de a ´ 2 Z2 ordem 9. 3 Z3 4 Z4 , Z2 × Z2 Grupos de ordem 10 5 Z5 Tome G um grupo arbitr´rio com |G| = 10. a 6 Z6 , S3 Temos que G possui um elemento α tal que 7 Z7 O(α) = 5 e um elemento β tal que O(β) = 2. 8 Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 , Q3 Logo, fica claro que 9 Z9 , Z3 × Z3 G = α, β = 10 Z10 , D5 {e, α, α2 , α3 , α4 , β, αβ, α2 β, α3 β, α4 β} 11 Z11 Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o a e produto βα? Ora, por raz˜es elementares, temos que βα ∈ o / {e, α, α 2 , α3 , α4 , β}. Portanto, pelo Teorema 1.1, βα = α2 β j´ que 22 = 4 / 1 mod a ≡ 5 e βα = α3 β pois 32 = 9 / 1 mod 5. ≡ Desta forma, temos duas possibilidades:    |G|  = 10 = 5 · 2  |G|  = 10 = 5 · 2  G   = α, β  G   = α, β (i) α5 = e (ii) α5 = e  2  β  2   = e  β   = e βα = αβ βα = α4 β   Portanto, pela parte (b) do Teorema 1.1, em cada um dos casos, temos no m´ximo um a grupo, a menos de isomorfismos, que satisfaz as condi¸˜es indicadas. E tais grupos existem co
  • 6. 3 Referˆncias e [1] Gon¸alves, Adilson: In- c ca a ´ trodu¸˜o ` Algebra, Projeto Euclides, IMPA, 2006 [2] Garcia, Arnaldo & Lequain, ´ Yves: Elementos de Algebra, IMPA, 2003 [3] Simis, Aron: Introdu¸˜o ` ca a ´ Algebra, IMPA, 1976 [4] Domingues, Hygino H. & ´ Iezzi, Gelson: Algebra Moderna, Atual, 1982 [5] Coutinho, S.C: N´meros Intei- u ros e Criptografia RSA, Computa¸˜o ca Matem´tica, IMPA, 2003 a