1) O documento discute as relações integras aplicadas a volumes de controle e como elas podem ser usadas para derivar equações de conservação para propriedades como massa, quantidade de movimento e energia. 2) Essas equações de conservação são derivadas igualando a taxa de variação da propriedade dentro do volume de controle com os fluxos líquidos através da superfície de controle. 3) Exemplos de equações de conservação derivadas incluem a equação da continuidade, equações de conservação de quantidade de movimento linear e angular,

1. 1
Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo
Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Luis Adriano Oliveira

2. 2
Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo
Leis básicas: vocacionadas para sistemas (Lagrange)
Mec. dos Fluidos: Euler dominante (volumes de controlo - VC)
Fund.tal associar leis básicas a VC
Basta relacionar as propriedades de um sistema com as de um fluido
contido num VC que, instantaneamente, coincide com o sistema.
Extensivas (dependem da massa: m, mV, E, volume,…)
Propried.
Intensivas (não dependem: T, p, propr. específicas)
Seja N : Propriedade extensiva de densidade mássica η:
Nsist. = ∫∫∫ ηρ dv
sist.

3. 3
Relação entre Sistema e VC
VC (ligado, portanto, ao sistema de referência oxyz)
ALBR :
sistema que, no instante t, coincide com o VC
Em t+∆t : sistema moveu-se ; VC permaneceu imóvel
Balanço de matéria:
III : matéria que saiu do VC entre t e t+∆t
I : matéria que entrou no VC entre t e t+∆t
II : matéria que, entre t e t+∆t, não deixou de pertencer ao VC

4. 4
Nsist. = ∫∫∫ ηρ dv
sist.
Balanço de N :
 DN  DN ( Nsist )t +∆t − ( Nsist )t
  = = lim =
 Dt sist. Dt ∆t →0 ∆t
= lim
( ∫∫∫ III
ηρdv + ∫∫∫ ηρdv
II ) t +∆t
− ( ∫∫∫ ηρdv + ∫∫∫ ηρdv )
II I t =
∆t →0 ∆t
= lim 

 ( ∫∫∫ ηρdv )
II t +∆t
− ( ∫∫∫ ηρdv ) + ( ∫∫∫
II t III
ηρdv ) t +∆t −
( ∫∫∫ ηρdv ) 
I t
∆t →0 ∆t ∆t ∆t 

 

taxa média de variação de N taxa média de saída de N, taxa média de entrada de N,
em II, entre t e t+∆t do VC, entre t e t+∆t no VC, entre t e t+∆t

5. 5
∆t 0:
II VC
( ∫∫∫ ηρdv )
II t +∆t
− ( ∫∫∫ ηρdv )
II ∂
∆t
t →
∂t ∫∫∫VC ηρdv
( ∫∫∫ ηρdv ) ( ∫∫∫ ηρdv )
∫∫SC ηρ ( V.n )dA
III t +∆t I t
− → ˆ
∆t ∆t
DN ∂
Dt
=
∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
ˆ ( ) 1.º membro: Lagrange
2.º membro: Euler

6. DN ∂ 6
Dt
=
∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
ˆ ( )
Equação válida num instante t
∂
∂t ∫∫∫VC ηρdv : taxa de variação de N no interior do VC, no instante t
∫∫SC ( )
ηρ V.n dA :
ˆ fluxo líquido de N através da superfície de controlo, no instante t
DN : taxa de variação de N no interior do sistema que,
Dt no instante t, coincide com o VC
∫∫SC > 0 ⇒ Efluxo resultante
Convenção : normal unitária exterior :
∫∫SC < 0 ⇒ Influxo resultante

7. 7
Equação integral de conservação de uma propriedade N :
DN ∂
Dt
=
∂t
( )
∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
ˆ
Exemplo :conservação de massa (Eq. Integral da Continuidade)
η = 1 ⇒ Nsist. = ∫∫∫ ρ dv = massa do sistema (M)
sist.
DM
=0 Por definição de sistema
Dt
∂
∂t
( )
∫∫∫VC ρdv = −∫∫SC ρ V.n dA
ˆ

8. 8
Escoamentos Tri-, Bi- e Unidimensionais (3-D, 2-D, 1-D)
Em rigor, qualquer escoamento é 3-D [ex. : u=u(x,y,z)]
Porém, casos há em que é legítimo admitir simplificações (2-D, 1-D)
Equação Integral da Continuidade (ex. 1-D, ∂ = 0 )
∂t
∂
∂t
( )
∫∫∫VC ρdv = −∫∫SC ρ V.n dA
ˆ
−ρ1V1A1 + ρ2 V2 A 2 + ρ3V3A3 = 0 ⇒ m1 = m 2 + m3

9. 9
Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Linear
de campo (sem contacto, via densid. mássica)
Forças exercidas
sobre um sistema de superfície (ou de contacto)
DN ∂
Dt
=
∂t
( )
∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
ˆ
Quant. mov.to : ( )sist = ∫∫∫VC ρVdv
P = mV VC ≡ sist, em t
η≡V⇒ N≡P F = Fc + Fs = ma = m
DV D mV
=
( )
=
DP
Dt Dt Dt
∂
Fc + Fs = ∫∫∫ ρVdv + ∫∫ ρV V.n dA
∂t VC SC
ˆ ( ) Eq. vectorial
(3 eq. escalares)

10. Exemplo: (1 − D, ∂ / ∂t = 0, ρ = c.te , atrito e peso ≅ 0 10
V2 = ?, F = ?)
Cont.: ∫∫SC ρ ( V.dA ) = 0 ⇒
⇒ ∫∫
SC
( )
V.dA = 0 ⇒ V2 A 2 − V1A1 = 0 ⇒ V2 = V1
A1
A2
Quant. de Mov.to: Fs = ∫∫
SC
( )
ρV V.n dA
ˆ
p1A1 − p 2 A 2 cos θ + Fx = ρV2 cos θ.V2 A 2 − ρV1.V1A1
− p 2 A 2 sin θ + Fy = ρV2 sin θ.V2 A 2
- Forças via pa neutralizam-se entre si
- Força que o fluido exerce sobre o suporte: −F

11. 11
Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Angular
Analogamente:
∂
( )
M c + M s = ∫∫∫ ρ rΛV dv + ∫∫ ρ rΛV V.n dA
∂t VC SC
ˆ( )( ) Eq. vectorial
(3 eq. escalares)
M c , M s : Momentos resultantes das forças exercidas sobre o sistema
Eq. Integral de Conservação de Energia
dQ : calor recebido pelo sistema ; dW : trabalho executado pelo sist.
1.ª lei da Termodinâmica : dE=dQ-dW
DE
Taxas de variação : =Q−W
Dt

12. 12
Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)
( E )sist = ∫∫∫sist eρdv ↔ N = ∫∫∫
sist
ηρdv ∴ η ≡ e
DN ∂
Dt
=
∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
ˆ ( )
∂
Q−W =
∂t ∫∫∫VC eρdv + ∫∫SC eρ V.n dA
ˆ ( ) Eq. escalar
W : trab. executado pelo sist. / tempo
p1 u2
u1 p2
Ws : trab. de veio (shaft)
W
∫∫SC p ( V.dA ) : trab. líquido que sai para vencer pressão
Wf
− ∫∫
SC
( τ.V )dA = Wv : trab. realizado para vencer a viscos.

13. 13
Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)
∂
Q − Ws − Wv − ∫∫
SC
( )
p V.dA =
∂t
( )
∫∫∫VC eρdv + ∫∫SC eρ V.n dA
ˆ
p 1 ˆ ˆ p
p= ρ e = u + V 2 + gz
ˆ h =u+
ρ 2 ρ
∂  V2   V2 
Q − Ws − Wv = ∫∫∫  u +
∂t VC 
ˆ
2
+ gz  ρdv + ∫∫  h
 SC 
ˆ+
2
+ gz  ρ V.n dA
 ( )ˆ
   

14. 14
Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)
∂  V2   V2 
Q − Ws − Wv = ∫∫∫  u +
∂t VC 
ˆ
2
+ gz  ρdv + ∫∫  h
 SC 
ˆ+
2
+ gz  ρ V.n dA
 ( )
ˆ
   
Exemplo :
Ar (ρ = p / RT), Wv 0, ∂ / ∂t = 0,1 − D
 V2 2 
ˆ
Q = Ws +  h 2 + + gz 2  .m 2 +
 2 
  ˆ
h i = cp Ti + C.te
 V32   V12 
ˆ +
+  h3 ˆ +
+ gz3  .m3 −  h1 + gz1  .m1
 2   2 
   

15. 15
Escoamento de Fluidos Invíscidos
Equação de Bernoulli
∂V
∂t
( ) 1
+ V.grad V = − grad p − g.grad z + ν.∇ 2 V
ρ
(Eq. Euler)
Projecção sobre uma linha de corrente: ds = ds s ⇒ grad ≡ ∂ s
ˆ ˆ
∂
( = 0)
∂s ∂t
 ∂ ˆ 1 ∂p ∂z
 V.  Vs = − s−g s
ˆ ˆ , a multiplicar escalarmente por ds
 ∂s  ρ ∂s ∂s
∂V 1 ∂p ∂z 1
V. ds = − ds − g. ds ⇒ d(p + ρV 2 + ρgz) = 0
∂s ρ ∂s ∂s 2
1
p + ρV 2 + ρgz = C.te Bernoulli (válida para uma dada l.c.)
2

16. 16
Equação de Bernoulli - Domínios de validade
Equação de Bernoulli vs 1.ª lei da Termodinâmica
1
1 − D, ρ = c.te , ∂ / ∂t = 0 (∴ m1 = m 2 = m)
2
 V2 2   V12 
ˆ +
Q − Ws − Wv =  h 2 ˆ +
+ gz 2  .m 2 −  h1 + gz1  .m1
 2   2 
   
p1 V12 p 2 V2 2  Ws Wv  Q 
+ + gz1 = + + gz 2 +  + +  u 2 − u1 −  
ˆ ˆ
ρ 2 ρ 2 m m  m 

17. 17
Equação de Bernoulli - Aplicações
- Tubo de Pitot Medição da velocidade (já visto)
- Medidor de Venturi
- Medidor de Diafragma
- Medidor de Bocal Medição directa do caudal
- Descarregador Rectangular
- Descarregador Triangular
Medidor de Venturi
A2
Continuidade : V1 = V2
A1
1 1
Bernoulli : p1 + ρV1 + ρgz1 = p 2 + ρV2 2 + ρgz 2
2
2 2
  A 2 
V2 = 2 ( p1 − p 2 ) / ρ 1 −  2   ⇒ Q = A 2 V2 .Cd 0.95 ≤ Cd < 1
  A1  
  (Calibração)

18. 18
Equação de Bernoulli - Aplicações
Medidor de Diafragma
Vena Contracta : A2 = ?
A 2 = C 'A 0
2
Q = C.A 2 V2 = Cd .A 0 2 / ρ ( p1 − p 2 ) / 1 − ( A 0 / A1 )
2 2
Cd = CC ' 1 − ( A 0 / A1 ) / 1 − C '2 ( A 0 / A1 ) ≈ 0.6, via calibraçao
Reservatório aberto para a atmosfera
Cd ≅ C.C ' , Q ≅ Cd A 0 2 / ρ ( p1 − p 2 )
A1 >> A 0 ⇒ p1 = ρgh , p 2 = 0 ⇒ V2 = 2gh
Q = Cd A 0 2gh

19. 19
Equação de Bernoulli - Aplicações
Medidor de Bocal
Em tudo análogo ao medidor de diafragma
Descarregadores (Rectangular, triangular)
2
dQ = Cd . 2gh.L.dh ⇒ Q = 2g.Cd .L.H3 / 2
3
θ 8 θ 5/ 2
Triangular : dA = 2 ( H − h ) tg dh ⇒ Q = 2gCd tg H
2 15 2