1) O documento discute escalares e vetores, apresentando exemplos de grandezas escalares e vetoriais.
2) É explicado que vetores, ao contrário de escalares, requerem a especificação de magnitude, direção e sentido para serem completamente descritos.
3) São apresentadas operações com vetores como soma, subtração, multiplicação por escalar e produto escalar e vetorial.
1) Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo integral e vetores para o estudo da Física. Apresenta noções de integral indefinida e definida, propriedades de integração e exemplos de cálculo de integrais.
2) Também define grandezas escalares e vetoriais na Física e conceitos associados a vetores como componentes, operações de soma e multiplicação por escalar.
3) Explica operações com vetores como produto escalar, produto vetorial, produto misto e produto vetorial duplo, com ênfase
1) O documento discute vetores, incluindo suas características de módulo, direção e sentido.
2) A soma e subtração de vetores são explicadas usando a regra do paralelogramo e a adição e subtração de componentes.
3) A multiplicação de um vetor por um número real é definida em termos de módulo, direção e sentido.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos, módulo e argumento, e representação gráfica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado que a resolução de equações de segundo grau levou ao desenvolvimento dos números complexos, representados na forma a + bi.
3) São explicadas propriedades e operações com números complexos, como potências de i, soma, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, a unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É definido o módulo e o argumento de um número complexo e mostrado como escrevê-lo na forma trigonométrica.
3) São apresentados exercícios sobre operações e propriedades de números complexos.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas soluções envolvem números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado como os números complexos surgiram da necessidade de encontrar raízes de equações algébricas e como Gauss propôs uma interpretação geométrica utilizando o plano cartesiano.
3) São apresentadas noções como módulo, argumento e formas algébrica e
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
1) Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo integral e vetores para o estudo da Física. Apresenta noções de integral indefinida e definida, propriedades de integração e exemplos de cálculo de integrais.
2) Também define grandezas escalares e vetoriais na Física e conceitos associados a vetores como componentes, operações de soma e multiplicação por escalar.
3) Explica operações com vetores como produto escalar, produto vetorial, produto misto e produto vetorial duplo, com ênfase
1) O documento discute vetores, incluindo suas características de módulo, direção e sentido.
2) A soma e subtração de vetores são explicadas usando a regra do paralelogramo e a adição e subtração de componentes.
3) A multiplicação de um vetor por um número real é definida em termos de módulo, direção e sentido.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos, módulo e argumento, e representação gráfica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado que a resolução de equações de segundo grau levou ao desenvolvimento dos números complexos, representados na forma a + bi.
3) São explicadas propriedades e operações com números complexos, como potências de i, soma, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, a unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É definido o módulo e o argumento de um número complexo e mostrado como escrevê-lo na forma trigonométrica.
3) São apresentados exercícios sobre operações e propriedades de números complexos.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas soluções envolvem números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado como os números complexos surgiram da necessidade de encontrar raízes de equações algébricas e como Gauss propôs uma interpretação geométrica utilizando o plano cartesiano.
3) São apresentadas noções como módulo, argumento e formas algébrica e
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
Este documento fornece dois exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas, incluindo situações em que as curvas interceptam os eixos de integração. A primeira questão calcula a área entre y = -x e y = 2 - x deslocando as funções, enquanto a segunda divide a área em duas partes acima e abaixo do eixo x.
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA. MÉTODO GEOMÉTRICO. MÉTODO ANALÍTICO, MULTIPLICAÇÃO DE VETORES. Multiplicação de um vetor por um escalar. Produto escalar, Produto vetorial
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua relação na formação dos números reais. Apresenta também as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos, assim como propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição. Por fim, inclui exercícios de aplicação desses conceitos.
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua união no conjunto dos números reais. Apresenta as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos e suas propriedades. Por fim, fornece exemplos numéricos ilustrativos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
(1) O documento apresenta a resolução de três questões sobre geometria analítica. A primeira questão demonstra a igualdade do paralelogramo e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais. A segunda questão determina os elementos de uma hipérbole dada. A terceira questão faz um esboço detalhado de uma curva dada pela interseção de um círculo e uma hipérbole.
Um vetor é caracterizado por ter direção, sentido e comprimento. Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção e o mesmo comprimento. A soma de dois vetores é dada pela regra do paralelogramo ou triângulo. A norma de um vetor representa o seu comprimento. Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
Um vetor é caracterizado por ter direção, sentido e comprimento. Pode ser representado por suas coordenadas ou componentes. Vetores podem ser somados usando a regra do paralelogramo ou triângulo. A norma de um vetor mede seu comprimento. Vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
1) O documento apresenta conceitos de operações com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e potenciação.
2) Regras para determinar o sinal do resultado de operações com números inteiros: a) na adição e multiplicação, sinais iguais resultam em positivo e sinais diferentes resultam em negativo; b) na potenciação, expoente par resulta em positivo e expoente ímpar segue o sinal da base.
3) O documento fornece exemplos destas operações e exercícios para o aluno
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
1) O documento apresenta 16 questões sobre funções do primeiro grau, incluindo equações de retas e cálculo de áreas de triângulos.
2) É fornecido um gabarito com as respostas para as 16 questões.
3) As questões envolvem cálculos como determinar coeficientes angulares, equações de retas, pontos de interseção e paralelismo de retas.
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica e plana, incluindo pontos, retas, distâncias, equações cartesiana e paramétricas de retas, alinhamento e distância de pontos à retas. Também aborda cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, quadrados, losangos e trapézios, além de conceitos básicos de geometria espacial sobre prisma, pirâmide, tetraedro e esfera.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
1) A circunferência definida pela equação é tangente à reta x = 4.
2) A região sombreada é definida pela condição (A).
3) Apenas a proposição I é verdadeira, que afirma que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz desses pontos.
1. O documento apresenta vários exercícios sobre propriedades de radiciais. Inclui decompor radicandos em fatores primos, simplificar radicais dividindo o índice e o expoente por um mesmo número, escrever radicais na forma de produtos e quocientes.
2. Também aborda determinar valores numéricos de expressões com radicais, igualdades com variáveis, e transformar expressões em forma mais simples possível.
3. Os exercícios envolvem diferentes propriedades de radicais como decomposição em fatores, simpl
O documento introduz os conceitos de vetores e grandezas vetoriais. Apresenta as características de orientação, módulo e sentido de um vetor e métodos para adição e subtração de vetores, como o método do paralelogramo e do polígono. Explica também componentes perpendiculares de um vetor e o conceito de versor. Por fim, fornece exercícios sobre os tópicos apresentados.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano abordando tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) Os alunos devem completar tabelas, calcular distâncias percorridas, relacionar números à conjuntos numéricos e resolver expressões algébricas.
3) São 30 questões no total abrangendo diferentes tópicos matemáticos.
Criação de tabelas e gráficos a partir de alimentos que compõem a cesta básic...ricardosantossilva4
Este projeto envolveu estudantes organizados em grupos para pesquisar preços de alimentos da cesta básica. Após coletar os dados, os grupos criaram tabelas e gráficos para organizar e representar visualmente os resultados. Os estudantes apresentaram e compartilharam suas descobertas em sala de aula, desenvolvendo habilidades de pesquisa, comunicação e trabalho em equipe.
Este documento fornece dois exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas, incluindo situações em que as curvas interceptam os eixos de integração. A primeira questão calcula a área entre y = -x e y = 2 - x deslocando as funções, enquanto a segunda divide a área em duas partes acima e abaixo do eixo x.
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA. MÉTODO GEOMÉTRICO. MÉTODO ANALÍTICO, MULTIPLICAÇÃO DE VETORES. Multiplicação de um vetor por um escalar. Produto escalar, Produto vetorial
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua relação na formação dos números reais. Apresenta também as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos, assim como propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição. Por fim, inclui exercícios de aplicação desses conceitos.
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua união no conjunto dos números reais. Apresenta as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos e suas propriedades. Por fim, fornece exemplos numéricos ilustrativos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
(1) O documento apresenta a resolução de três questões sobre geometria analítica. A primeira questão demonstra a igualdade do paralelogramo e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais. A segunda questão determina os elementos de uma hipérbole dada. A terceira questão faz um esboço detalhado de uma curva dada pela interseção de um círculo e uma hipérbole.
Um vetor é caracterizado por ter direção, sentido e comprimento. Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção e o mesmo comprimento. A soma de dois vetores é dada pela regra do paralelogramo ou triângulo. A norma de um vetor representa o seu comprimento. Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
Um vetor é caracterizado por ter direção, sentido e comprimento. Pode ser representado por suas coordenadas ou componentes. Vetores podem ser somados usando a regra do paralelogramo ou triângulo. A norma de um vetor mede seu comprimento. Vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
1) O documento apresenta conceitos de operações com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e potenciação.
2) Regras para determinar o sinal do resultado de operações com números inteiros: a) na adição e multiplicação, sinais iguais resultam em positivo e sinais diferentes resultam em negativo; b) na potenciação, expoente par resulta em positivo e expoente ímpar segue o sinal da base.
3) O documento fornece exemplos destas operações e exercícios para o aluno
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
1) O documento apresenta 16 questões sobre funções do primeiro grau, incluindo equações de retas e cálculo de áreas de triângulos.
2) É fornecido um gabarito com as respostas para as 16 questões.
3) As questões envolvem cálculos como determinar coeficientes angulares, equações de retas, pontos de interseção e paralelismo de retas.
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica e plana, incluindo pontos, retas, distâncias, equações cartesiana e paramétricas de retas, alinhamento e distância de pontos à retas. Também aborda cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, quadrados, losangos e trapézios, além de conceitos básicos de geometria espacial sobre prisma, pirâmide, tetraedro e esfera.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
1) A circunferência definida pela equação é tangente à reta x = 4.
2) A região sombreada é definida pela condição (A).
3) Apenas a proposição I é verdadeira, que afirma que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz desses pontos.
1. O documento apresenta vários exercícios sobre propriedades de radiciais. Inclui decompor radicandos em fatores primos, simplificar radicais dividindo o índice e o expoente por um mesmo número, escrever radicais na forma de produtos e quocientes.
2. Também aborda determinar valores numéricos de expressões com radicais, igualdades com variáveis, e transformar expressões em forma mais simples possível.
3. Os exercícios envolvem diferentes propriedades de radicais como decomposição em fatores, simpl
O documento introduz os conceitos de vetores e grandezas vetoriais. Apresenta as características de orientação, módulo e sentido de um vetor e métodos para adição e subtração de vetores, como o método do paralelogramo e do polígono. Explica também componentes perpendiculares de um vetor e o conceito de versor. Por fim, fornece exercícios sobre os tópicos apresentados.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano abordando tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) Os alunos devem completar tabelas, calcular distâncias percorridas, relacionar números à conjuntos numéricos e resolver expressões algébricas.
3) São 30 questões no total abrangendo diferentes tópicos matemáticos.
Criação de tabelas e gráficos a partir de alimentos que compõem a cesta básic...ricardosantossilva4
Este projeto envolveu estudantes organizados em grupos para pesquisar preços de alimentos da cesta básica. Após coletar os dados, os grupos criaram tabelas e gráficos para organizar e representar visualmente os resultados. Os estudantes apresentaram e compartilharam suas descobertas em sala de aula, desenvolvendo habilidades de pesquisa, comunicação e trabalho em equipe.
O documento discute conceitos fundamentais de energia potencial gravitacional e elétrica, incluindo: 1) objetos se movem espontaneamente de regiões de maior para menor potencial gravitacional/elétrico; 2) o trabalho da força elétrica depende da carga transportada; 3) o potencial elétrico mede a capacidade de realizar trabalho e é afetado pela distribuição de cargas no espaço.
[1] O documento discute o pensamento computacional, definido como a resolução de problemas através da extração de conceitos da ciência da computação. [2] Inclui ferramentas mentais como algoritmos, que refletem a lógica por trás da programação de computadores. [3] O documento também discute como o desenvolvimento do raciocínio lógico desde a infância nos ajuda a pensar computacionalmente.
Este documento fornece orientações sobre como construir um projeto de vida, incluindo três etapas: 1) autoconhecimento, 2) definir objetivos de carreira e futuro, 3) planejamento de ações. A primeira etapa envolve reflexões sobre valores, pontos fortes, sonhos de infância, e aptidões. A segunda etapa foca na escolha profissional considerando sonhos e aspirações. A terceira etapa apresenta como traçar um plano de ação.
O documento discute as principais características e divisões do reino Plantae. Ele descreve as briófitas, pteridófitas, gimnospermas e angiospermas, incluindo suas estruturas reprodutivas e exemplos de cada grupo. O documento também menciona brevemente plantas tóxicas.
Este documento discute as propriedades dos isolantes térmicos. Explica que isolantes têm baixa condutividade térmica e elétrica, além de altos pontos de fusão e ebulição e alta capacidade térmica, o que significa que eles conduzem mal o calor e corrente elétrica e retêm calor de forma eficiente.
O documento discute grandezas físicas, propriedades da natureza que podem ser quantificadas e medidas. Ele explica que grandezas físicas escalares caracterizam propriedades por sua intensidade, enquanto grandezas vetoriais dependem também de direção e sentido. O documento também diferencia grandezas fundamentais, que podem ser medidas diretamente, de grandezas derivadas, que são funções de outras grandezas.
2. QC1: Vetor vs Escalar
2
A. massa
B. volume
C. área
D. velocidade
instantânea
E. velocidade
escalar
média
F128
–
1o
Semestre
de
2012
Quais das quantidades abaixo não podem ser
completamente descritas por um escalar?
F128
–
2o
Semestre
de
2012
3. Grandezas Escalares e Vetoriais
Uma grandeza física é um escalar quando pode ser
caracterizada apenas por um número, sem necessidade de
associar-lhe alguma orientação.
Exemplos:
–Massa de uma bola: 0,25 kg
–Tempo para a massa mover-se de uma certa distância
–Temperatura (lida no termômetro)
–Energia de um corpo
–Carga elétrica
Algumas grandezas escalares são sempre positivas (ex:
massa). Outras podem ter os dois sinais (ex: carga elétrica).
3
F128
–
2o
Semestre
de
2012
4. Escalar vs. Vetor
• Algumas
grandezas
NÃO
podem
ser
descritas
por
escalares.
• Para
a
velocidade
importa
não
só
o
seu
valor,
por
exemplo
2m/s,
mas
também
a
direção
do
movimento.
• Definição:
– QuanVdades
descritas
por
uma
magnitude
(sempre
posiVva)
e
uma
direção
e
senVdo
são
chamadas
VETORES.
4
F128
–
2o
Semestre
de
2012
5. Vetores
A velocidade é uma grandeza vetorial.
Para especificá-la, não basta dar apenas o seu
módulo, por exemplo, 20 m/s, mas também
sua direção e o sentido do movimento.
Uma grandeza vetorial possui não apenas um módulo (ou
intensidade), mas também uma direção e um sentido. Deve, pois, ser
representada por um vetor.
Em nosso estudo de Mecânica, veremos outros
exemplos importantes de vetores.
Todos os vetores do conjunto mostrado na figura são iguais; para
especificar o conjunto, basta tomar apenas um elemento do conjunto.
5
F128
–
2o
Semestre
de
2012
6. Posição em um mapa
• Você está no ponto A
do
mapa.
• Deve andar na direção nordeste
até o ponto B.
• O deslocamento é um vetor
representado por (com seta ou
em negrito).
A
N
↑
*
B
*
6
F128
–
2o
Semestre
de
2012
D ou D
• Cujo módulo é representado por:
D ou |
D |
D
8. )
(
)
( C
B
A
C
B
A
S
+
+
=
+
+
=
Soma de dois ou mais vetores
A
B
R
R
A
soma
de
dois
vetores
é
um
vetor:
Note
que
R
B
A
R
+
=
A
B
B
A
+
=
+ (a
soma
é
comutaVva)
Soma
de
mais
de
dois
vetores:
Note
que:
C
B
A
S
+
+
=
S
S
C
8
F128
–
2o
Semestre
de
2012
9. Subtração de Vetores
( )
B
A
B
A
−
+
=
−
)
(
0 B
B
−
+
=
B
−
B
−
MulVplicação
por
um
escalar
O
vetor
nulo
(
) tem
módulo
zero
e
não
tem
direção
e
senVdo
definidos.
B
B
B
2
B
5
,
0
−
A
0
9
F128
–
2o
Semestre
de
2012
10. QC2: Soma vetorial
10
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
Qual dos vetores ao lado melhor
representa a soma vetorial de A e B?
F128
–
1o
Semestre
de
2012
F128
–
2o
Semestre
de
2012
11. onde Ax e Ay são definidos como as
componentes escalares do vetor e
e são os versores (vetores uni-
tários) das direções x e y, respecti-
vamente).
Se representarmos um vetor
por um negrito:
Componentes de um vetor
iˆ
A
i
Ax
ˆ
j
Ay
ˆ
Um vetor pode ser decomposto em uma soma da
forma:
A
A = Ax
ˆ
i + Ay ĵ
iˆ
A = Ax + Ay
ĵ
Ax e Ay são as componentes vetoriais de A.
x
y
ĵ
11
F128 – 2o Semestre de 2012
12. As componentes Ax e Ay são as chamadas componentes
cartesianas do vetor .
Podemos ainda definir um outro conjunto de coorde-
nadas para descrever um vetor no plano: as chamadas
coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor :
Representação polar de um vetor
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= −
x
y
A
A
tg 1
θ
2
2
y
x A
A
A +
=
θ
A
e pelo seu ângulo polar
A
A
Ay
Ax
iˆ x
y
Relações: θ
θ
sen
cos
A
A
A
A
y
x
=
=
12
F128
–
2o
Semestre
de
2012
ĵ
13. Soma de vetores usando componentes
cartesianas
Se
o
vetor
será
dado
em
componentes
cartesianas
por:
A = Ax
ˆ
i + Ay ĵ
B = Bx
ˆ
i + By ĵ,
B
A
C
+
=
onde:
Cx = Ax + Bx
y
A
B
C
A
x
A x
B
y
B
x
y
Cy = Ay + By
13
F128
–
2o
Semestre
de
2012
C = (Ax
ˆ
i + Ay
ˆ
j)+(Bx
ˆ
i + By
ˆ
j)
= (Ax
+ Bx
)ˆ
i +(Ay
+ By
)ˆ
j
=Cx
ˆ
i +Cy
ˆ
j
14. QC3: Módulo vetorial
A. 3i+4j
B. 4i+4j
C. 8i+1j
D. 6j
E. 7i
14
Ordene os vetores abaixo, de forma crescente (menor
para o maior), de acordo com seu módulo.
F128
–
2o
Semestre
de
2012
15. Produto escalar de dois vetores
Definição:
Geometricamente, projeta-se
na direção de e multiplica-se
por B (ou vice-versa). Então:
onde é o ângulo formado entre as direções de e .
A⋅
B = (Acosθ)B = (Bcosθ)A
A
B
A
B
θ
θ
A cosθ
B
A
B
15
F128
–
2o
Semestre
de
2012
A·
B = AB cos(θ)
16. F128
–
2o
Semestre
de
2012
16
Propriedades do produto escalar
O resultado do produto escalar entre dois vetores é
um escalar.
O produto escalar é
comutativo:
A·
B =
B·
A
http://www.falstad.com/dotproduct/
http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/
17. Devido à distributividade do produto escalar de dois
vetores, podemos escrevê-lo em termos das suas compo
nentes cartesianas:
Mas como: ˆ
i ⋅ ˆ
i = ĵ ⋅ ĵ = k̂ ⋅k̂ = 1 e ˆ
i ⋅ ĵ = ˆ
i ⋅k̂ = k̂ ⋅ ĵ =0 ,
A ⋅
B = Ax Bx + AyBy + Az BZ
teremos:
Produto escalar usando componentes
17
F128
–
2o
Semestre
de
2012
A⋅
B = (Ax
ˆ
i + Ay
ĵ + Az
k̂)⋅(Bx
ˆ
i + By
ĵ + Bz
k̂) =
= Ax
Bx
ˆ
i ⋅ ˆ
i + Ax
By
ˆ
i ⋅ ĵ + Ax
Bz
ˆ
i ⋅k̂ +
+ Ay
Bx
ĵ⋅ ˆ
i + Ay
By
ĵ⋅ ĵ + Ay
Bz
ĵ⋅k̂ +
+ Az
Bx
k̂ ⋅ ˆ
i + Az
By
k̂ ⋅ ĵ + Az
Bz
k̂ ⋅k̂
18. QC4: Produto Escalar
18
A.
B.
C.
D.
E.
(5ˆ
i)·(10ˆ
j)
Qual dos produtos escalares abaixo é diferente de
zero?
(1ˆ
i −1ˆ
j)·(1ˆ
i +1ˆ
j)
(1ˆ
i −2ˆ
j)·(2ˆ
i +1ˆ
j)
10ˆ
i·(2ˆ
i +1ˆ
j)
10ˆ
i·(2ˆ
k +1ˆ
j)
F128
–
2o
Semestre
de
2012
19. Produto vetorial de dois vetores
Definição: o produto vetorial de dois vetores e
representado por , é um vetor tal que:
i) a direção de é perpendicular
ao plano formado por e ;
ii) o seu módulo é igual à área
do paralelogramo formado por e
iii) o seu sentido obedece à regra da
mão direita (figura) ou do saca-rolhas.
C
A
B
A
B
B
A
C
×
=
θ
sen
B
A
C =
B
θ
A
C
−
θ
C
B
A
A
B
B
A
×
19
F128
–
2o
Semestre
de
2012
20. F128
–
2o
Semestre
de
2012
20
Propriedades do produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores é um vetor
perpendicular ao plano formado pelos 2 vetores.
O produto vetorial não é
comutativo:
A×
B = −
B ×
A
http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html
21. O produto vetorial também é distributivo.
Podemos escrevê-lo em termos das suas componentes
cartesianas como:
ˆ
i × ˆ
i = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0
ˆ
i × ĵ = k̂, k̂ × ˆ
i = ĵ, ĵ × k̂ = ˆ
i
Mas como e
, teremos:
A ×
B = (AyBz − AzBy ) ˆ
i + (AzBx − Ax Bz ) ĵ + (Ax By − AyBx ) k̂
Produto vetorial usando componentes
21
F128
–
2o
Semestre
de
2012
A ×
B = (Ax
ˆ
i + Ay
ˆ
j + Az
ˆ
k)×(Bx
ˆ
i + By
ˆ
j + Bz
ˆ
k) =
Ax
Bx
(ˆ
i × ˆ
i)+ Ax
By
(ˆ
i ׈
j)+ Ax
Bz
(ˆ
i × ˆ
k)+...
+Ay
Bx
(ˆ
j ׈
i)+ Ay
By
(ˆ
j ׈
j)+ Ay
Bz
(ˆ
j × ˆ
k)+...
+Az
Bx
(ˆ
k ׈
i)+ Az
By
(ˆ
k ׈
j)+ Az
Bz
(ˆ
k × ˆ
k)
22. Outra
forma
de
se
escrever
o
produto
vetorial
de
dois
vetores
e
é
através
do
determinante
da
matriz
formada
pelos
versores
e
pelas
componentes
cartesianas
dos
vetores
e
ao
longo
das
suas
linhas:
=
z
y
x
z
y
x
B
B
B
A
A
A
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
k
B
A
B
A
j
B
A
B
A
i
B
A
B
A x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
( −
+
−
+
−
=
B
A
B
A
k
j
i ˆ
e
ˆ
,
ˆ
O produto vetorial e o determinante
22
F128
–
2o
Semestre
de
2012
23. Exemplo 1:
Dados
os
vetores:
a = 2ˆ
i − 2 ĵ +k̂
b = 4ˆ
i − 3k̂ ,
b
a
e
a)
23
F128
–
2o
Semestre
de
2012
a +
b
a −
b
a ⋅
b
a ×
b
6ˆ
i −2ˆ
j −2ˆ
k
−2ˆ
i −2ˆ
j + 4ˆ
k
8(ˆ
i·ˆ
i)−3(ˆ
k·ˆ
k) = 5
−6(ˆ
i × ˆ
k)−8(ˆ
j ׈
i)+ 6(ˆ
j × ˆ
k)+ 4(ˆ
k ׈
i) =
−6(−ˆ
j)−8(−ˆ
k)+ 6(ˆ
i)+ 4(ˆ
j) =
6ˆ
i +10ˆ
j + 8ˆ
k
b)
calcule:
e)
o
ângulo
formado
por
.
c)
d)
θ = Arc cos
a·
b
a.b
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
= Arc cos(1/ 3) = 70.5o
24. Exemplo 2:
Considere o vetor , tal que A > 1. O vetor unitário que
aponta na direção de é dado por:
a)
24
F128 – 2o Semestre de 2012
|
A |
A
A
|
A |
b)
c)
d)
A
A
|
A |
A
1
|
A |
A