Este documento apresenta conceitos básicos sobre lógica, incluindo: 1) Definição de proposições e sua representação simbólica; 2) Apresentação dos principais conectivos lógicos e suas tabelas-verdade; 3) Explicação sobre validade de argumentos e construção de tabelas-verdade.

1. Raciocínio Lógico
Matemático
Introdução à lógica
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
 Unidade de Ensino: 2
 Competência da Unidade: Conhecer métodos e técnicas de operações
matemáticas, para desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico de apoio
à tomada de decisão.
 Resumo: Definição e conceitos básicos sobre lógica e seus fundamentos.
Definição de proposições e escrita destas na forma simbólica.
 Palavras-chave: Proposição; raciocínio; validade; tabela verdade.
 Título da Teleaula: Introdução à lógica
 Teleaula nº: 2
Contextualização
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Como são realizadas
as demonstrações
científicas?
Como são criadas ideias
novas a partir de
argumentos prévios já
conhecidos e
verdadeiros?
Organizar
argumentos
Analisar
Encontrar a melhor
solução
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Raciocínio Lógico
Matemático
Introdução à lógica
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Noções da lógica
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2. O que é lógica?
A lógica pode ser entendida como a ciência
que estuda os princípios e os métodos que
permitem estabelecer as condições de validade
e invalidade dos argumentos.
É uma parte do discurso (falado ou
escrito) no qual localizamos um
conjunto de uma ou mais sentenças
denominadas premissas e uma
sentença denominada conclusão
Carlos Alberto Ferreira Bispo, Luiz Ba sta Castanheira. Introdução à lógica matemática. Cengage Learning, 2011.
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A utilização do raciocínio para a construção de um resultado, quando realizada
de maneira equivocada, produzirá conclusões falsas.
Erro formal
Erro material
Relacionado à
validade do raciocínio Relacionado à verdade
sobre a proposição
Pedro usa boné e é inteligente.
Marcos também usa boné e
também é inteligente. Portanto,
vou usar boné e serei inteligente
Meu avô passou em
medicina, meu pai
passou em medicina;
isso significa que eu
passarei em medicina
Proposição
Proposição é qualquer sentença declarativa que assume um dos dois valores-
verdade: verdade e falsidade; ou seja, uma proposição é uma sentença
declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
Fechada: as sentenças
passam por si só uma
ideia de sentido
completo
Aberta: sentenças nas quais
não é possível identificar
uma afirmação clara
Vicente é jardineiro Venha aqui!
Valor lógico das
proposições
Princípios da lógica clássica
Princípio da
identidade
Princípio da não
contradição
Princípio do terceiro
excluído
Toda proposição é
idêntica a si mesma
uma proposição não
pode ser
verdadeira e falsa ao
mesmo tempo
uma proposição ou é
verdadeira ou é falsa
Representação das proposições
Normalmente substituímos as proposições (simples) por letras minúsculas do
nosso alfabeto: p, q, r, s, t. Isso é feito para simplificar as expressões oriundas
do cálculo proposicional.
Por exemplo:
I – Todos compraram ao menos um produto de limpeza. (p)
II – Alguns clientes compraram um produto da marca LIFE. (q)
III – A marca STAR é a única marca comprada por todos
os clientes. (r)
Proposições e
conectivos lógicos
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3. Proposições simples
São caracterizadas por conter uma única afirmação.
 Lady Gaga é uma cantora famosa.
 A copa do mundo de 2020 aconteceu em julho.
Representação
Letras minúsculas do nosso alfabeto
não há combinação
com outra
proposição
(𝒑)
(𝒒)
Proposições compostas
São constituídas por uma sequência finita de pelo menos duas proposições
simples.
 Se Lucas ganhar na Megasena, então ele compra uma Ferrari.
 Madalena é escritora e artista plástica
Representação
Letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Para construirmos uma proposição composta utilizamos
os conectivos lógicos.
há combinação com
outra proposição simples
(𝑹)
(𝑺)
Conectivos lógicos
Conectivos Operação Símbolos Exemplo
e Conjunção ∧
𝑝 ∧ 𝑞, lê-se:
p e q
ou Disjunção ∨
𝑝 ∨ 𝑞, lê-se: p
ou q
se, então... Condicional →
𝑝 → 𝑞, lê-se:
se p então q
se, e
somente se...
Bicondicional ↔
𝑝 ↔ 𝑞, lê-se: p
se e somente q
não Negação ∼
~ 𝑞, lê-se:
não q
Seja p e q duas
proposições simples
Exemplos
Sejam as proposições
p: Fernanda foi ao shopping.
q: Marcos foi à oficina
1) Fernanda foi ao shopping e Marcos foi à oficina.
2) Fernanda foi ao shopping ou Marcos foi à oficina.
p q
∧
p q
∨
3) Se Fernanda foi ao shopping então Marcos foi à oficina.
4) Fernanda foi ao shopping se e somente se Marcos foi à oficina.
5) Fernanda não foi ao shopping.
p q
→
p q
↔
~p
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4. Tabela verdade
Tabela verdade
 É um recurso que apresenta o valor lógico de uma proposição a partir dos
valores lógicos das proposições que a constituem.
 De modo geral, a quantidade de linhas necessárias para combinar os
valores lógicos das proposições pode ser calculada através da fórmula 2 ,
onde 𝑛 representa a quantidade de proposições.
 uma proposição, temos 𝑛 = 1, então 2 = 2
 duas proposições, temos 𝑛 = 2, então 2 = 4
 três proposições, temos 𝑛 = 3, então 2 = 8
Tabela verdade e conectores lógicos
Sejam 𝑝 e 𝑞 duas proposições simples.
p ~p
V
F
F
V
Tabela verdade da negação
p q
V
F F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
Tabela verdade da
conjunção
p ∧ q
Tabela verdade e conectores lógicos
p q p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
Tabela verdade da
disjunção
p q p → q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
Tabela verdade da
condicional
Tabela verdade e conectores lógicos
p q p ↔ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
Tabela verdade da bicondicional
Tabela verdade de uma proposição composta
Para construir a tabela-verdade de uma proposição composta é conveniente
seguir os passos seguintes:
 Determinação do número de linhas na tabela-verdade;
 Para cada coluna correspondente às proposições simples,
você preencherá com valores V ou F, até completar todas
as sequências possíveis de V e F.
 Identifique a precedência dos conectivos, de modo a inserir
colunas adicionais para as proposições compostas
intermediárias.
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5.  Determine os valores lógicos para as proposições intermediárias.
 Calcule o valor lógico da proposição composta final.
Atenção as regras de
precedência dos
conectivos!
1º. A negação ~
2º. Conjunção ∧ e
disjunção ∨
3º. Condicional →
4º. Bicondicional ↔
Podemos utilizar
parêntesis para alterar as
regras de precedência
entre eles. Os parêntesis
mais internos devem ser
calculados antes daqueles
mais externos, e todo
parêntese aberto deve ser
fechado.
Exemplo
Considere a proposição p ∧ q → ~ q. Construa a tabela verdade.
p q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
p ∧ q p ∧ q → ~ q
~ q
F
F
V
V
F
V
V
V
Considere a proposição p ∨ q → r. Construa a tabela verdade.
P q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
p ∨ q
V
F
V
V
V
F
V
F
p ∨ q → r
V
V
V
F
V
F
V
V
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Equivalências,
contradições,
tautologias e
contingências
Tautologia
Define-se tautologia como uma proposição composta cuja última coluna de
sua tabela-verdade assume o valor lógico verdadeiro independentemente dos
valores lógicos das proposições simples que a constituam.
p ~p p ∨ ~p
V F V
F V V
p p 𝑝 ↔ 𝑝
V V V
F F V
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6. Contradição
Define-se contradição como uma proposição composta cuja última coluna
de sua tabela-verdade assume o valor lógico falso, independentemente dos
valores lógicos das proposições simples que a constituam.
p ~p 𝑝 ↔ ~𝑝
V F F
F V F
Contingência
Denomina-se contingência toda proposição composta que pode assumir
tanto valores lógicos verdadeiros quanto falsos, em função dos valores das
proposições simples que a constituam.
p q ~p ~𝑝 → 𝑞
V V F V
V F F V
F V V V
F F V F
Equivalência
Quando duas proposições são equivalentes do ponto de vista lógico, então,
suas tabelas-verdade são iguais.
p q ~p ~𝑝 ∨ 𝑞
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Atenção
p → q ⇔ ~ p ∨ q
O Símbolo ⟺ é utilizado
para indicar que duas
proposições são
equivalentes
p ↔ q
O Símbolo↔ é utilizado
para indicar o conectivo
bicondicional
Analisando o valor
lógico de proposições
Quando é possível ter certeza de ocorrer a verdade se
ocorrerem obrigatoriamente as duas afirmações?
I – “As mulheres compraram produtos de beleza e os
homens produtos esportivos .”
II – “Se as mulheres compraram produtos de beleza,
então tiveram um desconto de 2%.”
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7. Primeiro passo é representar com símbolos cada uma das proposições
simples:
 As mulheres compraram produtos de beleza. (p)
 Os homens compraram produtos esportivos. (q)
 Tiveram um desconto de 2%. (r)
Em linguagem simbólica, as duas frases são representadas da
seguinte maneira:
p ∧ q ∧ (p → r)
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
p ∧ q p → r
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
p ∧ q ∧ (p → r)
V
F
F
F
F
F
F
F
As mulheres compraram
produtos de beleza e os
homens produtos esportivos, e,
se as mulheres compraram
produtos de beleza, então
tiveram um desconto de 2% só
é verdadeira se cada uma das
três proposições simples que a
compõe for verdadeira.
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Raciocínio Lógico
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Argumentação
Argumento
Um argumento é um conjunto de proposições, ou de formulas, nas quais uma
delas (conclusão) deriva, ou é consequências, das outras (premissas).
Argumentos podem ter mais de uma premissa.
Por outro lado, argumentos podem ter uma
única conclusão.
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8. Exemplos
Considere os enunciados:
“Os ingressos da balada estão mais
caros.
Eu quero continuar indo para a balada.
Logo, preciso receber mais dinheiro”.
É um argumento
André pratica natação e Flávia pratica
judô.
Márcia gosta de frango à passarinho.
Carlos vai à praia.
Não é um
argumento
Raciocínio dedutivo
Parte-se de afirmações gerais para chegar a uma particularidade.
 Premissa: Todos os gatos miam.
 Premissa: Jack é um gato.
 Conclusão: Logo, Jack mia.
Raciocínio Indutivo
Parte-se de casos particulares para se chegar a uma conclusão de caráter
geral, que pode ou não ser verdadeira
 Premissa: O ouro conduz eletricidade.
 Premissa: A prata conduz eletricidade.
 Premissa: O ferro conduz eletricidade.
 Conclusão: Todo metal conduz eletricidade.
 Uma argumentação consistente ou válida é aquela que utiliza proposições
verdadeiras e aplica corretamente a lógica formal.
 Uma argumentação inconsistente ou não válida é aquela que utiliza
proposições falsas ou em que é aplicado o uso incorreto da lógica,
ocorrendo falácia ou sofisma.
argumentação com
falha involuntária da
lógica
argumentação com
falha propositada da
lógica
Analisando
argumentos
Dado as premissas qual a conclusão podemos chegar?
Todos os clientes que compraram amaciante preferem o aroma de lavanda.
Durval entrou na loja e comprou açúcar, algumas verduras e amaciante.
Logo, Durval prefere amaciante
com aroma de lavanda
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9. Dado as premissas qual a conclusão podemos chegar?
Logo, apenas 30% dos alunos passaram de ano.
Todos os alunos que atingiram uma média de 60 ou mais pontos
passaram de ano.
Os alunos que tiveram média menor que 60 pontos não passaram de
ano.
Apenas 30% dos alunos atingiram a média 60.
Raciocínio Lógico
Matemático
Introdução à lógica
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Recapitulando Canva.com
Noções da lógica Proposições e
conectivos lógicos
Tabela verdade
Tabela verdade de
proposições compostas
Equivalências,
contradições, tautologias
e contingências Argumentação
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