Guia de aula sobre Medidas de Sensibilidade na Renda Fixa. Essa primeira parte foca nas diversas medidas de Duration (Duração).

1. Medidas de Sensibilidade:
Duração
José Augusto Carvalho Filho
Agosto 2013

2. Proposta do Curso
2
Aula Tema Conteúdo
1 Princípios Gerais • Mercado Futuro de DI e a estimacão da Estrutura a Termo da Taxa de Juros;̧
2 Estrutura a Termo da taxa de
juros
• Métodos de estimacão da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson-̧
Siegel-Svenson e Supoerbell;
3 Estrutura a Termo da taxa de juros • Métodos de estimacão da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson-̧
Siegel-Svenson e Supoerbell;
4 Sensitividade da taxa de
juro
• Aproximacões de primeira ordem, Duracão de Macaulay, Duracão̧ ̧ ̧
modificada, Outras medidas de duracão: Valor e Fischer, Limites dȩ
duracão, Aproximacões de ordem superior, Convexidade, Outraş ̧
medidas;
• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy
e Outros modelos);
5 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacões de primeira ordem, Duracão de Macaulay, Duracão modificada,̧ ̧ ̧
Outras medidas de duracão: Valor e Fischer, Limites de duracão, Aproximacõeş ̧ ̧
de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;
• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros
modelos);
6 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacões de primeira ordem, Duracão de Macaulay, Duracão modificada,̧ ̧ ̧
Outras medidas de duracão: Valor e Fischer, Limites de duracão, Aproximacõeş ̧ ̧
de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;
• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros
modelos);

3. Agenda
Aula 4

4. Prazo Médio

5. Motivação
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
 Qual é o prazo do título de renda fixo apresentado abaixo?
a) T
b) t1
c) t2
d) t3
e) t4

6.  Prazo Médio
 O fato de haver fluxos espalhados temporalmente cria uma
dificuldade natural na comparação com outros títulos.
 Faz-se necessário, portanto, definir alguma medida (um único
número) que nos dê uma idéia sobre o prazo da aplicação;
 Uma medida inicial, bastante intuitiva, é o prazo médio,
calculado como a média ponderada pelos prazos.
Medidas de Sensibilidade

7.  Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
d =
Fidi
i=1
n
∑
Fi
i=1
n
∑

8.  Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
d =
F1d1 + F2d2 + ×××+ Fndn
F1 + F2 + ×××+ Fn

9.  Prazo Médio
 Perceba que uma vez calculada a média do prazo, tem-se um fluxos similar ao
de um título de cupom zero:
Medidas de Sensibilidade
PF =
FV
1+ i( )d
t0
d
P
FV

10.  Prazo Médio
 Exemplo: Considere a seguinte carteira de duplicatas que será
descontada na data t0:
Medidas de Sensibilidade
Valor
Duplicata
Dias para o
Vencimento
R$150.000 25
R$200.000 30
R$250.000 38
R$300.000 33
R$100.000 35
R$1.000.000 d = ?

11.  Prazo Médio
 Exemplo:
 Calculando-se os produtos dos Fluxos pelos seus respectivos
prazos, tem-se:
Medidas de Sensibilidade
Valor
Duplicata
Dias para o
Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000
R$200.000 30 R$6.000.000
R$250.000 38 R$9.500.000
R$300.000 33 R$9.900.000
R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000

12.  Prazo Médio
 Exemplo:
 Finalmente, tem-se o valor do prazo médio d:
Medidas de Sensibilidade
d =
32.650.000
1.000.000
= 32,65 dias
Valor
Duplicata
Dias para o
Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000
R$200.000 30 R$6.000.000
R$250.000 38 R$9.500.000
R$300.000 33 R$9.900.000
R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000

13.  Prazo Médio
 Exemplo:
 Supondo que o valor da taxa de desconto seja de 4% a.m.,
podemos calcular o valor do desconto D:
 Com o valor do desconto, podemos calcular o valor do a ser
recebido PV:
Medidas de Sensibilidade
D = 1.000.000 ×4%×
32,65
30
= R$43.533,33
PV = FV − D
= 1.000.000 − 43.533,33
= 956.466,67

14.  Prazo Médio
 Exemplo:
 Finalmente, podemos calcular o valor do retorno efetivo:
 Se tivéssemos calculado o retorno, como YTM, que valor
teríamos encontrado ?
Medidas de Sensibilidade
i =
956.466,67
1.000.000



÷
30
32,65
−1
= 3,849% a.m.

15. Duration

16.  Duration
 Sabendo-se que o preço de um título pode ser expresso como
uma função da yield e do tempo, podemos escrever a seguinte
expressão de diferenças infinitesimais:
onde o primeiro termo da direita refere-se a variação do preço em
relação a uma pequena variação do valor da Yield y.
Medidas de Sensibilidade
dP y,t( ) =
∂P
∂y
dy +
∂P
∂t
dt

17.  Duration
 Portanto, podemos calcular o primeiro termo de diferença para
um preço de um título:
Medidas de Sensibilidade
∂P
∂y
=
∂
∂y
C
1+ y( )
+
C
1+ y( )2 + ...+
C
1+ y( )T +
N
1+ y( )T





÷
P y,t( ) =
C
1+ y( )
+
C
1+ y( )2 + ...+
C
1+ y( )T +
N
1+ y( )T

18.  Duration
 Seguindo com as derivadas internamente:
que é o mesmo que
Medidas de Sensibilidade
∂P
∂y
=
−C
1+ y( )2 + ...+
−C
1+ y( )T +1 +
−N
1+ y( )T +1





÷
∂P
∂y
= −
1
1+ y( )
1C
1+ y( )
+
2C
1+ y( )2 + ...+
T ×C
1+ y( )T +
T ×N
1+ y( )T





÷

19.  Duration
 Dividindo ambos lados por P:
Se considerarmos apenas o termo entre colchetes, tem-se a
conhecida Duration de Macaulay (DM).
Medidas de Sensibilidade
∂P
∂y
1
P
= −
1
1+ y( )
1C
1+ y( )
+
2C
1+ y( )2 + ...+
T ×C
1+ y( )T +
T ×N
1+ y( )T








1
P
DM =
1C
1+ y( )
+
2C
1+ y( )2 + ...+
T ×C
1+ y( )T +
T ×N
1+ y( )T








P

20.  Duration
 A função Duration de Macaulay pode ser expressa de forma mais
geral, como sendo:
Medidas de Sensibilidade
DM =
tC
1+ y( )t
t=1
n
∑ +
nN
1+ y( )n
P
∂P
∂y
1
P
= −
DM
1+ y( )

21.  Duration
 Se decidirmos por considerar todo o termo, temos a chamada
duration modificada D:
Portanto, temos que a variação infinitesimal relativa de preço é
igual a –D.
Medidas de Sensibilidade
D =
DM
1+ y( )
∂P
∂y
1
P
= −D

22.  Duration
 Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a
3,5 anos de seu vencimento com notional de R$100, cupom anual
8% e considerando uma yield de 11% a.a.
Medidas de Sensibilidade
YTM 11,00%
Notional 100R$
Cupom (a.a.) 8,00%
Cupom (a.s.) 3,92%

23.  Duration
 Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
 Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos
valores presentes:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV
0,5 R$3,9230 3,7236
1,0 R$3,9230 3,5343
1,5 R$3,9230 3,3546
2,0 R$3,9230 3,1840
2,5 R$3,9230 3,0222
3,0 R$3,9230 2,8685
3,5 R$103,9230 72,1243
Price 91,81

24.  Duration
 Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
 Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
 Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,0203
1,0 R$3,9230 3,5343 0,0385
1,5 R$3,9230 3,3546 0,0548
2,0 R$3,9230 3,1840 0,0694
2,5 R$3,9230 3,0222 0,0823
3,0 R$3,9230 2,8685 0,0937
3,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108

25.  Duration
 Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
 Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
 Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield. De forma análoga, podemos a duration
modificada DM.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,0203
1,0 R$3,9230 3,5343 0,0385
1,5 R$3,9230 3,3546 0,0548
2,0 R$3,9230 3,1840 0,0694
2,5 R$3,9230 3,0222 0,0823
3,0 R$3,9230 2,8685 0,0937
3,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108
Duration Modif. 2,800

26.  Duration
 Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
 O valor da Duration nos dá uma idéia de prazo médio do título.
 No nosso exemplo, teríamos 3,108 anos como sendo o prazo médio do título.
 Logo, é muito comum associar todo fluxo do título apresentado a um título
sintético de prazo 3,108 anos cujo valor de face é R$ 100.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,0203
1,0 R$3,9230 3,5343 0,0385
1,5 R$3,9230 3,3546 0,0548
2,0 R$3,9230 3,1840 0,0694
2,5 R$3,9230 3,0222 0,0823
3,0 R$3,9230 2,8685 0,0937
3,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108
Duration Modif. 2,800

27.  Duration como Medida de Variação do Preço
 Até o momento, as medidas de Duration (Macaulay e Modificada) nos deram
idéia de prazo médio.
 Consideremos mais uma vez a expressão da Duration:
 Multiplicando-se ambos lados da equação por dy temos a seguinte relação:
Medidas de Sensibilidade
∂P
∂y
1
P
= −D
dP
P
= −D×dy

28.  Duration como Medida de Variação do Preço
 Essa equação nos diz a variação relativa do preço em função de uma
determinada taxa de retorno dy.
 No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, poderíamos a variação do preço do título em
função de uma variação da taxa de retorno de 11% para 12% (100bp).
Medidas de Sensibilidade
dP
P
= −D×dy
dP
P
= −2,80×0,01
= −0,0280 ou seja, 2,8%

29.  Duration como Medida de Variação do Preço
 Portanto, é imediato perceber que a Duration pode ser usada para calcular
uma medida aproximada do de um título de renda Fixa.
 Lembrando que quanto menor for o valor de dy, menor é a estimação do
preço baseado apenas na duration.
Medidas de Sensibilidade
dP
P
= −D×dy

30.  Duration como Medida de Variação do Preço
Medidas de Sensibilidade
Erro
Erro

31.  Duration como Medida de Variação do Preço
 No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, calcule:
a) os valores dos preços com base em variações da taxa de retorno e os compare
com os preços obtidos a partir da fórmula do preço de um título.
b) faça um gráfico mostrando as diferenças entre as duas abordagens.
Medidas de Sensibilidade
dP
P
= −D×dy

32. Duration de Carteiras e o
Título Sintético

33.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Com base nas informações acima, podemos usar a Duration como forma de
representar a carteira como um título sintético de cupom zero e prazo T.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Titulo LTN CDB Debênture

34.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Nossa carteira pode ser representada da seguinte forma:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Titulo LTN CDB Debênture
t0
t
LTN
t1 t2 t3
CDB
Debênture

35.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Nosso objetivo é encontrar um título sintético que represente toda a carteira, com
apenas um prazo e uma taxa de retorno.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Titulo LTN CDB Debênture
t0
t
FV
PV
D
y =
FV
PV



÷
1
D
−1

36.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

37.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
DM =
tC
1+ y( )t
t=1
n
∑ +
nN
1+ y( )n
P
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

38.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
DM =
1.547,66 × 29 + 1.258,56 × 42 + 2.445,75 ×125
5.251,96
= 76,98
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

39.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
 Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

40.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
 Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis
 Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a
taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

41.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
 Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis
 Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a
taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
FV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91

42.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
 Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
 Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis
 Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a
taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB Debênture
Face R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125
Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total Duration
PV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Taxa Efetiva
FV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91 1,694%

43.  Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1
 Portanto, a seguinte carteira de renda fixa
pode ser aproximada através de um título sintético, conforme o seguinte fluxo:
Medidas de Sensibilidade
t0
t
LTN
t1 t2 t3
CDB
Debênture
t0
t
FV
PV
D
= R$5.569,91
= R$5.251,96
= 77 dias úteis
= R$1.580,00
= R$1.300,00
= R$2.700,00
= 29 = 42 = 125

44. Duration de Carteiras e o
Título Sintético
Estudo de Caso

45.  Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Além disso, considere a seguinte curva de taxas Spot dos títulos:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face
R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73
Curva Spot (%a.a.252)
du LTN CDB_1 CDB_2 Debêntures
1 9,500% 10,140% 10,647% 11,925%
10 9,673% 10,165% 10,673% 11,954%
20 9,618% 10,190% 10,700% 11,983%
30 9,643% 10,215% 10,726% 12,013%
40 9,870% 10,240% 10,752% 12,042%
50 9,798% 10,265% 10,778% 12,072%
60 9,899% 10,290% 10,805% 12,101%
70 9,957% 10,315% 10,831% 12,130%
80 10,147% 10,340% 10,857% 12,160%

46.  Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
 Com base nas informações disponíveis, calcule:
a) A Duration da carteira;
b) O valor presente da carteira;
c) O valor futuro da carteira;
d) A taxa de retorno da carteira baseada na Duration;
e) Para fins de interpolação, responda as questões acima considerando o método
exponencial e o spline spectral.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face
R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73

47.  Mercados, Análise e Estratégias de Bônus; Fabozzi,
Frank J. ed. Qualitymark, 2000.
 Securato, José Roberto, 1947, Cálculo Financeiro das
Tesourarias: Bancos e Empresas.
 Fortuna, Mercado Financeiro – Produtos e Serviços.
 Mercado Aberto no Brasil – Aspectos Históricos e
Operacionais; Araújo, Carlos H. , in Notas Técnicas do
Banco Central do Brasil, nº 12 – Jan/2002.
Bibliografia
Básica

48.  Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives,
6th Edition.
 Yield Curve Modelling at the Bank of Canada; Bank of
Canada Technical Report #84, 1999.
 Understanding the Yield Curve; Salomon Brothers –
United States Research Portfolio Strategies, 1995
(mimeo).
Bibliografia
Complementar

49.  http://www.anbima.com.br/
 http://www.tesouro.fazenda.gov.br/
 http://www.bcb.gov.br/
 http://www.bmfbovespa.com.br
 http://www.wolframalpha.com
Fontes Eletrônicas

50. Contatos
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Prof. Augusto Carvalho