O documento apresenta um modelo hierárquico de localização para o planejamento de equipamentos públicos, focando na maximização da acessibilidade e na minimização de custos. O modelo é aplicado ao redesenho da rede de escolas primárias em Coimbra, levando em consideração a demanda e a capacidade dos equipamentos. As principais características incluem múltiplos níveis de demanda, uma hierarquia de equipamentos e restrições de capacidade e atribuição.

1. Mestradoem Planeamentoe Operação de Transportes
1º Semestre2013/14
RegiõeseRedes
Artigo: A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, AntónioP. Antunes
Docentes
Prof. Luís Martinez
Prof. João Abreu e SIlva
Alunos
Duarte Amorim da Cunha – nº50982
João Vieira – nº 47104
Luís Neto – nº 74776
Rui Couchinho – nº 76756

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A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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Introdução
Modelos de Localização para Planeamento de Equipamentos Públicos
Processos de Planeamento
Complexos devido aos
mecanismos de participação
envolvidos
Stakeholders com pontos de
interesse distintos
concordância
depende da
transparência e
da racionalidade
do processo de
planeamento
Numero de soluções possíveis de planeamento é elevado - Indispensável o uso
de Modelos de Otimização com recurso a ferramentas de Tomada de Decisão

3. MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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Localizados em qualquer lugar
do Plano
Modelos Classificados
Contínuos
Discretos
Localizados em determinado
ponto do Plano especificado
antecipadamente
Objetivo do
Modelo
Determinar Localizações
mais eficientes para o
tipo de equipamentos
De acordo com:
* Minimização de Custos
* Maximização de Acessibilidade
* Outros

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A hierarchical location model for public facility planning
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Modelodesenvolvido para a Carta Educacionaldo Município de Coimbra – 2006 / 2015
Auxiliona tomada de decisão do redesenho da rede de escolas primárias do município.
Stakeholders envolvidos na decisão: Representantes da administração local;
Ministério da Educação; Proprietários de Escolas Privadas; Administração das Escolas
Públicas;Sindicatodos Professores; Associações de Pais dos Estudantes.
PROBLEMA
Diversos Níveis de Procura
Distintos Tipos de Equipamentos
Utilização do Modelo Adaptado de p-Median
Aplicado para problemas de localização de Equipamentos
como objetivo de maximizar a acessibilidade aos utilizadores
dos referidos equipamentos.

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P-Median Model
𝑖∈𝐼 𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗
Demand Centers
I = {1,…,n}
Sites
J = {1,…,m}
cij - custo de viagem cij= dij ui
dij - distância entre i e j / ui - Procura de i
Variáveis de decisão:
xij - fracção da procura do centro i servida pelo site j
yi - Variável binária de atribuição do equipamento
Minimizar
Sujeito a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼
(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(3) 𝑗∈𝐽 𝑦𝑗 = 𝑝
(4) 0 ≤ 𝑥𝑖𝑗≤ 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 , 𝑗 ∈ 𝐽
Garantirsatisfaçãoda Procura
Atribuição a site com equipamento
Limitar a p equipamentos
Limitarfracção da procura
Variávelbináriade atribuiçãode equipamentoa j

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Capacitated Median Model
𝑖∈𝐼 𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗Minimizar
Sujeito a:
(1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼
(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(6) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑗 𝑦𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽
(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 ,∀𝑗 ∈ 𝐽
(7) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝐵𝑗 𝑦𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽
(8) 𝑥𝑖𝑗 ∈ 0,1 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(9) 𝑘∈𝑃 𝑖𝑗
𝑥 𝑘𝑗 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗 ,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(10) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑘∈𝐴𝑖𝑗
𝑥 𝑘𝑗 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
Garantir satisfaçãoda Procura
Atribuição a site com equipamento
Restrições de capacidadedo equipamento:
B – capacidademáxima / b – capacidademínima
Atribuição “Tudoou nada”
Variávelbináriade atribuiçãode equipamentoa j
Pij é o subset de centros k que estão
“perto” do caminhomais curto entre i e j
Aij é o subset de centros k que estão no
caminho mais curto entre i e j
Demand Centers
I = {1,…,n}
Sites
J = {1,…,m}

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Rede e Procura ModeloP-Median ModeloCM sem restrições
ModeloCM restrição
de atribuiçãoúnica e
de caminho
ModeloCM restrição
de atribuiçãoúnica
ModeloCM restrição
de atribuiçãoúnica e
mais próximo
100% 138% 146%
91%83%

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Hierarchical Capacitated Median Model
𝑖∈𝐼 𝑗∈𝐽 𝑠∈𝑆
𝑑𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑠 𝑥𝑖𝑗𝑠
Demand Centers
I = {1,…,n}
Sites
J = {1,…,m}Minimizar
S. a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑠 ∈ 𝑆
(2) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ≤ 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑦𝑗𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
Hierarquia
S = {1,…,v}
(3) 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑧𝑗𝑠𝑡 = 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖𝑠 𝑥𝑖𝑗𝑠 , ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
(4) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 𝑏𝑗𝑡 𝑦𝑗𝑡,∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆
(5) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≤ 𝐵𝑗𝑡 𝑦𝑗𝑡,∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆
(6) 𝑘∈𝐽|𝑑 𝑖𝑘≤𝑑 𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑘𝑠 ≥ 𝑦𝑗𝑡,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽,
𝑠 ∈ 𝑆, ∀𝑡 ∈ 𝑆|𝑡 ≥ 𝑠
(7) 𝑗∈𝐽𝐽0 𝑦𝑗𝑠 ≥ 𝐽𝑠
0
− 𝑞 𝑠,∀𝑠 ∈ 𝑆
(8) 𝑗∈𝐽𝐽0 𝑦𝑗𝑠 ≤ 𝑝𝑠,∀𝑠 ∈ 𝑆
(9) 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 0,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆|𝑑𝑖𝑗 > 𝐷𝑠
(10) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ∈ 0,1 , 𝑦𝑗𝑠 ∈ 0,1 , 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 0,
∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑆
(11) 𝑘∈𝑃 𝑖𝑗
𝑥 𝑘𝑗𝑠 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗𝑠 ,∀𝑖 ∈ 𝐼,
𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
𝑖∈𝐼 𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗
dij - distância entre i e j
uis - Procura de i de nível s
Jo – Conjunto inicial de equipamentos
q/p – nº máx de equipamentos a
fechar/abrir
Zjst – Cap ocup s equip nível t em j
Variáveis de decisão:
xijs - fracção da procura do centro i
servida pelo site j de hierarquia s
yis - Variável binária de atribuição do
equipamento no site j de nível s

9. MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
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Case Study (I)
Reorganizaçãoda rede de ensino primário de Coimbra(objetivos):
 Ajustar a capacidadeà procura;
 A acessibilidadedos estudantes à escola deverá ser maximizada;
 As alterações deverão ser pequenas, por orçamentos diminutos e evitar reacções
públicascontra.
Cenário 1
Cenário 2
Cenário 3
Ocupação mínima de escolas de EB1 e EB12, 40 a
120 estudantes
Ocupação mínima de escolas de EB1, 80 estudantes
e 75% (120 estudantes) para escolas EB12
Igual ao Cenário 2, permitindo uma nova EB12, c/
capacidadeentre 360 e 600 estudantes
(Os cenários 2 e 3 tinham como objectivo encontrar a melhor
maneira de ajustar a capacidade existente para a previsão de
procura, mantendo a boa ocupação)

10. MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
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Case Study (II)
O cálculo dos dados para estes constrangimentosfoi feito em dois passos :
1. Foram criados Buffers em torno de cada centro com um raio de metade da distância
ao vizinho mais próximo, truncado para um máximo de 1 km, medidos ao longo da
rede rodoviária;
2. Todos os centros, cuja reserva é cortada pelo caminho mais curto (na rede
rodoviária) de i para j foram adicionados para definir Pij. O que significa que se o
centro de 38 é atribuído à escola 8, então o centro 36 deve ser atribuído à mesma
escola.

11. MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
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Case Study (III)
Cenário 3
Cenário 2Cenário 1

12. MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
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Conclusões
As principaiscaraterísticasdo modelo são:
 Objetivoda maximizaçãoda acessibilidade;
 Vários níveis de procura;
 Vários tipos (ou níveis) de equipamentos;
 Uma hierarquia de equipamentos (um equipamento de um determinado nível
pode servir a procura de níveis iguais e inferiores);
 Constrangimentosde capacidademáxima e mínima (ou ocupação);
 Restrições de atribuiçãode utilizadorpara equipamento.
Permite encontrar soluções fáceis de interpretare com maior aceitabilidadepública

13. OBRIGADO!