Arquitetura de Computadores: Sistemas de numeração

Sistemas de numeraçãoSistemas de numeração
Prof. Alex Dias Camargo
alexcamargo@ifsul.edu.br
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
SUL-RIO-GRANDENSE
CÂMPUS BAGÉ
ARQUITETURA DE COMPUTADORES

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I. Plano de aula
Na aula anterior foi visto:
 Conceitos básicos de arquitetura e organização
 Estrutura e função do computador
ARQ - Sistemas de numeração

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I. Plano de aula
Nesta aula será apresentado:
 Formatos de representação de dados
 Conversão de bases
 Aritmética binária

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1. Introdução
Ao longo da história, muitos padrões e convenções foram
estabelecidas para determinar certos aspectos da arquitetura dos
computadores.
 A unidade de informação mais básica em um sistema digital é
chamada de bit. Acrônimo de “BInary digiT” ou digíto binário.
 Um bit é que um estado de "ligado" ou "desligado" dentro de
um circuito de computador.
 Tipicamente, 1 Byte tem 8 Bits. Um símbolo, seja ele uma
letra, um número, ou sinal, é representado por um conjunto de
bits.
 Em sistemas computacionais são usadas diferentes unidades
de medida para representar a mesma informação.
 Tanto as unidades de medida quanto as bases numéricas
podem ser convertidas para uma melhor representação.

5
1. Introdução
Figura. Representação de 1 Bit e 1 Byte

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1. Introdução
Palavras em um computador consistem de dois ou mais bytes, ou
seja, possuem 16 bits, 32 bits, 64 bits, ou qualquer tamanho que
faça sentido dentro do contexto da arquitetura do computador.
 Ex.: Transferir da memória para o processador a palavra ARTE.
 Palavra de 8 bits = 1 byte = 1 caractere por vez.
Necessita 4 operações, uma para cada letra.
 Palavra de 16 bits = 2 bytes = 2 caracteres por vez.
Necessita 2 operações, uma para cada 2 letras.
Necessita 1 operação, uma para cada 4 letras.
Necessita 1 operação, uma para cada 4 letra e poderia ainda
transferir mais 4 caracteres.

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1. Introdução
Figura. Word-Oriented memory organization

8
1. Introdução
Figura. Windows 10 physical memory limits

9
1. Introdução
Figura. Notas: Address spaces

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2. Unidades de medida
Um único bit não consegue representar todos os números e
caracteres com os quais o computador trabalha. É necessário
agrupá-los e cada grupo é chamado de BYTE (armazenamento).
 1B = 8b. Byte = 8b, pois 2^3 (8 b)
 1KB = 1024B. Kilo = 1.024B, pois 2^10 (1.024 B)
 1MB = 1024KB. Mega = 1024B * 1024B, pois 2^20 = 2^10 *
2^10 (1.048.576 B)
 1GB = 1024MB. Giga = 1024B * 1024B * 1024B, pois 2^30 =
2^10 * 2^10 * 2^10 (1.073.741.824 B)

 1TB = 1024GB. Tera = 1024B * 1024B * 1024B * 1024B, pois
2^40 = 2^10 * 2^10 * 2^10 * 2^10 (1.099.511.627.776 B)
 Exceção (transferência): uma linha de comunicação de 1
Mbps transmite 10^6 (1.000.000) bits/s.
Megabit = 10^6 (1.000.000 b) em vez de 2^20 (1.048.576 B)

11
Tabela. Conjuntos de Bytes

12
Vídeo. Medidas em informática
Link: https://www.youtube.com/watch?v=CDtZDLj2ZhE

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3. Exercícios
1. Faça as seguintes conversões de unidade de medida:
A. 10MB em B
B. 10MB em KB
C. 6KB em B
D. 6GB em KB
E. 8MB em GB
F. 4,7 GB em B
2. Se um disco de 40GB está com 4,54GB de espaço livre. Quantos
MB esses 4,54GB representa?
3. Realize as conversões indicadas abaixo:
A. 1.099.511.627.776 Bytes --> ? KB, ? MB, ? GB, ? TB.
B. 8.796.093.022.208 Bits --> ? MB, ? GB.

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3. Exercícios
4. Numere a coluna da direita com base nas informações da coluna
da esquerda:
1) 1 Bit _____________ ( ) 1024 bytes ou 8192 bits
2) 1 Byte ___________ ( ) Um conjunto de 8 bits
3) 1 Kbyte ( ) 1024 Kbytes, 1.048.576 bytes
4) 1 Megabyte ( ) 1 ou 0
5) 1 Gigabyte ( ) 1024 Megabytes, 1.073.741.824 bytes
A alternativa que dá a correspondência correta respectiva é:
a) 3, 2, 4, 1, 5
b) 2, 3, 4, 1, 5
c) 2, 5, 3, 1, 4
d) 3, 5, 2, 1, 4

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3. Exercícios
5. Na especificação de memória de computador, costuma-se
utilizar como unidade de medida o Byte e seus múltiplos (KByte,
MByte, GByte, etc). Dentre as alternativas abaixo, qual
corresponde ao valor equivalente a 1 MByte (um megabyte)?
a) 1.000 KBytes
b) 1.024 KBytes
c) 1.000 Bytes
d) 1.024 Bytes
e) 1.000.000 Bytes
6. Relacione os itens abaixo:
(a) 1024 KB ( ) 8 bits
(b) 1024 MB ( ) 1 MB
(c) 1 Byte ( ) 1 GB

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3. Exercícios
7. Um estudante tem várias apostilas em seu computador pessoal,
que em média ocupa 950 KB cada. Quantas apostilas ele consegue
armazenar em um CD (700 MB)?
8. Fulano achou disponível num site de downloads um jogo de
18GB. Ele quer baixá-lo para um amigo.
a) Quanto tempo ele levará para baixar, sendo que a taxa de
download de sua conexão é de 1Mbps?
b) Após baixar, quantas mídias de CD (700MB) serão necessárias
para gravar o jogo?
c) Em um DVD (4,7GB), quantas mídias serão necessárias para
gravar o jogo?

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3. Exercícios
9. Em um DVD de 4,7 GB é possível gravar quantos arquivos de
5MB aproximadamente?
10. A menor unidade de informação armazenável em um
computador é o byte, suficiente, em muitos casos, para armazenar
um caractere.
( ) certo ( ) errado
11. As informações processadas nos computadores são compostas
por caracteres, sendo que cada caractere, representado por 0 ou 1,
é chamado de byte, e um conjunto de oito bytes constitui um bit.
( ) certo ( ) errado

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4. Conversão de bases
Conversão de base numérica é o nome dado à passagem da
representação de um número de uma base numérica para outra,
alterando a simbologia para se adequar à nova base.
 Base 10 (Decimal): utiliza 10 algarismos (símbolos)
diferentes para representar todos os números.
 Formado pelos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
 Exemplo: 1054(10) = 1x10³+0x10²+5x10¹+4x100
 Foi concebido pelos hindus e divulgado no ocidente pelos
árabes. Também chamado de "sistema de numeração indo-
arábico".
 DECIMAL PARA BINÁRIO/HEXADECIMAL: a conversão
numérica de números decimais para números binários ou
hexadecimais é realizada através de divisões consecutivas.

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Figura. Evolução do sistema de numeração decimal.

20
Figura. Exemplo de conversão: decimal para binário.
este zero pode ser desconsiderado,
pois estará à esquerda do número

21
Figura. Exemplo de conversão: decimal para binário.
1 mod 2 = 1,
por isso a divisão finaliza aqui

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4. Conversão de bases (exemplos)
Faça a conversão dos seguintes números:
a. 99(10) para binário
b. 325(10) para binário
c. 7858(10) em binário
d. 28591(10) em binário

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a. 99(10) para binário: 1100011(2)
b. 325(10) para binário: 101000101(2)
c. 7858(10) em binário: 1111010110010(2)
d. 28591(10) em binário: 110111110101111(2)

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 Base 2 (Binária): utiliza 2 algarismos (símbolos) diferentes
para representar todos os números.
 Formado pelos algarismos: 0 e 1. Cada um dos símbolos do
sistema binário é chamado de um bit.
 O sistema binário é base para a Álgebra Booleana. Permite
fazer operações lógicas e aritméticas com apenas dois dígitos.
 BINÁRIO PARA DECIMAL: escrever cada número que o
compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base=2),
elevado à posição que ocupa.
 Finalmente, a soma da multiplicação de cada dígito binário
pelo valor das potências resultará no número decimal
representado.

25
Tabela. Exemplos: Sistema de numeração binária.

26
Figura. Exemplo de conversão: binário para decimal.

27
Figura. Exemplo de conversão: binário para decimal.

28
Tabela. Exemplo de conversão: binário para decimal (outra maneira).

29
a. 101010(2) em decimal
b. 11001100(2) em decimal
c. 111011010001(2) em decimal
d. 1000000000000000(2) em decimal

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a. 101010(2) em decimal: 42(10)
b. 11001100(2) em decimal: 204(10)
c. 111011010001(2) em decimal: 3793(10)
d. 1000000000000000(2) em decimal: 32768(10)

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 Base 16 (Hexadecimal): utiliza 16 algarismos (símbolos)
diferentes para representar todos os números.
 Formado pelos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F.
 Está vinculado à informática, pois os computadores costumam
utilizar o byte como unidade básica. 1 byte = 8 bits, ou seja, 8
algarismos binários ou 2 algarismos hexadecimais.
 HEXADECIMAL PARA DECIMAL: transformar cada algarismo
hexadecimal em decimal, multiplicar pela base do sistema
(base = 16), elevado à posição que ocupa. Finalmente, a soma
da multiplicação de cada algarismo hexadecimal pelo valor das
potências resultará no número decimal representado.

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Tabela. Exemplos: Sistema de numeração hexadecimal.

33
Figura. Exemplo de conversão: decimal para hexadecimal.

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Figura. Exemplo de conversão: decimal para hexadecimal.

35
a. 297(10) para hexadecimal
b. 4021(10) para hexadecimal
c. 9135(10) em hexadecimal
d. 2019(10) em hexadecimal

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a. 297(10) para hexadecimal: 129(16)
b. 4021(10) para hexadecimal: FB5(16)
c. 9135(10) em hexadecimal: 23AF(16)
d. 2019(10) em hexadecimal: 7E3(16)

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Figura. Exemplo de conversão: hexadecimal para decimal.

38
Figura. Exemplo de conversão: hexadecimal para decimal.

39
a. 7CD(16) em decimal
b. 9873(16) em decimal
c. 2F5AB(16) em decimal
d. ABC(16) em decimal

40
a. 7CD(16) em decimal: 1997(10)
b. 9873(16) em decimal: 39027(10)
c. 2F5AB(16) em decimal: 193963(10)
d. ABC(16) em decimal: 2748(10)

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5. Exercícios
1. Faça a conversão de base dos seguintes números:
a. 1995(10) em binário
b. 1000000000(10) em binário
c. 1(2) em decimal
d. 1000001110(2) em decimal
e. 23678(10) em hexadecimal
f. 1000000(10) em hexadecimal
g. 123ABC(16) em decimal
h. ABC123(16) em decimal

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6. Aritmética binária
É como o computador manipula os dados através do sistema
binário, o mesmo utilizado pela ULA (Unidade Lógica e Aritmética)
dos processadores e eletrônica digital.
 Adição: no sistema binário é efetuada de maneira idêntica
ao sistema decimal, porém, com dois algarismos: 0 e 1.
 Exceção de regra: 1 + 1= 0 e transporta 1 (vai um) para a
próxima coluna.

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Figura. Aritmética binária: tabuada de adições.

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Figura. Exemplo: adição.
Pois
Em decimal
1(10) + 1(10) = 2(10)
Em binário
1(2) + 1(2) = 10(2)
Em decimal
1(10) + 1(10) + 1(10) =
3(10)
Em binário
1(2) + 1(2) = 10(2) + 1(2) =
11(12)
Pois

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46

47

48
6. Aritmética binária (exemplos)
Faça a soma dos seguintes números:
a. 11001010(2) + 10001101(2) =
b. 11111111(2) + 11111111(2) =
c. 10101010(2) + 101010(2) =
d. 11100(2) + 11101(2) =
e. 11101011(2) + 10000001(2) =

49
6. Aritmética binária (exemplo)
Faça a soma dos seguintes números:
a. 11001010(2) + 10001101(2) = 101010111(2)
b. 11111111(2) + 11111111(2) = 111111110(2)
c. 10101010(2) + 101010(2) = 11010100(2)
d. 11100(2) + 11101(2) = 111001(2)
e. 11101011(2) + 10000001(2) = 101101100(2)

50
 Subtração: no sistema binário é efetuada de maneira
idêntica ao sistema decimal, porém, com dois algarismos: 0
e 1.
 Exceção de regra: 0 - 1= 1 e transporta 1 (empresta um) da
próxima coluna.

51
Figura. Aritmética binária: tabuada de subtrações.

52
Figura. Exemplo: subtração.
Pois
Em decimal
2(10) – 1(10) =
1(10)
Em binário
10(2) – 1(2) =
1(2)

53

54
00

55
Faça a subtração dos seguintes números:
a. 11001010(2) - 10001101(2) =
b. 11111111(2) - 11111111(2) =
c. 10101010(2) - 101010(2) =
d. 111001(2) - 11101(2) =
e. 11101011(2) - 10000001(2) =

56
Faça a subtração dos seguintes números:
a. 11001010(2) - 10001101(2) = 111101(2)
b. 11111111(2) - 11111111(2) = 0(2)
c. 10101010(2) - 101010(2) = 10000000(2)
d. 111001(2) - 11101(2) = 11100(2)
e. 11101011(2) - 10000001(2) = 1101010(2)

57
Os computadores lidam tanto com números positivos quanto com
números negativos, sendo necessário encontrar uma
representação para números com sinal negativo. As principais são:
 Sinal e amplitude/magnitude (S+M): utiliza um bit à
esquerda para representar o sinal: 0 = valor positivo, 1 =
valor negativo.
 Problemas: dificuldade de subtração e duas representações
para 0(2) (100000(2) e 000000(2)). Não muito utilizado!

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Figura. Exemplo: sistema sinal-magnitude.

59
 Complemento de 1: invertem-se todos os bits de um número
para representar o seu complementar: assim, um valor positivo
é convertido para um negativo, e vice-versa.
 Problemas: duas representações para 0(2) (00000000(2) e
11111111(2)). Não muito utilizado!

60
Figura. Exemplo: complemento de 1.

61
 Complemento de 2: invertem-se todos os bits de um número
para determinar o seu negativo. Depois acrescenta-se uma
unidade ao valor.

62
Figura. Exemplo: complemento de 2.

63

64
Através da representação em complemento, a subtração entre dois
números pode ser substituída pela sua soma em complemento.
Subtração de negativos por complemento de 2:
 Converter para decimal (opcional, apenas para confirmação)
 Identificar o valor com mais bits;
 Igualar o valor com menos bits com zeros à esquerda;
 Aplicar o complemento de 1 no valor de menor representação;
 Aplicar o complemento de 2 no valor de menor representação;
 Realizar a soma dos valores;
 Remover os bits excedentes;
 Converter para decimal (opcional, apenas para confirmação).
Importante: qualquer operação aritmética pode ser realizada
em computadores apenas através de somas (diretas ou em
complemento)!

65
Figura. Exemplos: Aritmética em complemento de 2.

66
Notas. ULA: Aritmética em complemento de 2.

67
1 0 1 1 1 0

68
Faça a subtração dos seguintes números negativos utilizando o
complemento de 2:
a. 101(2) - 1010(2) =
5(10) - 10(10) = -5(10)
b. 1100100(2) - 11001000(2) =
100(10) - 200(10) = -100(10)
c. 1001101(2) - 1100011(2) =
77(10) - 99(10) = -22(10)
d. 11111001111(2) - 11111010000(2) =
1999(10) - 2000(10) = -1(10)
e. 10000000000(2) - 10100000000000(2) =
1024(10) - 10240(10) = -9216(10)

69
Faça a subtração dos seguintes números negativos utilizando o
complemento de 2:
a. 101(2) - 1010(2) = -101(2)
5(10) - 10(10) = -5(10)
b. 1100100(2) - 11001000(2) = -1100100(2)
100(10) - 200(10) = -100(10)
c. 1001101(2) - 1100011(2) = -10110(2)
77(10) - 99(10) = -22(10)
d. 11111001111(2) - 11111010000(2) = -1(2)
1999(10) - 2000(10) = -1(10)
e. 10000000000(2) - 10100000000000(2) = -10010000000000(2)
1024(10) - 10240(10) = -9216(10)

70
Vídeo. Números Binários: adição e subtração
Link: https://www.youtube.com/watch?v=7igvEoqSby8

72
 Multiplicação: no sistema binário é efetuada de maneira
idêntica ao sistema decimal, porém, com dois algarismos: 0
e 1.
 Importante: nos processadores em geral, a multiplicação
representa um conjunto de adições.

73
Figura. Exemplo: multiplicação.

74
Figura. Exemplo: multiplicação.

75
Nota. Aritmética decimal: multiplicação (outra maneira de fazer).

76
Faça a multiplicação dos seguintes números:
a. 1010(2) x 1101(2) =
b. 111(2) x 11(2) =
c. 101(2) x 1011(2) =
d. 11100(2) x 11101(2) =
e. 11101011(2) x 10000001(2) =

77
Faça a multiplicação dos seguintes números:
a. 1010(2) x 1101(2) = 10000010(2)
b. 111(2) x 11(2) = 10101(2)
c. 101(2) x 1011(2) = 110111(2)
d. 11100(2) x 11101(2) = 1100101100(2)
e. 11101011(2) x 10000001(2) = 111011001101011(2)

78
 Divisão: no sistema binário é efetuada de maneira idêntica
ao sistema decimal, porém, com dois algarismos: 0 e 1.
 Importante: nos processadores em geral, a divisão
representa um conjunto de subtrações.

79
Nota. Exemplo: divisão.
Na divisão é feita a comparação do tamanho
dos números e a subtração.
37(10)37(10) 4(10)
9(10)

80
Figura. Exemplo: divisão.

81

82
Dividendo Divisor
Quociente
Resto

83

84
Nota. Aritmética decimal: divisão (outra maneira de fazer).

85
Faça a divisão dos seguintes números:
a. 1111101000(2) : 1010(2) =
1000(10) : 10(10) = 100(10)
b. 1111000(2) : 110(2) =
120(10) : 6(10) = 20(10)
c. 111110100(2) : 101(2) =
5000(10) : 5(10) = 100(10)
d. 10111011100(2) : 11(2) =
1500(10) : 3(10) = 500(10)
e. 11111010000(2) : 110(2) =
2000(10) : 6(10) = 333(10)

86
Faça a divisão dos seguintes números:
a. 1111101000(2) : 1010(2) = 1100100(2)
1000(10) : 10(10) = 100(10)
b. 1111000(2) : 110(2) = 10100(2)
120(10) : 6(10) = 20(10)
c. 111110100(2) : 101(2) = 1100100(2)
5000(10) : 5(10) = 100(10)
d. 10111011100(2) : 11(2) = 111110100(2)
1500(10) : 3(10) = 500(10)
e. 11111010000(2) : 110(2) = 101001101(2)
2000(10) : 6(10) = 333(10)

87
Vídeo. Números Binários:multiplicação e divisão.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=9NBfXfS8scs

88
7. Exercícios
1. Faça as operações aritméticas e dê o resultado nas bases 2 e 10.
a. 1010(2) + 1010(2)
b. 111(2) + 111(2)
c. 0101010(2) + 110110110(2)
d. 111000(2) + 111000(2)
e. 111010110000(2) - 1110101101(2)
f. 101100111010(2) - 10110110110(2)
g. 100000000(2) - 10111111(2)
h. 1010111010000(2) - 111101011011(2)

89
7. Exercícios
2. Faça as operações aritméticas binárias e dê o resultado usando
o complemento de 2.
a. 111001000(2) – 10110110000(2)
b. 11001(2) – 110010(2)
c. 1101110011110(2) – 1111110000110(2)
d. 101101(2) – 1100010(2)
e. 1101(2) – 11001(2)
f. 111000(2) – 1000110000(2)
g. 100110100011(2) – 111100001111111010(2)
h. 10011100010000(2) – 11110100001001000000(2)

90
7. Exercícios
3. Resolva as operações aritméticas e dê o resultado na base 2.
a. 1110(2) x 10(2)
b. 11001(2) x 11(2)
c. 110110(2) x 111(2)
d. 10(2) x 1100(2)
e. 10100(2) : 1010(2)
f. 11001(2) : 10(2)
g. 110010(2) : 101(2)
h. 1111101000(2) : 1010(2)

91
Referências básicas
STALLINGS, William. Arquitetura e Organização de
Computadores. 8.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010.

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