Apostila Mecânica dos Sólidos I

APOSTILA DE
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
ÉVERTON PIZZIO
Farroupilha, 2015
RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO FEDERAL DE
EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Câmpus Farroupilha

Dedico à João Carlos Pizzio
e Sonia Helena Pizzio

IFRS Câmpus Farroupilha - Mecânica dos Sólidos I 2015
Prof. Éverton Pizzio
1
Sumário
1 – CÁLCULO DAS REAÇÕES.......................................................................................................3
1.1 Tipos de suportes (ou apoios)..........................................................................................3
1.2 – Tipos de carregamentos ...............................................................................................3
1.3 – Classificação de vigas....................................................................................................4
1.4 – Cálculo das reações nas vigas........................................................................................4
2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS...............................................5
2.1 – Método das seções.......................................................................................................5
2.1.1 – Força cortante nas vigas (V) ...................................................................................6
2.1.2 – Força axial nas vigas (P)..........................................................................................6
2.1.3 – Momento fletor (M)...............................................................................................7
2.1.4 – Diagramas de forças cortante, axial e do momento fletor ......................................7
3 TRELIÇAS..............................................................................................................................13
3.1 Definição.......................................................................................................................13
3.2 Método do equilíbrio dos nós....................................................................................14
4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS ........................................................18
4.1 Centro de Gravidade .....................................................................................................18
4.2 Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras...........................................19
4.3 Momento de Inércia......................................................................................................20
5 – TENSÃO.............................................................................................................................22
5.1 – Definição de Tensão ...................................................................................................22
5.2 – Tensor de Tensões......................................................................................................23
5.3 – Tensões em membros com carregamento axial ..........................................................24
5.3.1 – Carga axial ...........................................................................................................24
5.3.2 – Tensão média de cisalhamento............................................................................25
6 – TORÇÃO ............................................................................................................................29
6.1 – Aplicação do método das seções ................................................................................29
6.2 – Premissas Básicas .......................................................................................................29
6.3 – A fórmula da torção....................................................................................................30
6.4 – Observações sobre a fórmula da torção......................................................................31
6.6 – Ângulo de torção de membros circulares....................................................................35
7 – TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS...........................................................................................36
7.1 – Premissa básica ..........................................................................................................36
7.2 – Fórmula da flexão elástica ..........................................................................................38

2
7.3 – Flexão pura de vigas com seção assimétrica................................................................40
8. Transformação de tensões ..................................................................................................42
ANEXO 1 .................................................................................................................................49
ANEXO 2 .................................................................................................................................50
BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................51

3
1 – CÁLCULO DAS REAÇÕES
1.1 Tipos de suportes (ou apoios)
1.2 – Tipos de carregamentos
a) Forças concentradas

4
b) Carga uniforme distribuída
c) Carga uniformemente variável
d) Momento concentrado
1.3 – Classificação de vigas
a) Simplesmente apoiadas
1.4 – Cálculo das reações nas vigas
Equações de equilíbrio estático (forças aplicadas em um plano):
ΣFx = 0 , ΣFy = 0 e ΣMA ou B = 0

5
2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS
2.1 – Método das seções
O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos
esforços internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio
das partes de um corpo é utilizado quando o corpo com um todo está em
equilíbrio.

6
Figura 2.1 – Esforços internos em vigas
onde V é a força cortante, P é a força axial e M é o momento fletor.
2.1.1 – Força cortante nas vigas (V)
A força cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na
seção: A-A para satisfazer a equação de equilíbrio Σ F y = 0.
A força cortante é definida positiva quando girar a seção no sentido anti-
horário.
Figura 2.2 – Força cortante
2.1.2 – Força axial nas vigas (P)
A força axial P, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção,

7
deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio
Σ Fx =0.
A força axial é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora
da seção e negativa ou de compressão em caso contrário.
Figura 2.3 – Força axial
2.1.3 – Momento fletor (M)
O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que
contêm a viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de
equilíbrio Σ M z = 0.
Para isto, o momento provocado pelas forças é normalmente
calculado em torno do ponto de interseção de V e P.
O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga
e comprimir a parte superior da viga , e negativo em caso contrário.
Figura 2.4 – Momento fletor
2.1.4 – Diagramas de forças cortante, axial e do momento fletor
Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a
evolução das forças cortante, axial e do momento fletor ao longo da viga.

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Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortantes, força axial e de
momento fletor para a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P = 5 t .
Desprezar o peso da viga.
a - Determinar as reações de apoio.
Diagrama de corpo livre (D.C.L.):
→Σ F x =0 , RAx – 3 = 0 , RAx = 3 t
Σ M A =0 , RB . 10 – 4 . 5 = 0 , RB = 2 t
↑Σ F y =0 , 2– 4 + RAy = 0 , RAy = 2 t
Verificação:
ΣM B = – 2 . 10 + 4 . 5 = 0 (OK)
b - Determinar as forças cortante e axial e o momento fletor em seções entre
duas forças concentradas.
Seção c-c (0<x<5):

9
→Σ F x =0 , P + 3 = 0 , P = - 3 (t)
↑Σ F y =0 , V + 2 = 0 , V = - 2 (t)
Σ Mc =0 , -2 . x + M = 0 , M = 2 x (t.m)
Seção d-d (5 < x < 10):
→Σ F x =0 , P = 0
↑Σ F y =0 , - V + 2 = 0 , V = 2 (t)
Σ Md =0 , 2 . ( 10 – x ) - M = 0 , M = - 2 x + 20 (t.m)
c - Traçar os diagramas de força cortante, força axial e do momento fletor.

10
Conclusões Importantes:
 Ponto de força concentrada vertical ⇒ Descontinuidade no diagrama de
força cortante igual a força concentrada vertical (módulo).
 Ponto de força concentrada axial ⇒ Descontinuidade no diagrama de
força axial igual a força concentrada axial.
Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a
viga apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento
concentrado.
a - Determinar as reações nos apoios (D.C.L.):

11
→Σ F x =0 , RBx = 0
Σ M B =0 , + 4 . 5 - RA .4 - 8 = 0 , RA = 3 t
↑Σ F y =0 , - 4 + 3 + RBy = 0 , RBy = 1 t
Verificação:
Σ M A = + 4 . 1 - 8 + 1 . 4 = 0 (OK)
2 - Determinar as forças cortante e o momento fletor em seções entre forças e
momentos concentrados e ao longo de uma carga distribuída.
Seção c-c (0 < x < 2):
→Σ F x =0 , P = 0

12
↑Σ F y =0 , - 2.x + V = 0 , V = 2 x (t)
Σ Mc =0 , 2 . x . x / 2 + M = 0 , M = - x2
(t.m)
Seção d-d (2 < x < 4):
→Σ F x =0 , P = 0
↑Σ F y =0 , - 4 + 3 + V = 0 , V = 1 (t)
Σ Md =0 , 4 . (x – 1) – 3 . ( x – 2) + M = 0 , M = - x - 2 (t.m)
Seção e-e (4 < x < 6):

13
→Σ F x =0 , P = 0
↑Σ F y =0 , - V + 1 = 0 , V = 1 (t)
Σ Me =0 , + 1 . ( 6 – x ) - M = 0 , M = - x + 6 (t.m)
c -Traçar os diagramas de força cortante e do momento fletor.
Conclusões Importantes (além das anteriores):
 Ponto de momento concentrado ⇒ Discontinuidade no diagrama de
momento fletor igual ao momento concentrado.
3 TRELIÇAS
3.1 Definição
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades.
O
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos
são aplicados unicamente nos nós.
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um
mesmo plano.

14
Para se calcular uma treliça deve-se:
a) determinar as reações de apoio;
b) determinar as forças nas barras.
Adota-se como convenção de sinais:
barras tracionadas: positivo..........................................
barras comprimidas: negativo......................................
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos
e analíticos.
Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,
abaixo exemplificado.
3.2 Método do equilíbrio dos nós
Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de
apoio.
No caso da treliça da figura, no nó A tem-se um apoio móvel e no nó
B, um apoio fixo.
Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os
perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RA.
Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares
ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RB e uma reação horizontal HE.

15
Cálculo do ângulo de inclinação das barras
α = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
2
2
= 45º
a) Cálculo das reações de apoio
Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
Σ FH = 0 conclusão: HE = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
Σ F V = 0 R A + R E − 50 −100 − 50 = 0 R A + R E = 200 kN (1)
Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a
qualquer
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se, por exemplo, o nó A como
referência, tem-se:

16
ΣMA = 0 4 ×RE − 50 × 4 −100 × 2 RE = 400 /4
RE = 100 kN
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:
R A +100 = 200 logo R A = 100 kN
b) Cálculo das forças nas barras
Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As
forças devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori
se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se
fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra
está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado.

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Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das
forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente.
Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.
Resultados:

18
4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como
de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões,
as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem
a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades
das figuras geométricas que formam essas seções transversais.
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante,
chamada barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a
altura (h) é chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a
altura (h) é chamado de seção transversal.
As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
Área (A)
Momento de Inércia (I)
Momento estático (M)
Módulo de resistência (W)
Centro de gravidade (CG)
Raio de giração (i)
4.1 Centro de Gravidade
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical
atuando de

19
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si
constitui peso do corpo.
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele
permanecerá
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais
girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O
ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que
seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).
Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser
representada por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é
aplicada
no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode
localizar-se dentro ou fora da superfície.
4.2 Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é
expresso por:

20
4.3 Momento de Inércia
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de
referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos
elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas
distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.
O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores
numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da
seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.
Propriedade:
O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de
inércia das figuras que a compõe.

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Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3
Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3
Princípio de Steiner
Ixi = ICGi + y2
CG . Ai
Iyi = ICGi + x2
CG . Ai
Onde,
y2
CG e x2
CG, são as distâncias entre as componentes y CGi e xCGi dos centros
de gravidade da figura “i” e o centro de gravidade do sistema yCG e xCG,
respectivamente.
Exemplo
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x
que passa pelo CG. (medidas em centímetros)

22
Exemplo
A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura,
determinar:
a) o centro de gravidade;
b) o momento de inércia em relação ao eixo x;
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras
compostas, convém montar a seguinte tabela:
5 – TENSÃO
5.1 – Definição de Tensão
Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas P1 e P2 e à
forças internas ΔP atuantes em áreas infinitesimais ΔA, Fig.5.1.

23
Figura 5.1 – Esforços externos e internos num corpo seccionado
A tensão normal à face seccionada é por definição da forma:
(5.1)
e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição
da forma:
(5.2)
O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular
à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão.
5.2 – Tensor de Tensões
Considere um elemento infinitesimal de dimensões Δx, Δy e Δz com todas as
tensões que atuam sobre ele, Fig. 5.2.

24
Figura 5.2 – Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente
O tensor de tensões é uma matriz de dimensão (3x3) onde são colocadas
todas as tensões atuantes num elemento infinitesimal:
(5.3)
Verifica-se que o tensor de tensões é simétrico: τyx = τxy , τzx = τxz , τyz = τzy.
Demonstração:
Σ Mz = 0 eixo, (τyx . Δx . Δz ) Δy - (τxy . Δy . Δz ) Δx = 0 ⇒ τyx = τxy
5.3 – Tensões em membros com carregamento axial
5.3.1 – Carga axial
Considere uma barra sem peso e em equilíbrio, sujeita à duas forças F
(tração ou compressão) em suas extremidades.

25
Figura 5.3 – Barra solicitada axialmente
A área da seção transversal no ponto onde se seccionou a barra é A e a força
interna é igual a P e positiva (se tracionada) ou negativa (se comprimida), logo
a tensão normal é da forma:
σ = P/A (5.4)
No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser
suficientemente pequeno para que não ocorra flambagem.
5.3.2 – Tensão média de cisalhamento
Considere um corpo sendo arrastado sobre outro corpo por uma P.
Figura 5.4 – Corpo sendo cisalhado.
Se o corpo que está sendo arrastado tem área A na interface de contato entre
os corpos, a tensão média de cisalhamento é da forma:
τm = V/A (5.5)

26
A eq. (5.5) é frequentemente utilizada para dimensionar pinos, parafusos,
rebites, etc. que estão sendo solicitados por esforços cisalhantes.
Corpos podem ser cisalhados de formas diferentes. Um corpo pode estar
sendo submetido à um cisalhamento simples quando, Fig. 5.5:
Figura 5.5 – Corpo submetido à um cisalhamento simples
O rebite que une os dois corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na
interface da seguinte forma, Fig. 5.6:
Figura 5.6 – Rebite com cisalhamento simples
Se o rebite tem área A na interface e a força cortante V é P, a tensão de
cisalhamento média é:
τm = V/A = P/A (5.6)
Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento duplo quando, Fig.
5.7:
OBS: A tensão de cisalhamento é média pois a força que atua em cada área
infinitesimal não é a mesma.

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Figura 5.7 – Corpo submetido à um cisalhamento duplo
O rebite que une os três corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na
interface entre cada corpo é da forma, Fig. 5.8:
Figura 5.8 – Rebite com cisalhamento duplo
Se o rebite tem área A na interface entre cada corpo, e a força cortante V é
P/2, a tensão de cisalhamento média é:
τm = V/A = P/2A (5.7)
Exemplo 5.1: A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm,
constantes ao longo de seu comprimento. Determine as tensões normais nos
diferentes trechos da barra para o carregamento abaixo.

28
σ = P/A = 12000/(0,035 . 0,010) [N/m2
]
σAB = 34285714 Pa = 34,3 MPa
Trecho BC:
σBC = P/A = 3000/(0,035 . 0,010) [N/m2
] = 85,7 MPa
Trecho CD:
σCD = P/A = 22000/(0,035 . 0,010) [N/m2
] = 62,4 MPa

29
6 – TORÇÃO
6.1 – Aplicação do método das seções
Assim como no caso de vigas solicitadas externamente, onde os esforços
internos podem ser determinados pelo método das seções, os esforços
internos em eixos de seção circular solicitados por torques externos também
podem. Considere então o eixo solicitado por torques em 3 pontos ao logo do
seu comprimento. O torque interno no trecho AB pode ser determinado da
seguinte forma.
Figura 6.1 – Equilíbrio de torques
6.2 – Premissas Básicas
a) Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo de seção circular,
permanece plana após a aplicação dos torques.

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b) Em um membro circular sujeito à ação de um torque, as deformações
angulares γvariam linearmente a partir do eixo central. Isto significa que as
linhas radiais nos planos ao longo do eixo x permanecem retas após a
deformação.
Observação: Estas premissas são válidas somente para eixos de seção
circular.
Figura 6.2 – Premissas básicas da torção
6.3 – A fórmula da torção
Para o caso linearmente elástico, a Lei de Hooke se aplica τ = G γ:
Figura 6.3 – Torque interno atuando na seção transversal
O torque interno na seção transversal é a soma dos torques infinitesimais
atuantes em cada área dA.

31
(6.1)
onde o momento polar de inércia de área J é dado da forma:
(6.2)
O momento polar de inércia para o caso particular de uma seção circular é da
seguinte forma:
(6.3)
onde d é o diâmetro da seção transversal. Substituindo a eq. (6.3) na eq. (6.1),
a expressão da tensão máxima atuando na superfície mais externa do eixo é:
τmáx =
𝑇.𝑐
𝐽
(6.4)
A tensão num ponto qualquer da seção circular distante ρ do centro é:
𝜏 =
𝜌
𝑐
𝑇.𝑐
𝐽
=
𝑇𝜌
𝐽
(6.5)
Para tubos circulares de raio interno b e raio externo c, o momento polar de
inércia pode ser calculado como segue:
(6.6)
6.4 – Observações sobre a fórmula da torção

32
Figura 6.4 – Estado de tensão em um elemento infinitesimal de um eixo em
torção
Figura 6.5 – Tensões de cisalhamento atuando em planos ortogonais
Observação Importante: Para o caso de materiais anisotrópicos (diferentes
propriedades mecânicas nas direções x, y e z ) como por exemplo a madeira, o
eixose rompe ao longo de um plano paralelo ao eixo x.

33
Figura 6.6 – Plano de ruptura em eixos em madeira
Exemplo 6.1: Um eixo maciço de raio c é sujeito à um torque T. Determine a
fração de T que é resistida pelo material contido na região externa do eixo, de
raio interno c/2 e raio externo c.

34
A fração de T que é resistida pela parte externa do eixo, T’, pode ser
calculada da forma:
e a expressão do torque total T sobre a área é:

35
Logo, a relação entre os torques é:
Conclusão: aproximadamente 94 % do torque é resistido pela área externa do
eixo.
6.6 – Ângulo de torção de membros circulares
Além do fato do membro dever resistir aos torques aplicados, ele não deve se
deformar excessivamente. Assim, considere um elemento submetido a um
torque.
Figura 6.7 – Torção em eixo de seção circular
No plano paralelo ao eixo x, arco BD = dx γmax, e no plano perpendicular ao
eixo x, arco BD = c dϕ. Logo:
dx . γmax = c . dϕ (6.8)
Limitando-se a região elástica linear onde a lei de Hooke para o cisalhamento
é valida, τmax = G γmax , e sabendo que τmáx =
𝑇.𝑐
𝐽
:

36
dϕ =
𝑇
𝐽𝐺
𝑑𝑥 (6.9)
Expressão geral para ângulo de torção:
(6.10)
Para o caso do torque e da seção transversal serem constantes ao longo do
comprimento do eixo, tem-se:
ϕ =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
(6.11)
A eq. (6.11) é equivalente a eq. (5.11) para calcular o deslocamento de um
ponto numa barra solicitada axialmente.
7 – TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS
Algumas limitações importantes da teoria
A teoria de tensões de flexão nas vigas se aplica para vigas admitidas com
suficiente estabilidade lateral em virtude de suas proporções ou
suficientemente reforçadas na direção transversal.
7.1 – Premissa básica
Hipótese fundamental da teoria da flexão: As seções planas de uma viga,
tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser
submetida à flexão. Hipótese válida quando o material se comporta
elasticamente ou plasticamente, desde que a relação espessura/comprimento
da viga seja pequena.

37
Figura 7.1 – Viga submetida à uma flexão pura
A expressão de deformação linear num ponto qualquer da viga é definida da
forma:
(7.1)
Da hipótese de que as seções permanecem planas depois de deformadas,
observa-se que a deformação evolui de forma linear ao longo da espessura da
viga, onde εmax é a máxima deformação que ocorre no ponto mais distante da
superfície neutra, c. Dessa forma, a deformação em um ponto genérico,
distante y da superfície neutra é da forma:
ε = εmax
𝑦
𝑐
(7.2)

38
7.2 – Fórmula da flexão elástica
Considerando o material trabalhando dentro da região elástico-linear, a Lei de
Hooke, σ = E ε, se aplica. Logo:
(7.3)
Figura 7.2 – Distribuição das tensões de flexão numa viga
Impondo o equilíbrio de forças na direção x, temos:
→ ΣFx = 0 ,∫A σx dA = 0 (7.4)
Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.4), temos:
(7.5)
Como σmax e c são valores constantes e não nulos:

39
∫A y dA = 0 (7.6)
De acordo com a equação para determinar a posição do centróide
, conclui-se que o eixo neutro passa pelo centróide da seção
transversal da viga.
O momento interno atuante na seção transversal é a soma dos momentos
infinitesimais atuantes nas área dA. Assim, temos:
(7.7)
Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.7):
(7.8)
O momento de inércia da seção transversal, I, em relação ao eixo que passa
seu centróide é definido como:
𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝐴𝐴
(7.9)
Das eqs. (7.8) e (7.9), é possível obter a expressão da máxima tensão de
flexão:
σmáx =
𝑀𝑐
𝐼
(7.10)
Substituindo a eq. (7.10) na eq. (7.3), obtém-se a expressão genérica de
tensão de flexão em vigas em um ponto distante y da superfície neutra:
σx = -
𝑀𝑦
𝐼
(7.11)
A eq. (7.11) é análoga a eq. (6.5) usada para determinar a tensão de
cisalhamento um ponto qualquer de um eixo de seção circular. O sinal negativo
surge na eq. (7.11) pois:

40
Para y positivo ⇒ Tensão de compressão
momento positivo
Para y negativo ⇒ Tensão de tração
7.3 – Flexão pura de vigas com seção assimétrica
Na discussão anterior, foram analisadas somente vigas com seções
transversais simétricas, porém o equacionamento é válido para seções
quaisquer, desde que seus eixos sejam os eixos principais de inércia.
Figura 7.6 – Flexão de vigas assimétricas
Impondo o equilíbrio de momentos com relação ao eixo y, temos:
M y = ∫A σx z dA (7.12)
onde My é o momento interno resultante.
Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.18), e considerando que σmax e c são
constantes:
(7.13)
Se y e z são eixos principais de inércia, a integral ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴𝐴
é nula.

41
Logo, o momento interno resultante My = 0. Assim, as equações deduzidas
anteriormente se aplicam à uma viga de seção transversal qualquer.
Exemplo 7.3.1: Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo
I submetida à um carregamento distribuído como mostrado abaixo:
a – Cálculo das reações de apoio
ΣM B = 0, RA .6 – 30 . 3 = 0 , RA = 15 kN
b – Cálculo do momento máximo
ΣM = 0 , − 15 x + 5 x. x/2 + M = 0
c – Cálculo do momento de inércia da seção
Iz = Iz1 + Iz2 + Iz3
d – Cálculo da máxima tensão de flexão

42
8. Transformação de tensões
Considere o estado triaxial de tensões em um ponto obtido no sistema de eixos
x, y e z, Figura 5.2 anterior. Estes eixos, por conveniência, são normalmente
adotados sendo paralelos às cargas externas às quais estão submetidas as
estruturas. No entanto, é necessário conhecer o estado de tensão deste ponto
num sistema de eixos qualquer, de forma à se conhecer as máximas tensões
atuantes, normal e cisalhante.
Por conveniência e para a facilidade do entendimento, será inicialmente tratado
a transformação de tensão para o estado plano de tensões, para finalmente ser
tratado o estado triaxial de tensões. Dessa forma, considere o estado plano de
tensões obtido em dois sistema de eixos diferentes:

43
Exemplo (estado plano de tensões):
Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 mm de espessura
sendo solicitada por uma força axial de 600 N. Determine as componentes das
tensões atuantes sobre o plano definido pela seção a-a.
No sistema de eixos x-y, a única tensão atuante no plano definido pela seção
b-b é a tensão normal na direção x:
𝜎𝑥 =
600
150 ∗ 10
= 0,4 𝑀𝑃𝑎
Se considerarmos que a seção seccionada tem área de seção transversal ∆A,
as seções paralelas aos eixos x e y são ∆A sen 30 e ∆A cos 30,
respectivamente. Utilizando estas áreas, o diagrama de corpo livre do elemento
infinitesimal seccionado é:
onde ∆Fx = 400 kPa (∆A cos 30) = 346,4 ∆A kN.

44
Impondo o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’, as componentes ∆Fx’ e ∆Fy’
são:
∆Fx’ = 346,4 ∆A cos 30 = 300 ∆A
∆Fy’ = 346,4 ∆A sen 30 = 173 ∆A
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são:
𝜎𝑥 =
∆Fx’
∆A
= 300𝑘𝑃𝑎
𝜏𝑥𝑦 =
∆Fy’
∆A
= 173𝑘𝑃𝑎
Estas mesmas tensões podem ser obtidas de uma outra forma, considerando a
barra seccionada da seguinte forma:
Impondo o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre acima, as forças
atuantes na seção a-a são:
Fx’ = 600 cos 30 = 519,6 N
Fy’ = 600 sen 30 = 300 N

45
A área da seção a-a vale:
𝐴 =
150∗10
cos30
= 1732,02 𝑚𝑚2
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são:
𝜎 =
Fx’
A
=
519,6
1732
= 300 𝑘𝑃𝑎
𝜏 =
Fy’
A
=
300
1732
= 173 𝑘𝑃𝑎
Exemplo (estado triaxial de tensões):
Seja um prisma de dimensões a, a e 2a. Solicitando-se este prisma por sapatas
conforme a figura (desprezando-se o atrito), determinar a máxima tensão de
cisalhamento atuante.
Fig. 61 - Forças no elemento
Solução: a) Esforços no prisma

46

47

48

49
ANEXO 1
Tabela de Centros Geométricos

50
ANEXO 2

51
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P., JOHNSTON Jr. R. Resistência dos materiais. 3ed. São Paulo, Makron
Books, 1996.
BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática. 5ed.
São Paulo, Makron Books, 2004.
BORESI, A. P., SCHMIDT, R. J. Estática. São Paulo, Thomson, 2003.
FUSCO, P. B. Construções de concreto solicitações tangenciais: introdução –
combinação de ações – força cortante – conceitos básicos. São Paulo: EPUSP/PEF,
1981.
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo, Thomson, 2003.
HIBBELLER, R. C. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro, LTC, 1997.
LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais: tensões. Rio de Janeiro: Científica,
1956.
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 13ed. São Paulo,
Érica, 2002.
NASH W. A. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1971.
PEREIRA J. C. Curso de mecânica dos sólidos A. Departamento de Engenharia
Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina. Agosto de 2003. Apostila.
POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher
Ltda, 1978. 534p
TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1989. v. 1.

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