Apostila SENAI

Espírito Santo
CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria
Caldeiraria
Matemática Elementar

Espírito Santo
Matemática Elementar - Caldeiraria
© SENAI - ES, 1997
Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)
Coordenação Geral
Supervisão
Elaboração
Aprovação
Editoração
Francisco Lordes (SENAI)
Marcos Drews Morgado Horta (CST)
Paulo Sérgio Teles Braga (SENAI)
Rosalvo Marcos Trazzi (CST)
Evandro Armini de Pauli (SENAI)
Fernando Saulo Uliana (SENAI)
José Geraldo de Carvalho (CST)
José Ramon Martinez Pontes (CST)
Tarcilio Deorce da Rocha (CST)
Wenceslau de Oliveira (CST)
Ricardo José da Silva (SENAI)
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
DAE - Divisão de Assistência às Empresas
Departamento Regional do Espírito Santo
Av. Nossa Senhora da Penha, 2053
Bairro Santa Luíza - Vitória - ES.
CEP 29045-401 - Caixa Postal 683
Telefone: (27) 3325-0255
Telefax: (27) 3227-9017
CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão
AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos
AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, n° 930, Jardim Limoeiro - Serra - ES.
CEP 29163-970
Telefone: (27) 3348-1333

Espírito Santo
Sumário
Números Inteiros....................................................................04
• Números Naturais..............................................................04
• Operações Fundamentais com
Números Naturais..............................................................04
• Números Naturais - Exercícios ..........................................06
Frações..................................................................................10
• Números Racionais ...........................................................10
• Números Mistos.................................................................14
• Extração de Inteiros...........................................................14
• Transformação de Números Mistos
em Frações Impróprias......................................................15
• Simplificação de Frações...................................................16
• Redução de Frações
ao mesmo Denominador ...................................................16
• Comparação de Frações ...................................................18
• Frações - Exercícios..........................................................22
Números Decimais.................................................................33
• Conceito e Leitura..............................................................33
• Operações com Números Decimais ..................................35
• Números Decimais - Exercícios.........................................38
Números Inteiros Relativos ....................................................43
• Números Opostos ou Simétricos....................................43
• Operações com Números Inteiros..................................44
• Expressões com Números Inteiros.................................46
•• Exercícios com Números Inteiros...................................48
Medidas de Ângulos...............................................................49
• Operações com Medidas de Ângulos............................50
• Exercícios - Medidas de Ângulos..... .................................51
Triângulos...............................................................................61
• Classificações dos Triângulos..........................................62
• Elementos Notáveis de um Triângulo............................66
• Teorema.............................................................................68
• Exercícios - Triângulos.......................................................69
Quadrilátero...........................................................................72
• Paralelogramo...................................................................76
• Trapézio.............................................................................81
• Polígonos Convexos.........................................................84
Nomes dos Polígonos...........................................................85
• Circunferência....................................................................87

Espírito Santo
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Números Inteiros
Números Naturais
Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade
de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto.
Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma
ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo
corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na
bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à
última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais,
embora não lhes dessem nomes nem os representassem por
símbolos.
Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o
mundo, os símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e
escreve-se:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Operações Fundamentais Com Números Naturais
Adição
É a operação que permite determinar o número de elementos da
união de dois ou mais conjuntos:
1.004
577 → parcelas
12
+ 4
1.597 → total ou soma
Subtração
É a operação que permite determinar a diferença entre dois
números naturais:
837 → Minuendo
- 158 → Subtraendo
679 → Resto ou diferença
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CST
4 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Espírito Santo
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Multiplicação
A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de
parcelas iguais:
Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 (três parcelas iguais a 2)
381 → Multiplicando
Fatores
x 23 → Multiplicador
1143
+ 762_
8763 → Produto
Atenção:
Qualquer número natural multiplicado por zero é zero.
Exemplo: 4 × 0 = 0
Divisão
É a operação que permite determinar o quociente entre dois
números.
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplo: 18 × 4 = 72 → 72 ÷ 4 = 18
Termos da Divisão:
Dividendo → 4051 8 → Divisor
- 40__ 506 → Quociente
051
- 48
03 → Resto
Atenção:
Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é
exata.
Exemplo: 16 ÷ 8 = 2
Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão
é aproximada ou inexata.
Exemplo: 16 ÷5 = 3 (resto = 1)
Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre
diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto
de números naturais (IN).
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SENAI
Departamwennto Regional do Espírito Santo 5

Espírito Santo
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Números Naturais - Exercícios
1) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
a) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ......
b) 9, 18, 27, ......, ......, ......, ......
c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ......
d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ......
e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......
2) Resolva:
a) 4 + 577 + 12 + 1.004 =
b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 =
c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =
3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da
adição:
623 ...................................
+ 321 ...................................
944 ...................................
4) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22...
a) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ......
b) 50, 44, ......, ......, ......, ......, ......
c) 80, 72, ......, ......, ......, ......, ......
d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......
5) Efetue as subtrações:
a) 196 - 74 =
b) 937 - 89 =
c) 4.800 - 2.934 =
d) 100.302 - 97.574 =
e) 1.301.002 - 875.037 =
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CST
6 Compaanhia Siderúrgica de Tubarão

Espírito Santo
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6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428.
Qual é o minuendo?
7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206?
8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.
9) Efetue mentalmente:
a) 7 × 1 =
b) 810 × 1 =
c) 8 × 10 =
d) 72 × 10 =
e) 1.705 × 10 =
f) 9 × 100 =
g) 81 × 100 =
h) 365 × 100 =
i) 5 × 1000 =
j) 12 × 1000 =
k) 170 × 100 =
l) 3.800 × 1000 =
10) Complete:
a) Um produto é sempre uma adição de ...........................
iguais.
b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos
um de seus fatores for ...............................
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Departamento Regional do Espírito santo 7

Espírito Santo
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11) Complete:
a) 4 × 5 × 0 =
b) 6 × 0 × 9 =
c) 0 × 5 × 8 =
d) 1 × ...... × 8 = 0
e) 7 × 9 ×...... = 0
f) ......× 4 × 8 = 0
12) Escreva os termos da divisão:
............................... 107 5 ............................
07 21 ............................
...................... 2
13) Efetue:
a) 810 ÷ 4 =
b) 408 ÷ 4 =
c) 560 ÷ 8 =
d) 12.018 ÷ 6 =
14) O número 9 está contido em 3.663 ............................ vezes.
15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de
uma prova.
a) 8.750 + 3 + 1.046 =
b) 37.600 - 28.935 =
c) 2.091 × 45 =
d) 9.327 × 814 =
e) 3.852 × 208 =
f) 68.704 ÷ 74 =
g) 1.419 ÷ 87 =
h) 4.056 ÷ 68 =
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CST

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16) Resolva as situações problemas:
a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos,
sucessivamente, as seguintes operações:
• retiramos 70 litros
• colocamos 38 litros
• retiramos 193 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos
igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite.
Pergunta-se:
• Quantos alunos estudam em cada período?
• Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se
há 16 salas de aula?
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Departamento Regional do Espírito Santo 9

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Frações
Números Racionais
Consideremos a operação 4 ÷ 5 = ? onde o dividendo não é
múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o
quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque
não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4.
A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar
um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão,
quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então,
o conjunto dos Números Racionais.
Número racional é todo aquele que é escrito na forma
a
b
onde a
e b são números inteiros e b é diferente de zero.
São exemplos de números racionais:
3
5
1
2
4
3
10
5
12
24
36
18
, , , , ,
A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais
fracionários, também chamados de frações.
Conceito de Fração:
Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas
dessas partes, poderemos representar essa operação por uma
fração.
Veja:

A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.
Representamos, então, assim: 2
3
E lemos: dois terços.
O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro
foi dividido, chama-se DENOMINADOR.
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CST

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O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais
foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.
Leitura e Classificações das Frações
Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em
seguida, o denominador.
a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a
sua leitura é feita do seguinte modo:
1
2
- um meio 1
3
- um terço 1
4
- um quarto
1
5
- um quinto 1
6
- um sexto 1
7
- um sétimo
1
8
- um oitavo 1
9
- um nono
b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é
feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou
milésimo(s).
1
10
- um décimo 7
100
- sete centésimos
20
1000
- vinte milésimos
c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de
10), lê-se o número acompanhado da palavra avos.
1
15
- um quinze avos 3
29
- três vinte e nove avos
13
85
- treze oitenta e cinco avos
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Frações Ordinárias e Frações Decimais
As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000
(potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras
são chamadas Frações Ordinárias.
Exemplos:
3
10
5
100
23
1000
, , são frações decimais
1
8
10
5
17
41
, , são frações ordinárias
Frações Próprias
Observe as frações abaixo:
1

2
2

3
Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas
Frações Próprias.
Nas frações próprias, o numerador é menor do que o
denominador.
Frações Impróprias
Observe as frações abaixo:

7

4
4

3

Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações
Impróprias.
Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o
denominador.
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Frações Aparentes
Observe:
12/6 ou 2 inteiros
3/3 ou 1 inteiro
As frações acima representam inteiros. Elas são chamadas
Frações Aparentes.
Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do
denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador.
Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração
imprópria é aparente.
Frações Equivalentes/Classe de Equivalência.
Observe as figuras:
2
3
4
6
6
9
As frações 2
3
, e 6
4
6
9
representam o mesmo valor, porém
seus termos são números diferentes. Estas frações são
denominadas Frações Equivalentes.
Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar
ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número
(diferente de zero).
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SENAI

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Exemplo:
2
5
é igual a , pois 2 5
10
25
x
x
5 5
10
25
=
18
21
é igual a , pois 18 3
6
7
÷
÷
21 3
6
7
=
O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA.
Exemplo:
Classe de equivalência de
1
1
2
3
2
2
4
6
4
8
5
10
6
12
= 

, , , , , Κ
Números Mistos
São os números mistos formados por uma parte inteira e uma
fração própria.
1 inteiro 1
2
Representamos assim: 1 1
2
E lemos: um inteiro e um
meio
Extração De Inteiros
É o processo de transformação de fração imprópria em número
misto.
Observe a figura:
Podemos representar essa fração de duas maneiras:
1 1
4
5
4
ou
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CST

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Para transformar 5
4
em número misto, ou seja, para verificar
quantas vezes 4
4
cabe em 5
4
, procede-se assim:
5 4 1 1
1 1 4
É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a
parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo
denominador.
Transformação de Números Mistos em Frações
Impróprias.
Observe o exemplo e a ilustração:
Transformar 11
4
em fração imprópria.
Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o
outro quarto.
1 1
4
4 + 1 = 5 1 + 1
4 4 4 4
1 1 ou 5
4 4
Resumidamente, procede-se assim:
Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o
numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.
1 1
4
= ( 1 × 4 + 1
) =
4
5
4
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Simplificação de Frações
Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração
equivalente com os termos respectivamente menores.
Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo
número natural
(diferente de 0 e de 1).
Exemplo:
Simplificar 8
16
8 2
16 2
4 2
8 2
2 2
4 2
1
2
÷
÷
= ÷
÷
= ÷
÷
=
Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que
ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples.
Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.
Redução de Frações ao mesmo Denominador
Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa
obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o
mesmo número para denominador.
Exemplo:
As frações 1
2
, 2
3
e 3
4
são equivalentes a 6
12
, 8
12
e 9
12
respectivamente.
Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador,
seguimos os seguintes passos:
1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será
o menor denominador comum.
2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das
frações dadas.
3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo
numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o
novo numerador.
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Exemplo:
Reduzir ao menor denominador comum as frações:
1
2
, 3
4
, 7
6
Solução:
1º - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 é o denominador.
2, 4, 6
1, 2, 3
1, 1, 3
2
2
3
1, 1, 1 12
2º - 12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 6 = 2
3º - 1 6
× = × = × =
12
6
12
3 3
12
9
12
7 2
12
14
12
Portanto: 6
12
9
12
14
12
, , é a resposta.
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Comparação de Frações
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de
igualdade ou desigualdade entre elas.
Frações com o mesmo Denominador
Observe:
5
8
3
8
1
8
Percebe-se que : 5
8 3
8 1
8
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a
que tem maior numerador.
Frações com o Mesmo Numerador
Observe:
3
16
3
8
3
4
Percebemos que: 3
16 3
8 3
4
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a
que tem menor denominador.
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CST

Espírito Santo
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Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes
Observe:
2
3
1
2
3
4
Para fazer a comparação de frações com numeradores e
denominadores diferentes,
reduzem-se as frações ao mesmo denominador.
Exemplo:
2 = 8 3, 2, 4 2
3 12 3, 1, 2 2
3, 1, 1 3
1 = 6 1, 1, 1 12
2 12
3 = 9
4 12
Já aprendemos que comparando frações com denominadores
iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.
Daí, 9
12 8
12 6
12
Então: 3
4 2
3 1
2
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Senai

Espírito Santo
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Adição e Subtração de Frações
A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a
partir do estudo dos seguintes casos:
1º As Frações tem o mesmo Denominador.
Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o
denominador..
Exemplo:
2
5
+ = 2 1
1
5
+ =
5
3
5
6
7
− = 6 4
4
7
− =
7
2
7
2º As Frações tem Denominadores diferentes.
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se
como no 1º caso.
Exemplo:
2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2
3 4 12 12 12 3, 2 2
3, 1 3
1, 1 12
3º Números Mistos.
Transformam-se os números mistos em frações impróprias e
procede-se como nos 1º e 2º casos.
Exemplo:
+ +
2 1 + 1 1
3 4
x x
7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7
3 4 12 12 12 12
Atenção:
Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os
inteiros do resultado sempre que possível.
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CST

Espírito Santo
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Multiplicação de Frações
A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra
fração, obtida da seguinte forma:
O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o
produto dos denominadores.
Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores
comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la.
Exemplo:
/
31
2
3 5
2
1
1
5
2
× = × =
1 5
/
/
/
2
1
2
2
3
6 ×
= × × = =
5
/ /
/
×
/
/
10
3
6
9
2
1
2
1
2
3
8
3
2 2
3
1
Divisão de Frações Ordinárias
O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida
da seguinte forma:
Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.
Para isso, exige-se:
3º - Transformar os números mistos em frações impróprias.
4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes.
5º - Simplificar.
6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre
si.
7º - Extrair os inteiros.
Exemplo:
3
4
5
7
3
4
7
5
21
20
1 1
20
÷ = × = =
8 1
4
3 33
÷ = ÷ =
4
3
1
11
/ /
33
4
1
3
11
4
2 3
4
1
×
/
= =
___________________________________________________________________________________________________
SENAI

Espírito Santo
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Atenção:
Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em
ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado.
Exemplo:
3
4

4
1
3
4
1
4
3
16
÷ = × =

Partes Fracionárias de um Número
Observe:
2
3
15 2
/
3
5
/ /
15
1
10
1
de =
×
=
Para determinar partes fracionárias de um número, devemos
multiplicar a parte fracionária pelo número dado.
Frações - Exercícios
1) Observando o desenho, escreva o que se pede:
a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais.
b) As partes sombreadas representam ................... partes
desse inteiro.
c) A fração representada é: .........................
d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro
foi dividido é o ..................
e) O termo da fração que indica quantas dessas partes
foram tomadas é o ..................
2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:

a) c)

b) d)
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CST

Espírito Santo
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3) Represente com desenho as seguintes frações:
7
8
2
3
1
9
5
4
1
2
4) Complete com a palavra correta:
a) Frações próprias são frações cujo numerador é
....................... que o denominador.
b) Frações próprias representam quantidades ......................
que a unidade.
c) Frações impróprias são frações cujo numerador é
........................ que o denominador.
d) Frações impróprias representam quantidades
......................... que a unidade.
5) Numa pizzaria, Luís comeu 1
2
de uma pizza e Camila comeu
2
4
da mesma pizza.
a) Quem comeu mais?.........................................................
b) Quanto sobrou da pizza? ................................................
6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):
a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1.
b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por
um número misto.
c) ( ) 1
3
é uma fração.
d) ( ) 3
1
é uma fração.
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SENAI

Espírito Santo
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7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:
a) 3
4
....................................................................................
b) 5
8
....................................................................................
c) 1
2
....................................................................................
d) 5
100
................................................................................
8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou
aparente:
a) 2
3
.....................................................................
b) 5
2
.....................................................................
c) 8
4
.....................................................................
d) 12
15
....................................................................
e) 24
6
....................................................................
9) Circule as frações equivalentes a:
a) 2 = 10 3 5 8 6
5 25 4 20 20 15
b) 6 = 2 18 7 30 1
7 5 21 9 35 7
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CST

Espírito Santo
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10) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:
1. fração ordinária
2. fração decimal
( ) 1 ( ) ( ) ( )
2
7
10
359
1000
6
35
11) Transforme os números mistos em frações impróprias:
a) 2 7
9
= b) 3 1
2
= c) 5 7
13
=
d) 11
8
= e) 12 3
4
=
12) Extraia os inteiros das frações:
a) 17
5
=
b) 38
7
=
c) 87
4
=
d) 25
13
=
e) 42
19
=
13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:
a) 4
6
=
b) 6
15
=
c) 8
14
=
d) 14
28
=
e) 9
36
=
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SENAI

Espírito Santo
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14) Reduza as frações ao mesmo denominador:
a) 1
4
5
6
, =
b) 1
8
3
16
, =
c) 3
5
6
8
, =
d) 1
2
5
16
3
12
, , =
e) 3
4
6
16
3
5
, , =
15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:
a) 2
4
3
4
1
4
10
4
, , , ;
b) 3
6
3
10
3
2
3
1
3
12
, , , , ;
c) 1
10
3
8
2
5
1
8
3
15
, , , , ;
d) 1 5
16
11
8
5
6
11
5
, , , ;
16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo,
entre elas, os sinais
ou ou = :
a) 1
5
4
5
b) 3
2
7
3
c) 5
2
4
3
d) 6
4
7
5
e) 3
9
1
9
f) 1
5
1
6
g) 3
4
5
4
h) 2
7
2
15
i) 7
11
3
5
j) 2
7
10
35
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Espírito Santo
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17) Descubra e escreva qual é a maior fração:
a) 3
5
ou b) 1
2
3
2
2
9
ou
c) 3
4
ou d) 6
5
6
10
3
6
ou
18) Circule as frações menores do que um inteiro:
1
3
9
8
2
12
8
12
7
4
9
5
19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:
Complete:
Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos
são números diferentes.
Essas frações são denominadas .................................................
20) Numere a 1ª coluna de acordo com a fração equivalente na
2ª:
( ) 2
3
( a ) 28
32
( ) 1
2
( b ) 25
40
( ) 7
8
( c ) 16
64
( ) 1
4
( d ) 6
9
( ) 5
8
( e ) 8
16
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Espírito Santo
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21) Torne as frações irredutíveis:
a) 24
32
=
b) 100
128
=
c) 12
15
=
d) 4
32
=
e) 48
64
=
f) 25
100
=
22) Circule as frações irredutíveis:
1
3
4
6
12
15
12
13
7
8
18
24
1
8
, , , , , ,
23) Determine a soma:
a) 5
16
+ + b) 2
3
16
7
16
3
+ + c) 3
4
5
1
2
8
7
16
15
32
+ +
24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:
a) 2 1
+ + =
2
13
4
b) 13
16
1 51
+ + =
8
c) 25
3
11
4
+ + 1=
d) 2 1
2
2
3
1
4
+ + =
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CST

Espírito Santo
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25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade?
Exemplo:
5
8
8
8
5
8
3
8
→ − =
a ) 1
4
b) 13
16
c ) 5
32
d) 17
64
26) Efetue as subtrações indicadas:
a) 15
10
3
10
− =
b) 7
9
5
9
− =
c) 8
5
2
7
− =
d) 3 4
13
11
2
− =
e) 5 2
3
1
8
− =
27) Resolva:
a) 1
2
3
5
1
4
x x =
b) 2
5
9
7
14
27
x x =
c) 5
21
3
10
7
15
x x =
d) 3
4
2 2
5
x x =
e) 3 1
2
5
16
3
5
x x =
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Espírito Santo
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28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em
sentido longitudinal medindo cada uma 5 3
′′?
4
29) Calcule:
a) 2 2
3
11
2
÷ =
b) 3 1
2
2 3
5
÷ =
c) 4 2
3
5 1
2
÷ =
d) 6 1
3
5 1
2
÷ =
e) 15
16
÷ 5 =
f) 2 1
3
÷ 7 =
g) 3
10
1
5
÷ =
h) 2
4
de 32 =
i) 5
7
de 350 =
j) 1
3
de 930 =
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CST

Espírito Santo
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30) Leia com atenção os problemas e resolva:
a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos
quilômetros percorrerá com 10 1
2
litros?
b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3
5
deles.
Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas.
Quanto deve colocar em cada caixa?
c) Coloquei 6
12
de minhas ferramentas em uma caixa, 2
4
em outra caixa e o restante deixei fora das caixas.
Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das
caixas?
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SENAI

Espírito Santo
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d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 2
5
da
gasolina para trabalhar e 1
5
para passear no final de
semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque?
e) Numa oficina havia 420 veículos, 1
4
eram caminhões.
Quantos caminhões havia na oficina?
f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: 1
2
correspondem aos lápis vermelhos, 1
5
são lápis azuis e
1
4
são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis
na caixa?
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CST

Espírito Santo
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Números Decimais
Conceito e Leitura
Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu
denominador é o número 10 ou potência de 10.
Exemplos:
5
Lê-se cinco décimos
10
45
1000
Lê-se quarenta e cinco milésimos
As frações decimais podem ser representadas através de uma
notação decimal que é mais conhecida por número decimal.
Exemplos:
1
10
= 0,1 Lê-se um décimo
1
100
= 0,01 Lê-se um centésimo
1
= 0,001 Lê-se um milésimo
1000
Essa representação decimal de um número fracionário obedece
ao princípio da numeração decimal que diz: Um algarismo escrito
à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as
desse outro.
...Milhão Centena Dezena Unidade
Simples
Décimo Centésimo Milésimo...
... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001...
Em um número decimal:
• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a
parte inteira.
• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte
decimal.
Exemplo:
Parte inteira → 12,63 ← Parte decimal
Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.
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SENAI

Espírito Santo
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Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da
seguinte maneira:
1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe.
2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte
decimal, acrescentando o nome da ordem do último
algarismo.
Exemplos:
a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos.
b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos.
c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos.
Observações:
1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou
suprimirmos zeros à direita do último algarismo.
Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500
2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número
decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e
zero (s) a sua direita.
Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00
Transformação de Fração Decimal em Número Decimal
Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de
Número Decimal, escreve-se o numerador da fração com tantas
casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
Exemplos:
a) 25
10
= 2,5 b) 43
1000
= 0,043
c) 135
1000
= 0,135 e) 2343
100
= 23,43
Transformação de Número Decimal em Fração Decimal
Para se transformar um número decimal numa fração decimal,
escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no
denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de
ordens (casas) decimais.
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Espírito Santo
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Exemplos:
a) 0 34 34
, = b) 5 01 501
100
100
, =
c) 0 01 1
, = d) 21057 21057
100
1000
, =
Operações com Números Decimais
Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um
abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam
(numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se
fossem números naturais.
Observações:
Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do
último algarismo.
Exemplos:
a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970
+ 47,502
51,472
b) 4,51 - 1,732 = 2,778 4,510
- 1,732
2,778
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No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da
mesma forma que na de duas parcelas.
Exemplos:
4,310
5,200
+ 17,138
26,648
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma:
1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem
naturais;
2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a
esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das
ordens decimais dos fatores.
Exemplo:
0,012 x 1,2 = 0,012 3 ordens decimais
x 1,2 + 1 ordem decimal
0024
+ 0012
0,0144 4 ordens decimais
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se
a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros
do multiplicador.
Exemplos:
a) 2,35 × 10 = 23,5
b) 43,1 × 100 = 4310
c) 0,3145 × 1000 = 314,5
Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois
primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim
por diante até o último fator.
Exemplo:
0,2 × 0,51 × 0,12 = 0,01224
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CST

Espírito Santo
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Divisão
Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos
do seguinte modo:
1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do
divisor acrescentando zeros;
2) eliminamos as vírgulas;
3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.
Atenção:
Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à
direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no
quociente.
1º Exemplo: 3,927 ÷ 2,31 = 1,7 3,927 2,310
16170
0000
1,7
2º Exemplo: 47,76 ÷ 24 = 1,99 47,76 24,00
23 7
2 16
00
1,99
Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se
a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos
forem os zeros do divisor.
Exemplos:
a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma
ordem para esquerda.
47,235 ÷ 10 = 4,7235
b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas
ordens para a esquerda.
58,4 ÷ 100 = 0,584
Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto
é da mesma ordem decimal do dividendo original.
Exemplo:
39,276 ÷ 0,7 = 56,108 resto 0,004
39,276 0,700
4 2
07
060
0,004
56,108
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SENAI

Espírito Santo
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Números Decimais - Exercícios
1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:
a) Um inteiro e três décimos..............................................
b) Oito milésimos...............................................................
c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos .................
d) Dezoito inteiros e cinco milésimos.................................
e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos .................
2) Represente em forma de números decimais:
a) 97 centésimos =
b) 8 inteiros e 5 milésimos =
c) 2 inteiros e 31 centésimos =
d) 475 milésimos =
3) Observe os números decimais e complete com os sinais:
=
a) 1,789 ......................................................... 2,1
b) 3,78 ......................................................... 3,780
c) 4,317 ......................................................... 43,27
d) 42,05 ......................................................... 42,092
e) 8,7 ......................................................... 8,512
4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações
decimais:
a) 36
100
= ..........................................................
b) 5
1000
= ..........................................................
c) 3 8
10
= ..........................................................
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CST

Espírito Santo
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5) Escreva na forma de fração decimal:
a) 0,5 = ................... f) 8,71 = .................
b) 0,072 = ................... g) 64,01 = .................
c) 0,08 = ................... h) 347,28 = .................
d) 0,481 = ................... i) 0,12 = .................
e) 1,3 = ................... j) 0,201 = .................
6) Arme e efetue as adições:
a) 0,8 + 6,24 =
b) 2,9 + 4 + 5,432 =
c) 6 + 0,68 + 1,53 =
d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =
7) Arme e efetue as subtrações:
a) 36,45 - 1,2 =
b) 4,8 - 1,49 =
c) 9 - 2,685 =
d) 76,3 - 2,546 =
8) Arme, efetue:
a) 650,25 × 3,8 =
b) 48 ÷ 2,4 =
c) 0,60 ÷ 0,12 =
d) 6,433 + 2 + 1,6 =
e) 9 - 2,5 =
9) Resolva:
a) 36,4 + 16,83 + 2,308 =
b) 93,250 - 1,063 =
c) 67403 × 6,9 =
d) 204,35 ÷ 48 =
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SENAI

Espírito Santo
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10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos
parênteses:
a) (0,8 - 0,3) + 0,5 =
b) (1,86 - 1) + 0,9 =
c) (5 - 1,46) + 2,68 =
d) (1,68 + 3,2) - 2,03 =
e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) =
f) 0,4 - (0,2 × 0,35) =
11) Arme e efetue as operações:
a) 0,471 + 5,9 + 482,23 =
b) 6,68 × 5,986 =
c) 5,73 × 6,8 =
d) 24,8 ÷ 6,2 =
12) Calcule:
a) 0,0789 × 100 =
b) 0,71 ÷ 10 =
c) 0,6 ÷ 100 =
d) 8,9741 × 1000 =
13) Torne:
a) 3,85 dez vezes maior =
b) 42,6 dez vezes menor =
c) 0,153 dez vezes maior =
d) 149,2 cem vezes menor =
e) 1,275 mil vezes maior =
14) Resolva o problema:
Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4
do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?
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CST 40 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Espírito Santo
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15) Relacione os elementos por igualdade:
a) 3 1
10
b) 0,3
31
100
3,1
3
10
3,01
3 1
100
0,31
Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as
sentenças que são verdadeiras:
a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
b) Todos os elementos de A são maiores que zero.
c) Nenhum elemento de B é menor que 1.
d) Todos os elementos de B são menores que 10.
16)
a) 8 2
10
b) 0,82
8 2
100
8,002
82
1000
82
100
8,02 0,082
8 2
1000
8,2
a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva
verdadeiro ou falso.
1- Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
2- Todos os elementos de B são maiores que zero.
3- Nenhum elemento de B é menor do que 1.
4- Todos os elementos de A são maiores que 10.
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SENAI

Espírito Santo
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17) Arme e efetue as operações abaixo:
a) 3 ÷ 0,05 =
b) 6,52 × 38 =
c) 26,38 + 2,953 + 15,08 =
d) 7,308 - 4,629 =
e) 63,50 ÷ 4,9 =
18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:
a) 2,4 ÷ 0,12 =
b) 5,85 ÷ 0,003 =
c) 0,3 ÷ 0,008 =
d) 48,6 ÷ 0,16 =
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CST

Espírito Santo
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Números Inteiros Relativos
No estudo das operações com números naturais, você aprendeu
que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é
menor do que o subtraendo.
5 - 9 = ? 1 - 2 = ? 3 - 8 = ?
Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto
dos números inteiros negativos.
- 1, - 2, - 3, - 4, ..............................
Esses números negativos, reunidos com zero e com os números
inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros
relativos, cujo conjunto é representado por Z.
Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, .....}
a) Conjunto dos números inteiros não negativos.
Z + = { 0, + 1, + 2, + 3, .............................}
b) Conjunto dos números inteiros negativos.
Z - = { 0, - 1, - 2, - 3, ..................................}
O número zero (0) não é negativo nem positivo
Números Opostos ou Simétricos
Observe:
O oposto de +1 é -1
O oposto de +2 é -2
O oposto de +3 é -3 Β Β Β Β Β Β Β Β Β
O oposto de +4 é -4 ... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...
RETA NUMERADA
Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma
distância do zero.
Observação: O oposto de zero é o próprio zero.
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Departamento Regional do Espirito Santo 43

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Valor Absoluto
Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural
que o representa, sem o sinal.
EXEMPLOS: Indicação:
O valor absoluto de + 5 é 5 +5 = 5
O valor absoluto de - 5 é 5 −5 = 5
O valor absoluto de - 8 é 8 −8 = 8
O valor absoluto de zero é zero
Verifique:
1) -3 está à esquerda de +1 -3 +1
Então, -3 é menor que +1
2) +2 está à direita de -3 +2 -3
Então + 2 é maior que -3
OUTROS EXEMPLOS:
a) -2 +2 b) 0 -4 c) -1 -3
Operações com Números Inteiros Relativos
adição
1) Adição de números positivos
Observe os exemplos:
a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7
b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5
c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9
Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que:
A soma de dois números positivos é um número positivo.
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2) Adição de números negativos
a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5
b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2
c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9
Verificando os resultados acima, podemos concluir que:
A soma de dois números negativos é um número negativo.
3) Adição de números com sinais diferentes
a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5
b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3
c) ( -10) + ( +3) = -7
Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o
número de maior valor absoluto.
Conclusão:
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida
subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número
que tiver maior valor absoluto.
Subtração
A operação de subtração é uma operação inversa da adição.
EXEMPLOS:
a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7
Conclusão:
Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos
ao primeiro o simétrico do segundo.
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Expressões com Números Inteiros Relativos
Lembre-se que os sinais de associação são eliminados,
obedecendo à seguinte ordem:
1º - Parênteses ( ) 2º - Colchetes [ ] 3º - Chaves { }
EXEMPLOS
1) +10 - (-4 + 6)
+10 - (+2)
+10 - 2 = +8
2) (+7 -1) + (-3 +1 -5)
(+6) + (-7)
+6 - 7 = -1
3) 10 + [-3 +1 - (-2 +6)]
10 + [-3 +1 - (+4)]
10 + [-3 +1 -4]
10 + [-6]
10 -6 = +4
Multiplicação
Consideremos os seguintes casos:
1) Multiplicação de dois números positivos:
a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = +
b) (+3) . (+7) = +21 ( - ) . ( - ) = +
( + ) . ( - ) = -
( - ) . ( + ) = -
Conclusão:
O produto de dois números positivos é um número
positivo.
2) Multiplicação de dois números negativos:
a) (-3) . (-5) = +15
b) (-8) . (-2) = +16
c) (-7) . (-1) = +7
Conclusão:
O produto de dois números negativos é um número
positivo.
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3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:
a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7
Conclusão:
O produto de dois números inteiros de sinais
diferentes é um número negativo.
Multiplicação com mais de dois números Relativos
Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido
pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.
EXEMPLOS
a) (+3) . (-2) . (+5)
(-6) . (+5) = -30
b) (-5) . (+4) . (-9)
(-20) . (-9) = +180
Divisão
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Observe:
a) (+12) ÷ (+4) = (+3) porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) ÷ ( -4) = (+3) porque (+3) . (-4 ) = -12
c) (+12) ÷ ( -4) = (-3 ) porque (-3 ) . (-4 ) = +12
d) (-12 ) ÷ (+4) = (-3 ) porque (-3) . (+4) = -12
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Divisão ( + ) ÷ ( + ) = +
( - ) ÷ ( - ) = +
( + ) ÷ ( - ) = -
( - ) ÷ ( + ) = -
Observações:
1) A divisão nem sempre é possível em Z
(+9) ÷ (-2 ) = ( ∉ Z )
∉ → Lê-se: não pertence.
1) O zero nunca pode ser divisor
(+5) ÷ 0 é impossível
(-2 ) ÷ 0 é impossível
Exercícios - Números Inteiros Relativos
Calcule:
a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( +2 ) + ( -1 ) =
b) 10 + { 5 -( -3 +1) } =
c) 23 - { 1 + [ 5 - (+3 -2 +1 ) ] } =
d) ( +5 -3 ) ÷ ( -1 +3 ) =
e) ( -16 ÷ -8 ) . ( +3 . -4 ) =
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48 Companhia Siderurgica deTubarão

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Medidas de ângulos
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1) Observe os exemplos:
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40”
17º 15’ 10”
+ 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’ + 30º 45’
13º 40’
+ 30º 45’
43º 85’
+ 1º 25’
44º 25’
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Exercícios
1) Calcule as somas:
a) 49º + 65º =
b) 12º 25’ + 40º 13’ =
c) 28º 12’ + 52º 40’ =
d) 25º 40’ + 16º 50’ =
e) 23º 35’ + 12º 45’ =
f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” =
g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” =
h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =
Subtração
1)
58º 40’ - 17º 10’
58º 40’
- 17º 10’
41º 30’
2)
80º - 42º 30’
79º 60’
- 42º 30’
37º 30’
Exercícios
1) Calcule as diferenças:
a) 42º - 17º =
b) 48º 50’ = 27º 10’ =
c) 12º 35’ - 13º 15’ =
d) 30º - 18º 10’ =
a) 90º - 54º 20’ =
b) 120º - 50º 20’ =
c) 52º 30’ = 20º 50’ =
d) 39º 1’ - 10º 15’ =
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Multiplicação de um ângulo por um número
1)
17º 15’ x 2
17º 15’
x 2
34º 30’
2)
24º 20’ x 3
24º 20’
x 3
72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 =
b) 44º 20’ x 2 =
c) 35º 10’ x 4 =
d) 16º 20’ x 3 =
a) 28º 30’ x 2 =
b) 12º 40’ x 3 =
c) 15º 30’ x 3 =
d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
36º 30’ ÷ 3
36º 30’ 3
0 0 12º 10’
39º 20’ ÷ 4
39º 20’ 4
3º 180’ 9º 50’
200’
00
Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?
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Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 =
b) 45º 30’ ÷ 3 =
c) 75º 50’ ÷ 5 =
a) 55º ÷ 2 =
b) 90º ÷ 4 =
c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
a) 2
3
de 45º =
b) 5
7
de 84º =
a) 3
4
de 48º 20’ =
b) 3
2
de 15º 20’ =
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
A
B
O
30º
O
C
D
30º
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
O
A
B
M
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
a)
O
A
B
M
4X + 5º
37º
b)
O
A
3X
X + 20º
B
M
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Espírito Santo
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a)
O
A
B
M
3X
5X - 20º
b)
C
35º
x - 5º
2
O
A
B
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO
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Departamento Regional do Esípírito Santo 55

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Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
A
B
O C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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56 Compoanhia Siderúrgica de Tubarão

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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º
b) 4x + 10º = 90º
c) 5x - 20º = 1º + 2x
d) x = 2 (90º - x)
e) 4 (x + 3º) = 20º
f) (3x - 20º) + 50º = 90º
g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação: x
x
x + 2x
3x
x
= 2 (90º - x)
= 180º - 2x
= 180º
= 180º
= 60º
Resposta: 60º
a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b) A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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Espírito Santo
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c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f) Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
C
B
A O
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
2x - 40º
3x - 10º
2) Calcule x:
a)
2x
5x - 4º 3x
2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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Departamento regional do Espírito Santo 59

Espírito Santo
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6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2
3
do
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
• â e ∃c são opostos pelo vértice.
• ∃ m e ∃n são opostos pelo vértice.
∃c
∃ m ∃n
∃a
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Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
• Os ângulos ∃A , ∃ B e ∃ C são ângulos internos do triângulos.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por Δ ABC.
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Departamento Regional do Éspírito Santo 61

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Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
C B
m
Na figura acima ∃ m é um ângulo externo.
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro Δ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
A
A
B C B C C B
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
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Espírito Santo
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Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R R
S T
R
S T S T
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Cateto Hipotenusa
B C
Cateto
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Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC, sabendo-se que o
perímetro do Δ ABC é 48cm.
A
x
15
C 2 x
B
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x + 7
S T
x
x + 3
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
80º
A
100º
60º 40º 45º 35º
B C
A
C B
B C
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4) Observe a figura e responda:
A
B C
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo: A
4 cm
B C
2 cm
3 cm
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Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim: 2 3 + 4 ou 2 7
2 3 + 4 ou 2 7
2 3 + 4 ou 2 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
2 cm
4 cm
A 7 cm B
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R
mediana
S M T
R
baricentro
S T
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
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• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R
bissetriz
S P T
R
incentro
S T
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R
altura
S T
R
S T
altura
R
S T
ortocentro
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B
80º
40º 60º
A C
80º + 40º + 60º = 180º
B
30º
60º
A C
30º + 60º + 90º = 180º
Note que: m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
A
A ^
2 ^
1^
B C
s
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CST

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a ) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC.
m ( ∃1) + m ( ∃A) + m ( ∃2 ) = 180º 1
Note que: m ( ∃1) ≅ m ( ∃ B) (alternos internos) 2
m ( ∃2) ≅ m ( ∃ C ) (alternos internos) 3
b ) Temos que:
c ) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x 30º
A C
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R
5x
45º 4x
T S
P
5x - 50º
x + 10º x
R Q
4) Determine a medida dos ângulos x, y e z.
a)
A
x y
60º 45º
B C
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Espírito Santo
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b)
A B
C
35º
105º
50º
x
z
y
D E
c)
A
y
30º
55º x 40º
B C
D
d)
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC, CD e DA
• ângulos internos: ∃A , ∃ B, ∃ C e ∃ D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
• ângulos opostos: ∃A e ∃ C , ∃ B e ∃ D
A
D
C
B
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
C
D
Quadrilátero convexo
B
A
C
D
Quadrilátero não-convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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Espírito Santo
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
Na figura, AC e BD são diagonais.
D
A C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a ) Quais são os lados ?
b ) Quais são os vértices ?
c ) Quais são os ângulos internos ?
d ) Quais são as diagonais indicadas ?
M P
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a ) Nomeie os dois pares de lados
opostos.
b ) Nomeie os dois pares de ângulos
opostos.
A B
C D
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SENAI

Espírito Santo
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja: B
A
D C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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CST

Espírito Santo
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Exercícios:
1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
D A
2x
x
C B
2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
a)
E F
110º
x
120º
60º
G H
b)
E F
130º
x
G H
3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a)
E F
5x
4x
6x
3x
G H
b)
R S
60º
T U
5x
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SENAI

Espírito Santo
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
a)
N
R
120º
95º
x
M S
130º
b)
E
F
130º z
y
x
G H
110º
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º 20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
eles medem x, 2x, x
2
e 3
2
x .
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A C
B D
Na figura, temos:
AB CD
AC BD
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CST

Espírito Santo
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos Losango Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃A ≅ ∃ C e ∃ B ≅ ∃ D
A C
1^ 2^
4^
3^
B D
a ) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
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SENAI

Espírito Santo
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b ) Temos:
• ∃1 ≅ ∃4 (alternos internos)
• BD ≅ BD (comum)
• ∃2 ≅ ∃3 (alternos internos)
A . L . A .
Δ ABD ≅ Δ CDB
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: ∃A
≅ ∃ C .
• ∃1 ≅ ∃4
• ∃2 ≅ ∃3
⇒ ∃1 + ∃4 ≅ ∃2 + ∃3
Logo: ∃ B ≅ ∃ D
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
A B
y
z
50º
D C
x
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CST

Espírito Santo
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P Q
3x - 10º
x - 50º
R S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
x
y
w
z
110º
70º 110º
70º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
a)
B C
60º
A D
b)
P Q
142º
S R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
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SENAI

Espírito Santo
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a)
R S
x + 70º
2x + 10º
T U
b)
R S
2x + 8º
3x - 10º
T U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
a)
R S
3x
T U
b)
R S
2x + 25º 5x + 20º
T U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
a)
R
S U
5x
T
x
b)
R
x + 80º
S U
y z
2x + 20º
T
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CST

Espírito Santo
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Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A
base menor
altura
B
C base maior
D
Na figura, temos:
AB CD
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
E
Trapézio Isósceles
F E
G H
F E
Trapézio Retângulo
G H
F
Trapézio
Escaleno
G H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
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SENAI

Espírito Santo
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
a)
R
S
2x 2x
x x
T U
b)
S
R
x
30º
T U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
a)
R
S
2x
x + 30º
T U
b)
S
R
x
110º
T U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
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CST

Espírito Santo
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6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a)
E
F
150º
50º
x
60º
G H
b)
E
F
2x 110º
x 70º
G H
c)
E F
x x
2x 2x
G
H
d)
E F
x
3x
3x
G H
x
7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:
a)
A
x 120º
D
B
3x 2x
C
b)
F
H
G
E
x
105º
80º
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SENAI

Espírito Santo
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Polígonos Convexos
Polígonos
Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não
colineares no qual os extremos do primeiro e do último
coincidem.
Exemplos:
Polígonos convexos Polígonos não-convexos
Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um
polígono é convexo quando qualquer segmento com
extremidades no polígono está contido nele.
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CST

Espírito Santo
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices.
• ∃A , ∃ B, ∃ C , ∃ D , ∃ E são os ângulos internos.
• AB , BC, CD , DE, EA são os lados.
B
vértice
lado
A C
E D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
a) b) c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
B
2 4 lados ⇒ 2 triângulos
C
D
1
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CST

Espírito Santo
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Circunferência e Círculo
Circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano,
equidistantes de um ponto do plano chamado centro.
Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra
em um ponto da circunferência chamado de raio.
0
A
raio
Na figura:
• O é o centro da circunferência.
• OA e o raio.
• Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e
raio r)
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SENAI
Departamento Regional do Espírito santo 87

Espírito Santo
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Corda do diâmetro
• Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à
circunferência.
• Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.
Na figura ao lado:
• AB e RS são cordas.
• MN é diâmetro.
A
M
R
B
N
S
corda
diâmetro
corda
Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio,
ou seja:
D = 2 r
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CST

Espírito Santo
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Círculo
Observe as figuras e seus respectivos nomes:
circunferência interior ou conjunto
dos pontos internos
círculo
Círculo é a união da circunferência e seu interior.
Convém destacar que:
• Todo ponto da circunferência pertence ao círculo.
• Existem pontos do círculo que não pertencem à
circunferência.
• O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também
centro, raio e diâmetro do círculo.
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SENAI

Espírito Santo
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Exercícios
E
M
F
O
G
a) Quais segmentos são raios ?
b) Quais segmentos são cordas ?
c) Quais segmentos são diâmetros ?
2) Dos pontos indicados na figura ao lado:
S
A
B
R
E
M
O
C
T
a) Quais são internos à circunferência ?
b) Quais pertencem à circunferência ?
c) Quais são exteriores à circunferência ?
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CST

Espírito Santo
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3) Determine:
a) O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede
4,5cm.
b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17cm.
c) O diâmetro de um circunferência cujo raio é igual a x.
4) O diâmetro da circunferência mede 7cm e o segmento OP
mede 12cm.
O
M
P
Qual a medida do segmento MP ?
5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2x - 6. Se o
diâmetro mede 20cm, calcule x.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Uma reta r e uma circunferência C podem ocupar as seguintes
posições:
a ) C ∩ r = { A, B } (dois pontos comuns)
Dizemos que:
A reta é secante à circunferência.
A B
r
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DepartamentoRegional do Espírito Santo 91

Espírito Santo
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b ) C ∩ r = { A } (um ponto comum)
Dizemos que:
A reta é tangente à circunferência.
A
r
c ) C ∩ r = { ∅ } (não há ponto comum)
Dizemos que:
A reta é extrema à circunferência.
r
Propriedade:
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio
no ponto de tangência.
r
P
O
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CST

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Posições relativas de duas circunferências
Duas circunferências distintas podem ser:
a ) Secantes: têm dois pontos comuns.
M
C C’
N
C ∩ C’ = { M, N }
b ) Tangentes: têm único ponto comum.
tangentes exteriores
C C’
M
C ∩ C’ = { M }
tangentes interiores
M
C
C’
c ) Não-secantes: não têm ponto comum.
exteriores
C C’
C ∩ C’ = ∅
interiores
C C’
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SENAI

Espírito Santo
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Caso particular:
Duas circunferências não-secantes e que têm o mesmo centro
são chamadas concêntricas.
O = 1 O2
C1 C2
Exercícios:
1) Observe a figura e classifique:
F
E
o C2
G
P
H
s
r
t
o
C1
a) A reta s em relação à circunferência C2.
b) A reta r em relação à circunferência C2.
c) A reta r em relação à circunferência C1.
d) A reta t em relação à circunferência C1.
e) A reta s em relação à circunferência C1.
f) A reta t em relação à circunferência C2.
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CST

Espírito Santo
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R
S
P Q
T
C1 C2
C3
C5
C4
a) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C2 ?
b) Qual a posição relativa entre as circunferências C2 e C3 ?
c) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C3 ?
d) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C4 ?
e) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C5 ?
Arcos
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência,
esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessa partes é
denominada arco.
arco menor arco maior
Indicação: AB
Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.
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