Apostila edgar-abreu-mat-financeira-bndes-com-capa

Matemática Financeira
Prof.:Edgar Abreu

BNDES - 2013
Matemática Financeira
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http://www.edgarabreu.com.br
PROFESSOR: EDGAR ABREU (edgar@acasadoconcurseiro.com.br)

Prezado Concurseiro:
Algumas informações sobre este material de estudos:
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certamente você não irá encontrar um material de tamanha qualidade,
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 Este material foi elaborado com base no ultimo edital do BNDES,
publicado pela CESGRANRIO em Dezembro de 2012.
 O responsável pela elaboração desta apostila é o professores Edgar
Abreu.
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professor ou para o curso da Casa do Concurseiro, compartilhando a
sua felicidade.
 Dúvidas quanto aos conteúdos deste material, podem ser esclarecidas
direto com o autor pelo e-mail: edgarabreu@edgarabreu.com.br
De acordo com o edital de 18 de Dezembro de
2012 da CESGRANRIO

BNDES 2013 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
A CASA DO CONCURSEIRO
Estude com o curso que mais aprovou primeiros colocados nos últimos
concursos.
 TRE – RJ (2012): Primeiro colocado
 TRE – PR (2012): Primeiro Colocado
 INSS (2012): Primeiro Colocado (Gravataí)
CEF 2012: Primeiro colocado nas Microrregiões abaixo
1. São Paulo – SP;
2. Porto Alegre – RS;
3. Cruzeiro do Sul – AC;
4. Aracaju – SE;
5. Cascavel – PR;
6. Patos – PB;
7. Osasco - SP;
8. Uruaçu – GO;
9. Jundiaí; Bacabal – MA;
10. Ji-Paraná – RO;
11. Vitória - ES ;
12. Santarém – PA;
13. Teresina – PI;
14. Uruguaiana – RS;
15. Itumbiara – GO;
16. Maringá – PR;
17. Santo Antonio de Jesus – BA;
18. Caxias do Sul –RS;
19. Santo Ângelo – RS;
20. Picos – PI;
21. Castanhal PA
Banco do Brasil 2011/2012: Primeiro colocado nas
Microrregiões abaixo
1. Santo Amaro – SP;
2. Varginha – BA;
3. Bonito – MS;
4. Juiz de Fora – MG (PNE);
5. Irecê – Vitória da Conquista;
6. Jundiaí –
7. São Paulo - SP;
8. Jequié – BA;
9. Anápolis – GO ;
10. Sete Lagoas – MS;
11. Pouso Alegre – MG;
12. Lins – SP;
13. Paraíso do Tocantins – TO
14. Rio de Janeiro – RJ;
15. Cabo Frio – RJ;
16. Pelotas – RS;
17. Novo Hamburgo – RS;

BDES 2013 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
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CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS SOBRE BNDES:
EDITAL CESGRANRIO 2012/2013
Noções de estatística - Apresentação de dados. População e
amostra. Distribuição de frequências. Probabilidade. Medidas de
posição e de dispersão. Números-índices. 2 - Noções de
Contabilidade - Princípios contábeis. Conceitos. Campos de
aplicação da contabilidade. Patrimônio. Origem e aplicação dos
recursos. Escrituração contábil. 3 - Matemática - Números inteiros,
racionais e reais. Problemas de contagem. Sistema legal de
medidas. Problemas envolvendo as quatro operações nas formas
fracionária e decimal. Razões e proporções. Divisão proporcional.
Regra de três simples e composta. Porcentagens. Equações e
inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções e
gráficos. Sequências numéricas. Múltiplos e divisores. Máximo
divisor comum e mínimo múltiplo comum. Juros simples e
compostos. Capitalização e operações de desconto. Equivalência
de capitais. Taxa de juros: nominal, efetiva, equivalente, real e
aparente. Raciocínio lógico
OBS: Esta apostila contempla APENAS os conteúdos em
destaque. A quantidade de questões e o peso da prova, refere-se
a toda a prova de matemática, que além Mat. Financeira ainda
pode cobrar assuntos como estatística, raciocínio lógico e noções
de contabilidade.
QUANTIDADE DE QUESTÕES ESPERADA: 25 de 70
questões.
PESO DA PROVA: 30 de 100 pontos.

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................................................................................................... 6
TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................................................. 6
TAXA UNITÁRIA............................................................................................................................................................................... 7
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO.............................................................................................................................................................. 7
FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO ....................................................................................................................................................... 9
ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO .......................................................................................................................................... 11
QUESTÕES DE CESGRANRIO.......................................................................................................................................................... 15
RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO......................................................................................................................................... 17
TAXAS DE JUROS ...................................................................................................................................................................... 22
TAXA PROPORCIONAL................................................................................................................................................................... 22
TAXA EQUIVALENTE...................................................................................................................................................................... 23
TAXA REAL X TAXA APARENTE....................................................................................................................................................... 25
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA .................................................................................................................................................. 27
QUESTÕES DE NIVELAMENTO....................................................................................................................................................... 32
QUESTÕES CESGRANRIO............................................................................................................................................................... 34
RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO................................................................................................................................. 41
APITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA...................................................................................................................................... 56
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................................. 56
JUROS SIMPLES............................................................................................................................................................................. 57
JUROS COMPOSTOS...................................................................................................................................................................... 63
DESCONTO SIMPLES ..................................................................................................................................................................... 71
DESCONTO COMPOSTO................................................................................................................................................................ 75
QUESTÕES CESGRANRIO............................................................................................................................................................... 78

INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Neste capítulo iremos estudar alguns assuntos que servirão de base para o aprendizado de
Matemática Financeira.
TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS
Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.
 Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser
aplicado numa operação financeira.
 Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.
 Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso
do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.
o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique
simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.
 Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.
o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando
em capitalização simples ou em capitalização composta).
 Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.
 Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital
inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que
equivale a uma única capitalização.
 Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes
a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.
 Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito
quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou
valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de
desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão.

o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR
DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples
ou em capitalização composta).
TAXA UNITÁRIA
DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100,
encontramos a taxa unitária
A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática
financeira.
Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma
fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.
COMO FAZER
10
10% 0,10
100
20
20% 0,20
100
5
5% 0,05
100
38
38% 0,38
100
1,5
1,5% 0,015
100
230
230% 2,3
100
 
 
 
 
 
 
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual
novo valor deste produto?
Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas
podemos fazer a afirmação abaixo:
O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor
inicial.
1.2.1 AGORA É A SUA VEZ:
15%
20%
4,5%
254%
0%
63%
24,5%
6%

Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.
120
Fator de Capitalização = 1,2
100

O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para
obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo
utilizar.
Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu
fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00.
CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se
que 1 = 100/100 = 100%
COMO CALCULAR:
o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45
o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2
ENTENDENDO O RESULTADO:
Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2.
Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará
a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00
COMO FAZER:
Acréscimo de 30% 1,3
Acréscimo de 15% 1,15
130
= 100% + 30% = 130% =
100
115
= 100% + 15% = 115% =
100
103
= 1Acréscimo de 3% 1,03
Acréscimo de 20
00% + 3% = 103% =
100
300
= 100% + 200% = 30 00% =
0
% 3
1 0





Acréscimo Calculo Fator
15%
20%
4,5%
254%
0%
63%
24,5%
6%
FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO
Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual
novo valor deste produto?
Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas
podemos fazer a afirmação abaixo:
O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial.
Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.
80
Fator de Descapitalização = 0,8
100

O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para
obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo
utilizar.
Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu
fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.

CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto
expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%
COMO CALCULAR:
o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65
o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8
ENTENDENDO O RESULTADO:
Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor
desse produto por 0,80.
Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará
a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00
COMO FAZER:
Desconto de 30% 0,7
Desconto de 15% 0,85
70
= 100% 30% = 70% =
100
85
= 100% 15% = 85% =
100
97
= 1Desconto de 3% 0,97
Desconto de
00% 3% = 97% =
100
50
= 100% 50% = 50% =
100
50% 0,5
 
 
 
 
Desconto Calculo Fator
15%
20%
4,5%
254%
0%
63%
24,5%
6%

ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO
Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso
acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse
tipo.
O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo
que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.
Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem
definidos:
Exemplo 1.5.1:
Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos
mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20%
no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas
tarifas aumentadas em:
a) 50%
b) 30%
c) 150%
d) 56%
e) 20%
Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso
marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).
Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de
manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:
Após receber um acréscimo de 30%:
10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00
Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:
13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60
Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.
Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%,
e não de 50% como parecia inicialmente.

COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:
Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3:
o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3
o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2
1,3 x 1,2 = 1,56
Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2),
logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%
COMO FAZER
Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor,
em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos
afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:
a) 10% maior
b) 10 % menor
c) Acréscimo superior a 5%
d) Desconto de 84%
e) Desconto de 16%
Resolução:
Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2
Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4
Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5
Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)
Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:
1 – 0,84 = 0,16
Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial.
(Alternativa E)
Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da
prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou
aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado
com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20%
do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é:
a) 8% maior
b) 10% maior
c) 12% maior
d) 10% menor
e) Exatamente igual

Resolução:
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8
Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1
Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)
AGORA É SUA VEZ
QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de
unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D
teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela
empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%.
Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003,
(A) 24 %.
(B) 28 %.
(C) 30 %.
(D) 32 %.
(E) 60 %.
QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas
tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20%
suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo
superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas
de Lúcia teve um crescimento de:
(A) 35%.
(B) 45%.
(C) 50%.
(D) 60%.
(E) 65%.

Resolução questão 1.5.1
Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente
dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%):
2003 2004
Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96
Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28
TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24
Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um
aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A
Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para
cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o
mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada
vendedora.
Maio Junho
Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2
Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em
junho = 1,2 * 1,25 = 1,5
Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),
houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C

QUESTÕES DE CESGRANRIO
1. (CASA DA MOEDA 2009 - MED) Um comerciante aumentou em 20% o preço de
suas mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu oferecer aos
clientes um desconto de 30% sobre o preço com aumento. Desse modo, qual é, em
reais, o preço com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$
200,00?
(A) 144,00
(B) 168,00
(C) 180,00
(D) 188,00
(E) 196,00
2. (PETROQUIMICA 2011 - MED) Durante uma liquidação, uma loja de roupas vendia
camisetas com 25% de desconto. Sandra aproveitou a promoção e comprou uma
camiseta por R$ 12,00. Qual era, em reais, o preço dessa camiseta sem o desconto?
(A) 14,00
(B) 15,00
(C) 16,00
(D) 17,00
(E) 18,00
3. (FINEP 2011 - SUP) Uma aplicação financeira teve queda de 23,5% em um
determinado mês, e, no mês seguinte, o valor resultante foi reaplicado por mais um
mês e rendeu 36%. O regime de juros, nesses dois meses, foi o de juros compostos.
A rentabilidade bimestral dessa aplicação equivale a um rendimento mensal de
(A) 2,0%
(B) 4,0%
(C) 6,25%
(D) 6,5%
(E) 29,60%
4. (ANP 2008 - SUP) Um determinado estado da União tomou um empréstimo de R$1
bilhão junto ao BNDES, a ser pago em 2 anos, considerando uma taxa de juros
compostos de 10% ao ano. No momento de quitar a dívida, a mesma foi
renegociada por mais seis meses, à taxa de 1% ao semestre. A taxa de juros
efetiva para toda a operação é, aproximadamente,
(A) 10%
(B) 11%
(C) 21%
(D) 22%

(E) 25%
5. (PETROBRÁS: TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR 2010 – MED)
Em janeiro de 2009, certa mercadoria custava, em reais, P. Em junho de 2009, seu
preço estava 30% mais barato do que em relação a janeiro. Em dezembro de 2009,
seu preço sofreu reajuste e ficou 20% mais caro do que em junho, passando a
custar R$ 336,00. É correto afirmar que P, em reais, é uma quantia entre:
(A) 330,00 e 350,00
(B) 350,00 e 370,00
(C) 370,00 e 390,00
(D) 390,00 e 410,00
(E) 410,00 e 430,00
6. (BNDES – 2010) Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento
diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na
Bolsa de Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o
investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com
relação ao total investido nesse período, o jovem
(A) teve lucro de 2%.
(B) teve lucro de 20%.
(C) não teve lucro e nem prejuízo.
(D) teve prejuízo de 2%.
(E) teve prejuízo de 20%.

RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO
Questão 1
Resolução 1: utilizando os fatores.
Fator para aumento de 20% = 1,2
Fator para desconto de 30% = 0,7
Oberve que o aumento foi dado sobre o valor inicial (100%, ou 1), mas o desconto foi dado
sobre o novo valor (120%, ou 1,2). Assim, para saber o novo preço, devemos multiplicar os
fatores:
1,2 * 0,7 = 0,84
Assim, o fator referente ao novo preço é 0,84. Como o preço inicial informado é R$ 200,00,
para descobrir o novo preço, basta multiplicar o preço antigo pelo fator calculado. Assim:
200 * 0,84 = 168,00
RESPOSTA: Alternativa B
Resolução 2: utilizando o preço informado.
Calculando o preço com o aumento de 20%: 200,00 * 0,20% = 40,00
Valor com aumento: 200 + 40 = 240,00
Calculando o preço com o desconto de 30%: 240,00 * 30% = 72,00
Valor com desconto: 240 - 72 = 168,00
Questão 2
Fator para desconto de 25%: 100% - 25% = 100/100 – 25/100 = 1 – 0,25 = 0,75
Se o preço com desconto informado é de R$ 12,00, podemos chamar o preço inicial de “P”, e
estabelecer a seguinte relação:
75% de P vale R$ 12,00. Matematicamente:
0,75P = 12
P = 12/0,75
P = 16

Logo, o preço inicial da camiseta era de R$ 16,00
RESPOSTA: Alternativa C
Questão 3
Fator para queda de 23,5%: 100% - 23,5% = 100/100 – 23,5/100 = 1 – 0,235 = 0,765
Fator para aumento de 36%: 100% + 36% = 100/100 + 36/100 = 1 + 0,36 = 1,36
Para calcular o rendimento total ao final dos 2 meses, precisamos multiplicar os fatores
mensais:
0,765 * 1,36 = 1,0404
Logo, o rendimento bimestral foi de 4,04%. Para converter essa taxa bimestral em uma taxa
mensal, precisamos saber qual é a taxa que, aplicada por 2 meses no regime de juros
compostos, resultará em 4,04%. Matematicamente, calcularíamos a raiz quadrada de 4,04 e
chegaríamos ao resultado de 2% ao mês. No entanto, podemos deduzir essa resposta com o
raciocínio de que, no regime de juros simples, 4,04% ao bimestre seria equivalente a uma taxa
mensal de 2,02% (4,04/2 = 2,02). Como sabemos que uma aplicação a juros compostos
resulta em um montante maior que uma aplicação a juros simples, sabemos que, se a juros
simples precisamos de 2,02% para obter um rendimento de 4,04% em 2 meses, a juros
compostos, precisaríamos de um pouco menos que 2,02%. Logo, a única alternativa que
satisfaz a esse raciocínio é a alternativa A (2%).
RESPOSTA: Alternativa A
Questão 4
Resolução 1: utilizando os fatores.
Fator considerando os juros de 10% = 1,10
Fator para 2 anos no regime de juros compostos: 1,1² = 1,21
Fator para um aumento de 1%, referente à renegociação da dívida: 1,01
Para calcular o valor total da dívida, multiplicamos os fatores:
1,21 * 1,01 = 1,2221
Para saber a taxa de juros efetiva para toda a operação, consideramos o valor do empréstimo
inicial de 100% (1) e o valor final de 122,21% (1,2221). Assim, se o valor do empréstimo era
100%, os juros são de 1,2221 – 1 = 0,2221, ou em porcentagem, 22,21%.
RESPOSTA: Alternativa D

Resolução 2: utilizando os valores.
C= 1.000.000.000
t= 2 anos
i= 10% ao ano
Utilizando o raciocínio de que o montante é capital multiplicado por um fator de aumento:
M=C*F
10% ao ano em 2 anos = fator 1,1² = 1,21
M=1.000.000.000*1,21
M=1.210.000.000
Quando o empréstimo deveria ser quitado, foi negociado por mais 6 meses. Assim, o montante
calculado anteriormente passa a ser o capital (valor atual) para o novo empréstimo:
Negociando por mais 6 meses (1 semestre):
C=1.210.000.000
t= 1 semestre
i = 1% ao semestre
M=C*F
1% ao semestre em 1 semestre = fator 1,01
M=1.210.000.000*1,01
M=12.222.100.000
Para saber a taxa efetiva total, vamos comparar o valor inicial de 1 bilhão com o valor
efetivamente pago no final das contas:
Taxa de juros efetiva total:
C = 1.000.000.000
M = 12.222.100.000
F = ?
M = C * F
12.222.100.000 = 1.000.000.000 * F
F = 12.222.100.000/1.000.000.000
F = 1,2221
Logo, a taxa é de 22,21%

Questão 5
Janeiro: P
Junho de 2009: fator para queda de 30% = 0,70P, pois multiplicamos o fator pelo preço inicial
P.
Dezembro de 2009: fator para aumento de 20% em relação à junho: 1,20*(0,70P) = 336,00,
pois o produto passou a custar 336,00.
O caminho é perceber que 1,20 (aumento de 20%) sobre o valor de junho tem um valor dado
no problema. Basta raciocinar que 1,20*0,7P é o valor com o aumento (pois 0,7P é o valor de
junho), e seu valor monetário é R$ 336,00. Com a equação estabelecida, basta resolvê-la para
descobrirmos o valor de P.
1,20*(0,70P) = 336,00
0,84P = 336
P = 336/0,84
P = 400
Logo, o valor está entre 390,00 e 410,00.
Questão 6
Temos que pensar que tipo de problema temos aqui, temos dois investimentos, um teve lucro e
outro prejuízo, logo temos que utilizar os fatores de capitalização e de descapitalização;
Renda fixa: Foi aplicado 40% do capital e com esse investimento teve um lucro de 20%:
1º passo: Achar as taxas unitárias:
40%=40100=0,4
2º passo: Interpretar essa situação:
RF: 0,4x . 1,2 =0,48x
Na aplicação de renda fixa, este jovem ficou com 48% de seu capital.
Bolsa de Valores: Foi aplicado 60% de seu capital e nesse investimento ele teve um prejuízo
de 10%;
1º passo: Achar as taxas unitárias:
60%= 60100=0,6
2º passo: Interpretar essa situação:

BV: 0,6x . 0,9 = 0,54x
Na aplicação na bolsa de valores, este jovem ficou com 54% de seu capital.
Agora temos que somar os dois capitais após as aplicações e ver com quanto ele ficou.
RF + BV = Total do capital Total do Capital – Capital Inicial = Lucro/Prejuízo.
48% + 54% = 102% 102% - 100% = 2% de lucro.
RESPOSTA: ALTERNATIVA A

TAXAS DE JUROS
Neste capítulo iremos estudar todas as taxas de juros cobradas no edital do BNDES: nominal,
efetiva, equivalente, real e aparente.
TAXA PROPORCIONAL
Para aprender o que é uma taxa de juros nominal e efetiva, precisamos saber primeiro o que é
uma taxa proporcional.
A taxa proporcional é calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas
multiplicando ou dividindo a taxa de juros:
Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês?
Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa
taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses.
Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano.
Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre?
Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa
bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos
que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3
bimestres.
Assim a taxa procurada é de
15%
5%
3
 ao bimestre.
COMO FAZER
TAXA TAXA PROPORCIONAL
25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano)
15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m
60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)
25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)

AGORA É A SUA VEZ
QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL
2.1.1 50% a.bim
___________a.ano
2.1.2 6% a.mês
_________a.quad.
2.1.3 12% a.ano
_________ a.Trim.
2.1.4 20% a. quadri
__________a.Trim
GABARITO
QUESTÃO RESPOSTA
2.1.1 300%
2.1.2 24%
2.1.3 3%
2.1.4 15%
TAXA EQUIVALENTE
Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas
equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula.
Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma
forma simplificada e mais direta.
Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês?
1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:
1 + 0,10 = 1,10
2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui
dois meses.
(1,10)2
= 1,21
3º passo: Identificar a taxa correspondente.
1,21 = 21%
Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:
1 + 0,20 = 1,20
2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui
três bimestres.
(1,20)3
= 1,728
3º passo: Identificar a taxa correspondente.
1,728 = 72,8%
COMO FAZER
20% a.bim equivale a:
Ao Quadrimestre (1,2)2
= 1,44 = 44%
Ao Semestre (1,2)3
= 1,728 = 72,8%
AGORA É A SUA VEZ
QUESTÃO 2.2.1
21% a.sem. equivale a:
Ao Ano
Ao Trimestre
10% a.m equivale a:
Ao Bimestre (1,1)2
= 1,21 = 21%
Ao Trimestre (1,1)3
= 1,331 = 33,10%
QUESTÃO 2.2.2
30% a.mês. equivale a:
Ao Bimestre
Ao
Trimestre

GABARITO
QUESTÃO RESPOSTA
2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao
trimestre
2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre
TAXA REAL X TAXA APARENTE
Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do
que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação,
transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais?
O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente.
Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a
verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real.
Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de
20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação
acumulada foi de 10%?
O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para
descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para
isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher.
Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula.
Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa
real.
1º Passo: Identificar os dados:
Taxa aparente (rentabilidade observada): 20%
Inflação: 10%
2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa
divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor:

( ) (1 0,2) 1,2
1,0
taxa aparen
909
( ) (1 0,10) 1,1
1,
1
1
repr0909 1( ) 0,0909es 9,09enta
te
i
100
nflaçã
% %
o
 
   
 
  
COMO FAZER
Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi
de 20%?
1º Passo: Identificar os dados:
Taxa aparente (rentabilidade observada): 80%
Inflação: 20%
2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção:
( ) (1 0,8) 1,8
1,5
( ) (1 0,20
ta
) 1,2
xa aparente
inflação
1,5 1
1
1
rep( ) 0,5 50rese 0 %nta10 %
 
   
 
  
AGORA É A SUA VEZ:
QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi
de 20%?
QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?

Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de
desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as
taxas:
Rendimento de 50% = 1,5
Inflação de 20% = 1,2
Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25.
Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos
uma taxa real de 25%.
Fator para aumento de 40%: 1,4
Fator para inflação de 60%: 1,6
Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875
Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve
rendimento negativo de 12,5%.
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
TAXA NOMINAL
Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de
uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira,
comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa
realmente cobrada.
Exemplos de taxas nominais:
 24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)
 3% ao mês/bimestrais;
 1,5% ao dia/semestral;

TAXA EFETIVA
Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização.
Exemplos de taxas efetivas:
 24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)
 3% ao mês/mensal;
 1,5% ao dia/diária
Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa
efetiva possui a capitalização igual ao prazo.
Exemplos de taxas efetivas:
 24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)
 3% ao mês
 1,5% ao dia
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa
proporcional (ver tópico 2.1).
Exemplo 2.5.1
OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser
abreviadas da seguinte maneira:
2% ao mês/mês = 2% ao mês
15% ao ano/ano = 15% ao ano
30
%

Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de
juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual.
Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês.
Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos
fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é
composta.
Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao
mês com capitalização bimestral?
1º passo: Identificar a taxa Nominal:
20% a.m / a.bim
2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO,
mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA
PROPORCIONAL.
20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim
OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim.
3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso
ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.
40 % a. bim = (1,4)² = 1,96
4º Passo: identificar a taxa de juros:

1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre
COMO FAZER
Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre
com capitalização semestral?
10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional)
20% a.sem = (1,2)2
= 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente)
OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres.
Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao
semestre com capitalização bimestral?
180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional)
30% a.bim = (1,6)2
= 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente)
OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres.
AGORA É A SUA VEZ:
QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com
capitalização semestral?
QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao
trimestre com capitalização mensal?
QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês
com capitalização bimestral?

Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse
primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas
de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6.
0,05 x 6 = 0,3
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para
uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de
juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
ano possui 2 semestres:
1,30² = 1,69
Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa
efetiva ao ano é de 69%.
Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse
de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3.
2,4 / 3 = 0,8
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma
taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de
juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
trimestre possui 3 meses:
1,80³ = 5,832
efetiva ao trimestre é de 483,20%.
Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse
de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2.
0,2 x 2 = 0,4
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para
uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo
de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
semestre possui 3 bimestres:
1,40³ = 2,744
efetiva ao semestre é de 174,4%.

QUESTÕES DE NIVELAMENTO
Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11
1,053
= 1,157
1,055
= 1,276
1,057
= 1,407
1,103
= 1,331
1,105
= 1,610
1,109
= 2,358
1,203
= 1,728
1,204
= 2,073
1,205
= 2,488
1,302
= 1,690
1,303
= 2,197
1,304
= 2,856
1,305
= 3,712
1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de:
(A)15%
(B)60%
(C)69%
(D)79,53%
(E) 169%
2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de:
(A)15%
(B)60%
(C)69%
(D)79,53%
(E) 169%
3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de:
(A)15%
(B)60%
(C)69%
(D)79,53%
(E) 169%
4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:
(A)15%
(B)60%
(C)69%
(D)79,53%
(E) 169%
5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado:

(A)3,92%
(B)5%
(C)5,23%
(D)7%
(E) 47,10
6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado:
(A)3,92%
(B)5%
(C)5,23%
(D)7%
(E) 47,10
7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a
(A)20% ao quadrimestre
(B)20% ao trimestre
(C)15% ao trimestre
(D)15% ao quadrimestre
(E) 25% ao trimestre
8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa
(A)Igual a 20% ao trimestre
(B)Um pouco inferior a 20% ao trimestre
(C)Igual a 30% ao trimestre
(D)Igual a 30% ao quadrimestre
(E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre
9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal
é aproximadamente de:
(A)120%
(B)155,40%
(C)185,6%
(D)213,8%
(E) 285,6%
10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com
capitalização ao ano é aproximadamente de:
(A)5%
(B)15%
(C)19%
(D)20%
(E) 22%

QUESTÕES CESGRANRIO
1. (CEF 2012 – MED) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa
efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso
equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de:
(A) 10,25%
(B) 10,51%
(C) 5%
(D) 5,51%
(E) 10%
2. (TRANSPETRO 2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5%
é
a) 19,58%
b) 19,65%
c) 19,95%
d) 20,00%
e) 21,55%
3. (TRANSPETRO 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa
nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, aproximado
a) 12,68%
b) 12,75%
c) 12,78%
d) 12,96%
e) 13,03%

4. (TRANSPETRO 2011) A taxa mensal, de juros compostos, equivalente à taxa
anual de 60,12%, também de juros compostos, está entre
a) 0,5% e 1,5%
b) 1,5% e 2,5%
c) 2,5% e 3,5%
d) 3,5% e 4,5%
e) 4,5% e 5,5%
5. (PETROBRAS – 2011) Uma aplicação financeira é realizada em período com
inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no
período foi de
a) 3,02%
b) 3,10%
c) 8,10%
d) 8,24%
e) 8,32%
6. (FINEP 2011 - SUP) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 15.000,00 de uma
instituição financeira que cobra juros antecipados de 3% ao mês. O prazo da
operação é de 3 meses, e o valor líquido liberado pela instituição financeira na
conta corrente da empresa correspondeu a R$ 13.650,00. Com base nos dados
acima, a taxa efetiva mensal composta da operação foi, aproximadamente,
(A) 4,4%
(B) 4,0%
(C) 3,6%
(D) 3,2%
(E) 2,8%

7. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à
vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a
oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma
no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava
cobrando nessa operação era de
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
8. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com
capitalização mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao
capital inicial, é mais próximo de
(A) 6,00%
(B) 6,08%
(C) 6,12%
(D) 6,18%
(E) 6,24%
9. (TJ-RO 2008 - SUP) Um capital foi aplicado à taxa de 60% ao ano, com
capitalização mensal. A taxa efetiva de aplicação foi
(A) maior que 6% ao mês.
(B) 6% ao mês.
(C) 5% ao mês.
(D) menor que 5% ao mês.
(E) 5% ao ano.
10. (ANP 2008 - SUP) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa
trimestral de
(A) 1,3%
(B) 2,0%
(C) 2,1%
(D) 3,0%
(E) 3,03%

11. (ANP 2008 - SUP) A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que
taxa trimestral?
(A) 1,3%
(B) 2,0%
(C) 2,1%
(D) 3,0%
(E) 3,03%
12. (EPE 2007 - SUP) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de
81,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, a taxa
real de juros foi:
(A) 80,98%
(B) 80,80%
(C) 80,00%
(D) 73,62%
(E) 70,00%
13. (BB 2012 – MED) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com
capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é,
aproximadamente,
(A) 12%
(B) 12,49%
(C) 12,55%
(D) 13%
(E) 13,43%
14. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) Após identificar a disponibilidade de caixa, a
empresa XYZ S.A. resolve investir o valor de R$ 200.000,00. Ao pesquisar as taxas
de remuneração existentes no mercado, a empresa optou pela taxa nominal de
12% a.a. com capitalização composta mensal. Qual será a taxa efetiva anual
correspondente?
(A) 1%
(B) 1,057%
(C) 12%
(D) 12,682%
(E) 25,364%

15. (TRANSPETRO 2011 – MED) A taxa anual equivalente à taxa composta
trimestral de 5% é
(A) 19,58%
(B) 19,65%
(C) 19,95%
(D) 20,00%
(E) 21,55%
16. (TRANSPETRO 2011 – MED) A taxa efetiva anual de juros correspondente à
taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a
Dados: (1,01)5
= 1,0510
(1,01)7
= 1,0721
(1,01)9
= 1,0937
(1,01)11
= 1,1157
(1,01)13
= 1,1381
(1,01)15
= 1,1610
(A) 12,68%
(B) 12,75%
(C) 12,78%
(D) 12,96%
(E) 13,03%
17. (BB 2010) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse
mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse
investimento foi
(A) 0,5%.
(B) 5,0%.
(C) 5,5%.
(D) 10,0%.
(E) 10,5%.
18. (BNDES 2010) Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação
diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com
capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante
desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Ao final de 1
semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva
de juros da aplicação diversificada no período foi de
Nota: para essa prova, foram fornecidas as tabelas abaixo:

(A) 60%
(B) 54%
(C) 46%
(D) 34%
(E) 26%
19. (CEF NACIONAL – 2008) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros
compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada
bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é
Tabela fornecida nessa prova

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
20. (CEF NACIONAL – 2008) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros
compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada
bimestralmente?
(A) 75,0%
(B) 72,8%
(C) 67,5%
(D) 64,4%
(E) 60,0%

RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO
Questão 1
30% a.sem. = ? ao ano
2 semestres em 1 ano
Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano
Questão 2
30% a.sem = ? ao ano
Taxa equivalente: 100% + 30%  100/100 + 30/100  1 + 0,3  1,3
Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de
períodos. Assim:
1,3² = 1,69
Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo:
100% = 100/100 = 1. Assim:
1 – 1,69 = 0,69
0,69 = 69% ao ano
Questão 3
5% a.m. = ? ao ano
12 meses em 1 ano
Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano
Questão 4
5% a.m. = ? ao ano
12 meses em 1 ano
Taxa equivalente:
Calculando o fator: 100% + 5%  100/100 + 5/100  1 + 0,05  1,05
Como são 12 períodos:

1,05¹² =
Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela
propriedade das potências:
1,057
x 1,055
(na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos
os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados:
1,407 x 1,276 = 1,7953
Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos:
1 ,7953 – 1 = 0,7953
= 79,53% ao ano
Questão 5
15,7% a.a. = ? ao quadrimestre
3 quadrimestres em 1 ano
Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre
Questão 6
15,7% a.a. = ? ao quadrimestre
Taxa equivalente: 100% + 15,7%  100/100 + 15,7/100  1 + 0,157  1,157
Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período
maior para um período menor. Ou seja:
1,157¹/³ = ?
Trabalhando a potência, temos que:
1,157 = (1+i)³
Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157.
Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá
como resposta 1,157).
Valor encontrado: 1,05³ = 1,157
Se
1,157 = (1+i)³3 e
1,157 = 1,05³,
i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5%

Questão 7
107,3% ao ano = ? ao trimestre
4 trimestre em 1 ano
Taxa equivalente: 100% + 107,3  100/100 + 107,3/100  1 + 1,073  2,073
Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073
= 2,073
Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%.
Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral:
107,3% ao ano = ? ao quadrimestre
Taxa equivalente: 2,073¹/³
Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073
Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073
Questão 8
180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre
Taxa equivalente
Fator: 2,8
Localizar na tabela 2,8
O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856:
= 2,856
2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6%
Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos
menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a
180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres)
RESPOSTA: Alternativa E
Questão 9
Taxa nominal x taxa efetiva
30% ao trimestre / capitalização mensal
Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização
3 meses em 1 trimestre
30% / 3 = 10% ao mês
Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano
12 meses em 1 ano

1,1¹² =
A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz
que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os
expoentes, podemos chegar ao valor:
1,331 x 2,358 = 3,138
3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8%
Taxa ao ano: 213,8%
Questão 10
53,65% ao semestre / ano
53,65% x 2 = 107,30% ao ano
Taxa efetiva ao trimestre:
(4 trimestres em 1 ano)
Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073
1,20 – 1 = 0,20
Ou seja, 20% ao trimestre

RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO
Questão 1
Nesse problema, faremos o caminho inverso do de costume: partiremos de uma taxa efetiva para
uma taxa nominal (observe que a taxa foi dada no período da capitalização, e a taxa pedida foi
anual com capitalização semestral, ou seja: foi pedida a taxa em um período diferente da
capitalização, logo, uma taxa nominal).
Primeiro passo: Converter a taxa de 10,25% ao ano para uma taxa semestral, pois a capitalização
solicitada é semestral. Para isso, somamos 100% à taxa e calculamos a raiz:
Raiz de 1,1025 = 1,05
Como ganhar tempo na prova: Observe que, na prática, não é necessário fazer esse cálculo.
Podemos usar o raciocínio de que, caso estivéssemos trabalhando com juros simples, 10,25% a.a.
seria proporcional à uma taxa de 10,25% / 2 = 5,125% ao semestre. Se estamos trabalhando
com juros compostos, precisaríamos de uma taxa um pouco menor que 5,125% para chegar ao
mesmo montante, já que os juros compostos em períodos maiores que 1 rendem mais que juros
simples. Assim, podemos deduzir que a taxa semestral só poderia ser de 5%. Apenas para ter
certeza, testando essa possibilidade (o que acaba sendo mais simples que calcular a raiz), 1,05 x
1,05 = 1,1025, confirmando o raciocínio anterior.
Agora temos uma taxa semestral, bastando calcular a taxa proporcional (juros simples) para
termos a taxa nominal ao ano com capitalização semestral. Como 1ano possui 2 semestres:
5% x 2 = 10%.
Logo, temos a taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral.
Questão 2
Nesse problema, foi dada uma taxa efetiva ao trimestre para ser convertida para uma taxa anual.
Primeiro passo: adicionar 100% à taxa, para depois trabalhar com a potência:
100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 1 + 0,05 = 1,05
Como 1 ano possui 4 trimestres, devemos elevar 1,05 a 4:
1,05 * 1,05 * 1,05 * 1,05 = 1,2155
Subtraindo os 100% adicionados anteriormente: 1,2155 – 1 = 0,2155. Logo, a taxa anual é de
21,55%.
Como ganhar tempo: em períodos maiores que 1, os juros compostos serão sempre maiores
que os juros simples. Assim, de posse da taxa de 5% ao trimestre, poderíamos proceder ao
seguinte raciocínio: se fossem juros simples, em 1 ano teríamos 5% * 4 = 20% ao ano. Como os
juros compostos serão um pouco maiores, analisando as alternativas, a resposta só poderia ser
21,55%.

Questão 3
Primeiro passo: foi dada uma taxa nominal. Precisamos transformá-la em uma taxa efetiva. Para
esse primeiro passo, usamos princípios de taxas proporcionais (juros simples):
12% ao ano / mensal: como 1 ano possui 12 meses, basta dividir 12% por 12, e chegamos à taxa
efetiva de 1% ao mês.
Segundo passo: converter a taxa de 1% ao mês para uma taxa efetiva anual. Usamos para isso
princípios de taxas equivalentes (juros compostos). Portanto, precisamos somar 100% à taxa e
depois trabalhar com a potência 12, pois 1 ano possui 12 meses.
100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01
1 ano = 12 meses. Assim, para converter essa taxa mensal para uma taxa anual:
1,01¹² = ?
Não precisamos calcular essa potência, pois o problema já informou algumas potências. Como não
foi informado diretamente o resultado que precisamos, teremos que trabalhar com as
propriedades das potências. Uma dessas propriedades diz que, em caso de potências de mesma
base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. Interpretando e aplicando essa propriedade,
podemos chegar à seguinte conclusão:
1,01¹² = 1,01^5 * 1,01^7
Assim, basta substituirmos os valores:
1,01¹² = 1,0510 * 1,0721 = 1,1268
Subtraindo os 100% somados anteriormente: 1,1268 – 1 = 0,1268. Logo, a taxa efetiva anual
será de 12,68%
Questão 4
Nesse problema, devemos fazer o raciocínio inverso ao que estamos acostumados, pois teremos
que converter uma taxa de um período maior para um período menor (ano para meses).
Primeiro passo: transformar a taxa de 60,12% em valor unitário, somando 100% a ela:
100% + 60,12% = 100/100 + 60,12/100 = 1 + 0,6012 = 1,6012
Segundo passo: o problema não pede a taxa mensal, e sim entre quais taxas esse valor está. Para
resolvê-lo, precisamos interpretar a tabela com o seguinte raciocínio:
(1,005)¹² = 1,0617 (a taxa de 0,5% em um período equivale à uma taxa de 6,17% em 12
períodos). Ou seja: uma taxa em um período menor elevada à quantidade de períodos menores
existentes no período maior é igual à taxa no período maior.
Assim, como temos a taxa de 60,12% em 1 ano (12 meses), precisamos saber qual é a taxa que
aplicada em 12 períodos será equivalente a 60,12%. De posse do valor unitário 1,6012,
precisamos localizar na tabela onde esse valor se encaixa, procurando após a igualdade, pois esse
valor é o valor no período maior. 1,6012 está entre 1,5111 e 1,6959, que equivalem à taxas de
1,035 (subtraindo 100%: 1,035 – 1 = 3,5%) e 1,045 (1,045 – 1 = 4,5%). Assim, a taxa ao mês
que procuramos está entre 3,5% e 4,5%.

Questão 5
Dada uma taxa real (descontada a inflação), o problema pede uma taxa aparente (sem descontar
a inflação). Para calculá-la, basta seguir o racicínio:
1 + taxa aparente = 1+ taxa real
1 + inflação
Convertendo as taxas para valores unitários: 2,5% = 2,5/100 = 0,025 e 5,6% = 5,6/100 = 0,056
Assim: 1+taxa aparente = 1+0,056
1 + 0,025
1+taxa aparente = 1,056 * 1,025
1+taxa aparente = 1,0824
Taxa aparente = 1,0824 – 1
Taxa aparente = 0,0824
Ou seja, taxa de 8,24%
Questão 6
Resolução detalhada:
Se o banco cobra juros antecipados, ele irá liberar o empréstimo de 15.000,00 já descontados os
juros. Ao invés de liberar 15.000, o banco liberou 13.650,00, e 15.000 é o valor do montante final
pago pelo empréstimo. Estamos acostumados a fazer Capital + juros para encontrar o montante.
Nesse caso, o raciocínio é quase o mesmo, mas devemos entender 15.000 como sendo o
montante, 13.650 como sendo o capital e a diferença são os juros cobrados. A confusão é que o
valor liberado não será o valor do empréstimo, mas sim o valor do empréstimo menos os juros.
Assim, coletando os dados:
Montante (M) = 15.000
tempo (t) = 3 meses
Capital (C) = 13.650
Utilizando a fórmula M = C x F:
M = C x F
15.000 = 13.650 x F
F = 1,0989
Esse é o fator para 3 meses. Para descobrir o fator para 1 mês, estabelecemos a seguinte relação:
1,0989 = (1+i)³ ou, trabalhando com a potência:

1,0989¹/³ = 1 + i
A banca pode informar esse valor em tabela, mas não foi esse o caso. Mas não precisamos
calcular o valor da raiz de 1,0989. Podemos utilizar o raciocínio de que os juros simples serão um
pouco maiores que os juros compostos, e calcular 0,0989 / 3 = 3,29 para chegar à taxa de juros
simples ao mês. Como sabemos que os juros compostos serão um pouco maiores que os juros
simples, e como estamos convertendo uma taxa de um período maior para um período menor,
sabemos então que precisaremos de uma taxa um pouco menor que 3,29% ao mês para render
os mesmos 9,89% ao trimestre. Assim, sabemos que os juros compostos serão um pouco menos
que 3,29%, e analisando as alternativas, o resultado só poderia ser 3,2%. Para confirmar esse
raciocínio, podemos proceder ao teste:
1,032³ = 1,099. A diferença se dá devido à arredondamentos.
Resolução rápida:
Se o valor futuro é 15.000 e o valor atual liberado é 13.650, basta dividir um pelo outro para
encontrar o fator para o período completo de 3 meses. Assim:
Se M = C * F
F = M /C
F = 15.000/13.650
F = 1,0989
Cálculo a juros simples: 0,0989/3 = 0,0329
Raciocínio: a juros compostos, teremos uma taxa um pouco menor que 3,29%. Logo, a única
alternativa que satisfaz a esse raciocínio é a alternativa D) 3,2%
Questão 7
Coletando os dados:
85,00 à vista
Parcela 1: = 45
Parcela 2: = 45
Temos então o fluxo de caixa:

Como a primeira parcela é cobrada no ato da compra, basta reduzí-la do valor à vista para saber
quanto a compradora ficou devendo.
85 - 45 = 40
Assim, sobraram 40,00 a serem pagos, que se transformaram em 45,00 devido à capitalização da
parcela para ser paga após 1 mês. Para descobrir o fator, basta dividir o valor futuro pelo valor
presente, pois:
M = C * F
F = M/C
F = 45/40
F = 1,125
Logo, subtraindo 100% do fator encontrado e convertendo o valor unitário para valor percentual:
1,125 – 1 = 0,125. Então, os juros cobrados são de 12,5%.
Questão 8
O problema informou uma taxa efetiva de juros de 2% ao mês, e pede a taxa trimestral. No
regime de juros compostos, precisaremos trabalhar com potências. Assim, soma-se 100% à taxa
de 2%, para só então aplicar a potência 3:
100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02
De posse do fator, podemos aplicar a potência:
1,02³ = 1,02 x 1,02 x 1,02 = 1,061208. Logo, a taxa de juros trimestral é de 1,061208 – 1 =
0,061208, ou 6,1208%
Questão 9
Observe que foi informada uma taxa nominal (60% ao ano / mensal). Assim:

Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, usando o princípio de taxas proporcionais (juros
simples).
Como 1 ano = 12 meses, basta dividir 60% por 12 para termos a taxa efetiva ao mês.
60% / 12 = 5% ao mês.
Questão 10
O problema pede a taxa proporcional, ou seja: uma taxa a juros simples. Então, precisamos
apenas multiplicar 1% por 3, pois 1 trimestre = 3 meses.
1% * 3 = 3% ao trimestre.
Questão 11
Resolução 1: como calcular
O problema pede a taxa equivalente, ou seja: uma taxa a juros compostos. Então, precisaremos
transformar 1% em fator de acréscimo de 1% = 1,01. Feito isso, como 1 trimestre possui 3
meses, para saber a taxa trimestral:
1,01³ = 1,01 x 1,01 x 1,01 = 1,030301, que é o fator para um aumento de 3,03%. Logo, a taxa
trimestral procurada é de 3,03%.
Resolução 2: como ganhar tempo
Sabemos que juros compostos rendem um pouco mais que juros simples. Assim, partindo da taxa
mensal de 1%, em 1 trimestre os juros compostos serão um pouco maiores que os juros simples.
Sabendo disso, não precisaremos trabalhar com potências. Calculamos a taxa trimestral no regime
de juros simples através do cálculo 1% x 3 = 3%, e usando o raciocínio de que juros compostos
renderão um pouco mais, analisando as alternativas observamos que a única que satisfaz esse
conceito é o valor de 3,03%.
Questão 12
Foi dada uma taxa aparente de 81,80% e a taxa de inflação de 1%. Assim, precisaremos aplicar o
raciocínio de que:
1+taxa aparente = 1+taxa real
1+inflação

Assim, convertendo as taxas para fatores unitários: 81,80% = 0,8180, e 1% = 0,01. Substituindo
na fórmula:
1+0,8180 = 1 + taxa real
1+0,01
1,8180 = 1 + taxa real
1,01
1,8 = 1 + taxa real
1,8 – 1 = taxa real
0,8 = taxa real
Logo, a taxa real de juros foi de 80% no período.
Questão 13
Primeiro passo: converter a taxa nominal de 12% ao ano / trimestral em uma taxa efetiva,
utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 4 trimestres:
12% / 4 = 3% ao trimestre
Segundo passo: converter a taxa de 3% ao trimestre para uma taxa efetiva anual, utilizando o
conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Como 1 ano possui 4 trimestres,
transformamos a taxa de 3% em fator de aumento para 3% (100% + 3% = 100/100 + 3/100 =
1 + 0,03 = 1,03), e depois aplicamos a potência 4:
1,03^4 = 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,1255
Interpretando o fator: 1,1255 – 1 = 0,1255, ou seja, 12,55%.
Dica:
Foi informada a taxa nominal de 12%, que corresponde à taxa anual caso o regime de juros fosse
juros simples. Como sabemos que os juros compostos são um pouco maiores que os juros
simples, ficaríamos em dúvida entre apenas 2 alternativas: 12,49% e 12,55%.

Questão 14
Coletando os dados:
Capital (C) = 200.000
Taxa (i) = 12% a.a. / mensal
Prazo (t) = 1 ano (12 meses)
Convertendo a taxa nominal para uma taxa efetiva.
Primeiro: utilizando o conceito de taxas proporcionais: 12% / 12 = 1% a.m.
Segundo: calcular a taxa equivalente:
Fator para 1% a.m.:
100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01
Para 12 meses:
1,01¹² = 1,12682
Interpretando o fator: 1,12682 – 1 = 0,12682, ou 12,682%
Observação: Não foi dada a tabela, mas lembrando-se de que os juros compostos são um pouco
maiores que os juros simples, poderíamos inferir que, se os juros simples são de 12% ao ano, os
juros compostos serão um pouco maiores que 12%. A única alternativa que satisfaz esse
raciocínio é 12,682%.
Questão 15
Primeiro, nosso fator será de:
100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 1 + 0,05 = 1,05
Como temos 4 trimestres em 1 ano:
Interpretando a taxa:
1,2155 – 1 = 0,2155, ou 21,55%
Dica: sem cálculos, poderíamos interpretar a questão. A taxa de 5% ao trimestre é proporcional
(juros simples) à taxa de 5% x 4 = 20% a.a. Como em juros compostos a taxa seria um pouco
maior, só nos resta uma alternativa: 21,55%.
Resposta: Alternativa E
Questão 16
Primeiramente, convertemos 12% a.a. para uma taxa proporcional mensal:
1 ano = 12 meses
12% / 12 = 1% a.m.

O fator será: 100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01
Para 12 meses:
1,01¹²
Foram informados alguns valores no problema, mas teremos que trabalhar a potência para
resolvermos a questão. Uma solução possível seria, aplicando uma das propriedades das
potências:
1,0510 x 1,0721 = 1,12677
Interpretando o fator:
1,12677 – 1 = 0,12677, ou 12,677%
Arredondando, teríamos 12,68%
Questão 17
Dados:
o Taxa Nominal (in) = 15,5% ao ano = 0,155
o Inflação (I) = 5% ao ano = 0,05
o Taxa Real (ir) = ???
Questão 18
Para Alfa:
Capital (C) = 3.000
Taxa (i) = 24% a.a. / bimestral
Resolução COM fórmula: Resolução SEM fórmula:
(1 ) (1 0,155)
(1 ) (1 0,05)
(1,155)
1,10
(1,05)
10%
n
r
r
r
i
i
I
i
i
 
 
 
 

1. Se o candidato lembrar que ao calcular
uma taxa real o resultado será SEMPRE
um pouco inferior a subtração das
taxas nominal (aparente) pela inflação,
logo irá concluir por eliminação que a
resposta correta só pode ser a alternativa
“D” = 10%.

Logo, a taxa efetiva será, utilizando o conceito de taxas proporcionais: 24% / 6 (6 bimestres em 1
ano) = 4% ao bimestre
Para Beta:
O restante do capital. Logo: C – 3.000
Taxa (i) = 42% a.s. / mensal
Logo, a taxa efetiva será, utilizando o conceito de taxas proporcionais: 42% / 6 (6 meses em 1
semestre) = 7% a.m.
Como temos apenas 1 variável para a primeira parte (Alfa), podemos calcular o Montante dessa
aplicação. Primeiro, vamos converter a taxa de 4% ao bimestre para uma taxa anual, utilizando o
conceito de taxas equivalentes (juros compostos).
1 semestre = 3 bimestres. Portanto, precisamos consultar a tabela “fator de acumulação de
capital” e encontrar o cruzamento da coluna 4% com a linha 3 (4% aplicado em 3 períodos). O
valor é 1,12. Assim, o montante será:
M = C x F
M = 3.000 x 1,12
M = 3.360
Sabemos que o montante total será 6.000. Então, o montante de beta será:
6.000 – 3.360 = 2.640
Com essa informação, podemos calcular o capital de Alfa.
Os juros são de 7% ao mês. Para converter para uma taxa semestral, precisamos consultar a
tabela fornecida “fator de acumulação de capital” e encontrar o cruzamento da coluna 7% com a
linha 6 (7% aplicado em 6 períodos). O valor é 1,5. Assim:
M = C x F
2.640 = C x 1,5
C = 2.640/1,5
C = 1.760
Encontramos portanto o capital total, que é 3.000 + 1.760 = 4.760
Como o montante total é de 6.000, para sabermos a taxa efetiva dessa aplicação:
M = C x F
6.000 = 4.760 x F
F = 6.000 / 4.760
F = 1,26
Interpretando o fator:
1,26 – 1 = 0,26, ou 26%

Questão 19
O problema quer que passemos a taxa de 50% ao ano / capitalização anual para nominal
ao semestre, com capitalização bimestral. Sabemos que, dada uma taxa efetiva com
capitalização bimestral, para encontrarmos a taxa nominal com essa mesma capitalização, basta
multiplicar a taxa por 3, pois em 1 semestre temos 3 bimestres. Lembrando que isso para taxa
NOMINAL.
Como temos uma taxa EFETIVA com capitalização ao ano e queremos encontrar uma taxa
EFETIVA com capitalização ao bimestre, o processo é:
O ano possui 6 bimestres. Como o ano é maior do que o semestre, ao invés de elevar 1,50 a
6, vamos ter que elevar 1,50 à 1/6. A prova deve informar o valor em tabela. Precisamos
encontrar o cruzamento da linha 6 (6 períodos) com a coluna que consta o valor 1,5, que no caso
é a coluna 7%.
Sabemos que a taxa efetiva é de 7% ao bimestre, com capitalização bimestral.
Para saber o valor da taxa NOMINAL, agora basta multiplicar a taxa por 3, pois temos 3 bimestres
em 1 semestre. Assim, 7% * 3 = 21%.
Os divisores inteiros positivos de 21 são: 1, 3, 7, 21. Logo, são 4 divisores.
Questão 20
40 % quad/bim  x % sem.
Primeiro vamos passar a taxa para uma taxa bim/bim.
40 ÷ 2 = 20
Agora:
20 % bim  x % sem
Para resolver, temos que saber que em um semestre temos 3 bimestres.
A taxa de 72,80 % sem.

APITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
Neste capítulo iremos estudar Juros simples, Juros compostos, Desconto simples e Desconto
composto.
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao
capital.
Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra
composta e depois compararmos.
Vamos analisar o exemplo abaixo:
Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do
Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por
José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°?
Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês.
Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR
1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00
3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00
4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00
5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00
Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do
período anterior)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR
1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10
4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41
5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05
Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros
simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.
GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1
Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples.
JUROS SIMPLES
FÓRMULAS:
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros
Onde:
J = Juros
M = Montante
C = Capital (Valor Presente)
i = Taxa de juros;
t = Prazo.
A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de
utilizar fórmula matemática.
CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE
J C i t   (1 )M C i t   

APLICANDO A FÓRMULA
Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução
Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3
meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?
Dados do problema:
C = 100.000,00
t = 3 meses
i = 2% ao mês
OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem
problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.
J = C x i x t
J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3
J = 6.000,00
Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00
RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS:
Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de
taxa de juros proporcional.
Resolução:
Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1)
Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00
PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA
Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade,
necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão.
Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do
que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém
caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder
as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples,
proporcional, e sim equivalentes.
Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3
meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

Dados:
C = 100.000,00
t = 3 meses
i = 12% ao ano
Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar
o prazo em ano. Assim teremos:
C = 100.000,00
t = 3 meses =
3
12
i = 12% ao ano
Agora sim podemos aplicar a fórmula
J = C x i x t
J = 100.000 x 0,12 x
3
12
J = 3.000,00
ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS
Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos
resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto.
Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que
o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros
mensal cobrada pelo banco.
Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste
caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:
Dados:
C = 100.000,00
t = 6 meses
M = 118.000,00
J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)
Aplicando a fórmula teremos:
18.000 100.000 6
18.000 18.000
0,03
100.000 6 600.000
3% ao mês
i
i
i
  
  



Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples.
Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital:
118.000
juros acumulado = 1,18
100.000

Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:
1,18 – 1 = 0,18 = 18%
18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa
proporcional e assim encontrar 3 % ao mês.
ESTÁ FALTANDO DADOS?
Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do
tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.
Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos
um valor para o dado que está faltando.
Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações.
Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual
a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu?
Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos
um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual
a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.
Dados:
C = 100,00
t = 8 meses
M = 200,00 (o dobro)
J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)
Substituindo na fórmula teremos
100 100 8
100 100
0,125
100
12,5% ao
8 80
ê
0
m s
i
i
i
  
  



COMO RESOLVER
Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil,
para que no fim de cinco anos esse duplique de valor?
Dados:
C = 2.000,00
t = 5 anos
M = 4.00,00 (o dobro)
J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)
i = ?? a.a
2.000 2.000 5
2.000 2.000
0,2
2.000 5 10.000
20% ao ano
i
i
i
  
  


Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao
mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação?
Dados:
C = 5.000,00
i = 2 % ao mês
t = 1,5 anos = 18 meses
J = ???
5.000 18 0,
1.800,00
02J
J
  


AGORA É A SUA VEZ:
QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove
meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre?
QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente
40 % ao fim de três anos.
Coletando os dados do problema, temos:
Capital (C) = 5.700
Tempo (t) = 9 meses
Juros simples (i) = 24% ao semestre
Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses,
precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples:
1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal.
24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04.
A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema.
Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples
Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos:
J = 5.700 x 0,04 x 9
J = 2.052,00
Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas

Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9
meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor
aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital:
5.700 x 0,36 = 2.052
Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo
caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas.
O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a
taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela
quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim:
40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111...
Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11%
JUROS COMPOSTOS
FÓRMULAS:
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros
Onde:
J = Juros
M = Montante
C = Capital (Valor Presente)
i = Taxa de juros;
t = Prazo.
CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE
J M C  (1 )t
M C i  

RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS
Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o
prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo.
Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em
provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que
poderiam facilitarem estes cálculos.
Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso
público.
1. Questões que necessitam da utilização de tabela.
2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria
questão.
3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de
valores.
Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos.
JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA
Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em
concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros
compostos Vamos ver um exemplo.
Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?
Dados do problema:
C = 100.000,00
t = 8 meses
i = 10% ao mês
8
8
(1 )
100.000 (1 0,10)
100.000 (1,10)
t
M C i
M
M
  
  
 
O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A
solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.
Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.

(1+i)t TAXA
5% 10% 15% 20%
PRAZO
1 1,050 1,100 1,150 1,200
2 1,103 1,210 1,323 1,440
3 1,158 1,331 1,521 1,728
4 1,216 1,464 1,749 2,074
5 1,276 1,611 2,011 2,488
6 1,340 1,772 2,313 2,986
7 1,407 1,949 2,660 3,583
8 1,477 2,144 3,059 4,300
9 1,551 2,358 3,518 5,160
10 1,629 2,594 4,046 6,192
Consultando a tabela encontramos que (1,10)8
= 2,144
Substituindo na nossa fórmula temos:
8
100.000 (1,10)
100.000 2,144
214.400,00
M
M
M
 
 

O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00
JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES
Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no
próprio texto da questão, conforme abaixo.
Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8
= 2,144
Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o
exemplo anterior.
JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO
A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade
do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação.
Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar
contas muito complexas, conforme abaixo.
Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?
Dados do problema:
C = 100.000,00

t = 2 meses
i = 10% ao mês
2
2
(1 )
100.000 (1 0,10)
100.000 (1,10)
100.000
121.000,00
1,21
t
M C i
M
M
M
M
  
  
 
 

Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00
COMO RESOLVER
Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma
taxa de juros compostos de 20 % ao ano?
Dados do problema:
C = 2.000,00
t = 2 anos
i = 10% ao ano
M = ???
2
2
(1 )
2.000 (1 0,20)
2.000 (1,2
2.880,00
0)
2.000 1,44
t
M C i
M
M
M
M
  
  
 
 

Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma
taxa de juros compostos de 10 % ao semestre?
Dados:
C = 5.000,00
t = 1 ano ou 2 semestres
i = 10% ao ano

2
2
(1 )
5.000 (1 0,10)
5.000 (1,1
6.050,00
0)
5.000 1,21
t
M C i
M
M
M
M
  
  
 
 

Como a questão quer saber qual os juros, temos:
6.050 5.000
1.050,00
J M C
J
J
 
 

Assim, os juros serão de R$ 1.050,00
Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2
meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de
juros mensais que este fundo remunerou ao investidor?
Dados:
C = 10.000,00
t = 2 meses
M = 11.025,00
i = ??? ao mês
2
2
(1 )
11.025 10.000 (1 )
11.025
(1 )
10.000
t
M C i
i
i
  
  
 
2 11.025
(1 )
10.000
105
(1 )
100
1,05 1 0,0
5% ao mês
5
i
i
i
i
 
 
  


AGORA É A SUA VEZ
QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a
uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral?
QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma
taxa de juros compostos de 20 % ao mês?
Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses
em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros
mensal que este fundo remunerou o investidor?
Coletando os dados, temos:
Montante (M) = ?
Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres)
Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral

Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o
período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa
para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples):
20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres).
Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas,
devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano.
Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo:
Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos
Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos:
M = 10.000 (1+0,1)²
M = 10.000 (1,01)²
M = 10.000 x 1,21
M = 12.100
Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes
Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que
possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas
equivalentes (juros compostos):
Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência.
100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10.
Como queremos calcular a taxa para 2 semestres:
1,10² = 1,21.
Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de
10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque:
M = C x F
M = 10.000 x 1,21
M = 12.100
Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é
que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso,
usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando
calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não
precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo.
Resolução questão 3.3.2.
Coletando os dados do problema:
Juros (j) = ?
Tempo (t) = 2 meses
Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20
Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos.

Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores:
J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1
J = 20.000 x [(1,20)²] – 1
J = 20.000 x (1,44 – 1)
J = 20.000 x 0,44
J = 8.800
Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes.
Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas.
Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros
bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1
(100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período
é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta
em [(1+0,20)²] – 1. Assim:
1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44.
Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital
por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos
quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos
decorar fórmulas, e sim entender o processo.
20.000 x 0,44 = 8.800.
Coletando os dados:
Capital (C) = 100
Tempo (t) = 2 meses
Montante (M) = 144
Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos
Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos:
144 = 100 (1+i)²
144/100 = (1+i)²
1,44 = (1+i)²
= 1+i
1,2 = 1+i
1,2 – 1 = i
i = 0,2, ou 20% ao mês.
Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes
Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de
uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da
fórmula de juros compostos.
F = 144/100

F = 1,44
De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44
– 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas
equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período
menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a
forma de calcular esse tipo de taxa é:
(essa fração pode ser transformada em uma raiz)
1,2.
Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao
mês.
DESCONTO SIMPLES
Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros,
conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro.
Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas
das nossas variáveis.
O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em
desconto simples.
O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em
desconto simples.
DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto
comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na
prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam
exigir os dois tipos de descontos.
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
 Mais comum e mais utilizado
 Também conhecido como desconto bancário
 Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”

 O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)
FÓRMULAS:
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual
Onde:
DC = Desconto Comercial
A = Valor Atual ou Valor Liquido
N = Valor Nominal ou Valor de Face
id = Taxa de desconto;
t = Prazo.
Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto
comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida
com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as
duas fórmulas:
Dc = N x i x t  J = C x i x t
Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o
valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao
capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante).
Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no
regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois
adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o
fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t
(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a
fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o
valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para
subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t).
Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto
comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data
de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m
Dados:
N = 10.000,00
t = 3 meses
id = 5% ao mês
CALCULO DO VALOR DO
DESCONTO
CALCULO DO VALOR ATUAL
c dD N i t   (1 )dA N i t   

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