1) O documento discute princípios de contagem e probabilidade como permutações, arranjos, combinações com e sem repetição. 2) Fornece exemplos de cálculos destes princípios e problemas para exercitar estes conceitos. 3) Aplica estes conceitos matemáticos para resolver problemas relacionados a senhas, placas de carros e composições de times e pódios.

1. Análise Combinatória
Princípio fundamental da contagem
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes e , de tal maneira que o número de possibilidades da primeira etapa é e o número de possibilidades da segunda etapa é , então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado por:
Obs.: Este princípio é válido para qualquer que seja o número de etapas do evento.
Permutação simples
Chamamos de permutação simples de elementos distintos a todo agrupamento ordenado formado por esses elementos. O número total de agrupamentos possíveis é dado por:
Arranjo simples
Chamamos de arranjo simples de elementos distintos tomados de a a todo grupo ordenado de elementos distintos, escolhidos entre os elementos disponíveis. E o número total de arranjos é dado por:
Combinação simples
Combinação simples de elementos distintos, a , é todo agrupamento formado por elementos distintos escolhidos dentre os disponíveis, de modo que a mudança de ordem dos elementos não modifique o agrupamento. O número total de combinações é dado por:
Arranjo com repetição
Chamamos de arranjo com repetição de elementos tomados de a a todo grupo ordenado de elementos, escolhidos entre os disponíveis podendo ter elementos repetidos.
Permutação com repetição
Chamamos de permutação com repetição de elementos a todo agrupamento ordenado formado por esses elementos disponíveis podendo ter elementos repetidos.
Em que são a quantidade de vezes em que repete determinado elemento.
Permutação circular
Chamamos de permutação circular de elementos a todo agrupamento ordenado formado por esses elementos disponíveis estando dispostos em círculo.
Prof. Gustavo

2. 1. Sabendo que a placa de um carro possui 3 letras e 4 algarismos, determine o número de placas que podem ser fabricadas considerando todas as possibilidades (considere 26 letras no alfabeto).
2. (ENEM 2013) Um banco solicitou a seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso a conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9.
Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
a)
b)
c) )
d)
e)
3. (UNESP-SP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que tem “L” como terceira letra, o último algarismo é o zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é
a) 33 600
b) 37 800
c) 43 200
d) 58 500
e) 67 600
4. Calcule os anagramas da palavra PERDÃO que:
a) Que iniciam com P e terminam com O;
b) Em que as letras A e O aparecem juntas.
5. (ENEM) No mês de julho, a cidade do Rio de Janeiro sediou a 15ª edição dos Jogos Panamericanos, a maior competição esportiva das Américas. Numa participação recorde na história do evento, mais de 5 500 atletas de 42 países disputaram as medalhas de ouro, prata e bronze. Na medalha utilizada na premiação estão estampados 5 pássaros distintos. Suponha que cada pássaro pudesse ser colorido de uma cor diferente: verde, amarelo, azul, branco e vermelho. O número de composições distintas que podem ser formadas na distribuição das cores entre os cincos pássaros é
a) 25
b) 40
c) 60
d) 120
e) 240
6. Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?
7. (UFPE-PE) Um quarteto de cordadas é formado por dois violinistas, um violista e um violoncelista, sendo que os dois violinistas exercem funções diferentes. De quantas maneiras se pode compor um quarteto, se podemos escolher entre quatro violinistas, três violistas e dois violoncelista?
8. De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição?
9. Em uma corrida onde participam 30 atletas, de quantas formas distintas pode-se constituir o pódio com os três primeiros lugares?
10. (Udesc-SC) Suponha que um campeonato com 16 equipes seja disputado em turno único, isto é, quais quer duas equipes jogam entre si apenas uma vez; o número total de jogos do campeonato é:
a) 120
b) 240
c) 160
d) 360
e) 16
11. (Unitau-SP) Sendo , o(s) valor(s) de tal que é (são):
a) 7
b) 0 e 7
c) 0 e 10
d) 1
e) 0 e 2
12. (FURG-RS) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida deve ser diferente do próprio nome, é
a) 817
b) 48
c) 5 039
d) 23
e) 2 519