Acca 02

Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade
Tensão Alternada
Símbolo
Uxt

Tensão Alternada
É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo.
Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão:
Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc
VP
VPP
VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V
T=Período

Tensão Senoidal
É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal
v(t) = VP.sen(w.t  +θ0)
VP é o valor de pico
ω é a freqüência angular
θ0  é o ângulo de fase inicial
θ = ω.t  +θ0
VPP é valor de pico a pico
Representação Gráfica e Expressão Matematica
v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V)No exemplo

v(θ) = VP.sen θ
θ=w.t=ângulo descrito
Representação Gráfica e Expressão Matematica

Período (T) e Freqüência (f)
Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir
(completar um ciclo)
Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo
[ ] )(ssegundoT =
[ ] segundocicloouHzf /=
T
f
1
=
f
T
1
=

Freqüência Angular (ω)
Representa a variação angular em função do tempo
[ ] sgrausousrd //=ω
θ = ω.t
Se θ=2.π, o tempo será t= T
2.π = ω.T fou
T
..
.
πω
π
ω 2
2
==

Movimento Circular Uniforme
A=amplitude do segmento
A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandeza
senoidal de amplitude A e fase inicial θ0

Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portanto
a expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)

Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempo
que representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)
Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A será
O valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada com
A frequencia por w=2.π.f

Analise do sinal
Período: T=0,25s
Freqüência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s
Hzf 4
250
1
==
,
V(V)
5
t(s)
-5
0
0,125
0,250
0,375
0,500
Analise de um sinal senoidal
Tensão de pico: VP=5V
Ângulo de fase inicial: θ0=0
Tensão de pico a pico: VPP=10V
Expressão em função do tempo:
v(t)=5.sen(8.π.t) (V)
4 ciclos em 1 segundo=4ciclos/s=4Hz

Determinando um valor de tensão
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V
5V
-5V
0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000
0,6
2,94

v(V)
w.t(rd)
VP
-VP
Ângulo de Fase Inicial
Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem uma
fase inicial.
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
Sinal adiantado Θ0 > 0
θ0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900
) (V)

Sinal atrasado Θ0 < 0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900
) (V)
Ângulo de Fase Inicial
v(V)
w.t(rd/s)
VP
-VP
θ0

Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüência
c) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente
f) Indicar o valor da tensão para t=0
1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)
a) w=20.000. π rd/s
KHzHzf 1000010
2
00020
2
==== .
.
..
. π
π
π
ω
smssT µ1001000010
00010
1
==== ,,
.
Θ0= π/3=600
b)
c)
d)
Exemplos

600
f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600
)=8,66V
e)

V2 (t)=15.sen(8.000. π.t – 300
) (V)
a) w=8.000. π rd/s
KHzHzf 40004
2
0008
2
==== .
.
..
. π
π
π
ω
smssT µ250250000250
0004
1
==== ,,
.
Θ0=-300
b)
c)
d)
300
e)
f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300
)=-7,5V
-7,5V

Defasagem
A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüência
é chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinais
como referencia
Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Δθ=θ1 – θ2=90-0=90

Δθ
v1 está 900
adiantado em relação a v2
Os sinais estão em QUADRATURA

v1(t)=10sen(w.t+900
) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+900
) (V) Δθ=90 – 90=0
Sinais estão em FASE

v1(t)=10sen(w.t) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180

Representação Através do Diagrama Fasorial
É uma outra forma de representar uma tensão senoidal.
Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um
determinado instante.
Vetor girante
Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante

10.sen(θ)
Diagrama Fasorial (DF)
O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com
frequencia angula w
Tensão senoidal representada no DF

V1 (t)=10.sen(w.t + 900
)
Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)

V2 (t)=10.sen(w.t - 90o
)

V1 está adiantada em relação a V2
Defasagem entre as duas tensões

Exercício Proposto
1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:
v1(t)=10.sen(w.t+600
) (V)
v2(t)=15.sen(w.t-300
) (V)
2) Qual defasagem entre as tensões?

Representação na Forma Complexa
Numero Complexo tem: Modulo e fase
Tensão Senoidal tem: Modulo e fase
Portanto..........................
Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ0)
Forma Complexa: v=VP
θ0
VP.cos θ0 + j VP.sen θ0
a b

Dadas as tensões
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Pede-se: a) v3= v1+V2 b) Representar V3 no diagrama fasorial
c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e carteziana
Exercício Proposto

Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal
Expressão Trigonométrica v(t)=12.sen(w.t+600
) (V)
Diagrama Fasorial
Numero Complexo
Forma de Onda
)V(39,10j6v +=

Circuitos Resistivos em CA
Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma
tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre
elas dada pela lei de ohm, isto é :
V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)
)t.(sen.I
R
)t.(sen.V
R
)t(v
)t(i 0P
0P
θ+ϖ=
θ+ϖ
==
R
V
I P
P =

Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:
Uma resistência pode ser representada por um numero complexo
Com parte imaginaria nula

Valor Eficaz (VRMS)
Definição matemática:
∫=
T
0
2
RMS dttv
T
1
V )(.
Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada
senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo
aquecimento
Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz
RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio

RMSEficaz
P
VV
2
V
V ===
Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?
A Tensão Alternada é senoidal

IVP .=
R
V
P
2
=
2
I.RP =
Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?

Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoide
para que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?
E no caso de uma tensão senoidal?
Vp
RMSRMS IVP .=
R
2V
P RMS
=
2
RMSIRP .=

Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor
de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?
V220
2
V310
2
V
V P
EF ===

Potencia em Circuito Resistivo em CA
A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente
instantânea:p(t)=v(t).i(t)
p(t)=v(t).i(t)
A potência dissipada no resistor
será igual ao valor médio da
potencia instantânea
No exemplo:
P=12V.3A=36W
P=VRMS.IRMS
Vp=17V e VRMS=12V
Ip= 4,25A IRMS=3A
p(t)=v(t).i(t)

Genericamente para qualquer circuito
φ= cos.I.VP RMSRMS
φ é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão
No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO
0
0=φ
10cos 0
=
RMSRMS IVP .=
VRMS=valor eficaz da tensão(V)
IRMS=valor eficaz da corrente(A)
P=potência (W)
P é a potencia util (real)

Dado as tensões:
v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 00 (V)
V3=20+j15(V)
1) Representar as três tensões no DF
2) Obter
2a) v4=v1+v3 2b) v5=v1+v2+v3
3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e
R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipada
em cada caso.
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