O documento discute o método das componentes simétricas para análise de sistemas elétricos de potência desbalanceados. Introduz os conceitos de sequência positiva, negativa e zero e como eles permitem representar valores desbalanceados de tensão e corrente por meio de três componentes simétricas balanceadas. Apresenta as equações para transformar valores de fase em componentes simétricas e vice-versa.

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3 Faltas Desbalanceadas
3.1 Introdução
Neste capítulo são estudados os curtos-circuitos do tipo monofásico, bifásico e bifase-terra.
Durante o estudo será utilizado o método das componentes simétricas. Assim, o problema poderá
ser resolvido por fase.
3.2 Fundamentos das componentes simétricas
As componentes simétricas permitem representar valores desbalanceados de tensão e
corrente em três componentes simétricas balanceadas. Considere a representação fasorial da
corrente mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Representação das componentes simétricas.
Os fasores giram no sentido horário. Assim, esses podem ser escritos como,
Eq. 3.1
sendo o operador de rotação a = 1∟120º
Eq. 3.2
fica claro que
Eq. 3.3
A ordem dos fasores é abc, sequencia de fase positiva. Quando a rodem for acb, tem-se a
sequencia de fase negativa (Figura 3.1(b)).
Os fasores de sequencia negativa podem ser representados por,
Eq. 3.4

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Dependendo do tipo de falta, um terceiro conjunto de fasores balanceados deve ser
considerado. Esse é chamado de sequencia zero, e as três fases estão em fase. Os fasores de
sequencia zero podem ser representados por,
Eq. 3.5
O método das componentes simétricas foi introduzido por Dr. C. L. Fortescue em 1918.
Baseando-se na sua teoria, fasores trifásicos desbalanceados de sistemas trifásicos podem ser
resolvidos por meio de três sistemas de fasores balanceados, denominados sequencia +, - e 0.
Considere as correntes trifásicas desbalanceadas Ia, Ib e Ic mostradas na Figura 3.2. As
componentes simétricas para tais correntes são encontradas a seguir.
Eq. 3.6
De acordo com a definição de componentes simétricas, a eq. 3.6 pode ser rescrita como,
Eq. 3.7
ou
Eq. 3.8
Figura 3.2 – Decomposição de um sistema desbalanceado em componentes simétricas.

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Na forma matricial, a eq. 3.8 fica,
Eq. 3.9
Onde A é conhecida como Matriz de Transformação
Eq. 3.10
Resolvendo a eq. 3.9 para encontrar as componentes simétricas,
Eq. 3.11
A inversa de A é,
Eq. 3.12
Por meio das eq. 3.10 e 3.12, conclui-se que,
Eq. 3.13
Substituindo a eq. 3.13 em 3.11,
Eq. 3.14
ou, na forma de componentes simétricas
Eq. 3.15
A eq.3.15 permite concluir que a componente de sequencia zero da corrente é igual a um
terço da soma das correntes de cada fase. Portanto, a sequencia zero não existe quando a soma das
três correntes de fase for zero (por ex. sistema trifásico ligado em Y não aterrado). Se o neutro do
sistema for aterrado, a corrente de sequencia zero flui entre o neutro e o terra. Expressões similares
existem para a tensão. Logo, tensões desbalanceados em termos de componentes simétricas são,
Eq. 3.16
na forma matricial,
Eq. 3.17
As componentes simétricas em termos das tensões desbalanceadas são,

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Eq. 3.18
Na forma matricial
Eq. 3.19
A potencia aparente complexa em termos das componentes simétricas é,
Eq. 3.20
Substituindo a eq. 3.9 e 3.17 em 3.20, tem-se
Eq. 3.21
Como AT = A, da eq. 3.13, ATA* = 3, e a potencia complexa fica
Eq. 3.22
A eq. 3.22 mostra que a potencia complexa total desbalanceada pode ser obtida a partir da
soma das potências complexas.
Nas deduções acima, I0
, I1
e I2
são referentes a fase a.
Exemplo 3.1
Obtenha as componentes simétricas para as correntes Ia = 1,6∟25º, Ib = 1,0∟180º, Ic =
0,9∟132º. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.2
Assim, ver CHP10EX1.M
Exemplo 3.2
As componentes simétricas da tensão são Va
0
= 0,6∟90º, Va
1
= 1,0∟30º, Va
2
= 0,8∟-30º.
Determine os fasores desbalanceados. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na
Figura 3.3.
Assim, ver CHP10EX2.M

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Figura 3.3 – Transformação de componentes simétricas em componentes de fasores.
3.3 Impedâncias de sequência
É a impedância de um equipamento que é percorrida por diferentes sequências. A
impedância que se estabelece para a corrente de sequência positiva é a Z1. Para a sequência
negativa é a Z2 e para a sequência 0 é a Z0.
3.3.1 Impedância de sequência para carga em Y
Uma carga trifásica balanceada com impedância própria e mútua é mostrada na Figura 3.4.
Figura 3.4 – Carga balanceada em Y.
As tensões fase-terra são,
Eq. 3.23
Da lei de Kirchhoff tem-se,
Eq. 3.24

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Substituindo a eq. 3.24 em 3.23 e reescrevendo a eq.3.23 na forma matricial, tem-se
Eq. 3.25
ou, na forma compacta
Eq. 3.26
onde
Eq. 3.27
Escrevendo Vabc e Iabc em termos de suas componentes simétricas, tem-se
Eq. 3.28
Multiplicando a eq. 10.28 por A-1, tem-se
Eq. 3.29
onde
Eq. 3.30
Substituindo Zabc (eq.3.27), A-1(eq. 3.10), A (eq. 3.12) tem-se
Eq. 3.31
Realizando a multiplicação, tem-se
Eq. 3.32
Se não houver acoplamento mútuo, Zm = 0, e a matriz de impedância fica
Eq. 3.33
A matriz de impedância tem elementos não zeros somente na diagonal principal. Portanto,
para cargas balanceadas, as três sequências são independentes. Isto é, as correntes relativas a cada
sequencia produzirão quedas de tensão somente na mesma sequência de fase. Esta é uma
propriedade importante, já que permite analisar cada rede de sequencia para uma única fase.

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3.3.2 Impedância de sequência de linhas de transmissão
Para dispositivos estáticos, tais como as LTs, as impedânicas Z1=Z2, pois as correntes e
tensões se deparam com a mesma geometria da LT. Os condutor de aterramento está no caminho da
sequência zero. Logo, Z0, que inclui o efeito do caminho de retorno pela terra, geralmete é diferente
de Z1 e Z2. Para ter idéia da ordem da Z0, considere a seguinte configuração. Considere uma LT
de 1m de comprimento com condutores equilateralmente espaçados, de acordo com a Figura 3.5.
Figura 3.5 – Corrente de sequência zero com retorno pela terra.
Pelos condutores fluem correntes de sequência zero (monofásica) que retornam pelo neutro
aterrado. A superfície da terra é aproximada a um condutor fictício equivalente localizado na
distância média Dn em relação a cada uma das fases. Como o condutor n transporta a corrente de
retorno em direção oposta, tem-se
Eq. 3.34
Como Ia0 = Ib0 = Ic0, tem-se
Eq. 3.35
O fluxo concatenado da fase a é
Eq. 3.36
Substituindo Ib0, Ic0 e In em termos de Ia0, tem-se
Eq. 3.37
Como L0 = λa0/Ia0, a indutância por fase em mH/km é

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Eq. 3.38
O primeiro termo é a indutância de seq. positiva. Logo, a reatância de seq. zero é
Eq. 3.39
onde
Eq. 3.40
A Z0 de uma LT é maior que 3x Z1.
3.3.3 Impedância de sequência de máquinas síncronas
X1 pode ser igual a X"d, X'd ou Xd, dependendo do caso estudado.
X2 é aproximadamente igual a X"d.
Eq. 3.41
X0 é aproximadamente igual a X de dispersão.
Eq. 3.42
3.3.4 Impedância de sequência de transformadores
As perdas no núcleo e a corrente de magnetização são da ordem de 1% do valor nominal.
Logo, o ramo de magnetização é desprezado. O transformador é modelado por meio do equivalente
série da impedância de dispersão. Como o transformador é um dispositivo estático, a impedância de
dispersão não muda se a sequência de fase mudar. Logo,
Eq. 3.43
Nos transformadores Y-∆ ou ∆-Y, a o lado de AT está adiantando em relação ao de BT em
30º, para a sequência positiva. Na sequência negativa o deslocamento angular é de -30º. A mostra
algumas configurações de transformadores e o circuito de sequência zero.

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Figura 3.6 – Circuito equivalente de sequência zero do transformador.
Exemplo 3.3
Uma tensão de fase de 100 V é aplicada a uma carga trifásica balanceada conectada em Y,
conforme mostra a Figura 3.7.

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Figura 3.7 – Circuito elétrico do exemplo 3.
Determine:
a) as correntes de linha usando análise de malhas, sem fazer uso das componentes simétricas
b) As correntes de linha por meio das componentes simétricas.
Aplicando a LTC, tem-se:
Pela LCK, tem-se:
As duas equações na forma matricial fica,
ou, na forma compacta,
resolvendo o sistema de equações, tem-se as correntes de linha
b) Pelo método das componentes simétricas
onde
da eq. 3.32,
Assim, ver CHP10EX3.M

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Exemplo 3.4
Uma fonte trifásica desbalanceada tem os seguintes valores de tensão de fase
Alimente a seguinte carga
Sendo Zs = 8 + j24 e Zm = j4, e sabendo que o neutro da fonte e carga são solidamente
aterrados, determine:
a) A matriz de impedância de sequencia Z012
b) As componentes de sequencia da tensão
c) As componentes de sequencia da corrente
d) As correntes de fase da carga
e) A potência complexa fornecida para a carga em termos de componentes simétricas
f) A potência complexa fornecida para a carga.
Ver CHP10EX4.M
3.4 Componentes de sequência de geradores
A Figura 3.8 representa um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. O gerador
está alimentando uma carga trifásica balanceada.
Figura 3.8 – Fonte trifásica balanceada.

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As tensões internas da máquina síncrona são,
Eq. 3.44
Aplicando a LTK em cada fase, tem-se:
Eq. 3.45
Substituindo In = Ia + Ib +Ic , e escrevendo a eq. 3.45 na forma matricial, tem-se:
Eq. 3.46
ou, na forma compacta
Eq. 3.47
Transformando para as componentes simétricas
Eq. 3.48
Multiplicando 4.48 por A-1
, tem-se
Eq. 3.49
onde
Eq. 3.50
Realizando as multiplicações, tem-se
Eq. 3.51
Como a emf gerada é balanceada, só existe tensão de sequência positiva
Eq. 3.52
Substituindo Ea
012
e Z012
em 3.49, tem-se
Eq. 3.53
reescrevendo a equação na forma de componente

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Eq. 3.54
Estas três equações podem ser representadas pelos três diagramas de sequência mostrados na Figura
3.9.
Figura 3.9 – Diagramas de sequência: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero.
Observações:
• as três sequencias são independentes.
• o diagrama de sequencia positiva é igual ao diagrama unifilar utilizado em estudos
balanceados.
• somente a sequência positiva tem fonte de tensão. Portanto, a corrente de seq. positiva
causa queda de tensão de sequência positiva.
• correntes de seq. negativa e zero causam quedas de tensão de seq. negativa e zero, somente.
• o neutro do sistema é referência para a seq. positiva e negativa, enquanto que o terra é
referência para a seq. zero.
• a impedância de aterramento é refletida na seq. zero em 3Zn.
• sistemas trifásicos podem ser resolvidos separadamente para uma única fase.
3.5 Curto-circuito fase-terra
A Figura 3.8 mostra um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn.
Figura 3.10 – Falta monofásica na fase a.
Suponha que a falta ocorre na fase por meio de uma Zf e o gerador está a vazio. As
condições de contorno no ponto de falta são:

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Eq. 3.55
Eq. 3.56
Substituindo Ib = Ic = 0, as componentes simétricas das correntes (eq. 3.14) são
Eq. 3.57
Da eq. acima tem-se
Eq. 3.58
A tensão na fase a em termos das componentes simétricas é
Eq. 3.59
Substituindo a eq.3.54 na eq. 3.59, tem-se:
Eq. 3.60
onde Z0 = Zs + 3Zn. Substituindo por Va da eq. 3.55, e sabendo que Ia = 3Ia0
, tem-se
Eq. 3.61
ou
Eq. 3.62
A corrente de falta é
Eq. 3.63
Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta
são obtidas.
As eq. 3.58 e 3.62 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência
em série, conforme a Figura 3.11.
Nas faltas monofásicas, as impedâncias equivalentes de Thévenin no ponto de falta são
obtidos para cada sequência.
Se o gerador for solidamente aterrado, Zn = 0 e se a falta for do tipo franca, Zf = 0.
Figura 3.11 – Falta monofásica na fase.

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3.6 Curto-circuito bifásico
A Figura 3.12 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito,
sendo a impedância de falta Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de
contorno no ponto de falta são:
Eq. 3.64
Eq. 3.65
Eq. 3.66
Figura 3.12 – Falta bifásica entre as fases b e c.
Substituindo Ia = 0, e Ib = - Ic na eq. 3.14, as componentes simétricas das correntes são
Eq. 3.67
Da eq. acima encontra-se
Eq. 3.68
Eq. 3.69
Eq. 3.70
Da eq. 3.69 e 3.60, tem-se
Eq. 3.71
Da Eq. 3.16, tem-se
Eq. 3.72
Substituindo por Va1 e Va2 da eq. 3.54 e sabendo que Ia2 = - Ia1, tem-se
Eq. 3.73
Substituindo Ib da eq. 3.69, tem-se

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Eq. 3.74
Como (a - a2
)(a2
- a) = 3, e resolvendo para Ia1 tem-se
Eq. 3.75
As correntes de fase são
Eq. 3.76
A corrente de falta é
Eq. 3.77
ou
Eq. 3.78
Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta
são obtidas.
As eq. 3.71 e 3.75 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência
em paralelo, conforme a Figura 3.11.
Se a falta for do tipo franca, Zf = 0.
Figura 3.13 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifásica.
3.7 Curto-circuito bifásico-terra
A Figura 3.14 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito,
sendo a impedância de falta a terra Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de
contorno no ponto de falta são:
Eq. 3.79
Eq. 3.80
Da eq. 3.16, as tensões de fase Vb e Vc são
Eq. 3.81

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Figura 3.14 – Falta bifase-terra entre as fases a e b.
Eq. 3.82
Como, no ponto de falta Vb = Vc, tem-se
Eq. 3.83
Em termos das componentes simétricas, a eq. 3.79 fica
Eq. 3.84
Substituindo 3.84 e 3.83 em 3.81, tem-se
Eq. 3.85
Substituindo as componentes simétricas da tensão (eq. 3.54) em 3.85 e resolvendo para Ia0,
tem-se
Eq. 3.86
Do mesmo modo, considerando a eq. 3.83, tem-se
Eq. 3.87
substituindo Ia0 e Ia2 em 3.80 e resolvendo para Ia1, tem-se

18. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 18
Eq. 3.88
As eq. 3.86 e 3.88 podem ser representadas pela conexão da seq. positiva em série com a
combinação em paralelo da seq. negativa e zero, conforme mostra a Figura 3.15. O valor de Ia1
encontrado na eq. 3.88 pode ser substituído nas eq. 3.86 e 3.87 de modo a encontrar o valor de Ia0 e
Ia2. As correntes nas fases pode ser encontradas por meio da eq. 3.8.
Finalmente, a corrente de falta é
Eq. 3.89
Figura 3.15 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifase-terra.