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1. TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES
10.º ANO DE ESCOLARIDADE
Cristina Simão

2. APRESENTAÇÃO
 Está prevista a utilização de 7 aulas (7 blocos de 90
minutos) para o ensino do Tema.
 Todas as aulas servirão para avaliar os alunos em
termos de comportamento, desempenho e aplicação de
conhecimentos.
 A avaliação dos conhecimentos será feita de uma forma
sumativa com o mini teste na aula 7.
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3. TÓPICOS
 Sistemas de votação maioritário: método da maioria
simples ou relativa, método da maioria absoluta;
 Sistemas de votação por ordem de preferência: método da
pluralidade, método de eliminação run-off simples, método
de eliminação run-off sequencial, método de borda e
método de Condorcet;
 Sistemas de votação por aprovação
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4. TÓPICOS
 Este tema é o módulo inicial previsto no programa
oficial de Matemática Aplicada às Ciências Sociais
elaborado pelo Ministério da Educação e Ciência. Os
conhecimentos que os alunos devem ter terão sido
adquiridos durante o 2.º e 3.º ciclo do ensino básico,
tais como, operações elementares da aritmética, o
cálculo de percentagens e a resolução de equações.
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5. TÓPICOS
 Este tema trata de um assunto frequentemente
abordado na comunicação social e o professor deve
fazer uso desse fato referindo exemplos concretos e
atuais, de modo a captar a atenção dos alunos.
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6. OBJETIVOS GERAIS PRESENTES NO
PROGRAMA OFICIAL DE MACS:
No âmbito deste tópico, os objetivos a atingir são:
 perceber que os resultados podem ser diferentes se os
métodos de contabilização dos mandatos forem diferentes;
 estudar algumas situações paradoxais;
 analisar algumas condições para ter um sistema adequado;
 perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.
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7. ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
 Uma vez que a avaliação da disciplina será, em princípio,
uma avaliação continua e que esta disciplina termina com
exame no 11.º ano, o qual incide sobre toda a matéria
lecionada no 10.º e 11.º ano de escolaridade, achei
importante incorporar algumas estratégias que acredito
serem uma mais-valia para os alunos:
 todas as aulas serão lecionadas com base no método
interrogativo, de forma a que os alunos participem e se
sintam motivados para a aprendizagem;
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8. ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
 todas as aulas, ou pelo menos na sua grande maioria, serão
iniciadas com questões aos alunos, no geral ou em
particular, sobre a matéria lecionada nas aulas anteriores;
 os exercícios devem, sempre que possível, pedir para
aplicar aos dados vários métodos de votação diferentes para
que os alunos não esqueçam os métodos lecionados
anteriormente e consigam interiorizar que diferentes
métodos geralmente produzem diferentes resultados;
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9. ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
 deve-se, sempre que possível, ditar os conteúdos para os
alunos, uma vez que estes estão na área de humanísticas;
 deve-se, sempre que possível, pedir aos alunos que
expliquem por palavras suas, oralmente ou na forma de
relatório escrito, as resoluções dos exercícios;
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10. ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
 todos os exercícios resolvidos, independentemente de
serem do manual adotado ou não, devem ser projetados de
forma a que todos os alunos tenham acesso, mesmo que se
tenham esquecido do manual.
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11. AULA 1
 Inserir uma atividade de discussão para discutir com os
alunos alguns métodos de votação que estes conheçam
para eleger um único candidato e tentar compreender a
opinião dos alunos sobre o método que acreditam ser
mais justo.
 Introduzir os três sistemas de votação que serão
lecionados ao longo deste tema.
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12. AULA 1
 Iniciar o estudo do sistema de votação maioritário através
da introdução de exemplo da eleição do delegado de turma
e interrogar os alunos sobre se este método é ou não um
sistema de votação de maioria simples ou absoluta.
Questionar os alunos sobre o sistema de votação utilizado
atualmente para eleição do Presidente da República.
 Exemplo sobre a eleição para Presidente da República de
1986.
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13. AULA 1
 Atividade: Na eleição para presidente da Recreativa de
Olhão, concorriam duas listas, a lista A e a lista B.
Entretanto a lista B, devido a divergências entre os seus
membros decidiu dividir-se em duas novas listas, a lista B e
a lista C. Desta forma, à eleição concorreram 3 listas. Os
resultados das eleições foram:
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14. AULA 1
 Após a contagem de resultados a lista B decidiu unir-se
com a lista C e voltar a constituir uma única lista,
reclamando para si 55% dos votos e a presidência da
Recreativa. A lista A, por sua vez, argumenta que foi a
justa vencedora das eleições com 45% dos votos e que
por isso a Presidência é sua.
 Consultado o regulamento das eleições, este revelou-se
omisso quanto a cisões, coligações e prazos de
reclamação.
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15. AULA 1
 Quem achas que deverá ser o vencedor? Na tua
opinião como deverá ser resolvida esta eleição?
Fundamenta com o teu colega do lado a tua opinião e
elabora uma pequena composição sobre o assunto em
conjunto.
Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.
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16. AULA 1
 Apresentação dos três sistemas de votação
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17. AULA 1
 Sistema maioritário:
o candidato mais votado ganha tudo e os outros
candidatos não ganham nada.
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18. AULA 1
 Exemplo: Eleições para Presidência da República de
1986.
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19. AULA 2
 Resolução de exercícios.
 Introduzir o sistema preferencial, começando pelas
formas de representação dos votos e terminando com
o método da pluralidade, que será introduzido através
da resolução de um exercício em conjunto com os
alunos.
 Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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20. AULA 2
 Sistema preferencial:
Neste sistema cada eleitor vota em todos os
candidatos de acordo com as suas preferências.
No final resulta um e um só vencedor.
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21. AULA 2
 Método da Pluralidade:
 Exemplo: Os 33 alunos das turmas do 10.º ano,
vão organizar uma visita de estudo mas, não
conseguem chegar a acordo quanto ao local a
escolher, entre o Visionarium, o Pavilhão do
Conhecimento e o Museu Serralves.
 Resolvem fazer uma votação na qual, pediram aos
votantes para colocar à frente dos locais o número
da sua preferência. Os resultados obtidos estão
representados na tabela seguinte:
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22. AULA 2
 Método da Pluralidade:
Visionarium – VI; Pavilhão do Conhecimento – C; Museu Serralves - S
 Determine quantos votos na 1.ª preferência teve cada um
dos locais a visitar. Conclua pelo método da pluralidade a
que local foi a visita de estudo. 21

23. AULA 2
(Ditar aos alunos)
No método da pluralidade, vence o candidato com
maior número de primeiras preferências, ou seja, aquele
que tem maioria simples na contagem das primeiras
preferências.
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24. AULA 3
 Introduzir o método de eliminação run-off simples
com um exemplo e utilizando o Excel.
 Em seguida, e utilizando o mesmo exemplo e o Excel,
introduzir o método de eliminação run-off sequencial.
 Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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25. AULA 3
 Método de eliminação run-off simples: são eliminados
todos os candidatos à exceção dos 2 que reúnem maior
número de primeiras preferências, caso não existe vencedor
com maiorira absoluta na primeira contagem.
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26. AULA 3
 Método de eliminação run-off sequencial:
inicialmente são eliminados todos os candidatos que
não obtenham nenhuma primeira preferência. Em
seguida, é eliminado o candidato que obtiver menor
número de primeiras preferências (ou candidatos em
caso de empate) e reorganiza-se o esquema das
preferências; repete-se o processo até restarem
apenas 2 candidatos e vence o que obtiver maior
número de primeiras preferências.
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27. AULA 3
 Método de eliminação run-off sequencial:
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28. AULA 4
 Explicar o método de Borda.
 Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
 Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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29. AULA 4
 Exemplos de questões:
 Expliquem o método de maioria absoluta.
 Quando é que o sistema de maioria pode ser
considerado o método da pluralidade?
 No que consiste o método de eliminação run-off
simples? E sequencial?
 É possível ter exemplos de esquemas de preferências
onde o método da pluralidade, o método de eliminação
run-off simples e o método de eliminação run-off
sequencial devolvam resultados diferentes? 28

30. AULA 4
 Método de Borda: o eleitor após ordenar as suas
preferências, atribui 1 ponto à última preferência, 2
pontos à penúltima preferência e assim sucessivamente,
até à primeira preferência.
 O vencedor é o candidato que contabilizar o maior número
de pontos, pela contagem e Borda.
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31. AULA 4
 Método de Borda:
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32. AULA 5
 Explicar o método de Condorcet e ditar a definição
para os alunos escreverem no caderno.
 Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
 Explicar o paradoxo de Condorcet através da
resolução de um exercício.
 Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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33. AULA 5
 Método de Condorcet (ou método de
comparação par a par): neste método é feita uma
“eleição” entre cada par de candidatos (confrontos
diretos): se um candidato vence todos os outros em
confronto direto, então deverá ser o vencedor.
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34. AULA 5
 Método de Condorcet:
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35. AULA 5
A utilização deste método pode dar origem a um
paradoxo – o paradoxo de Condorcet, não sendo
possível determinar o vencedor.
Por exemplo, com 3 candidatos A, B e C:
A ganha a B, B ganha a C e C ganha a A.
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36. AULA 6
 Explicar o sistema de aprovação e as suas vantagens
e ditar para os alunos escreverem no caderno.
 Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
 Resolver exercícios sobre o sistema de aprovação.
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37. AULA 6
Sistema de Aprovação:
 Neste processo os votantes podem votar em tantos
candidatos quantos quiserem. Cada candidato
escolhido recebe um voto e o candidato com mais
votos ganha.
 Ex: eleição do Secretário-Geral das Nações Unidas.
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38. AULA 6
Exemplo: Os netos da avó Carminha decidem fazer-lhe um jantar de
homenagem num restaurante com toda a família. Para esse efeito
encontraram apenas 4 restaurantes suficientemente grandes: O
Garfo, A Faca, A Colher e O Talher. Decidiram votar entre si pelos
restaurantes preferidos, os resultados foram:
 quatro escolheram: A Faca e A Colher;
 seis escolheram: O Garfo, O Talher e A Colher;
 três escolheram: O Talher e A Faca;
 cinco escolheram: A Colher, A Faca e O Garfo.
Qual será o restaurante onde se irá realizar o jantar de homenagem?
Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.37

39. AULA 6
Resolução:
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40. AULA 7
 Iniciar a aula com questões sobre todos os sistemas
lecionados.
 Resolver exercícios sobre todos os sistemas.
 Mini teste.
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