Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição

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Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição

  1. 1. l I ' ' 2h41] [JJBBTÍÚ *íííutwkkíüulmür L/ Fc (, r 1.0/ H 346 ~~ “tlí/ J: nrirüca '4 " "' 7-"Í1.1C<LLCc7 LCLLÉ L if* W1C I , n h __ m (tüãük CÁLCULO Com Geometria Analítica Volume 1 zé Edição Earl W. SWOKOWSKI Marquene Unlverslty ! redução Alfredo Alva de Fnnlns Fmlcssnr ¡djnnm (apostando) rlz UFMG Cum n rolabumyãa dm pin/ num¡ Ver¡ Regina L. F. Flores e Marcia Qninliu Menna d: UFMG Rnudu lrouu¡ Antonio PEKTENCE Júnior lünlrswv e hrgcnhcllo 1m¡ ia: Mc mbru elelivo d¡ sociedad: llrasilnznn d: Malcmilin làczncmllu em Mncmátuca MAKRON Hook¡ du Brun¡ FAIIon Luh Ruahlnnpuà_ l NS. hum¡ Hlhl FEPNSTJVIIM - São Paul» (Dl l) HIV-RN» c 40| l) 320m0! ur- EhTRtLz-ÃPJ” Rm 4.- [naum - Lnlma - Haguhl - Humax/ him - (iunmmla - Mndrid' Mhvm - Nrw rm - ¡›. ... ... ,.. . - m. Ju. .. 'Sunhugo Aurldand ' Thmlw¡ ' Knnln Lumpur ' Lmúun h Mllnn ' Mnnlreul ' New Ddh¡ ' I'm'. - Sun' ; para ~ ! yynllzvv - m”. - TMnnln
  2. 2. Do onglnzl cnmm e »um &lilim Cqxywqçhl o 1991, »y pwsxuu. um¡ divisão a¡ Wndswnn n. Inc Fomughl c: um. u. uma. . Book¡ do num mam um. (Ipynglvl o 1951. da Edison McGnwJhlI do uma. ua¡ link» m Juventus pm n língua portuguesa : servidas pa. Mzhon soou da uma mim. um Nmhuml pane um publicado ynderi m ymumnu. , guanlldm prlu ísmm andem" m¡ Iransmnlm¡ me qualquer muda ou por qualquer vulto uma, :q: nl: eklmnlru. Imçáulav. a. lumcfnpu, u: gnvaçãu. ou aum». sem prévia numrízaçáo. por naum. da Educa. : :uma MlUDN num m5 ASSUMPÇÀO FILHO Geral( ramal. Dluy Par' Daniel Produtor¡ uma¡ mama Franca minuto Pinda/ w Urnñm. 1m( Rudnguu eu, ... 140ml. Jun! Robalo mma¡ muy-ça. . Lia/ nina e Intn/ llnx: uu lxllnvlullnu um. Dido! lnlcmaclonlln dl Cnllogaçâo n¡ Fubllcaçño (CIP) (Càmaru Brasllalrn do LNro. SF. Brasil) Swokuuaki, nn wnum. 1926- cucmo co¡ gaomux. manu: - l zu¡ u. Suolwvsxi a trnduçio Alfredo Alva: da run, co¡ a colnboração dos pxofouuoxel Var¡ n-qsm LP. nan¡ a Marcio ouinuo «anna 7 nuno ucnlc. Antonio -- 2. ed. -- sào Paulo r Makron Pertence Júnior . Books , 1 994 . Publicado vol. l. 1. Cálculo 2. Geometria nnnliticn 1. Titulo. 944109 _~ . _ can-su. ” 'Í 5 looks¡ piu : Auílogoinunmáuco: ' 'J' r ' W , . 1. cucula e qaoQeLzL' nngnpca' ; usas , m1 m. ; z l v. u. : ELE EVFIE l¡ . e ENTREGANDO-GS a GR ã _ M DIA BIBLIOTE LT AS EVWE l* ENTREGAND CA no DME/ UFCG ZELE os maos o-os em DlA A mrmmm . Iv mínlm mm' . - mm w' 3,44m¡ um”. x. ... l.. .. . l.
  3. 3. ---eo jllnü. . '›'| A'. ›rLIVCL› ? ONDA ÍalÚol-ccmçtz/ FÓRMULAS n: DERIVADAS 1 o_ z -o 2 D, (u4v)-D_u+D, v 3D¡(w)-ID¡vvvD_U - D . D'(! :)-I¡D, l ll lv w 5 D. I(: h))-I'(: lX)): '(xl sp, u--›u~~lo, u 1 D, a-eD, - nng-a-nnugu QDJnIII-EDH¡ no o_¡n¡_p. ¡.¡_¡: _-_o_. ll Ogum-naum” n lhmau--knlqn IJQUv-wêlblu u D_colI--m"uD, u IS D, ncI-¡ecnuul1_u ¡ergueu-acumuq. . 17 p_ seu" n: 1 N31"" llD¡<Ix"n-¡¡$= =¡D_~ lvngglu--Hlftz-_u x zonmr-u-mñfog FÓRMULAS DE ¡ursonms lfudv-uv-fvdu zIraun-: ír-uc. na-l Jfãdu-IMHOC CIPM-fall ! nffiu-l-nl-. foC ¡Isenuh--axnotf tratam-lento! ) ¡Inêuú-quoc 9Icr7ulu-wmu0C ! Ojucnlgulu-socuçc' llJcs-: uwudu--acuoc lljuuJu--lnlcolulof lJfcoludu-ltllaenuhc MInecuín-Inhncuvlguhç lâfacndunlnknu-ooluloC ¡sjEñm-un-Ifçc l l _g . l7Ia¡“. ;dn-; l¡'. ›(.
  4. 4. Aura A. nu' ¡Ínñntnl C. vohnm V. hn n: um¡ mpcdit vc curva s; .Ilmn n. um r, TRIÂNGULO RETÀNGIIID _4L b 114mm¡ de Pnlígons. 8 - u* › b! TRIÂNGULO r". u n ; JL o A-; M Punho: 'TRIÂNGULO EQUIlÁTERO s" j; ' / Í . um A-lw C-Jlhlw PAJLALELOGIKAMD / . 'h Ln_% . ' - bh FÓRMULAS DA gegmnnm 'TRAPIELÓIDE v' Li , x b l A . 1 (u . m». cincuLo , . 1 k ' A - m' z' - 2x7 mn cuzcuuuz 3. 'x , A-grlu : na COROA CI RCULAK A_n[R: rF) . M . ... ... .._- - V-gm* Swim¡ CIIJNDRO CIRCUIAR RETO V a m7): S u lvl¡ ("ONE CIRCIJIAR Ill-TW) _.44 V-: vrh S -NWYF TRUNCO DE ("UNE . u r. à¡ '. ¡¡, . vqmnunuvw riusMA 1›-¡ v ih ' b# A1 v . an, kcvuln I! :u : m d: : ! Inc q. ¡ . q. mnsuew”
  5. 5. F GEOMETRIA ANALÍTICA . u. .. ›. ..- . nuurms romumouAnn/ sncn FónMvun/ «nlsrkucu y v __-_-, "__(›_-¡”_ sgu-mumusnemhhxoz-ouo mpl, p,; ..i(r“'y¡. ,_'rm, ~jry_ / ¡ . . . , "$734 ' y (fu «u» 7,, _ , MPM 4/ ›. - . _ , ,, «a wcmmxos ' _/ r , Í / I› 7h y-hax ¡iyufiml-x IoLl-O P, («, .¡_) l 'o __¡ . __ ' _____ IORMACOEFICIENTE 4 _ -¡ñ_--_¡; hsm-hs. " °M ! - , ANGUIAR-INTERCEFN) 1' r ¡ 'vaidosa-lou ¡°l¡'h3m¡ EQU/ tcáonsumclncuw ""'“" " 'a- mtnu_ “Hub” . (x-hPwu-kf-r¡ x um¡ Anxtll. |l'l'()(d›ll) TEOREMA BINOMIAL › y m. ; . . d<x<d N n _x ~ r ¡ . ¡.. ¡.¡¡›¡ (qlrsigxulnhdcdnuilngulo) __. (;'), «-›yu. ..›y~. (Ma) ¡, , 4.4"¡ '~ * - _g GRÁHCOIIEUhMFUNÇÃOQUADRÁTICA "' “"^"^""^"F^“ """(: )' coEnmmn/ mcuuannz um : uz-n Pau” y 'www "o y. . r. ›¡_rnn. 'uxvu›r Y r , ,.. L'>_" r. vumuuvr›b›r x, ›¡. t_ . .Umnlñutlr ›br lu . -thrnlznx zh: FORMA PONTUCOILFICIENTE ANGULAR Jr -›', -mu -x, )
  6. 6. wcmmmmumuwwaz_ c": O TRIGONOM. E'I'RIA ¡qwgu 'TRICDNOMÉTRICAS (mma »y-mucmv run n un ; - : w NLIJIDSAGUDUS ' “H v . ,_! ¡., ... )__1L_s , sumÁnuo scMu - m-scnunnv : museum cm(ld~v)-ursltcmvóscnusrnx- ›rn2u.2§enucu¡u . “m MM; “CB-b mSZM-(IhÍuAgtnM-! Alunlualcoslurl ¡ '~ . «Ú case. ? secnJ y b' " _ 'Mwr &th; @JW-ã ÍÍ ' Volume! I›I~ NI Nl-'ROS REAIS F LÊ _fm 'L upmun 1 Rnvisio pré-cálculo »a '''x r ¡ 'M' mu 'umsu seu 1 - y w; 1 - - _ , _ V , 1 - en: 'lu . 1 4 u: 1,. . Capílulo 2 Limiks de funções (t. Iv) 1 sm u . 2 cm' u - 7 , , m: 1 - x se( 1 - x . g , x (EP7 l, . su¡ u cm v - 1 p. .. a . v) . sen (u . n¡ üpílulo a A Dcrivnd¡ w 1 : g r . xr co( I - y › / muunns M ' m¡ " ' à l"" t" ' m ' m' 1" " V" Cipílulo 4 Aplicações da derivada ; í cusurosv -Çpusçuuqocuqu-v); ¡Iuwulllns nsvacws m_ u m' V u E [mm _ Ú _ mm ç v” apud” 5 , nunk . / ' ; :- v_ , VALORES ¡ssvucms naum 'oss _ - › - w w l _rmmmhmrmus E › upmno a Aphcnçñcs a. mlegnl deñmdz t f. n" a ” B “ 'i ' Clpilulu 7 Funçoes Iognrhmiczs c cxponzncunl . ,' f' J. ' . .'. ';. ... à'. iaamecgo colünreruô _ , ;JV T. , , , __ _, w. Llpululo a Funçuka lyigonumtlrícas iuvclsqs c hipexbólicn Im N | num¡ -nuconomtrmcas 0- 0 u 1 0 1 _ ~ › . :- , I , , , sm 3a- ; g 1 1;' _vg_ v¡ g 2 j Clpílulu 9 Técníczs de íulcgrldn 4_ -rul mw 6 1 7 3 3 _ . __ A ¡ m¡ I _ m¡ 45- n v! V: 1 n lí -JI Capnulu w Formas indclcmvinadas e inltgmis ¡mpvóprins . 5-' . ..u sm¡ . a z z _ . . , , ' ~_ m' n »II 1 «x JS z . 'í , ' 'i ' 3 2 2 1 x _ P' sen( o- m. : ' . m- L, , O 0 ¡ | _ x. ..~ . : add-mu 7 ' _ _ __. ¡. ... vy. .-. ': lg(~ü= rtg[ ' num-n)«unuuvsvtuwusnnv _› (í u ' *-à--~74~ ~ r . u, › ' l T
  7. 7. uv n . u. ufn um¡ : :naum-g Anglftm1 Vohnm- ll 4 . pnulu II 4 . ..mau n: . ..num u . nun-h. u. . ..uma I/ . ..uma m Nurx nuníinins Inpwus d: gcormllíl : numa 4 'luvas planas c manual-s pohlel Vrmrcs c superfícies Iwmçñcs cum vnlom velnrink lhlcrcnálcâo pardal Inwgnis múltipla ( 'álcultu vclorial líqunçñcs dífcvencilís r v Cnynulol- Alkrindn . Clpílnlol -RHhioprt-nílmln 1.¡ Álgebra . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 2 12 : uma . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 17 1.3 Tñpnwlclri¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Cnpltu| o1-lhlludemnçõ«. ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 49 1.¡ lmnduçionocncxoeikxdelíunílc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . . . . . SO _ 2.2 Dcliniçiodclimiln, ... 2.3 Técnica par¡ a determinação de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4 limita qu: envolvem ínñnilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5 Flnçõcscoalínun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9B 2.6 Exercbiocdctcvüio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. H0 . .. . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. IIJ 3.1 ! Inu bastate¡ e mu. ; da variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . .. H4 3.2 Definição de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.3 Técnica: de dilerzncilçio . . . . . . . . . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1M . Iv
  8. 8. ari/ Femina. . Çu-rlri-AIIOÍÍUN 3.4 Derivndu de funções Irígonomerricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.5 Incremenlos e diferenciais . . . . . . , . . . . . . . , . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . , . . . lhl 3.6 A regra d¡ cldeil ¡74 3.7 Difercndnçio irnpllcill . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 135 3.8 Tnxu reluciomdns . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . , . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.9 Exercicios de revisao . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . 7 . 207 Capítulo 4 - Aplicnções da derludl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.¡ Fzlrernm da¡ funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 O ltomnl rlu valor medio . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.3 0 rule d¡ derivada primeira . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 a I 4.4 (Jonuvidndc e o ! este da derivnd¡ ugunda . . . . . . . . . . 7 , . . . . . . . . . . . . , . . . . . . 243 4.5 Resumo dos mélodos griñcm . . . . . . . . . . . 254 ? (4.6 Problem: : de otimizado . . zu 4.7 Movimiento rclilineo e oulns lplicoçñes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27') 4.8 Mérodo d: Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 4.9 FArnddU¡ de revisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 C¡pílnlo5-ln| egní: ... ... .. . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 303 - 5.1 Anliderivodn e ¡nlegnçlo iodcñrrid¡ . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 304 É' 5.2 Mudança de VIIÍÍVCÍS em integrais indefinida . ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 317 5.3 Natação de sormçio e área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . . . . . , . . 326 5.4 A ¡nlegnl úeñnid¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 339 5.5.5 Propriedade¡ d¡ Ínlegrll definida . . A . . . . . 35o 7s. s o Ieorzrnl hmdnnvenll! do cálculo . 3m 5.7 lnleylçío numér' 375 Sl Batidos d: revisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 ; ç Clpllulo s - Apll m / .r Am . ass à 6.2 Sólida: de revolução . . . . . . j 400 6.3 Volumes por until cilíndrico¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 3*** jr( Volumes por seções mnsversu . . . g6 Cnrnprirnenlo a: um e wpertkies de revolução . ... ... ... ... ... ... ... .. . . 424 0.6 Tnhalho . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. _ . 435 É 6.7 Momentos e cenrros de musa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . 445 l 678 Oulns aplicnçñcs . . . . . . . . . , 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 6.9 Exercicios de revisto . ... ... ... ... ... ... ... . . Ç . ... ... ... ... ... ... ... . . 47¡ Capitulo7-Função: esponendniselopñrmlar. ... ... .. . ... ... . 413 1 7.1 Noções Invcrm . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 474 i X' 7.2 A função Iupunmia Iururnl . ... . . 4.33 x 7.: A Íunçin exponencial Iurunl . . . 496 x 7.4 ruugnçau . x75 Funções exponenclus e rogmimiu gerais . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . sua 4 7.6 lei¡ de crcuzimenlo e deainrenlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S27 7.7 Exercícios a: rev/ mio . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . __ 535 › ' Capitulo I - maços Irigorrométñru inversa c hípcrbóllcu . . . . . . ía. ) xa: ru 3.4 3.5 X9J . .. ... ... . . . . . . . . 5.19 Funções lrigpnomélríca¡ ¡nvems . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 540 Der-lvan: e irrIey-aís . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 54o Nações hiperbdlicn! . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . 55/ Funções hiperbólía¡ inversa¡ . 5,, ¡ Exercício¡ u: revisão . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . s u pilulo9~Tétnlurrleinlegnçio. . . . . . . . . . . . . .. ... ... ... .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . 57!¡ lnrcgmjo por puras . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . m lnlegnis n-lgpnmnérricns . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . , , . . , , un Subslimkõulrignnonmñcn . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . w¡ Inlegxlís dr: funções ruíoruil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . . , w¡ Integrais que envolvem expresrón qundrlrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mn sur-summer diverti: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . _ mu¡ 7 de inlcp-¡is . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . n¡ I Exercícios de revklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rua rllllllllnlnnlnnnnuun u 1
  9. 9. r r rn nur. . . ..u «mamar» Anullrrrn r . uma. ru run". .. lnrlrlernrlnndn e lou-gula imprimiu ~- m r m num. .. ¡rnh-lrrlniníldls dr: 0/0 e de @IG . - 62° In¡ nun. . Iurnur'. Irrnltltrnlinldls. ' ' ' " s” m u 1.. .. . ... .. lrrrrilrrs . u inlngnçlo irrñrrilol . ... ... ... ... ... ... ... ... .. u 636 m l Inn grandes dcntorrlíouos . . . . . « . . - . › « - - ~ « - ~ - - ~ - - ' ° ' ' ' - ' - ' ' ' 6” m x r u n Im ¡Ic rcvrsínr . . . . . . r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 M. ... .r¡. . . ... .. . ... . . ... ... ... ... ... ... ... 653 n rmrnçn. . um mu: : . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . - - « « ~ -› 553 u lrnrrlrrux . um Iirrrilcs. derivmhs e ¡nugnis . ... ... ... ... ... ... ... ... .. ›- 653 III lrrlu'l. r› l' Inn-um . lr Irrlrgrlls . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . 678 Ílvbpullrn : Inu rxr-rdrlrra rlr número ímpar . ... ... ... ... ... ... . . . . . . .. ... . . . . . . . . . 685 Írrollnr/ rrullllnl . ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... ... . ... . . . 739 à 'i PREFÁCIO L. .. l A revisto d¡ adição original desk: livra foi empreendida com ue¡ objetivos em meme. 0 primeiro é warm o livro mui¡ voltado par¡ o enrrdanlc. Implinndo dbcuuões e proporcionando maior número de exemplo¡ e lluslnçócs pm melhor esclarecer os conceito¡ Par¡ auxiliar : Inda mai: o leitor. foram ncrescerrurhs, em muilas : ações rio luto, sugcslbcs par¡ a resoluçlu dr: prohlcmu. 0 segundo objetivo é crrhliur l Irlilisbdc du dlcrrlo por meio de lpliclçõcs nlualiudas de derivadas e inlegrli». 0 lux-aim objetivo - Iomnt o livro un livre de erros quanln youlvcl - foi n rnçado por meio d: um : um: cuidadoso do Icxlo explícalivu, nlíadonomn verifrcnçio minuciosa de cad- exemplo c exercício. r MODlFlCAÇÕES PARA ESTA EDIÇÃO Sugestões diversas, oferecidas por proleswres e rcvismu, rcsrrl- hum ru : mesinha: de reescrever e rcorguniznr r obra. lndi» amos 1 uguír n¡ principais rrwdiñcaçõcsÍ VOLUME I CAPÍTULO r o número de ¡cçôu de revisão fo¡ reduzido de sei¡ pm ves. a demonsrnçõe¡ de mudados do pré-cálculo foram mlrslíluldn por uemplos nbr: desigualdades. equações e grlñcoa. cAplruLo 2 n¡ mnior énÍIsz na signílicaçio gráñc¡ dus limites» Uvílinmvs: um¡ ¡plíuçlo lísir¡ e ¡lirmnçõcs não muito rigorosas par¡ roolivur I dcfíniçio (-0. N¡ Scção 2.1 são : Modulos os limites que envolvam inñrriro (n). III-t ; ou lazilnnolnbnllndrllr-c. o livro mígõvnl foi dívídldomr do¡ mlomn o pvirruun voltou: contém n: :apllulm r n m e vagando. u u 19. um¡ mu». musa. Aylrrdicn c Lan Anlílioo . vLr
  10. 10. xx (Alado mu¡ amo-m Amlüru CAPÍTULO : t As interpretações da derivada oonio ooori ciente ¡ngnlinr dit tangente e como taxi¡ de vnrinçin de um¡ função roiain mrrddertldu simultaneamente, o nlu oni uçnes sepandas. Na Seção 3.2 foram ¡nrrodmidns n rcgn d: putlnci¡ para números nczunais e o conmilo de derivada dc ordem superior. Deu-se main: ênfase ao uso de diferenciais como Iproximnções lineares dc valores de funções CAPÍTULO 4 A dcliníção u: concavidarlc ro¡ modilicadn de moon a lumll mlis ! lui estabelecer a relação entre a ainiii de lml derivad: e a tonna dc um gráfico, Urna nov¡ scçio. intitulada Remmn rim Mila/ o: Gui/ Trax, inclui inna list¡ de passas, m¡ estágios. pm esboçar o grana» de uma riioçrio. CAPÍTULO 5 Antídetivadas e integrais ioirorinians são estuthdas ms duns primeiras seções, rm lugar de ern capítulos diferentes. Há quinze »mas exemplos relativos n integrais defmidn. cAPlruLo a com : ooo-i M exemplos sobre apllcaçñcs de imegnis deñniths Ínnm xeleitos, de modo a substituir Ii lles fomnis de normas por um «rótulo mais intuitivo utilizando diferenciais. Diorsc sugestões sobre estratégia para determina- çta de aim c volumes. CAPITULO 1 A demnnslraçit) d¡ ionnni. oa dctivld¡ de um¡ Inacio inves¡ é dada n¡ primeira seçàu e não na última. As ¡nregmis d¡ tangente, da eo-tnngcnte, da manu: e da museum: são estudadas n¡ Seção 1.4 (e não ou capítulo a). CAPÍTULO a Os tópicos considerados aounngamae as lrmçocs trígonométricas e lripcmólrcz¡ invcrsas. CAPÍTULO s Forum mclhnrndas n explicações e as su- gestões referentes aos metodos de intcgnçáu. CAPÍTULO 1o Par¡ lacililar a nrnencia, as Llcñniçõcs e nmaçaks pur¡ formas imterennin-. idzis ola iamesentaúzis em tzlreltrs. O estuda da lóamul¡ de Tayler Íni Innsíizrídn par¡ o Capímlo ll, VOLUME ll CAPÍTULO H Deuose maior ênhsc às diferenças enlrc seqüências. sem: : parciais, sorriu de séries infinita¡ e ao fato de que os times o: convcrgtncin ndo deierminnni a ¡om! dc um¡ xlne. Fo¡ wmplclumcrrlc mtlrganiladb o malcríll sobre a ; apresentaçao de lunçóes po( séries de potência e séries de Tnylut. ~. . "›IW›¡›Iv-v _ V V __ 7 Pre/ nem xx¡ CAPÍTULO 12 incluem-se aplicações adicionais do cillcu. lo envolvendo seçúes túnica, de modo que o estuda nie sc limite simplesmente a um¡ revisão de tópicos de pré-cálculo. CAPÍTULO ra Fui zcrestenladn e incorporada a exem- plos e : xerclcíos u comeiln o. orrenmçán de inna curvn. cAPrruLo 14 raia íacllitnr a visuaiiuçio c o esboço de superfícies, muitos elcntplm iluslram o Iraçn un super( ' em ud¡ plnno aronlenado. o : :tudu dns coordenadas cilíndrica: c esfétlcu puxa para o Clpiltlln l7. CAPÍTULO 15 A mtrnduçãn às lunçñes com vaioiaa vc~ toriais foi : :estrita e integrada à noçítu de curv¡ no espaço. Denise ptocmlnénci¡ à utilinçñu do comprimento do Ircto como parlmetm. CAPÍTULO rs Dezesseis novas ñguns contribuem para dnr mzinr ênfase aos griñcus e à interpretação geomttrica das funções dc diversas variáveis. N. : Seção [64 explicar-s: o método dc Newton plr¡ inn aisxunn de duas equações naoiinoaaas. Amplíuu-se o estudo sobre os multiplicadores de Ligrangc. CAPÍTULO 11 , a dcñniçiu de integral anota e . nando, de dlcnlo estão cnglcbados em um¡ seção. em lugar de dim O estudo d: integral tríplice em cmrdcnndas cilíndrica e esféricas é feito em duas seções separadas. CAPÍTULOIB tu uniu exposiçlo mais delnlhntla dos campos vetoriais construtivos c di¡ técnica de determinação de onia riinçzo potencial a partir do gradiente, Em oois novux exemplos ¡plicanvsc o teorema de Siukes e o conceito d: circulação A análise do: ventos no interior de um tomado. CAPÍTULO 19 A iiiiiinn scçfm e dedicada as snluçócs . i.- equações diferenciais por mein de séries. ll CARACTERÍSTICAS DO TEXTO APLICAÇÕES A edição original mrttinh¡ exemplo¡ . i.- lpllc ão ¡bnngendu áreas como engenharia, física_ qnniin . i. biolngu, economia. lisiolngin_ smiologil. psitologin_ ecologia_ oceanognlia, mclrurulugiit, Indiulerupia. astmnáulicl c "lilhptll te. Est¡ lista, j¡ pm sí baslant: exienu, foi acrescido : lr exemplos e exercidas que ¡Mlutm ¡plicnçdes modo-nim. .In cálculo w plnnejltmnlu ilc Compiladores, análise de glüth : Ir temperatura e medida d: espessura da camada¡ de urânio, eli-iria 101 x; 'l 'o' ç¡ 'f 'z' 'f YXY c¡ (4 (a (4 (a , - , - . .a . - f_
  11. 11. uu a . n. ai. . . .a-i lonuwrrrir antiga¡ -- estufa, drcullçln do¡ ventos dentro de um tornado. energia liberada pelos Ierremntos, densidade d¡ atmosfera, movimento dos lanço¡ de um robô c efeitos do na ndon sobre a saúde¡ EXEMPLOS Exemplos bem estruturados apresentam so- luções de problemas análogo: aott que cutwiiuem as ! mas de exercicios. Muito¡ exemplo¡ contem grilicos, quadroaorr tabelas que auxiliar¡ n eattiünlc l omnprncltder os preocupo e ns uoluçóes. H¡ também ílurrmçde: legcndadao. que oonslittrcm breves demamlnçúel do um de deftnlçoes. leis ou teorema. Sempre que vilvel, incluem-ae aplicaçoes que indian¡ a utili- dade de um tópico. EXERCÍCIOS A: listas de exercicio¡ começam com pro bkmas de rotim e progriderri gradativnnrenle até exercicios mais complexa. Muitos exercicios contendo gráficos lotam acrescen- udns a esta ndipo. 0a problemas apliudirs gcnlmente vam no lim das listas, para permitir no eslrrdmte ganhar confiança em tnanipulnçñcs e idéina novas ante: de tentar guarde¡ que exijam nnilise de situações mítica. Urna anderiatiu desta ediçiri é a incluirão de mais de 300 exercicios marcador com o simbolo E , darírtadua especiftoarnenle para serem resolvidos com o Iuxllio de um¡ nlcuhdor¡ cigntllltl ou um computador. FJ¡- gcmae recursos ; táticas para ¡lgum dans exercícios (veja nbeervaçñns comidas no lópioo Calculadoras). RESPOSTAS A : sgh de respostas rui pano final do livro contém u respostas da maioria dos exercicios de número lrnpu. Consitlcrlvel eslnrço foi desenvolvido pan tornar esta seçlo um instrumento de aprendizagem e nlo um airnples repositório de dados pan conferir respostas. Para ilustrar, se uma : esposa é a hn de urna mperfick nu o volume de um sólido, :lá-se iirrra integral delin' a adequada juntamente ooot seu vnluv. Para muitos exercicios numéricos, u respostas são dadas tanto na forma exata como em forma Iproximnda. Incltieurse grlñms, provas e sugestões sempre que lorem oinrvenientes. CALCULADORAS Corno os estudantes podem ter : cesso a diversos tipo¡ de calculadora ou computadores, nlo procura- Inos cltegorizar os exercicios marcadas com M. O enuncíldd d: um problem deve proporcionar informação suficiente para indicar ou sugerir o tipo de calculadora ou computador disponi- vel pan obter turu soluçio numérica. Por exemplo. se um exercicio india que se deve aplicar a regra irapeznidnl com n - 4, qualquer calculadora e ndequada. desde que a Íunçio não seja muito ampliada. .lá para n - 30, é roomneirdlvel urna : Ilculbdura programável ou um computador. Se a mluçio de um exercício envolve um ¡r-iftco, pode : cr adequada uma calcule- _mu mn dura que imprima gráficos; todavia. fiança: : ou superfícies clrmplíaulm ¡tudeni exigir um equipllnenlo cmnputaeional ao- ñslitadn. Coma a precisão numérica depende também do lipo di: dispositivo wmpuiucíuníll ulilíntlo. alguma¡ respostas apn- rocem arredondada para duas um decirrtaiir; em outros casos, I precisão pode chegar a oito casas ilecirnais. PLANEINIBITO DO TEXTO E DAS FIGURAS O term to¡ completamente recsiniiurado iii. - modo a tomar R! dísainsões mais ÍÀDGÍI de xeguir e a tnfalizar corweilos importantes. Todo¡ os guia-ia (mm refciurs. 0a grilicun dc Funções de unia ou duas variívek foram geridos cm mrrtptitllidm t dcsertltadm com lilo gnu dr: precisão, ulílinndn a mais nrudcmn tecnologia. FLEXIBILÍDÀDE A: irsllluiqbes ile ursirru que utiliunm na edições anteriores do livro nestam a flexibilidade do texto. Seções e upilulm podem ser reordenados de diíercnles manei- ras, dependendo dos objelivus e da duração do curso. Earl W. Swokowxki
  12. 12. AO ESTUDANTE O calculo ! oi descnbenu no século XVII mma inclnlmcnro pzlrr investigar problemas que envalvcm mnvimeulo. Para estudar ohjelm que se : nuvem a velocidades conslanles e ao lungu rle Injelórizs rerilluers un circulares. a Álgebra e a Irígollonlclrl¡ podem ser suñrienlcs: mas. se a velocidade varia nu sc : r lnjclória é irregular, u cálculu roma-s: necessário. Ulllil lkKtk çio cuidadosa d: nluvi crllo exige deñniçõcs precms . u- veloddade (espaço percorrido nn urriruae de tempo) e acelera ~ - (do (run dc vrriaçãn da velocidadc). Em: deñniçnes pmleul ser rlhlidas ulilizando-sc um dos tunccilus iundalncnlais llu ' ' r cllculo - a derivada. _ Emborl o Cálculo lenha se desenvolvido par¡ rtsrrlvrr problemas dc fisica. sua porência e vcmlilirlnde levamn : ms m ' diversos umpcs de esludu. A; lp reações aluais . L. derivada incluem I invnsliglção d¡ 1.1x¡ de crescimento rlr- baclêrias em um: Cuiiull, a predição dc rcsllludm dc um¡ rczlul¡ quimica, a mensuração de variações ¡nslunllneas ml cnlrr-nlr- elélriu, a descrição do aomprlrramenlo de purllculas Ilñrllirrvr, r : slimnliva d¡ evoluçin de um rumor ur ltrlpin rrldioulrvu, .r previsân de IESMIWÕOS economicos e a análise de vihraçrlr» num sislema mecanico. a ur-. rr-»s- e- -z-vunsxvav l A derivada Iambém t lllilindr na resolução de prllivirlllrlk que envolvem valores máximos ou mínimas, m; (lllllrr Irli-ll ur um¡ um unngular de vnlume dado e pelo lrlcllur . u . ._ enlmlar a disllncin mÁximI n ser percorrida por um ln _ v, ohler o num míximu de rrálego nluvts «lc uma . num, delen-ninar o número de poços a perrurar num cnnnnr ¡Nllrvll (no d: mudo l ubler l produção mui: elicicnlc, rlclu ; r rr ponto enlre dura fontes luminosas no qunl a íllllnlrnll II -r I›I
  13. 13. tttáxintn c ntaxirrtirar o lucro na Íahtiatçio de certo produto. Os ntntcntñticos lrcqtirtttentetttc utilium derivadas para dctcrminat tangcittcs a curvas e para auxiliar na análise de gráficos de ltmçrtcs complexas. Otttro conccito ! untlatttental tlo cálculo ~ a integral : lr/ inidn - é motivado pelo problema da tleterm tic rcgiocs corn fronteirtts curvas, Tanto quanto as derivadas, as integrais tlclinidas são também utilizadas nos mais diversos t-atnpos. Veja algumas aplicações: determinar o centro de massa ou n momentu dc inércia dt: um sólido, determinar o trabalho nccessário para mandar uma sonda espacial a outro plancta, calcular o lluxo . sangüíneo através dt: uma artéria, estimar a tlCptECÍlÇãO do equipamento de uma fit-rica. determinar a quantidade de diluição de utn corante em certos testes fisiológi- cas. Uti 'tamos também integrais deñttidas para investigar taottccitm tais como átca dc uma superficie curva. volume de um sólido geométrico ou comprimento de uma curva. Ambos ot conceitos de derivada c integral são dclinidos por processos de limites. A noção dc limite é a idéia inicial que separa o Lilutlo da matemática clctttentnr. Sir lsaztc Newton (1642-1727) e Gttttfricd Willtcltlt lciltniz (lMó-Hlõ) descobri- rzm índcpendcnlemcntc a conexão cntre derivadas e integrais. e a invenção do cálculo é atribuída a anthtrs. Muitos outros matemáticos deram importantes contribuições ao desenvolvi- mento rio cálculo nos últimos 300 anos. Its aplicações do cálculo aqui ntmciunadas são apenas ntgumat dentre as muitas que serão estudadas ncste livm. Certamcntc não poderemos discutir todas as aplicaçoes «ln diario, inclusive porque sctnpre novas aplicações vêm . scntlu desenvolvidas à medida que a técnica avança. Qualquer qttc soja o campo dc interesse rltr cstudnntc, o cálculo quase que ccrt. t~ mcrttc será utilirado em alguma investigação pura ou aplicada. Talvez. o próprio estudante vcnha a desenvolver mais uma aplicação para este rzmu da ciência, Capítulo 1 marron lool¡ REVISÃO PRÉ-CÁLCULO ! NTAQDMÂO Neste capitulo serão revistos tópicos da trt: t› temática pró-cálculo, essenciais ao esntdo do cálculo. Após rápida discussao dc desigual- dades. equações, valores absolutos e gtalicos, voltamos nossa atcnção para as funções. Di- ur que o conceito de função é írnrtortartte na matemática é sirnplcsmenin minimízkln. Tal conceito é o fundamento do cálculo e n estcío de todo o assunto. O leitor enoonnart a palavra [unção e u simbolo f ou [(1) utilizado em quase todus as páginas : leste livrn. Nos cursos pré-cálculo_ estudamos propriedadrs de funçítcs utilizando a ilgolrra e métodos gráliars que incluem a n tração dc pontos, a tlctcrntinação dc simrt s c as trzirrslttçúcs ltori/ .ttntrtis nu vcrticais. Estas . sãn atlcqttndas para sc obter utn rápidu esboço dc um grálicn; todavia, o dll tln loltlllrs( necessário para determinar prc samcntc undc os gráficos do funções crescctn ou tlecrcsccm. as coordenadas exatas dc pontos máxinttts c mínimas. coeficientes angulares dc tangentes. e muitos outros dados ÚlClS. l"[Obl! t't1¡| S de aplicação que não podem ser resolvidos cum auxílio da ilgcltra e da gcclmllñfl ou trígonomnttia. em gcral podem ser aborda-los representando-s: qunntidatlcs fisicas' em termos de funções c aplicando-se crttít) os recursos tksenvolvidos no calculo. uvartdo cm conta as ttbscrvaçftcs pre- cedentes, o estudante deve let ru idadosamen- tc a Seção 1,2. A bon cttntptccnsãu dus assuntos ati tratados é essencial antes dc iniciar a leitura do próximo capitulo.
  14. 14. 2 Cullmlo gm. uma». Annhnm Cap I 1.1 ÁLGEBRA m. seção mnxem tópicos u: revisão d: álgchm que cnnsülutm pIE-rcquísilos par¡ n cálculu. linunciutmtxs hum impurlames e rcsolvcrcmns exemplos sem jusliñmr dclalhndznwlule nosso Ixahalho. um¡ nbordingcnn mais ampli dcslcs ; Assuntos pode sc¡ : ncunlmda em lexlus de malcmálica plc cálculo. Todas os cunceílos du cálculo baseiam-u em propriedades da wnjunln R dos núme1u› mais. m um¡ cumspomuncia hiunívncl : mn: R e us punlns dc uma mn m] (rm coordenada) ! conforme ilusludo na Figura 1.1. onde 06 l origem. O númzm 0 (um) não é ncm posilívo ncm negativo. 0 E A . u--- . ... . . -._. -3 -ZI-l? Áfgbal . . 45-5¡ minimum ' uuurlulnu ~, ... ... ._ --w- . ... ... ... ... -. ñgun | .l S: a e b sin luis, :mão a › b (a é mnior que b) se a « b' é pusiüvn. Um¡ añnnaliva equivnlcnle é b < u (b 6 menor que a). Rcferinndo-nos À tem coordcnndu da Figuu 1.1, vemos que u › b sc e somem: sc n ponlo A correspondam a a está i dinim do ponIoB contspnndcnlc a b. Ouuns lipo: d: ¡lzsigualdldc do a s h, que signifn: : a < bon u -' b, e a < b s c. qua: sigruñc: n < be h s t. ILUSTRAÇÃO ' 5 › 3 - -7 < -2 ' 03)¡ › O ' a¡ z 0 par¡ lodo u raul Dcmonstnmsc IIS scguinics pmpríedadcs: -w-àr-. ru-_qra "lãrrr _m , - (| )sea_›bel_z>c: v1là0._a>cu_. ., .r . ' Mvhnwav» HvMí-L/ ' . ' (ii)scn›h, znuoa+c> »c l Pmpriadadas das deslgualdndes (1.1) (m) se a › b, um -y (w w - um_ n Luv: (h)seà›beáepos' vamguãnauwc, .( ' ' x4 . rt. ' . nf (V) sea> bccálucg o cmao 'ão-QM ' ' __m? n_g_«. gg. u_xzzr, ly Qui¡ - wo , .-. wmrammu: . _,. ..3r~ . n m7. r 7 _ Cup 1 Rrwxdo , ua mimo J Vl| cm proplicdadu análogas invcnendo-sc m sinais u: dcsigualdzdc. Asxim. sc n < b c b < c, cnuào a < t; se a ç b_ : nlãua ç c < h e cctc. o valor absolulo p¡ u: um númem rca] u dcñnc-ac tomo: . ahi ascuao ›tn~cu<0 Sc u é a coordenada do ponto A na mn coordenada du Hgurn 1.1, cnliu 1a¡ é o número dc unidadcs (ism e, n dislâncm) cnlmA e n origem 0. ILUSTRAÇÃO Propriedades do valor absovula (b › o) (12) ' ! il-S - I43I--(~3)-3 - po| =o - pqjnunq-a-a Drmonsun-se que: mh| _<rbscçsõyse-lg<a<b (in| u|›bsce; shsca›buua<. b (HíJH-bsecgvgsca-'boua--b Um¡ equnçin (em x) é um¡ nñvlnaçóo ml cume x'-Jx-4 uu sxhzsenx-w/ í-o Uma solução (ou nlz) é um númclua qu: lrznsíum¡ a mma, ... em um¡ ¡dcntídndc quando x é substiluídu pur u. Rmulrrr num equação a : char Indns as sua: soluções. EXEMPLO I Resulva (nnhlxl-Iux-U (h)Hs5¡~I›-0 SOLUÇÃO (a) Fuorando o membro csqucnlu VL'| || m¡ »ax - lm-n, ou m r 1x. ç s; . n lgualamln : :da Íalm' n um_ nhlcmns . .s uuhyw -. u_ v . (b) Uundn a fórmula qumlmnra x a : p . m . . ? u C Í"'QQQOOQCAAA.
  15. 15. mv. ,r. .›. .~. (1.3) nr Armlllrtn Cup r comu-Z, b-S e c--ãuvbícmm Ingcnassoluqúessiuâoàñí c -Q-'v/ “H t A Um¡ duigunldnde (em x) é uma nürrmçâo que contém m mznus um dos símbolos <, ›_ s, ou z, Ial como Sz-4›x' ou -3<4xc2s5 As noções dc ¡oluçio dc uma desigualdade, c resolver um¡ desigualdade. são análoga: :os canteiros correspondentes para equações Frcqfrcrrlcmcrrlc rcferír-nos-cmos n intervalos. Nas dafrni- ções que scgucm rrrrlizams a notação dc mnjunros (x: ), (mdc n cspzrqn) após os dois ponlm é usado para rspeciñuu rcslriçócs sobre a variávtl 1. Em (1.3) dcsigrramus (a, b) um irrlervaln aberta, [a, b] um lnlervalrr frchnrlo. la. b) c: (a. b] lnrzrnlns reml-lbcmu, e intervalos dcünidos cm ! emma de m ou -m_ lnlmnlns lnnnilns. FF-T-'céfíl * “ *feaãjíír (m. ) : [x. ¡<¡< u) _q_ à _› [mb] (ras-sb) 4a_ t ›'_ m) (uma) . _ r' ¡_. [ (mbl (x-n( um 1 a f ›¡ '(3%) (¡'›r› 1) 1 t_ - r › lw) (Itu-l , ' ' ". ' ' "W <-~. »› crash) 1 ” "T "É 'É r-m r-: xsor › 7 ' 'l 'V' 7-_ _ 7 7 . EXEMPLO 2 Rcwlva cad: rksigualdadc r: :: hace a gráfica da solução (n) 7ss5â3l<r traz-rum¡ 75» r r4l-. HHl-]4~4 w; Figura u Cupijrviulaprftdlarl: _à SOLUÇÃO (n) 75s <r (dada) -Ílls a 7 . h < 2 (rnulriplicarrdo pur 2) 714 s 7,1. < 72 (sulrlrxrirrrln 4) j; x ›§ (rlivirliruln por 7.1) 1 , grs 'S' (dnigrurlrlarlccquivulcnlr) Lago. ns soluções são os rrúmcms nn Ínlcrvirlt¡ semi-abalo (g, '¡*]. o gráfico cm esboçndo nn Figura 1.2. (b) x¡ - IO › 3x (dado) xz-Àx- l0>0 (sublraindo 3x) (x - 5K): + 2) › 0 (morando) Sinal do Falar 1+ 2: ›77.. ... . x-S: 7777 7 . ... +Altl'kf+44'*-+l1+› 7 o s 1 -r-+-+-)›r t-r n r r(~r m _ g 5 . r FlgunlJ Euminnmos cm seguida os sinais dos [araras x «Sex o l conforme Figura 1.3. Como (x-SNx-Z) › Os: ¡mhm ns ! araras lim o mesmo sinal, Is suluçíacs sãn as númcms reais na uniãn pm_ -2) U (S, m), conforma iluslrmlo na Figura 1.3. Ocorrtm com freqüência no cálculo dcsigunlxludcx que envolvem valorcs ahmlulus. EXEMPLO 3 Resolva cada desigualdadc c fuga n ¡zrálu-xr IÍJ Mrlugm¡ (n) 1: - 3| <0,5 u. ) 1:. v( › x SOLUÇÃO m1. 7 1¡ < ng. (uam. )
  16. 16. . _ 7 _ _ __ _ g CúkrnIomnGcnLneIrhAnallnm Cap¡ _ _ _ › c”, ¡mwpñdhb 7 _a_ W 4 . _,_. _ . _1 -0,5 < x - 3 < 0.5 (propriednle da ulor ahwlulu) Deroraínírr-Vn e): '__ üñ: u r 2 a 4 s L5 < , l ( 35 (www, 3) Fórmula d¡ A disllrrci¡ corre n, r: P¡ e _ divino/ n (1.4) Fla-n l-4 As soluções são números rezrs do intervalo ¡hcno as; 3.5). du', rg) = Vu¡ 7 , or , O¡ _ m¡ conlorlrre se v! n¡ Figurl | .l. (b) 12-771 ›a (dado) 2z-7<›-3 mr zr77›3' (pmpriedarkdovalmnlvnluln) h<4m Z¡›l0 (somnndo7) á-Ivirrkw» (-›~›-¡ ; (2 ou x›S (dividlndopor 2) . r n r z 3 A 5 b A¡ soluções slo (indu po¡ (m3. 2) U (S, 0°). Vej¡ o grtñoo n¡ “II-rn l-S Frgur: LS. Um damn¡ de eoardenldu reuugulnrzs é um¡ correr pnmlerrcí¡ : ou: par: : ordenador (a. b] e por-nus : le um plnno, conforme ilrrsmdo n¡ Frgur¡ 1.6. O pluma é ehnmudo plnun coordenado ou plano-xy. Not¡ que. usle cumulo, (a. b) não é um irrlervaln aberto. Deves¡ sempre 'deixar clrm rc (n. b) Fórmula do 0 porno medio du ggrleá-LÍ» P, Pá* representa um ponto ou um iulcwalo. ponto : nda/ o (1.5) x, u¡ y' : h H[ 2 ' 2 ] y (0. 5) (4.3) b ---¡(n. b) -(5.2) m, VL_ (-4. 0) -+<v-r - o -r- M o-r-›+ r ›4› P¡(x¡, y¡) í ° (o. -3› - , _ (7 . -3) (5. 4) >_ EXEMPLO 4 Hplr¡ 1.¡ Dnrlnr. A472_ 3) c um. n_ .4.«r. -.. ... ..« f¡ (n) rim, N) (lr) H| Ilrl| |nrllülrlrI| ¡Irr5I| |I'IIlrv,1Il SOLUÇÃO n; ¡mrrlm uma uuunum m¡ ! lume r r Ilurrrlo a lúrnmln¡ (rn (I 4) r u u_ ulrirrrrrr¡ w -nLm-«HIxJV-t? W Mu. . 'r . ud InnQI¡¡uu. ... .----
  17. 17. -. r . u. lrÍrA . .rm urtrrmric AMI/ nu -. rrrrr-irI. r.-: de gráficos (1.6) (I) nm y A r Cap I (b, M(-zz›i4_a_›â: a)_, ,,(, _i, Uma equação em r c y é um¡ íguzldld: :mim ? .x+_'iy-5_, v-H~Sr-tzcufosenx-B. Uma solução ó um piu ordenado (ab) lal que Ium¡ 1 equação um¡ identidade quando suhslitulmus X por a e y pur b. o gráfico da cquaçãu consiste cm todas os pontos (n, b) em um plano que «mcspundcm l solução. Admiiiremou que o leílor já lcnha experiência em esboçar gráñcos de equaçõcs básicas em x e y. Certos glãñcos aprcscmlm simclrias. oonfnmic se v! cm (1.6), onde saiu indicndos ! estes que podem scr : pintados 1 um¡ cquação tm x e y para Llelcnuinnr um¡ ximclrin. (n) ein¡ A r (m) Origen¡ . V 7 I (Ly) . VN . , J 'kw x x l Tcsze (Ii). 'lime (Iii), sumriruiçro de x Subslíluiçâo de 1 por pm -x conduz i ~x r y por -y cvuduz mrsm¡ rrrurçin i run-rn cqrrrçir. Os lcslcs d: simelriir são úleis na próximo exemplo, porque pnnniicm esboçn lpcnas a melada de um yificn, :: Belinda-a em Iomo dc um eixn uu da uiigcm. conlomic Íluxlrndu em (1.6). Mmcaizmns vírím punlus em cada gviíicv pm ilusuai soluções da cquaçiu; todavia_ oprincípnl omnivn nn/ aztnnus um ¡zrúñw é »bm um esboço prensa mu nrctsrimr rrurrrrrr muito: (ou quaisquer) ponlm. 4-. __. _.__. _. <LV›7^QrÉ Figura | .l ngm¡ l. ll Cap r _Ervimu ; up (diria/ n a; EXEM PLO 5 Bboce a grilficu de (üy-; H (h)y'-x «mpi-l SOLUÇÃO ll) Pelo leste dc simetria (i), o gráñcu de y- e siméuico cm relação an cixcry. Damas a segui¡ alguns ; uma do Flgur¡ 1.9 ngm mo A inalação de pontos. o traçada d: umu curva suave pelos pontas. c n ulilimçio d. : . simclria nm ¡icnniicm ! zur o esboço d: Figur¡ 1.8. o grárrcn a uma parábola com vénice (o. o) e : ixo ao longo do eixo-y. As parábola: sâu estudada cm dclalhc nu Capítulo i7. (N Pelo lime de símelria (ii). o giáñcu de y3- x é . úméuiczn em Ielnçau ao eixo x. Os pontos acima do eixo-x são dadas pol y - JI. Alguns desses mnlns são (u, o). (1, l), (4. 2) e (9, J). Grafnndo e usando a simclría obtemos .1 Figura 19. o grmcu e unln pnráhnln mm vértice (o, o) r eixo nn longo do eixo-x. (c) Pelo ! este de simetria (iii), o gráfico de 4,- -. r' e sirrrc-rrr. .. : m rclaçiu A origem. Alguns pnnlos du giáiicri sin (n, m_ n_ à) c (2, 2). marcando us pnnlos r Ilsmlnlu . . «. .r. ..r. .. oblcmus o gráfica da Figura 1.10.
  18. 18. Cn¡- Lnmmapu (úlrulu n m z. .¡. ur. ›.. .m ¡; .wn›¡u. .A. ..¡/ :«a_ r. .,. _¡ Ruas (1.8) A Figur¡ 1.11 ilustra um círculn de ccmm Cm. k) c mio r, sc n14) e um ponlu arbnlránu docírculn. uniu. pela lónnula n, C ( . n. clnlânci¡ (1.4),4¡(¡›, c)-›, nu (4u›, <:›¡* . H lsln conduz ¡ -ÍÃJÉÍÍÍÍ "D ? ÀÊÊLÍZÍÂÍmnV N" . ÍKI§', “:, ¡Í3°"“'““ “IM” equação y _ y mnxfl# v~r. =m(xr-. ) yAnuob Equação de um circulo (1.7) y Q 7 l . v Sn u Iilio du círculo é l, u círculo é chanludo círculo) c unilárlu. A equação do círculo unimio d: Ccmm na origrm c “H w _: ;f; =^_<r: = Forqcnznx( ' ' , .- / "Isa a¡ m . Hu/ u , ¡(___¡_› g “M” / ,x , x * ' 3,/ EXEMPLO 6 ' 7 7 › . _ , V A V 1 , x Determinar a : quado do cívculu a: ccnlw a. ; a) c que pm __ _ ¡kln pnnlu Du. s). ¡ í 'm' " SOLUÇÃO Í Í (1 v) na alguns «im cspccims u: :mas com scua cncñcicnles 0 círculo csxá ¡Iuãludo nu Figura 1,12, Comnl) é um dus pontos untgulurcx. n e › › n ›x du círculo. n min r z' AI(C. D), ou scjn, . nelas especiais (1.9) , .«(:2__V”*V4 . (3.5 . amam/ ñ - Usando n equação du circula com h - 4. k - 3 c r - m' lemos Hgnrl mz u, na. (y 9:40_ : :(4.11 «o «uu-u (h Vrnicnl' m niodrñniulu (n) Paralelas: m = ,, . Hmunnlal: n. = o ' ' (m) Pcrpuuhculmrts: mp1¡ 4 . ¡ uu x1›y¡§-tx›6y-27s0 No cálculo, cmlumamcys considerar mas cm um plano coonknadc. Suns equações iàn dudu , um nguinlcs cmmuus_ EXEMPLO 7 ~ I-; shucç a m¡ definida pm cad¡ pa: d: pomm c dclcnnínc m. cueñmnr: angular (I) ^(~1.4)= B(3.2) (b) ^(2,S)eB(«7,, rl) íííí”it'ík'í
  19. 19. m Amlurg C931 (t) AM3) e lI(-2, 3) (d) A(4,-1)eB(l.4) soLuçAo Aa naus : :Rio esboçmdas na Figura 1.13. 1 w (c) n¡ = n um . r indelinklo l x r y . g 2 . 1 M-L s) Au, 3) í m' " , . u¡ _nun 1WÛÍNLDX A: ¡»| oi+o-›-o--e-r+›¡-›+Hv-L› ont-g_ í m. -n ÍHuHlÍÍÍ Pela [ómmln do cmñcicnle angular (1.ñ)('›). 2 A 4 (n) mu 3 '(4) À'_É: LL _ É'. _ 2 (h) "' z-(nz) 4 2 Ú (c) m. 44/2) - 6-0 (d) m - 6137?? ) r u. que não é deünido_ Not: que a ma c' venical. Uma cqnlçin lim-ur : In x e y e uma equação na [anna a: 4 by - c (nun + by 4 n¡ . u). com a c bnân simullnncamemc nulos. 0 gváñco dc uma equação linnr é uma ma. EXEMPLO a Dclnrminc . cquaçàn linear da ma por A(| . 7) e em, z). SOLUÇÃO 0 cucücicmc angmnv m d¡ nzla c' cup. : nnumagruatculo n Podemos usar Is toclduudu dcA ou dc B pan (xp n) n¡ (mma “panlcrcoclmngulal” (LBXú). Usandn AU. 7) lemos: y-7=§(x›1), que e cquivnlcnl: n 4y-28-5x-5.m|5x~4y~-Z3 EXEMPLO 9 (n) Determina o coeficiente : ngnhr d¡ rua 11 - Sy ~ 9. (b) Delermim as equações das mas po¡ P0. -4). pamela e pcapcndwular à m: (n). SOLUÇÃO (n) Escrcvcndu a equação como Sy - 2.¡ - 9 c dividindo ambos or membros po¡ s. abismos 1 P3": Comparando uu cqunçñn com a cqunção gua) y-mx o b_ vcmos que o umñcicnlc lnguhr é m . É (b) Por (ii) e (iii) d: (1.9). I m: por P(3. -4) paralela à m¡ (n) rem cocñcicnle angular g e a pcrpcndittllnr. _ 2. As equações mncspolvdcnlcs sãu yod- ; çz-s), uu ? x-Sy-ZG e yu_ -': (x~3). ou suzy. . 7. EXEMPLO 10 lisboa: os gráhcns d: 4.¡ o ay . 5 e 3x «ly - s_ r mw wu ¡num- d: imcrsccçin. soLuçÀo m duas : quaçm são lineares_ lngn, m r- - u m m. .. (raça: os gyáñcos pchdemos ma¡ us inn-r pu n r u' Inlcnx-p los-y, nhlidos fazendo-sc x -n r- v n Irxpn Iwnnu Illr
  20. 20. u : Mula ma¡ Gmmnua Ana/ Ina¡ Cup. l EXERCÍCIOS | .l Extra. l-l: lusclcvl_ sam un¡ u símbuln d: V110¡ absoluto. I t-H-sxl-bl (mM/ H) rc›H1«I4I 1 (u) (046 ~ 7| J (IH4 - KI (b) 5/1 2l m lx - 4I As : mordcnndas do puma P de inlersccçáo sin ¡ahlídzs cnmn soluçao du sim-mn: 4xo3y-5 3x-2y-8 v uelv-í Flgun 1.14 rm eliminar y do síuemz, mulliplicamns a prímcir¡ cquzçân pur 2 e . scgunda por 3: Bxtáy-IO 9x-6y-24 Sounndo ¡Incmbru 1 membro. obtemos: 17x = 34 uu x = I Em e a coonkmad¡ x da ponln u: ¡nnemq-àu. Fu¡ dclcnninal . coordenada y dc P. raumus x - 2 : m 4x + 3y - 5, oblcndo -l(2)v3y-S ou ya-l Ingo. P Icm coordenadas (2, _n_ 4 (A)NÍrl.7| th)| l_7-lííft)l; râ| s | J§t1scl<~3 a LS-x| J:x›S 1 [2-x| s:x<2 a nuas”. 7 : um 9.11: Resolva por lzlunmznln. (dHkI VI (orñ- LSI 9 l5f~l2=-8x l01Sx'rl4=29x ll Zz(4¡xc15)-Z7 |2x(3xól0)=77 Extra. n45: Resolvi n : quado unliramlc . m. . muh quxhinra llüoixolnü l5Zx'›l: <4:O I-lE-m-: :n lnmosnhu Burn. :ma: kesum n maximum: : z cxpdma u wluçio em lemos «c nnlervllum. quando pumwcl |7ZI›5<Ílx›7 | l1~8›Sxo3 lilshgê<7 2U-2<. ';! s0 ¡lx7--1-6<D IIJJOÀKOJID 1J1¡A1l~5>3 2Â2J<M |7S4 zszaxoaps : buzina 2127152 29112337 “HiFi-És ll LIOII<ÍIÍH JllX-HSÍLÚJ aagxoz¡zn, m1 uk~1|›o, m2 35|1ns| <4 J6Lk~7|xS NKS-Sds] Jal-urubu Exam. 394o; usam o mnjunxn de pomus Por. y) que ¡ulisrnnn a cundlçin uudimda. i9(I)x= ~2 mu: 10x10 (n]y<ü (Dhiszemn llHnjys-Z mu: 4 (r)1Iy<01d)xy-0 mHxlcMil Elen-s. su: Duzrmine m m_ n) e (b) u ; em médio d: AN. Ól AG, J). BN, 2) 12 A(-Z. -5), NU, 6) 4.1 Mmuc que n Ivíñlnguk) com vénku m, 5)_ an. -2) c cpa_ 2) e ulllngulo, ; akulc su¡ sm, u Mw: : que os por-nus Má, 1;_ m, 4), ((3, 4¡ a ou. 4) q. , véructs a: um quldndc «mp0 (c)y›l 7 _ _çnp 1 jzemuopuarmlo n Extra. 45-56: Tua o ; um . n. equnçin. 45,494 «Ha-uz n.4,¡ : suga ¡vy-. J-a §0y= 'X| Ôl Sly-»Ix-Ã 51 y-vÍx-ÚÍ M(x›3)= «(y~z›1.-9 uxwo-_zpazg SSy--WALF Sõpn/ T-Ê¡ Extra. 5740: Dclzlmin: a tqulçñu da círculo qm' : :mhz as coniwjxs índsculas, 57 Cznno a: _n_ m0 s. sa Ccnlm (14.6), passando por Pa. 2). 59 Txngenle a . ..um n¡ mms. ccmm nn srgundn¡ qumzmuc, rain 4. w Exltzmns d: um 41¡ñmlroA(l, A]): n( . z, 7), Entro. 61-66: Ache n equação d¡ uu qm: snlula¡ ; s comum: : indicada. Sl Push po¡ M5, 4), cnclícicnlc lnguln¡ -4 s¡ mu pm A(-l, 4). codizicmc nnguln ; a lnlnrtpio-x 4, inluceplo-y -3 s¡ hm porA(S, z) e m4. 4). as rm- puma. -m é pnnlel¡ ¡ um s¡ 7 . w . x os Pau. porAU, -sy c e peipctxlxulnr 1 m» z: - Sy = n. › 1mm sua: Demmim: a uma. ; da : mw h. .. pnpendiculnl d: ,w - ' a7 may n( 2. m u A(4_ 2), n( 2_ m) Euru. 69-72: m. : o: gráñros u. : um r . m. mine seu paulo de inum-: çân 69Zx›. ¡yv<2: x«2yn8 .704xoSy= l3; : :uh-s 7|7.¡›Sy= l6: hr7y=24 12 7x Ky=9z lxolynrlo g1: Aploxime as cmruunu. . a. . ¡xmlu . u- ¡ul- . ... çin du um ' ¡¡¡. ¡A4AAA I 7
  21. 21. n. 4 m. ul» : um ummum Annlmm (vn. (u). c (UMM. WS a 5511"¡ qu# ("My-ü 4174 Apt¡ a menu¡ ni! , da seguinlc cquaçãn. . ' (m7 x nf): . Lux-o rm : vim : Idculnx n m. . . um. riu, :uma n fórmula q-cudrílura num¡ 3( - rbuÍbí~dacw m n¡ qual um cumptinlitk) de vllaminn c u; n dlssulvcrse «mma da inn : Ia super- n. - a. ; comprimido. Uma num¡ de cnmpcilnido . . m lumm . almada. mmptimcnln z cm, mm 1». :uh-um LI: zhànnclro ns em «a» uuemidndc u. . n um. ..) Um¡ ; quam mm: : a: mapa_ . ..m . .u ser fabricada em «um cxlívnlrlrn. mm . . r. . m . u . num. < 2m¡ - › “as : m v . ..y 4-_ u. ¡mmr o nlnftnwln» du ptgundn cumpram- u. s. llltnh¡ qu: . inn u: sua supulm: seja . »nl . . : In ¡numínn mnpnmióo. u . .. _ , . . . vnlum: sk mu. mmpumiua 4 x ! um m lzllnsdeity¡ uma. um¡ m¡ _ u m . ¡hmltu círcullv mn (nm 10cm a: .. , , , nun. .." : lc capacimc (up n ñguu) 4» w A. 1.. ... munm. . ..â x. v. . mu wc. .. nl: : mmmuu snmplti, w w w . wluuuuunInmrnntlvrxa Uumuoam _m_ . q. u. . ¡Iuullu . k mama. qnt w¡ . hmm. ,- da lente e mean( que . dlstinci¡ local / . A llnpllnçio 1mm M é n mto do nmznho d¡ ¡ring! m pm o ! amam do ohjzm. Musln-s: em lis-u que M-Mpp) S: / = a un. n qm: disúnch d¡ leme um m mlondo o obpm d: modo qu( su¡ imigrln seja m mlnínm ui; vu: : o ohplu? lunar¡ 71 A nucdialn que n ¡Ilnmk m: um¡ : uva equcínl aum: ma, u peso do ¡stmuuu dxminu¡ né ahngí¡ um : :Ido de ¡nlpundrnbiltdlrk 0 peso dc um lslvannul¡ de w IL, I um¡ lllíiude dc x quilôme- um . cam. do mu, e uma pm A que ¡Imnde o peso do . unmun m¡ InÍuim n n* 79 A dnlànri¡ d: [rcmgcm d (rm menus) uk um carmmImdunvknv/ hédadalpmimndmnnlzpzx a . .v . (Jau). Ddmnnin: amauua qu: mullcm em dmárcim u. : frenagem ¡Iakncurs . Ls m_ uu Par¡ qu: um . amam , mam o (lulu destjmh, :u: :matando n¡ (mvrnle ungumra mw: :slnv Mun¡ de um cena nlnl. o . na IrmpJnum mínima Suponhunm que n conccmnçin d: um . mama › 3mm . pm 1:1 inguim seja um pv! c = zon/ r o a) mm. Sc u mvd leupñuncu mímmn e a ma. . dclenmrw quandn est: nívrl e : :cedida : u A miuema. déuic¡ n (nn 0mm) pel¡ um Go dc meu¡ pum n11 : chamada rom su¡ kmpcln- run r 1m 'n . zu ! minah R, - m¡ (1 o nr), .m. :mx-nm pmilnu . r n. . (n) Par¡ qu: ltmptmnn sc Izm n a um (h) Supondo que a Iuíuênuru q. opcao) sc = 273 'r (um Ihmlulo) «mamae a (c) Um no u: pula km um¡ IHÂSIÉIKÍJ dc 1,25 ohms a o' 'c A wc lempculul¡ a . naum e im¡ . 1 ohms" u¡ Os pmdulm Íamxiuum¡ mu. . : spcuhrar ns imagens vtnmlznthdts par¡ minhas z cnlnçzs um lúrmuln pm modiñcoçóo a. dosagem u: muun pa: : uw pm (11:11:91) na um. de Cnwlmg. Run). ¡up! “vHHhv'-¡fur/ wu/ n : um): a Amam u «hu de ullu (rm lnlllynnna-p e n n : dade «n «uma (rm 4mm) m »e a = ma. ma o ; uam u» 4.. ..; “PW uma» . .o mesmo smcnu ¡Jr . um m. .. n . r s 12 Kem¡ de Friend 1.2 FUNÇÕES (n) Par¡ qnt aum n (luas Iórmuhs r. «¡›. «c¡¡. .~. ... . . mtsmz dnslgzm? Definição (1.10) Flgurn l. |5 . A» V. Au Xnu n" A noção a: pmçna e fundlmcnlnl para Indo now) Irabalhn cm cálculn. lkñnirnos uma runçna como segue* Unín rÍmgio' f . kim conjunlu n em um 'canjunxo E e uma¡ correspondencia qu: usada n cad: dcmcnlo x dc D : nun-cm: ugclgpeg y d: E. _7,_- , í , › o clcmcnln y d: E e 0 vnhir d: 1 em x e v: dcvmln po! m) (15.2.: “y de r). o eonjnnln n e o domlnh da¡ Íunçáo. o mnlndomínio j é n subcunjunlu d: E quc mmislc cm mam u: valutcs possíveis m) pau x tm u. Em ; mal ¡Inslramos Íungôes : omn na Hgma 1.15. and( os conjunlm u e f: sim ycpuzsentaqos po! punloa nlcnlm d: nglàcs do plano. As suas cums indicia¡ que us elcmzmcs fu). um). [(1): m) u: E cnncspundcm ¡ostlcmcnlm z. w, z e n u: n. E imponente ¡mu! qnt a uniu x zm D um' uxsmiddn exatamente um »um Hx) em c; todavia. dtfcrcnlcs clclncnlus dc o, luís como w c z n: Figura | .lS. podtm origina¡ (I mesmo vnlm (ln função : m . e. Nus Capílukvs 1.14, a : xpmmav a uma hmm" indica que o domínio e o conlndumínin d: f são cnnjunlns dc númzvns tenis. Unualmcnle rklínímos uma função f anunciando unm fórmula elx : :gn par¡ adm IU), II' comu j(1)- 'Íi Í Í Supñcusc um quc o domínio seja o cnnjunxio dc Iodo; us . ui. ms que [m seja leal. Assim, pm m) - G31. n ¡lumínio e n ¡nlcrvnln inñnhu [2,<n) Sc x está no dqmlnxía, dizemos qu: ] é dtñnbd¡ em x, ou que ](x) exislt. Sc J c' um suhcovuunlnv do donlínlio, rnlia f é dzñnídz tm S. A expruxârvj niu í dclinld: cm x slgniñca qm: x não está no dominio dc f.
  22. 22. m r'. .t. ../ ..u~5. montari- Annlmu Cm I exeuveo 1 «ui Seja I (x) - f: u) Dclermineodnmlninde j. (b) DCIWVÚIW H5). !(4), !(4) = -I(")~ SOLUÇÃO (n) Note-u: que j e real se e somente se o adiando 4 o x é nicynegativu e o denominador l A x e' dilerente de zero. Assim, ¡(. r) existe sc c somente se 4 0- x x 0 c 1 - x a O ou, cquívalentultgnlnx z «i e x p t. logo. n domínio é [-4. l) U (1. “l (h) Per¡ Ichar valores de I. sulvstiruímos x pelo: vllmcs dedos: ¡Lu/ ff- _ - N-D-'ÍÊ-'Ê rm-? Í-(ÉÊÍ--ÊÊÊ -'<"l'"%'7;: '^. í Muitas lórmulns que ocorrem rm matemática c nas ciências detenninlm funções. Por exemplo. n Íónnul¡ A - n? da ¡rn A ele um circulo de rulo r associa n : :de real positivo r cxllnmertle um valor de A. A letn r. que represent¡ um número ubitrírin do domínio. é um¡ v¡ ¡vel lndepeudcnle. A leu¡ A, qm: representa o contrariam A um¡ vurllvel dependente, poi¡ : ou vnlor depende do valor ¡trmuido I r. Querido dum variáveis r cA estio relnclonades dest¡ mnneir¡ dizemos que A é burma de r. Outro exemplo: sc um Iutnmóvel viaja a uma velocidade uniforme de 5D lim/ li, então n distincin d (em quilômetros) petlztmid¡ no tempo z (em limas) e um por d-sm; logo. a distância d é um: Íunçãu do tempo l. Flgnrl IJ¡ “guri | .l7 gap¡ Rnuhpvldlmlo IB EXEMPLO 2 Deve-ie construir um tlnqttc de aço, para ¡nnucmgem de gls pmpam, n¡ (um: de um cilindro citada! mu de 3m de . uma. mm um hemislério em ad: : extremidade. O nio r deve ser : indu determinado. :: meu o volume v do tanque como hmçâo u: r. SOLUÇÃO A ñgun l. l6 ilustre o tanque. 0 volume d¡ parte cilíndrica é dedo por $ b @um . gw Os dnls hemislérios das extremidades. consideradas em conjunto tem como volume 4 57v' 0 volume do tanque é então v-§muzmJ-§›u= (u+ t5) Est¡ lónrtuln exprime Vcumo funçiu de r. Se _f é um¡ funçío, utilizamos um griñco par¡ ¡lustmr ta varieçh do vnlor funcional K1) quando x varia no dominio de j. Por definição. o ¡rilko Ile uma Nnçlo e o gráfico d¡ equnçio y-f(. r) pntl x no dominio de I. Conforme n ñgur¡ 1.17. costume-se rotular fa) o gráfico de um¡ lunçio. Noterse qua: se Ha, b) eu¡ no yáücn, então a omrdemda-y b E o valor Íurtdonll Ka). A ñgur¡ exibe o domínio de f (conjunto de valores possíveis de x) e o eontradomínio de j (valores cones- pendente¡ ele y) Canqunnto tenhamos considerado n domínio c o contradomlnio intervalos teclados, eles podem scr inten : los infinitas ou qunisquer conjuntas de mais. t-t imponente notar que, como na exatamente um valor Ku) pm nda u no domínio, somente um punto no gráfrcn tem eoordenndtrx a. Assim, :nda venicll intcrcepta o gráñco de um: função no mlximu em um ponto. (hnsequentemcnre, o ; rim-o de um¡ função nio pode ser uma ñgurtt url como um círculo, que pode ser canudo por um: vertical em mais de um ponln "iiiiitlllllllHl*“x
  23. 23. -u i. .tmnm. ,.. ,.. ,›. r., .r. Murat. : Cup! _i7 77 Lvlprl n. -.u. ›., ,.. u.. u.. .t. . 'r Os ínterveptosx do gráfico de uma (unçlo [ são ns soluções da equwio 'rw-u _hi5 “Em” “o m um! d. fuma o _ FUNÇÃO / GRÁIFISO stMETRtA DOMÍNIO D, CUNTRAUOMINIU r. - intercepto~y do gráñco é [(0), se existir. ' Se ¡eumarungio pIr-islnê.5e ](-x)- [Lqpanlodo Í. . M¡ = ." lí. . tim . y 'É Ç ÍnÍÊÍ) x no domínio dcf-entino grilloode _f é slrrútrico em relogio 1 ao eixo-y, pela leste de simetria (i) dc (1.6). Se j e um¡ lunçio impar -- isto é, se ](-x) - -](x) pera lodo x no domínio de f - errtlo o grllloo de f é siruétríoo em relação i origem. pelo , A y teste r. le . elmetria (iii). Clrende perte dns Íunçôer no cálculo trio silo nem pure¡ nem ímpares. m): ¡v! __ origem o e ( _a_ x) A ilustração que segue comem esboços de gráficos rle x “um” hp") R ” l '“~ 'l algumas funções comuns. 0 leitor deve Vcriñfll cm cida caso a simetria, o donrínio e o contmlomírrio indicados ILUSTRAÇÃO . - y H-v-u w l GRÁFICO SlMETltlA DOMÍNlO u, LuwrnAuoMlNto R ' , ' M = M V; :meiu-yum 'ÃÍ l m' R) ngm-l | .l! Sc x < 0, então [(x) - 7.¡ e 3. e u gráfico : k j' é parte du rclu y - z¡ + 3 (Figura 1.1x). o pequeno círculo indica que u punto (t). 3) nãtr está no gránco. y _ l) = m_ n) 3 ›. .. . _ f; nun n¡ R, . m_ . a «_ . y . M . ' _ R- origem x x (lunçlo lmplt) n _ ( , , o, U m_ . ¡ 1¡ rurauyuur. ..) , n = a m, == › ' Y : :: sua p") n - : a -› l . Há funções que são deñnidas por mais de uma expressão. I ) ' como no exemplo e seguir. . . . . tj, ,. mu. .. EXEMPLO3 x (Íunçlo lmpnt) D = t m. "l _ _ _ y R a ( -= =. . - _ Flça n gráfico do tunçao ¡ definida pm ; g ' Zr o 3 sc x <o g m)- x' sellsx<2 3 l se x n 2 S . . _là soLuçAo r. É i
  24. 24. 72 ("Madonna Cerairrewu Anemia Cap l C2! MvhlnEdhab 2a Se 0 s x s 2. jçddz. e oylñcoé pane da peribola y-f. Noleqoeaunnloesumprlñm. Sexazoevaloresluneionalssiosempre Lengrlllco e uma : :ml-reta horizontal com extremidade (2. l). e (positiva ou nepiiva) a cada valor Nacional. A Figura 1.21 íluura tniaalaçiea horizontais. Àsveus podemos oblexogrlficn de uma funçao aplicando uma trai-relaçao ii um ganso axiliecldn, conforme mostram as iigum [.12 e 1.23 para m) a? , O grafico de y - e [(1) pode ser obtido multiplicando-se poreaooordenada-ydeearlaporuodoyilicndey: f(x). Se e < 0, a grlllmt de y-cÍlrÚcy-Iclltx) são chamados reflexões de : :da um deles em relaçao eo eixrrx. Aa ñguras ! JA e 11s ilustram algiiriacaaoaeipeciais : om m) -xã Se x é um número real, delinioioa [[x]] como regue: [[1]] a ia, onde n é n maior inteiro tal que n s . r. Se ldentillcarnu¡ R com primos numa reta coordenada, entln rr e o primeiro inteiro a esquerda de x. nu ¡pa! ax, iLusrnAçAo 'na ação Ver real. c › ll 'llauslaçlo llurlzairilal, e › 0 ' ll0.5ll = 0 ' llli3ll = l ' ll V¡ ll = 1 ' [[311 = 3 ' [l-3ll = -3 ' ll-Ull * -3 ' ll- t5 ll - - 2 ' ll-0›5l] - -| A llalçln inalnr lnlelro y e definida como m) - "I". y= ¡(x)ot y= lltl EXEMPLO l Faq o 31mm da ! lindo maior Inteiro. SOLUÇÃO Damos a seguir algiais ponto¡ (x, y) do palito¡ ? Un-a LM nx¡ =11x11 ¡= a¡o4 Sempre que x estiver entre inteiros sucessivos. . a porte corre» poaiduale do ; meu ser¡ um regimento de reta horizontal. Pane do grafico est¡ abraçada na Figura 1.19. O grill» continua indefinidamente a direita e a esquerda. -l ll-l-ld-1llelll-ll-b u! oi gráücos a¡ l-'igun 12o ilustram lnrislnções venlenls Fte-n L1¡ ¡Ie-r- I-IJ do villa) de y = f(x) resukenlea da adiçlo de uma oianatarite 'Íllllíxllnnncccccccccccccc o o o o»
  25. 25. 1 r.1r. .1r. ..». Gandu¡ Anilha 0211.¡ ›'r x' “rur- IJI ngm us Se [ eg são funções, deñnimos a som¡ _f r g. I rllfcrrnçn f - g. a produto [g r: n qundentt f/ g como segue: (f * xXx) - ! (1) UNI) U " 3X1) - ! (1) - : (1) UMM ' KIM! ) [í l** - à? ? Orlomírria do] 4 g. ] - g e Ig é : r inlcrxrcçdo 11m domínios rlc I e g - isto t, m números comuns a Ambos ns domínios. O dominio de [Ig comi-irc (lc rudm (vs números x na tais qu( m) - 0. intersecção EXEMPLO 5 Seiam iu) mai? e ptx) ~ a: › 1. Determine : r . wma, :r rl¡› [crença, o produru r: o quocicnte de j e g c indique o domínio de cada um SOLUÇÃO o domínio d: ¡ e o intervalo fedmtlo 1.; 21 c o domínio de g e R. Corrscqimntemcntt, a inlcrsecçfrrt de um runnínios é [-2. 2] e obtemos: U+g)<-)-»/4Tr= »(3un, 15,52 tkgtrxy-rlíuCrzxrr), *. sIsZ US)(1)'/4:7(3t11), 25x52 Á *r .1 e. É s¡ 0 'u e! i t. .t . É 9. ›- : um uma. ; 1. . ««rv~¡m4'| !warv$~v. w1r'~1 -v - v-uürmu/ I i»- «Lunar-u (up r 1t. .u. ›.. ,u, 101m1" (¡)(r›-3/9~:51r *. $|$2C1t| Uma função j é um¡ função polinomlnl sc [(x) é um polinbrrrio. isto é, sr: [(1) = a_x' o a_¡r*'4 . r nr: 4 n”. and: os mcñcicnlts a, a'. .. .r N_ são números reais c u: cxpoentcs são inteiros não-mg vos. S: u_ r ll cnrio] é dr: gnu n. Veja Ilgmts cum: especiais (onde a u o); gnu (k m) = o grau 1, m) = m( o h (unção constant: !unção lincar grau 2: for) = nr¡ q but o c função qundráticrr Um¡ Iunçio ndrtunl é o quucicnrr: de duas lunçírcs polinorniris. Mais adiante utililarzmm ntélodus par¡ investigar gráñcus de funçoes polinamrlrs e ncionnis. Um¡ [unçio ¡lgí-lrrlu é uma função qu: pode ¡c! express: cm temos de somugdilcrenças. produtos. quotícntcs ou pulin- cias racionais dr: polinbmios, Por exemplo, se ¡rxt-srhzhr cnliu j c' um¡ Íunçñn llgíhrim. A. : furtçlltcs que não são ¡lgóbricas sáodrns transcendente; As lunçõc rrigononrérricns, cxponencilis e Iognrítmicas, estudadas mais n rante, são exem- plos dc funções uansccmlenrcs. No rcstantc desta seção veremos como, l partir dc duas funçoes ¡ r: g_ podcrcmos com Íunçñr¡ compostas 1 o g = g o ¡. A função y - gr definida como segue: A fungo comprar: f I g é delitrid¡ como uvsxx›= rw» ' Dlñnlçio (1.11) . . o rkãrrrrnio_ de] o g e rrcanjtrnlo dc mas os x do domínio ü ¡ 1 dc g tal quc ; (1) est¡ no rlumínio d: /. 'l lJorni-in . x , r , w A Figura l 7.(- ¡Iustra relações entre j, ge j og. Nnrr qun, pura x rm dnmímn u: g, primeiro dercnniurrmor go) (qu: um» cstar no domínio Lk I) e então, cm «gundo lugar. dvlrrrrrinrmrm ! (500) llnmrnrn a: ¡ . _ l-'lprn 1.26
  26. 26. r. . m. .. Iic-wvdnr) Ann/ Qua* Cup 1 Pam a furação cnmpnm g a _r_ ¡nvcncmns a nrdcm. dclnminando pnmcllu m) c. cm sumida gua». o dumimu dc g u j e o mmunlu de ! udus o. r rm domínio d: y ! ais qu: mr) call¡ m¡ nklctúuk) d: g EXEMPLO s Sc m) a f - n gm = 3x + s, dclzxminc (n) (y a gxx) e u domínúo ru yu g. 4m (g a yxr) r u domímo d: g -› j. SOLUÇÃO (I) (l ° x)lx)-! ls(r)) dtfíníxílü dt f ° e - [(31 o s) nlrñniçãtl de g - (Jx 4 5)' n¡ definição dc f . as + : ur r 24 simplihcando o duxníuiu ! amu dc 1 cuum u: g e R. Como par¡ cada x em n (n dnmínío a: g) o vulnr gor) cslá cm n (dumlmu de j ). n dumíniu de ¡ n g e lambém R. (b) (s ° Í)(I¡-s(f(1)) 05° B " Í _gw - n dclinição u: j - 3(, H.-1)4 s dcñníção dz g . u¡ o z sínxpljñcando Como par¡ cad¡ x : ru ; e (dunlínío d: : n a funçân ](1): $lá cm a (domínio de g). o ¡lomínin d: g o¡ e n. Ptln Exycmplt» r. , VÊAC que mu» c mm) msm srmprc sâu¡ me: n1¡; f'_'« . - a j. Sc n1uasfungrr» ¡ r g têm ambas dmuarrio n_ o domínio dc ¡ a g e g a f e himhém n. me falo e ¡Iusuado pela lixcnlplu s. o próximo txcmplo mostra que o ¡bmínin de uma rrrrrçao composta ; me su dxfrxrnln: dos (hmínins d» duas Íunçñc: ums. EXEMPLO 7 Sc [(1): x* - m r-. gm - r/ I, determine (a) (y ngxx) c o domínio de j u g (In (g o fxr) c u Alumínio de g o 1 Cup¡ arrumar» nílrnio 17 SOLUÇÃO Pnlncivanxrnlc nal: quc n dominio de y c' n c que n Alumínio dc g 'é n (nnjunlu dn: ludm us : em nãwncgarivns f im: é, o ¡mcrvzrln [n, ar) Pmtcdclnns como rq-_rrc (a) u' o mu) = 1mm dcliniçño a. ¡ z g - ! (6) dehniçáo u: g 46V- 1a urrirriçaursc y = r _ m mmpllñcandn s: (onsrduínssacmm : penas a expressam final x - m_ pourrrzrrnm ser levadas a ucr qu: n dnminin . rc ¡ r. g (ow: n, po» r - m e ¡lcíinixla pm lodo leal r_ Tndrnvm, m| nau e ucnw. Por dcfmiç _n domínio 3.10 g e n cnnjunln dc ! ndns os x : m [o, x; qrmrrrarrin de g) ul que gm cm cm M (nrrrrrrniu de f). Currru rm - Jr' uslá m¡ a para¡ ludux : m [o, m), segue-sc qu: : o domínio dc ¡ ng e [u, x), (b) (g u Db] así/ w) dcíinrçñn de g n j -g(x¡ » m ¡JcÍiniçÀu u: y « JF - 1a dzfiníção de g Por delímçio. n dnminin d: g a / e o cnnjunlo dc rodas os x cm H (domínio de f) ml que ](1) = r' A no : slá cm m_ an) (Llummiu dc g). A uñmnçõu r* W ! s m: nu [o, ao) e equivalente a cada umn ms dtsigualdadcs r-huszuxzur, c mn Amar, u dumílnio de g u j e a urrrzro( m, 4¡ u [4, m). Not: que é drfucnlc dus ddmínlus d: j c g. x Se f c gsâo funçôcs (ais que v = Itu) e u = su) r-. rrrarr, subsliluindn o valor dc u tm y : m), vcm y = IMI» Par¡ terms problemas nu cálculo, costumamos inverter cu. - plocrdmutnln_ ou seja, dado y = mr) para . alguma função n_ dtlrlmmamtnumnfurmaÍunciunzlcunlposlay. ](u): u 7 , gm ! nl qua: m. ) = ngm). iíii'i¡''xx. Cí O4
  27. 27. r_ mvllllr , r (apl EXEMPLO B lzxprcssg y = (2: 4 5)' rob lorm¡ de um¡ função composta. SOLUÇÃO Strpnnh¡ quc, ¡nr! um númenr mal x_ qncinrmos calcular (2: + 5)' Lutando um¡ tnlaxladurn. Primeiro calatlaríamm 2x a 5 e em seguida clcvaríamm n resultado à potencia S. lsto sugere lazer u=2r+5 e ynrf qm é um¡ turma Ítmcilmal composta para y = (Zz o 5)'. o método usado nn exemplo prmtdentc pode scr aplicado a outras funções. Em gernl, Suponha y = Mx). Par¡ escnlher a expressão interior tr = gçr) em uma forma funcional composta, fnçn n seguinte pergunta: sc estivesse usando um¡ calculadora, que parte da expressão hu) seria calculada primeiro? lstn conduz un geral àcscrtlltn Mkqundn t1: rr = g(x). Após escnlhcr u. rccnm I Mx) par¡ determinar y z [(rt). A ilustração que : que contém ptohlclllas típicos. rLVusTnAçÀo lllnr du Furrnia : uma : :num blwlhalryr m. ) - ~= (r'-. irr1)' u= x“-s. r+t yuri' - r-r/ .Ma u= ñ~4 y-/ rT - . 7 A fnmta funcional composta nunca é ÚIlÍCI. C onsidcrc. por exemplo. u primeira expressão da ilustração precedente: r' - s: 4 1)' Sendo n um inteiro IIbÍIIÃYÍO nàwnulo. poderíamos escolher u = (x3 -. sr 01)' ey = w. Assim. na' um número ilimitado dc formas lu nc ¡onals compostas. (ictalmnntc. »msn objetivo é escolher um¡ Ínnn¡ ul qm: a exprexsíro resultante para y seja simples, como ñuntos na ilustração. , _. _._. ,_ . u re. y 4.x. JkÍ/ “u uwñin a . tmn-rw. 'ninrvféf «. -'-°r'c2:~, t.'c. r1>. 'r'-: .=$«: " ' _ EXERCÍCIOS 1.1 / . l Send-V › 4 ~ 3x. calcule [(4), [(8) cj( IJ), 2 S( [(1) - ; r _ 3. Caltntlc / r-zi. [(6) c ((3.01). Extra. 3-6: Sc a e h ; sn rula. . determine e simplr "WW (I) ! (1) (b) ll-G). lt) 41v). (dl/ ld 9 M. (e) na) +/ (It), e (t) L°i"¡)l=3¡w. 'acute que h . o, J ¡(. r)= sx-2 I ](›r)=3-4x s (mae-n: a ¡(. r)-2x'~3x›7 Entes. 7-10: Determine (t domínio d: L x71_ 4: 7 rbo-xl-Àx “ ¡Wrruraííí - n75' 9 Iw-ÉÉÊ: '-r«x›-r; .. cum. tt-tz: Determine n: [e pl! , ímpar uu nem pru Item lrnplr. n (nim-se + zr 00/00' lll - 3 lc) ! (1) = th” v M' n (n) / (rr) . . 43371975 (n) m) = 6x5 - m o 2x (c) ! (1) r ! Atx e 5) Exam. 1121: Eahoce, rm mcsrm pllnn coordenar do, as griñcurs de ¡ par¡ os valores dados ú: r, (Uttln. : simetria. Innslnçàcs Vcniclíx, unrrslaçõcs Mliluntnis, .trrrwrncrrm mt relluio) l! I H í t; l¡ llx) = ll'-rl; IS [(1) = 25+ c: 16 = @t7 o r. 17 ! (01 176: t¡ ; (1) = Jor - c)'; t9 [(1): aii-F; 2o [(4) = (x o : P: c=0.l. ~3 : :OJ-J (apl rrm. .r. ›,». -.. r2r. .r. . -u 2¡ m) = (x -rw o 7; 21 [(1): (r ~ nm_ c; Runs 13.14: o muco de um¡ [unção 1.. ... . domínio o s x s 4 e eniltidn pel¡ ligurl. Baboo: n gtiñou ar cqulçlo um. 13 (vyeñxtll) tr (b)y= Ax-3) tow/ lx) O 1 (d)›'= á)'3 lr)y= ~3/l-) t0.” 'lllxl (py [lu 2p. ) (Ior- / (x-1)4› 3 r= D,4_ r-O, Z,- 14 (I)Y“/ (J 2) (my-Itu 2) tc)y-/ (x)-3 (djy-r/ (no J wy= -z/ tx) tum-uu) (nyv/ t-um (h)y= [(x-Ó)v 3 l *h Enem. 254o: um o gltiücn a: 1. x42 sets-l zsxm- x! uma -143 seu¡ : mts-I ! GRU-l sc--2<1<l . ru : :x21
  28. 28. _ _- ›rr------_u-¡c~r-vm-, -_--. -- _- au lahhh¡uuníiltmnrlunuAnn/ Hun rap¡ 290010) . u. 11¡ m rm= !Il-ll . to m/ (x): u¡ o 21¡ m 1m ànxn (num = uxu - 3 taum = um¡ (hum = u-u + 2 «dum = II', -u Ext-ru. 31-34: (a) Drlumim u v gXr). v' RKt), [rx-uu c UIRXQ- (h) Delctmin: a donuimo de / a g, f› M: :If: - ms¡ senna/ I"- [c] 5¡ Sc m): v? ç I ~ 1, upmnnl: ummn rm avyzu--zx-'osr mywj-út-: SP 1*¡ 2 . Wy. »': ;-l »Z 1 . .zpuxune (/ ' R103) t (s " ¡X141- cvmu calcula¡ um nim 1:10 [uu ](0,m'K)| ). '"“"'*" * '°"“°'“ 'k / °“'“° ss Un¡ ! ulfnn d: :nr quam: : e ! memo ¡ n. da md: c suhe vrmcaamcnu: a vuão d: 2 m. Um ¡xmm a: mmuçsn em (muda . 1mm an ponlu : ln (não ductamcmc dctmm do balàuwty¡ a ñguln) Scndo ¡ n ¡cmpn . m ugundm, ;um 1 n» um. , u MK/ míu' SJ Dcvbsk conslmir um¡ mix¡ ¡bznn mm um ral¡ nnngqpu-. .Amla . u sa o umxnguluAac m¡ Imcmn : m um rmkíirnlu de dxãmclw 15 mu¡ 1 hgurz) (a) Se x z n tnuquivnenln u. . um. . AC', rlpvrss: u cumprimento y m, !mio nc tomo : uma da: u Indique seu domínio (SI/ Kendo o Ángulu 11:¡ nrnxxxxxxxxxxnxxx rw 'rui-pular d: cum-Im- rk S0 x 76 cm, :xpnmn . :Ímñncnn a ¡Iu balao no puma d: "w é m” 31 m; : mí; gm = A? ! toniuuínrsc uma álu x em nd¡ uma e dobrannv obscrvnçâc : m funçãu de r (m l-, iplust . mu dn lnàngulo , wc como , dum: us mu» (m. n ñgun) Expu-su n volume ¡ - ¡ 3¡ Í(*¡= '¡3'*1“= KN= V“' VdAuiu cnmoíunçãodex à “maul” h , mu» 33 ! (1)= __¡. x(: )=“5 s? 34 '- r j" ¡m- _T . zm-w, ,¡ . . P d ' hurt-s. 35-41: (o Ddummz a u 5X1): odmnlnln ' ofiñnão 4/ l u: ¡- g (b) lltlzrrrum: g¡ . um g o dumímu de g o¡ z , L z , r x as ; m = I-u; yum/ í; 2' ' _m1 ? n , _ _ ~ 59 A: [Ixlçnes : chuva: a: uma pm¡ a: Icvupunn : a ](x) = h ~ IS; go) = x¡ o 1x z d: : um¡ um: u: cumml: d: mm d: Illuu nu 37 ! W = V* * “ 51” = '75' ÍÂÊZ"ÍÍÍÍ. T¡ÍÍÍÂÍÍÍÍ. ÍÃÂÍÂ' 'XÊIÊÍÍÍLZÍÊÍÍÀ'. Í 3a m) . v3.7 gm . v. ñ 5* 9°"? '°'“"“" '^"' ""4“° °° 'W "" “m” °' . u bm da | unc Sc x 2 n . mm. pucuunh n. _ unugundmcuuna¡ mu d: :ma: .xugucm-. uns pm_ pm _m_ mm_ um” _ d¡ m d _W 39 m) : 25 - E; gq. ) = v¡ _ 3 hmmtenox nus ex| |rm010nun › : mu: em pm u Não c i_ M" d: Lunlwk _mw ¡umu d_ _ dcxummar. uma» a àrea s dz¡ supclllci: du _ 40 m) = W rn. am = r '16 lnnquc (m maça. . a. r. ' u m) = J m) = 3 51 n: um pomu tnlmul ? que tslá a h umdadex d: : 5 ' 1* ' ' um tíuulu u: mo r, ¡uça-u uma ¡nngcvuc w _ _ r -. . - . o - a m) 1 m) _ 1 54 Um aqumu nham) cm (mu, d: 45 cm a: alma. """"'“("J" "' 55"? ) 5*” ' “'*“"““ "” “m” ~ x dzv: lu um vol-mu: dc 17o n, Seynm x o P '° P°'“° d' 'mf-mm 'v . - Enru. 43-50: Duemune uma ! mma funcional mm- "'"""""°'"° ° 7 ' mg"" M” ' “Em m Exptaw y me função d: h. (Suruba: S: C -' , r , , . pm: pau y u) ¡: _¡, ,¡, .,. ¡, y um, Ma. , d( , _ e n (tnhu Ju cucnln, ne pelprrulmd. : z a) 5' . u y - (H . an") u y-â/ F a <?0F-11=v¡x"' rm ("não dt n ma mu¡ de 'Mm (b) se r t o : :iu . c. lenu c h e n : mm d( um O ' vlrktssáno (ogurtc, então podemos dulum uma Immul¡ 45 y_ É _ 46,4 . n. pin a distância máxima (à um) qnt um 9 " (z A 3) ¡nnunauu pode m a¡ mvc. Em pamtulav. uh.321›xmmu: .s43ant›om, uenm¡ *'- ¡pmxmnçao pan y. & _ g _
  29. 29. . . w . .wuttnmtrrrmdulllírn cap¡ mtu . rum'. . . . .m abrigo rzllngulu aberto rtll 2 lados verticais d: 1,20m de u. .. m. . plano_ anexo a um Irmlzñm ll u mr. plano deva rrzr de hr¡ que t. .l . .. tm uuadrldo, e os doi¡ Ludo¡ . .t4 rntrtpcrtsldo. que cum S 1 por . _ llvtillülu a, ¡wmnn dc S 400 pu: n ounsuuçio. , .. r-rtmprittwttto y em Íuoçio d¡ m NI . ri . l . , . . . l, vnlurrtc vemrumoaex. . . . ... ... .v. ~ . m progtlmn Apolo rum. . . , , «l» um t. .. . . rle : no: circulnr reto. Na um; u c b ; a Íonrn dclzmri- (I) Utilize a semelhança de ltilngulrn por¡ ex- prmuy como fundo dr: It. (blllxpraovoltumdorooooemltnçiodelr, (r)Se¡=2meb=1m, par¡ volumedotrunootdexlm valorrlelro 62 Um cilindro circular reto de mio re altura Ir est¡ uma» tum mu: de . um t1 e raio u. um 4. ' conÍortne l figure. (n) Express: h como funçh tte r. (n) Elprese o volume Vdo cilindro em tunçso d: r _ _ um¡ krvirlbprl-Mlatlo . u U l-“lgurnlfl r I# Ludo _Himno _““ _h-i o Lado Inicial ngmms Figure | .l! Na geometria. um ângulo tica determinado por duas semiqelu com mesmo origem 0. o vértice do àngttlo. ScA e E são pontos da relax l_ e I¡ na Figura 1.27, temos o SnguIoAOB ou L . JOB. Costumnmos denotar um lngulo por uma letra grcgu u, ñ mt 0. Na lrigonometria também pudemos interpretar L AOE como uma rotação do raio l¡ (llrlo tnlchtl do lngulo) um tomo de 0 até uma posição especificada por l¡ (o Ildo terminal). A qttntrlidade e n direção de rotação sio arbitrária: : podemos fazer I¡ dar vírins voltas em qualquer das duas direções em torno dc (l antes de panr em Assim, infinitos ângulos podem ter os mesmos lados inicial e terminal. introduzindo um sistema retangular de coordenam, a posiçio padrão de um ângulo 0 é obtida tomando I origem Domo vértice e o Indo inicial ao longo do eixo-x positivo (veja tt Figura 1.23). O ângulo t) é positivo para um¡ rotação anti-horirin, e negativo para uma rotação horária. A magnitude de um lrtpult) pode ser expressa seja em graus ou em radianos. Um Angulo de medida cm grnus_ l' corresponde I à de uma revolução completa na direçño anti-horária. Um rrtinutu (l') é de um grau, e ttm segundo (l") é _i_ de um minuto. No cálculo. a unidndc d: medida angular mui: impor. tante e o Indiano. I'm¡ definir um ndíunn, mnsídcremos o : titulo unitário U com centro na origem de um sistema retangular de coordenadas, e seja 6 um ingulo nn pmíção padrão (veja n Figura l.29). Fnunrlu o eixo-x rodar até coincidir com o Indo tcrminrl de H. seu ponto de intersecção com U percorre uma om: distância I até chegar n su¡ posição final Pçr; y). Sc ! é cortsiderado positivo para uma rotação : anti-horária t: ncgat ivo par¡ um¡ rotação horária. então 0 6 um lngulo dt rradiunus. c escrevemos 9 = r. Na Figura 1.29. ré o comprimento do arco A77. Se 0 = l (isto é. se O t um Angulo de 1 Indiano), então o comprimento do arco XP em u e n (veja n Figura mu). Como a circunlcrênci¡ do círculo unitário 'E'2n, ~ segura: que Zn radianos = 360' Elsie lato nos di as seguintes relngúese
  30. 30. lmy; a . = ¡NHLSÍAFHH- . - _ u llllndauwlhwndnaAmhlvtu (apl (uq-I Rrnxánprlrrdlnmu n n z Um ângulo ctnlm| dc um círculo e um ângulo n nn. . , , vêrlic: coincide u ccmm du círculo (Fnguva 1,31). [hu-ums nnxaugne o urcuA xublcunir' n ãngtulu n uu que 0 c' Aulurnxlhln , z pu H. Dnrsc n scguu n rtlaçãn : nm: n cnmpriIm-Ino ; d( An', a mma. . . n. IuJmnus u. : 0 c u mu uu tínçulu y v / Comprimento de um arco circular (1.14) ¡ 4 , _ _W_ , N_ _ _ , Se um suco . u wnxprimnnln x num círculo dc raio r . xulvlcndc ' um ãngula ccnlrnl d: mtdid¡ 0 cm radmnrrs. cnlñn ' 4 . r = IR _ ' 1 B _ . . . . . , _ - A Figura un oEMoNsmAçAo v n . , . I ' s. : _r_ e u ¡rumpnuxcnlo a. - qunhluc¡ oulm mu du círculo_ c 1 ” _ _ a_ é a nncmda cm indianas do ánguln ccnlval roncspundclulr, A Relaçaas entra graus a radianos (1.12) - ' A znlñn, pela ¡Lmmrlría plana, a vuãu dos : ums é a mesma qur n 7 , n - nzàn das medidas angulares, isto e, m_ = 030v Llundc x x_ ' , . ~ 0m . Sc considerarmos o cam : special : m qu: t) = :n nnun , . . s: , um n . - [80 = x mdunus 1 n mind l ndmm - “mm u¡ x¡ = 2a, , ç obama; 5 = zmmzn) = ,e_ ' A l ' Uuilmrcuuuus nmis adimuc o plóxixm) Iesulludu. ' , . Aproximando man e nao/ x. nbkmm Área de um : ator circular (1.15) o 4 l' - 0,01m m¡ u 1 m1 . . 5729573' 7 . O próximo Icmcmaé uma come uênci¡ das Íúrmulas : m 1.12 . ' S: 0 é 1 medida em radianos de um ângulo ccnual : lr um O l 110mm¡ (an) . 31:13:32 ram r c : :A b n árca do suor cnculnr drlundu pa¡ . g v: _, __ l_ _. -._ _. V. A . _ (1) rm ¡mnmsumv 1¡ anca : m graus, mnlnpuquc po¡ Isa/ n_ A , A ,10 . , _ _ . . _ . 1 _ m) rm lmnsfurmal yum em miiuncrs, InuIlÉpHque po! »nau 'W ' ' ' '" DEMONSYRAÇÀO o - quando xr da' a medida em radianos. /nin se india¡ _ _ A _ , ¡,, ¡,¡, ¡,, ,_ _asim_ S: um “gnu, um mcdld¡ u" ¡amanm 5_ A f-lguru 1.31 cnh: um angulfnlplcu c 0 Cnnnqunnxxlruylu* -. p n ¡sucvcmog n a 5 em ¡ugm de o í 5 udmus_ Qumdo se um cncular. se 86 quulqucl unuu anugulnxcçuxlnnlcn_ . . . nu Jwv m¡ dcmrdm¡ m¡ ânus_ cscnumos a = 5-_ conespondenle. rmáo. prla gcnmcm¡ plium, AM_ mu_ _n b I A : Aprür Cumidclandu u cnsu npuinl u_ : n . .. 4_ . .. í r r - - - r r _ . _ ¡ ~ o- a Hbulíunm n g g x_- ; r g1; g s_n _S35 4'¡ 3:; Sn 7;¡ un “A ' “'B“Z1)'i“°' 5432346" 432x457” ^, ›¡- u. m* n 7"* V* ~~ A r ~ _ sus unçocs lxwnníunénius S: - _ . anus_ : lr n): _w no' 0:' 12o' n35' no' um' 2m' 11s' 24o' 2m' 3m' na' . .u' . um lnngtnlt, a cueca-amu: scmnlc cl.1c'¡›)›l. ¡›¡| “_ ¡. -_ . . ¡ . . 1 . . . 7 7 7 A y mente. Podcmos dcfimr as fun ôcs lmunuuvnrlvna v. um m Ç A tábua : Lima exibe a . cimo : nm medidas rm mrlinnos dc um inguxounu de um númcru un¡ u. u. . . ¡.n-. .. n u. .. ¡. .-. [1 _n_ . n ü - e : :m graus, pm vánns ânguln¡ usuaíx. Os vulmcs podcm m u V qw uulíum ángulw _ . . . .. . . Vmmzdm 'mmwm M a “meme um' 1. se B I: agudo (u < u < rw), ¡nnlcn. ..-. mrlun¡ n. .. n. . . . n. rcrángulo. 7 ' O_ 4 s_
  31. 31. l rtnrruu-r n_ mnmrn-nnnrs (1.16) . rrullurd Cup¡ lmlru . ... .nun . ... um urubu I' Z. Sc 9 é quulquer Angulo (em posição padrão), podemos utilizar n ponto Hmh) em que o Indo terminal de 0 inlerccpta o círculo x* a y' = r'. Nus dcliniipães que seguem. ns abreviaturas adj, op e hip sñtr usadas par: designar os comprimentos do lado adjacente. do lldn oposto c da nipnrcnusa de um triângulo retângulo tenda 0 cnmo lngulo, Ínmumtngnrorguuuoz' i V, r' . '›. ,-. .*; .1.. - :1 (ii) De um ângulo quulqucrB; , y _ 4 <r. - . (na) De nm número mr . a ' 0 vaio¡ de uma img-da Irigonamélrrm para um mlmtm ! calar é valor em um ângulo de x ndirrrxys. Note, por que não M dilcrençn entre funções trigurrn- mátricas dc lngulus rmdidrm em rndranos c funções lrignnumt- [rins de um número real. Por exemplo, podemos interpretar scnZ : uma «seno de um ângulo rle 2 radianos m¡ como sendo a seno do número real 2. Os vnlures da< funções trignnométrkns di: ângulos agudos em (i) são um: : dt lados de um trlângulo relllngulu, lugn, são rtúmems reais positivos Para o : :um gcrul (ii), o sinal do valor da hrrtçán depende rlo quadnnlc qu: mntém a Indo tcrrrlirrll dc s. I'm exemplo, sc e est¡ no quadrante u, então a < 0, h › n c na¡ scn e = br; › o e (sc o = ;m › n. As nulras quatro Íunçücs são nega vas, A Figura 1.32 indica csquemntíramentc estes tam. 0 leitor deve vcriñcnr os sinais nos qrudrinlts restantes. fü-¡ít7$“~'lf“" A *r n-; ¡.. =~= -.a›- '. - '4H. "›-I«-, -›&~(vn. '.-"¡ 'v Identidades fundamental¡ (1. 17) Cup¡ nn-rtnopnarçrrn r/ Observe-se I punir dc (ii) da Deliniçño Llú que o dnmlrrin dc sen e nos comisle em todo: os ângulos O. Como tan IJ c sec 0 não siu ¡leñnidns sc a = (l (isto é. s: 0 lado lrnninnl dl: 0 está no elxOAy), o domínio de lan e sec consiste em todos os ingulm excetu us dc nredidz cm radinnus (r/ Z) 9 mr. onde II é um núnrcm inteiro. O domínio (k col e tsc cunsixtc cm todos os ângulos exceto os de medida um radianos nn, puis cnt 0 e CSC 8 não . .no nchnidos s: b = O. De (ii), nun-sc que lsznülshkmülshkscülz telsecujz r para lodo l) no domínio destas Innçrres. lnrlicnmos e seguir llgumns relações importantes cntre as funçôcs trigonornelrícns. lzmbrcmos que uma expressão ral comu sen' o signinca (scr: axu. . o). “rh-sería unmãg: “temendo-r sua. a wre-: T: megaman HooÚB-csrfo nlidzde lundzmcnlal pod: ser demonstrada recor- rendo eu item (i1) da Deüniçáo (1.16) Por exemplo: gar'. 'r- ' ' l: (m. ) : :no g (Hr) mu) ! I'M/ Il (m6 1 - *br H sclrlilorofe-go * - 159: As identidades fundamentais são úteis para mudar a Íormn d: uma : xprmso que cnvntvg rnngrrcs lngorrumétncax. Par. : ilustrar. :uma cus' 0 = l - sen' 0. No Capítulo 9 utilizaremos srrbxlrnnçrkt nignntnnt-¡uttn do tipo ilustrado no próximo excmpln,
  32. 32. 3a Cálculo m. Gandra¡ Andina Cup, 1_ EXEMPLO l Se a › 0, expresse v/ a' -F cm Iermus do um¡ fundo lrigono~ mérricn de B scm radicais_ (amado n suhsmuição Irigonomélrica n ll x-aunB pan ~ sas- Z 2 SOLUÇÃO Façamos x = u scn B: 673?- v/ PÍGEWW s- FZYEWFUT . r/ a'~(1 Jin-n? 0)' . ññfà' - a cus 0 A última igualdade é verdadeira porque, primeiro, v/ É¡ - n a: u > 0, esegundmscrIIZsOsH/ Zznrnncrvsüaozdal ricos' õ - em B. H¡ vírios mélodns para achar valores de funções rriguno- métricas. Para carlos casos : spc s podemos referimos aos triângulos [atingidos da Figura 1.33. Aplicando (i) ¡In Dcfiníçàn (1.16) ulucmus: Valorn aapcclala das Iunçóes lrígonomélrlcas (1.18) Duas mñcs pan¡ cnlriinrmos esses valores espaciais du) (I) que cl: : são exatas e (2) qu: eles ocarmn com lrcqñêncíh n¡ lrigommelria. Em vim. d: sua imponência, e cunvznicnlr. s: não memorizar a Iibua, pelo mcnus scr capaz dc dclcrminHns rapidurrrcrire cum : Auxilio dos triângulos d: : Figura 1.33. Ângulo: de ICÍCIÊIIEÍ¡ Figura 134 Cup! Rania : rérdlculu 39 É pcsslvcl aproximar, com qualqucr grau de prccisáo, us valores das lunçñzs rrignnnmtiricas para qualquer angulo. A Tábul A do Apéndici: Ill dá aproximações de alguns valores mm quatro decimais. As calmlndora¡ científicas ! em teclas SIN. CDS c 'FAN que podem ur usadas plrl obter : asas aproximnçõrs. Os valores de tsc. scr: e co¡ podem scr ublídus uiilinmrlo a tecla de invcno l/ x. Aut: : de um! n : alan/ adam para adiar rwlnres definições que rmrcrprtrldun un tudinho; (rrn/ iqrle-Sz u: que n CAIÍCIIÍII- dam (nú nu moda rudmnu. Pan¡ valnrn de fuuçócs m graus, a calculadora deve estar no nmzln grau. Como ilustração_ para achar sur 30' numa calurlaclnra tipica. coloque-I no mudo grau. cnlrc o núrnem 30 e apenc a recla SIN. Ohm¡ sen 30' = 0,5, que é o valor exato, Utilizando n mesmo PIOCBSSO para 60' oblcmos uma aproximação decimal de 5/2, como, pur uxcmplu. seu 60' - (LSMMISL Du mcsma modo, para achar um valor ral como cm¡ 1,3, onde 1,3 é um númcro mil ou a mzdirla cm radianos d: um ângulo. colocamos a calculadora no : nado radiano. entramos 1,3 e apcnnmos a Iecla COS ublcndu a5 1,3 - 02674938, Para dclcnriínar valores cxalos de funções Irigonomêlricas para um ângulo 0 em (ii) da Dclimção (1.16). às vezes uulizzmus a Angulo d¡ nfcrincia rle 0 7 islo é, o Angulo agudo B¡ qu: u Iadu lcrmínal de 0 fa¡ mm o eixo-x. A Figurl l 34 ilmlra o ângulo dc : :falência B¡ para um Augulu em cada quadnme. . a. Moslrmse que. para achar o valor rlc uma função Irigmro- ruélria em e_ podemos dclcnninnr seu valor par: u ànguln m: referência o¡ u: e c enlúo prcñxar o sinul adequada rclcrindor¡ au quldrhnle que coruém e (veja a Hgun 1.32). V EXEMPLO 2 Dclzrminn sen B_ cas ll e Ig 0, sc ii'iiliil
  33. 33. | t, .. .u l th _Itu , tm ! Lurt m m w lu_ n, (I) 0-; (b) 0-315' SOLUÇÃO A Figura 135 ilustra o ângulo e seus ângulos de referência Utilizando valores funcionais de ingulos especiais (LIS), uu ÍEIIWSÍ (a) aznsgl--acnã-ã CDI' --COI§'-': 6 (l 2 S. 3 (b) sen 3l5' u -xm 45' - v/ í ml' SIS' - co: 45' - í lg 315' - -lg 45' - -t Se usarmos uma calculadora para apluximur valolcs de funçoes_ os ingulm de tercteucta turnar-sceio desnecessários. CAJHIO ilustração, para achar sen Zlll', colocamos a calculadora no modo grau. lnserimos u número ZltJ e apertzmos a tetlzl SIN, obtendo sen ZlU' - -0.5. que é o vlltor exnto. Usando o mesmo processa parti 240 . ohtcrrma a aproximação decimal : cn 240' - 0,866054 Para achnro valor exalodc sen 240'. não se deve usar llma calculadora. Neste caso. achamos u ângulo de referência 61|' de 240' r: usamos o teorema sobre Angulo. : de relclênciajunlamertlc com resultados conhecidos sobre ângulos especiais, obtendo v' seu 240' = 'Sm 60' - 7 Par¡ trnçnr o gráfico do seno e do (TD-MIN). ¡lodcmos csllldat ll vtttiítçàn dc sen u e cos o qunntlu e varia, ustltlLlll um Clrttllo unltálm Uem (il) da Deülllçãu (1.16), Fazendo r = l, :ts fórmulas um t) = nl¡ e sen B = blr tomam as (arma: mais simplcs coa 0 - n t: sr-n ll = b. Largo, n ponto Por, b) em U pode sc denotar por Plata lt_ sm 0). conforme ilustrado na Figura 1.36. Fazendo 0 nltlllclttnr tl: o a 741, o punto Hcos o. sen a) permite u : ítclllu CIP' Knarartpr/ ullrriln JI unilirlo tinta vez no sentido Intl-ltoririn. Observando a Lourde- Miley. sell B, dc P. obtemos os seguintes [atos nos quais ; lx tem . são umln: para indicar ils vllriaçilcs dc B e sen 0. (Por exemplo, n -o : tn indica qu: : e attmtltll tlc ll I m. t: o -l slgnlñcl que sen 0 aumenta dl: O a l). , _.1!_. .. Ma lt. 0 z n 2 Zn senti' 04l-l)--t-0 Sc P clttllínul a percorrer U. o mesmo padrão se repete a intervalos [L1, 41|] e [M, (ml. Em geral, os valores dc sen 9 se repetem un todos te¡ intervalos slttrsílvns rle amplitude Zn. Uma lllnçio I com dominio D é periódica ai: existe um número ¡xraitlvo relil l tal que x o It está em D e[(x›k) = [(1) pttra tudu x em n Isto implica que o grílñcu de , r se rcpctc a intervalos . xuoetsivtlx rle amplitude Ir. Se existe um mentir número mil positivo It. e cltamido o pet-rodo tic r. Segue-se que a ! unção seno e ¡teriódica mm período Zn. . Utlliundo este fato e ; ralando diversos pontos, tornando valores especiais di: 9 tais como M6, n14 e 21x13, ubtcmm n gráfico da Figura 1.370), em que utilizatllus 0 u: .r corno variável independente (medida em radianos ou números tenis). o grârtcn d: y = cus o pode m uhlítkl 'de modo análogo. estudando a vrlrinçir) (ll etmrtlcnitdrx, :os tl. de P nn Figum lJõ a medida que t) cresce. O leitor deve verificar os gráficos rcsranlcs da Figura 1.37. Notc que o período das funções lanv gente t. - (rhlllngcrllc é n. Urna eqllnçio trlgonomítñca é uma equação que ctmtém expressões trigonnmélrícns. Call: 'deutulatlc Íllndamcnlnl e um txentpln d: cqluçio ttiguuutttc' ca. onde cad: número (ou angulo) uu dominio tl. variável e uma solução da equação. sc um. : equ-. tçiit tyigouumetticu não e uma ittctttidutle. em geral obtemos soluções utilizando técnicas nnálogzls : ts usadas para equações nlglíbrlclls. A principal dlÍercnçl é que primcltú resolvtmm a cqunçãu triglmométtica em relação n scr¡ x. cus B ctc. , e em seguida achamos os valores de x ou U que snlislllçnnl a equação. Se não . tc expect/ ira u ntrrtldtt nn gratis, :nrún ut SOIUÇÍK¡ tlc . mu. rqlulçríu lrignllmrtilriru um». m : xprrsyl: em rutluinm (air : nina-rol reais).
  34. 34. n ("druid m. .. Centrum: : Amlhluu (util _ (i) y: :: nx (ll) y: :nn 2*' m y- ecc¡ u¡ Flgun 1.11 EXEMPLO 3 Dclcrminc as Suluçñes d: equação sm l! = s: (n) 0 está no ¡rncrvalo [0, 2:! ) (b) 6 é um rca! qualquer SOLUÇÃO (n) S: scn - â, :mão u ângulo de rcfcrõncia para O 6 11/6. Sc cuusirkrumxzs 0 como um ângulo na posição padrão, então, como SCH ñ › O. o lado lennínal dc 0 (Há nu quadunxe l nu no qundnnl: u (veja a Figura 1.3x). mu. .. u. : dum¡ snluçócs para o s o < Zn' u» Cumu a (unção m. .. m. . período 2.. . podcmos nblu todas as snluuks adicionando múlliplos de 221 a : :[6 c 5x16. Daí vem Cap! NrLnúuprIf-nJ/ tulo 13 o - ã . 2.1.1¡ e o g + 21m pm um. . ¡nlcim n Figura 1.39 Um¡ solução gránca : Illcmnlnva envolve n determinação d. . pnnln : m qu: o yáfnm . lc sen 0 imerccpla a nela honzunml y = 7;. cuufunnc ¡Iuxun a Figura uv. Dada mm¡ equação lngonoméxlic¡ . ..I como su. u = 0,6635_ ¡mdcnms aproximar l) usando uma calculadora ou uma líllnu Cenas calculadoras ! Em uma Iccla sm ' . .u ASIN para em m. .. Cum uuuns, é ¡utciso apcrlar INV c cnmo SIN. Essas nnIaçm-x baseiam-sc nas [unçóex Irlgnnotnélrltllr imwms, qm: .. ..u. estudadas m¡ Scçãn 8.2, Como vucmos. há uma¡ furação (klmlmh por sen A. ou arcscn. !ul que: scn" (seu u) - a sc f* s a s ”~ (. ... Voo' s a x90' 2 2 Nei: que csi¡ lónnula indica qua, aphcandn seu* ; r m. u_ obtemos 0, dead: qu: 0 salisfaçn a( rcauiçoes Imliculhu 0 próximo exemplo lluslm o um dc um: : Cillflllznhvvm u. . resuluçáu d: uma cquaçiu Irignnmxélurca EXEMPLO O Sc sm e = 0.5 c 0 t um ingulo agunln_ m( mm¡ 4 . .h uhdnu. ; ¡. ,.. .. aproximar a medida de B (I) em guns (b) cm rullinnux soLuçÀo (I) Cnlmue 1 cnlculaldxua nu Innuh¡ ¡mu! !um 0,5: «LS (v--Iw -Iv n vn Apcvlc INV stN SU (nruluv. . . .. , ›., ... . . n. n¡ (la) (lnluquc a . ›.. L.›. .t. ..uu. . nu . ... ..uu . ...4.. ... .. ! mim ug. n). ¡. ..1.. . . I. ~. .. m Aprnr | NV SIN u_^. ,'^. '›': u nunlulun. ... !.. .-u | n¡ aan. .. lffllltll
  35. 35. l. , . ... r l Ill l. .›. ... . I. «II u l( AJ' u . _. .. lnnmrlllll Alcalina¡ rap¡ _ O úllinlu número é um¡ lproxímnçlo decimal par¡ ulil lngulo de nledid¡ alo rzrlizlros, E . ..-poa: ... : . ... u. que h¡ muitos valores de o tais que sell 0 = 0.5, todavia. um. : calurlrlrlnl¡ ll¡ apenas o valor entre O e ! U2 (ou entre D' e 90'). Dr¡ mesma forma, se sen 9 = »Oi I calculado" dura' uma aproximação do nlol 8 = -rr/ G (ou a . -. 40') entre -rr/ Z e o (. ... .. ... . 43o' r: 0') Na Seção 8.2 dcfíniremus Iambém lunclles denuncias por cos", ou rrcos, e lan ', ou nrctg. com as seguintes propriedades: ms"(r0sli)-ü se usou. lmouoslslr) . g-'ugmw sc _gang (0u-90'<0<9U') F rs funções podem ¡t! rnlprcgadas da mesma forma que SIN" (isto é, INV SIN) usada rlo Exemplo 4. An mr uma calculndwa para : char s. devcmvse observa as rtstnçocs quanto n a. l-u. exemplo, lu' muitos (infinitos) valores de r. tais que tg = . l; .. ..tam, .. ... a calculadora . u. . ..um u valor que es. .. entre - rr/ Z e U (ou entre --90' e 0') Se se descjltrrl outros valores. potlenrc proceder como nu exemplo seguinte. EXEMPLO 5 Se lg 0 = «Q4611 e IT s 8 < 360', determine E l menos de OJ'. SOLUÇÃO Sc eslamns utilinndrl uma calculadora (modo grau) para ncllar o . ... ..mm lg tl é . negativa, então a rnrdlda em graus m. . . u. intervalo( 9o', 0'). Fm partimlnr. .cmo. - Insira -(l,4623: 70.4513 (valor dc tg n) Aperte | NV TAN: -14.8lll0l (um vlllor de ll) Am. .., a aproximação em ; mts e - -mr. Como desejamos obter valores de U entre 0' l: 360'. usamos o angulo . t. reielénrn (aptnximmltr) u. . . 24.5'. H2' dois valores . ... ..-nais de n luis que lg o e negativa _ . ... . no q. ..d. ... ..c u. .. ..ln. rm quadrante tv Sc a cslfl na quadrante ll e u' s e < 34.0', lemos : o . iluação . ta. l-'rgum J 4D. c n = lsu' - t›_~ mu' e zur', ou u - 155,2' o está no quadrante IV e o' s e < 350'. então, cnniumle 174.. ... . 1.4., Ve. : sp-: :smelezsa 'ter "J ; E23 . ã ; l "l 'wuy›. uze»xu. ›v-. -.ans ~ : v23'-›. .;. e». :.. u:z~; «. -. . A* : warm u: rap! rnp. ... ... ,.. ,v. .rl. ..l. . 4. 0 a 360' -0¡ -n 360' - 24,5', on 0 ~ 315,1' u. .. . ..credo de resolução que . ..'. .. envolve ñngulm . r. referência consiste en. Irsnt o lnlu de que n função lallgelllc lcm peliodorl, uu m0'. Aut. .., :pós . .hm o - . ur, .. ..news an. .. ângulos apropriados entre 0' e 360' somando 180' e 3m', mu. .. segue: 44.8' r 150' n 1551' -2I,8' ó 360' 2 335,1' Existem muitas rellçócs imponentes entre as Íunçírcs trigunolrlélriezs. As/ órmuias para M nzgallvas sao m¡ (m) = -sen u cos (-u) = cos rr lar. (-u) = -lon u c. ; (41) = 4x u sec (m) = sec u col (-lr) e -cnl u Luas lórrrlulas rllostram que o seno. u tangente. n co-seuntv e 1 oo-tzngente são lunçñes ímpares, e o co-seno e n secante funções parts. conforme Inlllllénl indicado pelo: simetria» dc seus gana. .. . .. Figura 1.37. A¡ [ânnlllas rle adição e subtração par¡ o seno c o covmlo são sen (ll x v) = sen u : os v e cos u sen v : os (u x v) = ms u cos v; sen u ser. v As fórmula. : d. . ãngula dupla par¡ o seno e um. .. são sen 2ll = 2 sen ll cos lr : os 2.. = cos* u r sen' u = l~2scn'u=2cos1.. ›l As Iórmlrllu d. . ãrtguln "mude são , l - cos Zu . mn u- ~r 2 , l o cos Zu : os u- 2 f' [mas e outras lórnmlas úlr-. s no cálculo estão rrt: .ri«›. .,. .l. -. . ..- llliclu deste livro
  36. 36. «o mind. .xmmupguannurrnxu ("apl rzxinrívlos 1.1 Exerrs. l-I: Ache x medida : :na do ângulo : m lmhanus l 1111150' thbllü' fcJ-JSIT (d)<bU' 1 [IJIZV 410210' ruaw' (fU-JJS' Fura. JJ: Athc l mnhdl Bull «lo ângulo :111 3111115: In 7x J m? (1.15: 1:14 1111-3 41.03%" an? 10%* 1111-52" Burn. 5-5: Ache n cnvnptiununo a. . . m. q. .. . ..bu-mx um inguk) : :mui u : m unncintnln .1.- amam. .. . l. s 9:50'; 11:16 (n 8:12; 42120 Burn. m: A11): ur: vnluvrs de . z y . x. Ggnu. Ewrcs. 9.11: m. . us valous a. : Íunçrks (1150110- nntlnvas w 11 4 11m 1.9.1.. 1511111) 1 1 9 «nO-Â 10mm. ” 11 lg0n f¡ 12 : mn um; 13.14: s: a : sli n¡ ¡xmção padrão, e Q m: m) lado Icnnlnnl c: e_ m): m um. .m. hmçñcs lllgonmnémcai1lc e_ ll (214. 1) 14 qu. 715) Extra. 151a: Seja e . .. posição padláo, cum na. : krrmnul no quadvunlv: espccüicmlu c . ... .hmm 1 mndmio um. . Dcícrmin: ns vulmci d; l ouxxgm nigononnllnct¡ . o. e. 15 111; panlch 1 . m Zy - 1x › 2 = o 16 IV; ¡xupcndícurau 1 : em pru . us, 12) e N( x3 Runs. 11-20: s: o e . ..n ângulo agudo, use Idem 4.a. .. fundzmcnlais pu¡ escrever x pnmeiu <xpn5~ mn : m ! urnas . s. scgundl. 17 011m4 6,5018 (Msn 0.21.1¡ ll (n) Ig 11. cus o (masc 11cm u 19 (n) 1g o_ sec 0 11mm 11. s: : o 10 (n) n11 8. : v: R (M1115 B. :ul H Exam. 21-26: v1.1:: .. . Enempln 1. nça a . mu. ma. . uigmmméuir¡ 1.1.211.. e 115: idcnndmlts fundamtnllns pan obter . ... .. cxpvtsún u1gorwnué~ na. .. simphficmh que . .1.› mmcnha 121111211, 111/1647: : :lnnlhpzul-: stis: x-axuxuxpxxufuu” Z x= ilgñ, mvn-â<ô<ã u? , 1=2IgB. p1111 nã; r~3scc0.pIrn0<0<; 26 HMP-FS; xx 5sccD. pan0<0<: Exata. 27x31: Mhc o vala¡ : wo 17 (I) 5:11 (Zi/ J) (b) sm (- Sul-l) Zi (a) cm 150' (b) ms( 60') 29 (t) 1¡ (57116) (b) 1g (- n13) JD (n) cu¡ IZD' (b) m¡ (V150) J| (I) SCC (Za/ J) (h) m (ql/ ñ) J¡ (l) : sc 240' (| .l) IS( (AMV) Exam. 11.31: Fuç¡ n . ... rm. de 1, 1111l1uv1d1v alnn~ gnmzmu, :: Haia «. .. lnmlnçãu 13 (n)I(1):1¡st111 11-1111): 454111 34 . .um . mu. 3/1) íhHlr) = w. . x r 1 2 35 (IÍ/ (Úâ 20080911) (h›[(I)=2tn§ à] 3¡ (. ) ; (3,1 a : rui x u. ) nx) 5 . J u» x 17 (11/(1) = * 'E I (MIO) = 'MI T4) a¡ (1110) › j ! gx mu. ) - «g (r v m) amu. 39-12: Burn y rm Íurm¡ .1. ! unção compum. J9y-v/1g7x~›l wyzc1ll)(ll) Jly-yccuutl-l) um: : x4.. a: Szf(xj= mst, mmllcquc l(&'1_-ml_n, sx(svthrl), un, [sxh) h u Se Adzscn x. :mm: qu: A! 21210) _ m_ (m) '[4] , mu( u) 1mm 45-54: Vsnñ-¡ut 11 ídzmidmr. -15(1_s. ..'1x1on¡! ¡)= 1 -lásccll-cusa-Igjlscnñ 1¡. cm¡+. ¡.= uugc¡ 49'; :*; ”«m1¡1-m. ¡1 l --csc1ormz so r v (SCI-GUI: 51g. . 3.. = men .43 - 4 sua u) _um 1 Nvrunwplcnuhulu «- SI 2 5m' 21 0 co» 41; l s: musa) - . . ... o › j¡ nn zu 54 scn'? _1 . â/âcma¡ . âmxx. Exms. 55-56: na. : lodas : s soluções u. . rq11.11_. n› 55 2ma2U›VÍ~ll sozunwwz . u um; 5751: Au. : . s soluçõcs u. .. ... .Nu n11 [TL 211.) s72unH-1 Lenu sacou¡ cnll 1 592IgI-5er71=0 60sc1uocmxcnu= cscx GI un 21v5cnl=0 62 (41514 1 m¡ . h. n H1gZx=1gx Natnâuccuxu 1 Lc] Enem. 65-70: Aplonmt, n menos 111: 111', as wh¡ me¡ da equçuo qua : mu u. . m', 3m) 65 sen a = 4151.40 u ms o u 11.7101) a1 1¡ e . 2.795 6! sc: D=-| .l|6 'lo m0=1_-11<s s! cm 11 = 41:11.01 mn um. , = (un x _nos . .u/ mx p. .. 1 . . x 1 c : sum: os lnumpunux. 5312 Apmxime 1 soluçáodn equnçãu . -', |u111I1N nmlo o pancuw : baixo: (1) aum y = x e y - ; um 11115 . ... ... .. . conrdemdns. (2) Usn 1:5 griñms :111 (1), ... ...1.. .~. .. .,. .. primliva nptnxmnçãb x, 4;. . .1.. ¡.. .. (3) Delcnninu ¡pmximnçñn mm x. .,. .empregando 11s ! funmlxn x, H . 5mm_ , hlénluu1111)¡¡. n11-. ,1.. ›1. seu¡ drunml . . ¡ . ' . ' . ' . 111111111111115 c. .
  37. 37. . . .. m, «'1,q . ... .zu voa-neve nuestra. '~nmmawarcpnnrfw-mbIà-'kí W* ' , ,_. .,w, ..«. ... .›¡. ›_, wnvr. -nv'~ a» u - -›- ~ v Capítulo 2 MAKRON um LIMITES DE FUNÇÕES INTRODUÇÃO O conceito de Iimilc d: uma funk/ é um¡ das idéias Íundlmrnlais que dmlingucm n : Hculo da álgzbn e d¡ lrígunomclria. No descnvolvintcnlnr do cMculu no século XVIII, o conceiln dc limit: lui mudo inluílivnnlen- lc, ul cvmo fazemos : qui n¡ Seção 2.1. onde supomns que o valor dc/ Ix) Icndc pa: : um «no número L quandnTucnde pm um númnm a. Ou seja, quanm mais próxima d: L : mim n valor u: [m, mais próximo a: u csmá x, O pmhlcma dem dcñniçjo : sui na palavra pránnm. Um cicmisla pod: cumidc- m¡ u : multado de uma ¡Mnsulaçio próximo dc um vzlu¡ uam I. quando estive: a 10* cm dc L. Um mvrcdor pmñssiunnl mu: : nun próximo da mu: : qulndo estiver a 50 menos do ñrunl. Um ¡snónomn às vezes mcdc a pruxi dndc em ¡l'| (7-1|| l.ÀL! ¡m, [13lI c ' nmmgm -dc, i pvtcim ! urmular uma : lchnr çrm da: limite qu: ním mnlcnha : n palma¡ próxima. Faremos issu n¡ Seção 21, enun- dumlu o que c' ¡radicíonalmcnlc chumazln xicñmçáu z--b m» limuc : lr uma fuuçdu. A dcílniçáo e pvrcixn e ¡plicávc! a quzlquu situação que queinnms unlaidcnl. Mais nham ! e IWSIC capímku diwuüxums ¡Impritdadcs que ¡xmxilviluam calcular muíms limit: : de nunk¡ fácil, sem «min para l deñniçàu E-h, N: : úllima seção utilizamos lnmius pau dd¡- mr [unção continua. um cunccilu Inrgamtnlc cmprcgmo zm mao n cilculu

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