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Estudo de caso: o professor de Matemática e o ensino de funções reais

Apresentação da monografia do curso de Especialização Matemática - UFF - 2009

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UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO
DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA
EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O
COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS
FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
Andréa Thees
Orientador: Prof. Drº Wanderley Rezende
NITERÓI
2009
COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES
NA EDUCAÇÃO BÁSICA?
Alguns sintomas...
 Pesquisas sobre o ensino de Cálculo revelam um primeiro
sintoma
 Botelho e Sá apontam o segundo sintoma ao realizarem um
mapeamento de livros didáticos
COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES
NA EDUCAÇÃO BÁSICA?
Por outro lado...
 (Caraça) Resgatando o conceito de função através de
interdependência e fluência
“O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática
que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de
interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso
Universo” (Caraça, (1942)
 Recomendações dos PCN’s: o imprescindível estudo da variabilidade
“Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira
certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações
diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações
problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a
buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para
construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática.”
(Brasil, 1997)
A PERGUNTA
Como os professores de matemática da educação básica
utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao
comportamento variacional das funções afim e quadrática
na resolução de problemas?
A MONOGRAFIA
 Capítulo 1 – O Problema
 Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do
conceito de função
CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS
Função afim
 Nicolau de Oresme (1323-1382)
Algumas representações gráficas
de Oresme para o movimento e, ao
lado, uma representação gráfica
para o Teorema de Merton.
O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo
de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos
escolásticos e Galileu.

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Estudo de caso: o professor de Matemática e o ensino de funções reais

  • 1. UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Andréa Thees Orientador: Prof. Drº Wanderley Rezende NITERÓI 2009
  • 2. COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA? Alguns sintomas...  Pesquisas sobre o ensino de Cálculo revelam um primeiro sintoma  Botelho e Sá apontam o segundo sintoma ao realizarem um mapeamento de livros didáticos
  • 3. COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA? Por outro lado...  (Caraça) Resgatando o conceito de função através de interdependência e fluência “O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo” (Caraça, (1942)  Recomendações dos PCN’s: o imprescindível estudo da variabilidade “Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática.” (Brasil, 1997)
  • 4. A PERGUNTA Como os professores de matemática da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática na resolução de problemas?
  • 5. A MONOGRAFIA  Capítulo 1 – O Problema  Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função
  • 6. CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS Função afim  Nicolau de Oresme (1323-1382) Algumas representações gráficas de Oresme para o movimento e, ao lado, uma representação gráfica para o Teorema de Merton. O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos escolásticos e Galileu.
  • 7. CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS Função quadrática  Galileu Galilei (1564-1642) O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos escolásticos e Galileu. “(...) o espaço percorrido pelo corpo é diretamente proporcional ao quadrado do tempo usado para percorrer este espaço.” © Istituto e Museo di Storia della Scienza
  • 8. MAS AFINAL, O QUE SABIA GALILEU? Galileu empreendeu sua explicação acerca dos fenômenos do movimento, utilizando os saberes acumulados em seu tempo. Esses conhecimentos, que são anteriores ao Cálculo, também estão presentes no conteúdo programático da educação básica.
  • 9. A MONOGRAFIA  Capítulo 1 – O Problema  Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função  Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática
  • 10. A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Função afim Função quadrática  Rezende, (2008) Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções Reais no Ensino Básico. IVº Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro.  Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. volume 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
  • 11. A MONOGRAFIA  Capítulo 1 – O Problema  Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função  Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática  Capítulo 4 – A Pesquisa
  • 12. A PESQUISA Grupos pesquisados Grupo A 31º Encontro do Projeto Fundão – UFRJ Grupo B 5º Encontro Sul Fluminense de Ed. Matemática (5º ESFEM) – USS Grupo C Turma de Especialização Matemática para Prof. Ens. Fund. e Médio da Universidade Federal Fluminense – UFF Grupo D 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) – FFP/UERJ  Metodologia: pesquisa de campo – o estudo de caso  Sujeitos da pesquisa
  • 19. 80% dos participantes que atuam como professores dão aulas no Ensino Médio RESULTADOS DA PESQUISA Questionário informativo
  • 20. Classificação das atividades propostas RESULTADOS DA PESQUISA
  • 21. Respostas Qtde. Corretas 83 Incorretas 113 Em branco (EB) 51 Não finalizadas (NF) 8 Resoluções incongruentes (RI) 9 Total geral 264 Todos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta ResumidaTodos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta Resumida Análise das resoluções das atividades propostas RESULTADOS DA PESQUISA  Resoluções incorretas, em branco, não finalizadas ou incongruentes: 181 – 68%
  • 22. Todos os Grupos x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas QUESTÃO 1 Respostas Qtde. Corretas do tipo 1 (C1) 6 Corretas do tipo 2 (C2) 22 Corretas do tipo 3 (C3) 5 Corretas do tipo 4 (C4) 18 Subtotal Corretas 51 Incorretas do tipo 1 (I1) 3 Incorretas do tipo 2 (I2) 8 Subtotal Incorretas 11 Em branco (EB) 2 Não finalizadas (NF) 1 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66  Alto índice de resoluções corretas do tipo C1 e C2. Relação entre Δs e Δt Divisão do tempo em partes proporcionais 23% 77%
  • 23. Todos os Grupos x Questão 2 x Categoria de Respostas Classificadas QUESTÃO 2 Respostas Qtde. Corretas do tipo 1 (C1) 1 Subtotal Corretas 1 Incorretas do tipo 1 (I1) 36 Incorretas do tipo 2 (I2) 8 Incorretas do tipo 3 (I3) 4 Incorretas do tipo 4 (I4) 1 Subtotal Incorretas 49 Em branco (EB) 11 Não finalizadas (NF) 4 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66  Apenas uma resolução correta  Alto índice de resoluções incorretas do tipo I1. Regra de três simples entre Δs e Δt 98,5%
  • 24. Todos os Grupos x Questão 3 x Categoria de Respostas Classificadas QUESTÃO 3 Respostas Qtde . Corretas do tipo 1 (C1) 5 Corretas do tipo 2 (C2) 26 Subtotal Corretas 31 Incorretas do tipo 1 (I1) 1 Incorretas do tipo 2 (I2) 4 Incorretas do tipo 3 (I3) 12 Incorretas do tipo 4 (I4) 2 Incorretas do tipo 5 (I5) 1 Incorretas do tipo 6 (I6) 2 Incorretas do tipo 7 (I7) 2 Subtotal Incorretas 24 Em branco (EB) 9 Não finalizadas (NF) 1 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66  A grande maioria das resoluções corretas são do tipo C2.  50% das resoluções incorretas são do tipo I3. Regra de três simples entre ΔC e ΔN Regra de três simples entre ºC e ºN 53%
  • 25. Todos os Grupos x Questão 4 x Categoria de Respostas Classificadas QUESTÃO 4 Respostas Qtde . Incorretas do tipo 1 (I1) 5 Incorretas do tipo 2 (I2) 21 Incorretas do tipo 3 (I3) 3 Subtotal Incorretas 29 Em branco (EB) 29 Não finalizadas (NF) 2 Resoluções incongruentes (RI) 6 Total geral 66  Nenhum participante apresentou uma solução correta para esta questão.  Alto índice de resoluções incorretas do tipo I2. Regra de três simples entre Δn e Δt
  • 26. Por Grupo x Questão 1 x Categoria de Resposta Classificada • Total de resoluções corretas, nos quatro grupos pesquisados, está entre 70% e 80%. • Maior ocorrência das resoluções corretas do tipo 4 (utilização da função afim) no grupo C (50%), e as corretas do tipo 2 (divisão do tempo em partes proporcionais) no grupo D (59%). • Resolução do tipo 3 (regra de três entre Δs e Δt), encontradas apenas no grupo A.
  • 27. Por Grupo x Questão 2 x Categoria de Resposta Classificada • Predominância da resolução incorreta do tipo 1 (regra de três simples entre Δs e Δt), principalmente nos grupos A e D. • Alto índice de resoluções deixadas em branco nos grupos B, C e D.
  • 28. Por Grupo x Questão 3 x Categoria de Resposta Classificada • Predominância das resoluções corretas do tipo 2 (regra de três entre ΔC e ΔN) entre os participantes dos 4 grupos pesquisados. • Entre os participantes dos grupos B, C e D, prevalece a resolução incorreta do tipo 3 (regra de três entre ºN e ºC).
  • 29. Por Grupo x Questão 4 x Categoria de Resposta Classificada • Prevalece a resolução incorreta do tipo 2 (regra de três simples entre Δn e Δt) nos grupos A, B e D e a resolução incorreta do tipo 3 (regra de três simples entre n e t) no grupo C. • Alto índice de resoluções deixadas em branco, principalmente no grupo B.
  • 30.  A idéia proposta (estudo da variabilidade das funções afim e quadrática) foi compreendida por todos os participantes e o estudo proposto foi considerado relevante para a formação do aluno da educação básica, pois:  “Mostra a função de uma forma diferente, sem ser aquela situação estática, só gráfico.”  “A dificuldade dos alunos em funções sem dar sua lei de formação é enorme.”  82% dos participantes do minicurso ministrado na 1ª JORMAT, implementariam esta sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções e concordam que o “aluno mediano” teria capacidade de assimilar o conteúdo apresentado.  Os 18% também concordam, mas parcialmente, e deram as seguintes justificativas:  “Apresentarei outras maneiras também.”  “Depende daquilo que interpreto como aluno mediano. Depende da realidade em que a sala de aula se apresenta (nas relações professor x aluno x escola).” Formulário de avaliação RESULTADOS DA PESQUISA
  • 31.  Comentários de maior destaque sobre quais elementos foram agregados à formação dos participantes após o minicurso: “A questão da ordem da PA ter influência no grau da função.” “Novos métodos para interpretação das funções.” “Muitos conhecimentos que até então nunca tinha ouvido falar.” “Agregou pois vi que, mesmo com problemas elementares, ainda errei a questão por falta de atenção e conhecimento suficiente.” “Acrescentou bastante, pois estou cursando licenciatura em Matemática e acho completamente importante que os alunos compreendam o ensino como uma coisa muito importante para suas vidas. Esse minicurso ajudou para que todos nós possamos tentar passar o ensino de função de maneira mais simples, mais fácil.” Formulário de avaliação RESULTADOS DA PESQUISA
  • 32. Conclusões Parciais da Pesquisa  Dificuldade em perceber o tipo de função que deve ser usado para modelar o problema;  Predominância do modelo linear na resolução das atividades;  Transferência de propriedades do modelo matemático linear para o modelo de função afim não-linear;  Falta de conhecimento do comportamento variacional da função quadrática. RESULTADOS DA PESQUISA
  • 33. A MONOGRAFIA  Capítulo 1 – O Problema  Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função  Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática  Capítulo 4 – A Pesquisa  Capítulo 5 – Considerações Gerais
  • 34. CONSIDERAÇÕES GERAIS  Os professores não estão sendo preparados para ensinar funções na educação básica;  Conscientes disso, anseiam por uma formação continuada que compense o que não está sendo ensinado na graduação;  Existe o interesse por novos métodos de ensino que os ajudem a ensinar o conceito de função de forma mais simples e concreta, com menos definições e decorebas. Esperamos ter contribuído para uma reflexão sobre a necessidade de orientar o professor, na medida em que ele é o agente transformador, é aquele que faz acontecer ou não na sala de aula. CONTRIBUIÇÃO