1. Nome: ______________________________ Nº _____
Colégio 1º ano__EM Prof. Manuel Data: __ /__ /2009
Nossa
Senhora das
Dores Estudo Dirigido de Matemática – 2o Trimestre
Prezado(a) aluno(a),
Devido à interrupção das aulas durante o período compreendido entre 01 e 16 de
agosto, apresento a você uma proposta de estudo visando a agilizar os estudos e repor, da
melhor maneira possível, os conteúdos correspondentes a este semestre.
Segue uma abordagem sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo de forma
sucinta e abrangente.
Acredito que você conseguirá obter êxito no processo de aprendizagem, pois a
apresentação da teoria e os exercícios propostos favorecem a compreensão e a
assimilação do conteúdo.
Vale ressaltar que independentemente da apresentação desta atividade – que será
considerada para efeito de nota de comprometimento e participação – estarei sempre à
disposição para quaisquer esclarecimentos que se fizerem necessários.
Bom estudo!
Prof. Manuel Del Campo Rodriguez
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
A Trigonometria nasceu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura.
Suas primeiras aplicações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a
usou para determinar a latitude e a longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus
mapas.
Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do século
V, nos cálculos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega a mundo islâmico, onde foi
muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os livros de Ptolemaios,
a Europa Cristã em torno de 1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de enorme valor
econômico na navegação oceânica.
Até cerca de 1600, todas as aplicações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e
Navegação Oceânica) nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É
importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante
desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio.
Para iniciar este estudo cabem algumas perguntas:
1) O que você entende por razão entre dois números?
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2) Por que um triângulo pode ser classificado como triângulo retângulo?

2. ...........................................................................................................................................
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3) O que são razões trigonométricas?
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Razões trigonométricas no triângulo retângulo
A Observando o triângulo retângulo ABC, da
figura ao lado, podemos identificar e
α
nomear os seguintes segmentos e ângulos:
AB: Hipotenusa
AC: Cateto
β
C B BC: Cateto
Ângulos agudos: α (alfa) e β (beta)
Identificados os segmentos e ângulos – conforme a ilustração anterior – estabelecemos a
seguintes igualdades entre as razões:
BC
= F (BC e AB indicam a medida do segmento correspondente)
AB
BC
(O número F, assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo α e se indica por: sen α = = F)
AB
cateto oposto C.O.
Observe que o cálculo do seno de um ângulo agudo é dado pela razão →
hipotenusa HIP.
AC
Analisando a igualdade anterior o que você pode afirmar sobre a razão ?
AB
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......................................................
Complete:
AC
(O número ..... , assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo .... e se indica por: sen β = =G )
AB
Observe o que acontece quando trabalhamos com o cateto adjacente ao ângulo:

3. Antes uma pergunta: Você tem clareza de quando um cateto e denominado oposto ou
adjacente ao ângulo dado?
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AC
=H
AB
(O número H, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo α e se indica por:
AC
cos α = =G )
AB
cateto adjacente C.A.
Observe que o cálculo do cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão →
hipotenusa HIP.
BC
=I
AB
(O número I, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo β e se indica por:
BC
cos α = =I )
AB
Uma outra razão trigonométrica é conhecida como tangente de um ângulo agudo.
Como você definiria tangente?
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BC
=J
AC
(O número J, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo α e se indica por:
BC
tg α = = J)
AC
cateto oposto C.O.
Observe que o cálculo da tangente de um ângulo agudo é dado pela razão →
cateto adjacente C.A.
AC
=K
BC
(O número K, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo β e se indica por:
AC
tg β= =K)
BC
Resumo
Num triângulo retângulo, temos:
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a
medida da hipotenusa.
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a
medida da hipotenusa

4. Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do
cateto adjacente ao ângulo.
CONSEQUÊNCIA
Acredito que você deve ter observado o que segue:
^ ^
No triângulo retângulo ABC da figura, α+ β = 90º ( B e C são ângulos complementares).
A
a
sen α =
α c
sen α = cos β
c a
b cos β =
c
b
sen β =
c
sen β = cos α
β
b
cos α =
C a B c
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos (α e β) da figura
abaixo:
A
α 17
8
β
C 15 B

5. Resolução:
C.O. BC 15 C.O. AC 8
sen α = = = = 0,88235 sen β = = = = 0,47058
HIP. AB 17 HIP. AB 17
C.A. AC 8 C.A. BC 15
cos α = = = = 0,47058 cos β = = = = 0,88235
HIP. AB 17 HIP. AB 17
C.O. BC 15 C.O. AC 8
tg α = = = = 1,875 tg β = = = = 0,53333
C.A. AC 8 C.A. BC 15
C.A.: Cateto adjacente
C.O.: Cateto oposto
HIP.: Hipotenusa
De acordo como que foi exposto procure responder as seguintes questões:
1) Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado:
a) A
sen β =
3 4 cos β =
β tg β =
C 5 B
b) B
sen α =
5 1 Não se esqueça
de racionalizar o
cos α = denominador.
α .das frações.
tg α =
C 2 A
2) Num triângulo retângulo um cateto mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o
cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.
Para fazer este exercício, antes de tudo, você deve encontrar a medida do outro cateto. Para
fazer este cálculo devemos recorrer ao Teorema de Pitágoras. Lembra-se: Hip2 = cat2 + cat2.
Outra questão a ser solucionada - sem o uso de qualquer instrumento (compasso ou
transferidor) e percebendo que a figura não apresenta uma proporcionalidade em suas

6. medidas – é qual ângulo agudo devemos considerar, pois o enunciado propõem calcular o
seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.
Perceba que o simples conhecimento teórico sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo não
basta para solucionarmos todo e qualquer exercício, pois muitas vezes devemos utilizar outros
conhecimentos para poder encaminhar a resolução de um problema.
Você lembra quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer?
Se você souber a resposta vai entender melhor o que segue.
“A cada ângulo agudo de um triângulo retângulo está associado um único valor para o seno, o
cosseno e a tangente. Esses valores podem ser indicados para os ânulos de 1º a 90º, variando de
grau em grau.”
Considerando a afirmação anterior, pesquise de quais maneiras os valores do seno, cosseno e
tangente de um ângulo podem ser determinados.
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Defina ângulo
agudo?
Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos podemos
resolver algumas situações-problema de ordem prática. Observe:
Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que
altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A
situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).
y
x
15º
B 2000 m A
Parece ser um problema difícil, mas lendo o enunciado com atenção e conseguindo associar os
conhecimentos até aqui tratados, iremos perceber que a resolução “salta aos nossos olhos”, pois
aplicando corretamente os conhecimentos sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo temos:
x x
# Cálculo da altura x em relação ao solo: tg 15º = ⇒ 0,27 = ⇒ x = 0,27 . 2000 = 540 m
2000 2000
x 540 540
# Cálculo da distância percorrida y: sen 15º = ⇒ 0,26 = ⇒ 0,26 . y = 540 ⇒ y = ⇒y =
y y 0,26
2076,9 m

7. Resp.: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2076,9 m.
TENTE VOCÊ:
1) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de
30° como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do
,
solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do
edifício, em metros, é:
Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577
a) 112
b) 115
c) 117
d) 120
e) 124
2) Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de
30° Determine a altura h entre um andar e outro, e m metros.
.
Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577
UMA TABELA MUITO IMPORTANTE
Os ângulos de 30º, 45º e 60º aparecem com frequência em muitos problemas. Para as razões
trigonométricas relacionadas a esses ângulos é mais conveniente usar os valores indicados
abaixo.
30º 45º 60º
1 2 3
sen
2 2 2
3 2 1
cos
2 2 2
3
tg 1 3
3

8. Obs.: Pode parecer estranho, mas é mais fácil memorizar as razões trigonométricas destes
ângulos como apresentado na tabela do que em sua forma decimal.
DESAFIO
Qual a área do triangulo ABC indicado na figura?
B
2 2 cm Você se lembra como
calcular a área de um
triângulo?
45º 30º
A C
Sugestão: Utilize os valores da tabela trigonométrica dada.