Flexao simples

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Flexao simples

  1. 1. FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 7 Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos. 12 maio 2003 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 7.1 HIPÓTESES No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem ser considerados separadamente. Portanto, será considerado somente o momento fletor, ou seja, flexão pura. Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do concreto adjacente. A resistência do concreto à tração é desprezada, ou seja, na região do concreto sujeita à deformação de alongamento, a tensão no concreto é considerada nula. Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado limite último, desde que a relação abaixo seja mantida: 2 d 0 > l l0 → distância entre as seções de momento fletor nulo d → altura útil da seção Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a linha neutra.
  2. 2. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.2 7.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO Permite-se substituir o diagrama parábola-retângulo pelo retangular, com altura y = 0,8x e tensão σc = 0,85fcd = 0,85fck/γc, exceto nos casos em que a seção diminuir a partir da linha neutra no sentido da borda mais comprimida. Nestes casos, σc = 0,95 . 0,85fcd ≈ 0,80fcd. Os diagramas de tensões e alguns tipos de seção encontram-se nas Figuras 7.1 e 7.2, respectivamente. 2,0‰ 0,85 f 0,85 f 0,80 f ou h x y = 0,8x = 3,5‰εc cd cdcd Figura 7.1 – Diagrama de tensões = 0,85fσ = 0,85fσ = 0,80fσ = 0,80fσcd cd cd cd cd cd cd cd Figura 7.2 – Alguns tipos de seção e respectivas tensões, para diagrama retangular 7.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a seção está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda comprimida. Os domínios citados estão indicados na Figura 7.3.
  3. 3. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.3 Figura 7.3 – Domínios de deformação 7.3.1 Domínio 2 No domínio 2, a ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço, com a deformação máxima de 10‰; portanto, σsd = fyd. A deformação no concreto varia de 0 até 3,5‰ (Figura 7.4). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto, é mal aproveitado. A profundidade da linha neutra varia de 0 até 0,259d (0< βx < 0,259), pois: ( ) 259,0 )105,3( 5,3 sc c 23x = + = ε+ε ε =β Figura 7.4 – Deformações no Domínio 2
  4. 4. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.4 7.3.2 Domínio 3 No domínio 3, a ruína se dá por ruptura do concreto com deformação máxima εc = 3,5‰ e, na armadura tracionada, a deformação varia de εyd até 10‰, ou seja, o aço está em escoamento, com tensão σs = fyd (Figura 7.5). É a situação ideal de projeto, pois há o aproveitamento pleno dos dois materiais. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso, havendo fissuração aparente e flechas significativas. Diz-se que as seção é subarmada. A posição da linha neutra varia de 0,259d até x34 (0,259 < βx < βx34). ( ) )5,3( 5,3 ydsc c 34x ε+ = ε+ε ε =β ; s yd yd E f =ε cuε sε cuε sεε < d x yd < 10‰ = 3,5‰ Figura 7.5 – Deformações no Domínio 3 7.3.3 Domínio 4 Assim como no domínio 3, o concreto encontra-se na ruptura, com εc = 3,5‰. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de εyd e, portanto, ele está mal aproveitado. As deformações podem ser verificadas na Figura 7.6. O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. É uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Quando as peças de concreto são dimensionadas nesse domínio, diz-se que elas são superarmadas, devendo ser evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas:
  5. 5. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.5 • Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da espessura da parede em que a viga é embutida; • Fixar x como xlim34, ou seja, βx = βx34, e adotar armadura dupla; • Outra solução é aumentar a resistência do concreto (fck). sε sε εyd0 < d x cuε cuε = 3,5‰ < Figura 7.6 – Deformações no Domínio 4 7.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla (Figura 7.7), considera-se que as barras que constituem a armadura estão agrupadas, concentradas no centro de gravidade dessas barras. = 3,5‰ε cdσ sε sε R' R M d' A A' b d h x y = 0,8xs d s s c s ' c Figura 7.7 - Resistências e deformações na seção
  6. 6. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.6 As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente: Rc + R’s – Rs = 0 Md = γf x Mk = Rc (d - y/2) + R’s (d - d’) As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por: Rc = b y σcd = b . 0,8x . 0,85fcd = 0,68 bd βx fcd Rs = As σs R’s = A’s σ’s Para diagrama retangular de tensões no concreto, tem-se que: y = 0,8x → d – y/2 = d (1 - 0,8x/2d) = d (1 - 0,4βx) Com esses valores, resultam as seguintes equações para armadura dupla: 0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σ s = 0 (1) Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) (2) Para armadura simples, A’s = 0. As equações (1) e (2) resultam: 0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’) Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4 β x) (2’) 7.5 EXEMPLOS A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples. 7.5.1 Exemplo 1 Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular. a) Dados Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, Mk = 210 kN.m, βx= βx23 ( ) 259,0 )105,3( 5,3 sc c 23x = + = ε+ε ε =β
  7. 7. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.7 b) Equações de equilíbrio 0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’) Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) (2’) c) Cálculo de d (equação 2’) )259,04,01( 4,1 5,2 d21,4 2 ×−××0,259××30×0,68=1000× d = 58,93 cm (h = 59+3 = 62 cm) d) Cálculo de As (equação 1’) 0 15,1 50 A 4,1 5,2 259,093,583068,0 s =×−×××× As = 12,80 cm² 7.5.2 Exemplo 2 Idem exemplo anterior com βx = βx34. a) Cálculo de βx34 ( ) )5,3( 5,3 ydsc c 34x ε+ = ε+ε ε =β ‰07,2 210000 15,1/50 E f s yd yd ===ε 628,0 )07,25,3( 5,3 34x = + =β b) Cálculo de d (equação 2’) )628,04,01( 4,1 5,2 628d21,4 2 ×−××0,××30×0,68=1000× d = 41,42 cm (h = 42+3 = 45 cm)
  8. 8. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.8 c) Cálculo de As (equação 1’) 0 15,1 50 A 4,1 5,2 628,042,413068,0 s =×−×××× As = 21,81 cm² 7.5.3 Exemplo 3 Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular. a) Dados Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 42cm, Mk = 252 kN.m. b) Cálculo de βx Na equação (2’), supondo armadura simples: Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx) )4,01( 4,1 5,2 423068,04,125200 xx 2 β×−×β×××=× 25704βx² - 64260βx + 35280 = 0 βx² - 2,5βx + 1,3725 = 0 βx = 0,814 (βx > βx34: Domínio 4) βx = 1,686 (x > d, portanto descartado) c) Conclusão Como βx > βx34 , σ s < fyd (domínio 4): há solução melhor com armadura dupla. 7.5.4 Exemplo 4 Idem exemplo anterior, com Mk = 315 kN.m.
  9. 9. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.9 a) Cálculo de βx (equação 2’) Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx) )4,01( 4,1 5,2 423068,04,131500 xx 2 β×−×β×××=× 25704βx² - 64260βx + 44100 = 0 βx² - 2,5βx + 1,7157 = 0 ∆ = (-2,5)² - 4 x1 x 1,7157 = -0,6128 < 0 b) Conclusão Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura dupla (exemplo 5). 7.5.5 Exemplo 5 Solução do exemplo anterior com armadura dupla. a) Dados Mk = 315 kN.m, βx = βx34 = 0,628, d’ = 3 cm b) Cálculo de A’s (Equação 2) Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 1,4. 31500 = 0,68. 30. 422 . 0,628. 2,5/1,4 (1 - 0,4. 0,628) +A’s 50/1,15. (42–3) A’s = 8,19 cm² c) Cálculo de As (equação 1) 0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σs = 0 0,68 . 30 . 42 . 0,628 . 2,5/1,4 + 8,19 . 50/1,15 - As . 50/1,15 = 0 As = 30,29 cm²
  10. 10. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 7.10 d) Armaduras possíveis As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) f) Solução adotada (Figura 7.8) Figura 7.8 – Detalhamento da seção

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