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João Marcos Ferreira
Equação do SEgundo
grau
Coeficientes
Equação Completa e incompleta
Raízes: o que significa; como se calcula;
condições para a sua existência.
Soluções particulares de uma equação do 2º Grau
Relação entre os coeficientes e as raízes
Processo do completamento de quadrados
Objetivos
• Reconhecer uma equação do 2º Grau
• Identificar os seus coeficientes a, b, c
• Reconher uma equação completa e uma
incompleta, e as condições de existência das
raízes
• Obter as raízes da equação do 2º usando, os
diferentes processo aqui abordados
• Solucionar problemas que envolvam, equação
do 2º Grau
João Marcos Ferreira
• Uma equação do tipo ax²+bx+c=0 é
• denominada equação completa do 2º GRAU
• Onde :
• a, b,ca, b,c são coeficientes esão coeficientes e xx a variável ou raiza variável ou raiz
• e a ≠ 0
• O que determina o grau é o expoente da
• Variável x
João Marcos Ferreira
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• Completa
• x² - 4x – 3 = 0, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3
• Incompletas
• x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9
• 6x² = 0, onde a = 6, b = 0 e c = 0
• - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0
São exemplos de equação do 2º grau:São exemplos de equação do 2º grau:
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
• Seja a Equação:
• x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9
• x² = 9 assim, x = ± √9
• X´=3 ou x´´= -3 substituindo-se na equação,
têm-se que:
• (3) ² – 9 = 0 ou (-3) ² – 9 = 0
• As raízes, são valores de x que satisfazem a
igualdade ou seja: são os zeros da equação
João Marcos Ferreira
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A Fórmula de Báscara
Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do
2° grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114-
1185, nascido na Índia, o mais importante matemático
do séc. XII
O Nº DE RAIZES ESTÁ ASSOCIADO AO GRAU
DA EQ.
João Marcos Ferreira
Existência de Raízes Reais
Denominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+c = 0
a expressão b² -4ac, que representamos pela letra grega ∆
Observando a dedução da fórmula de Báscara, podemos concluir
A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente
se, ∆≥ 0.
As raízes são dadas por:
Temos ainda:
∆>0  as duas raízes são números reais distintos.
∆=0  as duas raízes são números reais iguais.
∆<0  não existem raízes reais.
João Marcos Ferreira
Exemplo 1
João Marcos Ferreira
Exemplo 2
Na equação 9x² + 12x + 4 = 0
Temos: a= 9 b= 12 c= 4
∆=b² -4ac=
∆= 12² - 4.9.4 =
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∆= 0
Como ∆= 0, a equação possui duas raízes reais iguais.
As raízes são:
x’ = -12+ 0 = -2
x= -12 ± √0 = 18 3
2.9 x’’ = -12 – 0 = -2
18 3
João Marcos Ferreira
Exemplo 3
Na equação 2x² + 5x + 9 =0
Temos: a= 2 b=5 c= 9
∆=b² -4ac=
∆=5² - 4 .2. 9=
∆= 25 – 72 =
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Como ∆< 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto solução
em R é S =Ø.
João Marcos Ferreira
Exemplo 04
1- Na equação 054² =−− xx
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362016 =+=∆
Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
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
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−=
−
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−
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x
x
Logo, os zeros da função são – 1 e 5
SOLUÇÕES PARTICULARES
• ax²+bx=0 portanto, c=0
• têm-se fatorando que: x(ax+b)=0
• Ou seja: x=0 ou ax+b=0, donde se conclui
• Que ax=-b e x= -b/a
• Logo as raizes são: x´=0 ou x´´=-b/a
• Seja: 3x² -5x=0 fatorando x: x(3x-5)=0
• Assim: x´=0 ou 3x-5=0 logo 3x=5 e x´´=5/3
João Marcos Ferreira
Relações entre coeficientes e
raízes
Se em ax²+bx+c=0, a=1
Temos então que x²+bx+c=0.
Pode-se demonstrar que as raízes da equação,
nesse caso, serão tais que:
x´+x´´= -b e x´.x´´=c ,
logo em x²-5x+6=0 temos
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João Marcos Ferreira
Processo do completamento de
quadrados
• Baseado na interpretação geométrica
dada pelos gregos a (a + b)2
• Al-Khowarizmi, século IX, estabeleceu
um processo geométrico para resolução
de Equação do 2o
Grau Completa.
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3x
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Resolução da equação
x2
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• Passa 8 para o 2o
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• Como na representação geométrica
acrescentamos 32
x2
+ 6x + 32
= - 8 + 32
(x + 3)2
= - 8 + 9
(x + 3)2
= 1
• Tira-se então, a raiz quadrada de ambos
os membros
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x + 3 = - 1 x = - 1 – 3 x´´ = - 4
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• Extraimos a raiz quadrada : (x – 1) = ± 3
• Calculemos 1º raiz x – 1 = 3, x´ = 4
• Calculemos a 2ª raiz : x – 1 = - 3 e X´´ = - 2
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João Marcos Ferreira
Passemos agora para a resolução
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• rápida aula. As anotações são importantes
• para o caso de precisarem rever o assunto
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  • 1. João Marcos Ferreira Equação do SEgundo grau Coeficientes Equação Completa e incompleta Raízes: o que significa; como se calcula; condições para a sua existência. Soluções particulares de uma equação do 2º Grau Relação entre os coeficientes e as raízes Processo do completamento de quadrados
  • 2. Objetivos • Reconhecer uma equação do 2º Grau • Identificar os seus coeficientes a, b, c • Reconher uma equação completa e uma incompleta, e as condições de existência das raízes • Obter as raízes da equação do 2º usando, os diferentes processo aqui abordados • Solucionar problemas que envolvam, equação do 2º Grau João Marcos Ferreira
  • 3. • Uma equação do tipo ax²+bx+c=0 é • denominada equação completa do 2º GRAU • Onde : • a, b,ca, b,c são coeficientes esão coeficientes e xx a variável ou raiza variável ou raiz • e a ≠ 0 • O que determina o grau é o expoente da • Variável x João Marcos Ferreira
  • 4. João Marcos Ferreira • Completa • x² - 4x – 3 = 0, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3 • Incompletas • x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9 • 6x² = 0, onde a = 6, b = 0 e c = 0 • - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0 São exemplos de equação do 2º grau:São exemplos de equação do 2º grau:
  • 5. RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU • Seja a Equação: • x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9 • x² = 9 assim, x = ± √9 • X´=3 ou x´´= -3 substituindo-se na equação, têm-se que: • (3) ² – 9 = 0 ou (-3) ² – 9 = 0 • As raízes, são valores de x que satisfazem a igualdade ou seja: são os zeros da equação João Marcos Ferreira
  • 6. João Marcos Ferreira A Fórmula de Báscara Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do 2° grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114- 1185, nascido na Índia, o mais importante matemático do séc. XII O Nº DE RAIZES ESTÁ ASSOCIADO AO GRAU DA EQ.
  • 7. João Marcos Ferreira Existência de Raízes Reais Denominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+c = 0 a expressão b² -4ac, que representamos pela letra grega ∆ Observando a dedução da fórmula de Báscara, podemos concluir A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente se, ∆≥ 0. As raízes são dadas por: Temos ainda: ∆>0  as duas raízes são números reais distintos. ∆=0  as duas raízes são números reais iguais. ∆<0  não existem raízes reais.
  • 9. João Marcos Ferreira Exemplo 2 Na equação 9x² + 12x + 4 = 0 Temos: a= 9 b= 12 c= 4 ∆=b² -4ac= ∆= 12² - 4.9.4 = ∆=144 – 144= ∆= 0 Como ∆= 0, a equação possui duas raízes reais iguais. As raízes são: x’ = -12+ 0 = -2 x= -12 ± √0 = 18 3 2.9 x’’ = -12 – 0 = -2 18 3
  • 10. João Marcos Ferreira Exemplo 3 Na equação 2x² + 5x + 9 =0 Temos: a= 2 b=5 c= 9 ∆=b² -4ac= ∆=5² - 4 .2. 9= ∆= 25 – 72 = ∆= - 47 Como ∆< 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto solução em R é S =Ø.
  • 11. João Marcos Ferreira Exemplo 04 1- Na equação 054² =−− xx )5.(1.4)²4( 4² −−−=∆ −=∆ acb 362016 =+=∆ Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim: a b x 2 ∆±− =
  • 12. João Marcos Ferreira Calculemos agora seus zeros: 1.2 36)4( ±−− =x       −= − = − = == + = ⇒ ± = 1 2 2 2 64 '' 5 2 10 2 64 ' 2 64 x x x Logo, os zeros da função são – 1 e 5
  • 13. SOLUÇÕES PARTICULARES • ax²+bx=0 portanto, c=0 • têm-se fatorando que: x(ax+b)=0 • Ou seja: x=0 ou ax+b=0, donde se conclui • Que ax=-b e x= -b/a • Logo as raizes são: x´=0 ou x´´=-b/a • Seja: 3x² -5x=0 fatorando x: x(3x-5)=0 • Assim: x´=0 ou 3x-5=0 logo 3x=5 e x´´=5/3 João Marcos Ferreira
  • 14. Relações entre coeficientes e raízes Se em ax²+bx+c=0, a=1 Temos então que x²+bx+c=0. Pode-se demonstrar que as raízes da equação, nesse caso, serão tais que: x´+x´´= -b e x´.x´´=c , logo em x²-5x+6=0 temos Mentalmente que: x´=2 e x´´=3 João Marcos Ferreira
  • 15. Processo do completamento de quadrados • Baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos a (a + b)2 • Al-Khowarizmi, século IX, estabeleceu um processo geométrico para resolução de Equação do 2o Grau Completa.
  • 18. Resolução da equação x2 + 6x + 8 = 0 • Passa 8 para o 2o membro x2 + 6x = - 8 • Como na representação geométrica acrescentamos 32 x2 + 6x + 32 = - 8 + 32 (x + 3)2 = - 8 + 9 (x + 3)2 = 1
  • 19. • Tira-se então, a raiz quadrada de ambos os membros (x + 3) = ± 1 x + 3 = 1 x = 1 – 3 x´ = - 2 x + 3 = - 1 x = - 1 – 3 x´´ = - 4 S = {- 4, -2}
  • 20. Seja Equação: x2 – 2x – 8 = 0 • Teremos então x2 – 2x = 8, passando 8 • como na representação geométrica acrescentamos 12 aos dois membros teremos • x2 – 2x + 12 = 12+ 8 logo (x – 1)2 = 9 • Extraimos a raiz quadrada : (x – 1) = ± 3 • Calculemos 1º raiz x – 1 = 3, x´ = 4 • Calculemos a 2ª raiz : x – 1 = - 3 e X´´ = - 2 • o conjunto das raizes será S = {- 2, 4} João Marcos Ferreira
  • 21. Passemos agora para a resolução de alguns exercicios • Espero que todos tenham aproveitado esta • rápida aula. As anotações são importantes • para o caso de precisarem rever o assunto • Obrigado pela audiência. • Prof. Demerval Dias Miranda João Marcos Ferreira