Métodos iterativos estacionários para solução de sistemas lineares

1. MÉTODOS ITERATIVOS
ESTACIONÁRIOS

2. INTRODUÇÃO
 Os métodos iterativos são utilizados também
para resolver sistemas lineares no entanto ao
contrário dos métodos exatos a precisão da
resposta é variável.
 A grande vantagem dos métodos iterativos é o
custo computacional variável que é ajustado de
acordo com a precisão necessária a resposta.
 Um método é iterativo quanto fornece uma
sequência de aproximantes da solução, cada uma
das quais obtida das anteriores pela repetição do
mesmo tipo de processo.

3. PROCESSOS ESTACIONÁRIOS
 Um processo é dito estacionário se a matriz de
iteração não varia durante a execução do método.
 Convergência
𝑥 𝑘 − 𝑥 ∗ → 0, 𝑘 → 0
 Condição necessária e suficiente
 max|λi| < 1
 Condição suficiente
 𝑀 <1

4. MÉTODO DE JACOBI
Uma matriz A pode ser decomposta na soma de
três matrizes D, E e F da seguinte forma
A=D+E+F
 Sendo:
 D  Matriz diagonal com os elementos iguais aos
da diagonal principal da matriz A.
 E  Matriz triangular inferior com os termos da
diagonal principal iguais a zero e os outros iguais
aos da matriz A.
 F  Matriz triangular superior com os termos da
diagonal principal iguais a zero e os outros iguais
aos da matriz A.

5. MÉTODO DE JACOBI
2 3 5
𝐴 = −4 1 7
−1 3 4

6. MÉTODO DE JACOBI
Resolvendo o sistema
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐷+ 𝐸+ 𝐹 𝑥= 𝑏
𝐷+ 𝐸+ 𝐹 𝑥= 𝑏
𝐷𝑥 = − 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏
𝑥 = −𝐷 −1 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝐷 −1 𝑏
𝑥 𝑘+1 = −𝐷 −1 𝐸 + 𝐹 𝑥 𝑘 + 𝐷 −1 𝑏

7. MÉTODO DE JACOBI
D é uma matriz diagonal sua inversa é
igual a inversa de cada termo da
diagonal. Então:

8. MÉTODO DE JACOBI
Fazendo

9. MÉTODO DE JACOBI (PRIMEIRA ITERAÇÃO)
1
1 0 0
𝑥1 = −𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 + 𝑏1
𝑎11
1
12
𝑥1 = =6
2
1
−4
𝑥2 = = −4
1
1
28
𝑥3 = =7
4

10. MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
6
𝑥 1 = −4
7
2
1 1 1
𝑥1 = −𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 + 𝑏1
𝑎11
2
1
𝑥1 = −3 −4 − 5 7 + 12
2
2
𝑥1 = −5,5

11. MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
6
𝑥 1 = −4
7
2
1 1 1
𝑥2 = −𝑎21 𝑥1 − 𝑎23 𝑥3 + 𝑏2
𝑎22
2
1
𝑥2 = − −4 6 − 7 7 − 4
1
2
𝑥2 = 24 − 49 − 4 = −29

12. MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
6
𝑥 1 = −4
7
2
1
𝑥3 = − −1 6 − 3 −4 + 28
4
2
6 + 12 + 28 46
𝑥3 = = = 11,5
4 4

13. MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
CRITÉRIO DE PARADA
−5,5 6
𝑥 2 = −29 𝑥 1 = −4
11,5 7
max −5,5 − 6 , −29 − −4 , 11,5 − 7
𝜀=
max 5,5 , −29 , 11,5
max −11,5 , −25 , 4,5
𝜀=
29
25
𝜀= = 0,8621
29

14. MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
CRITÉRIO DE PARADA
−5,5
𝑥 2 = −29
11,5
12 2 3 5 −5,5
𝐸𝑟𝑟𝑜 = −4 − −4 1 7 −29
28 −1 3 4 11,5
10,92
𝐸𝑟𝑟𝑜 = 19,25
−7,58

15. MÉTODO DE JACOBI (PRÓXIMAS ITERAÇÕES)
Está divergindo.
A matriz “A” não
é diagonal
estritamente
dominante

16. RAIO ESPECTRAL DA MATRIZ J

17. RAIO ESPECTRAL DE J

18. RAIO ESPECTRAL DE J

19. RAIO ESPECTRAL DE J

20. RAIO ESPECTRAL DE J
J tem raio espectral maior do que 1, não converge

21. OUTRO EXEMPLO

22. OUTRO EXEMPLO

23. OUTRO EXEMPLO

24. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

25. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

26. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

27. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

28. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

29. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

30. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

31. MÉTODO SOBRE-RELAXÇÃO SUCESSIVA
𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝑓 𝑥 = 𝜔𝑏
Somando vetor nulo (D-D)x ao primeiro termo
𝐷 − 𝐷 𝑥 + 𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝜔𝑏
Chega-se a forma de iteração
𝐷 + 𝜔𝐸 𝑥 𝑘+1 = 1 − 𝜔 𝐷 − 𝜔𝐹 𝑥 + 𝜔𝑏

32. MÉTODO SOBRE-RELAXAÇÃO SUCESSIVA
𝜔
𝑥1𝑘+1 = −𝑎12 𝑥2𝑘 − 𝑎13 𝑥3𝑘 − ⋯ − 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛𝑘 + 𝑏1 + 1 − 𝜔 𝑥1𝑘 ,
𝑎11
𝜔
𝑥2𝑘+1 = −𝑎21 𝑥1𝑘 − 𝑎23 𝑥3𝑘 − ⋯ − 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛𝑘 + 𝑏2 + 1 − 𝜔 𝑥2𝑘 ,
𝑎22
⋯
𝜔
𝑥 𝑛𝑘+1 = −𝑎 𝑛1 𝑥2𝑘 − 𝑎 𝑛2 𝑥3𝑘 − ⋯ − 𝑎 𝑛𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑏 𝑛 + 1 − 𝜔 𝑥 𝑛𝑘 ,
𝑘
𝑎 𝑛𝑛

33. EXEMPLO
Uma maneira de se obter a solução da equação de laplace:
𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢
+ 2=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦
Em uma região retangular consiste em se fazer uma discretização que
transforma a equação em um problema aproximado, consistindo em uma
equação de diferenças cuja solução, em um caso particular, exige a solução do
seguinte sistema linear:
4 −1 0 −1 0 0 𝑥1 100
−1 4 −1 0 −1 0 𝑥2 0
0 −1 4 0 0 −1 𝑥3 0
𝑥4 =
−1 0 0 4 −1 0 100
0 −1 0 −1 4 −1 𝑥5 0
0 0 −1 0 −1 4 𝑥6 0
Qual dos métodos iterativos que você conhece poderia ser aplicado a solução do
problema? Resolva o sistema linear pelo método escolhido.

34. RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
−1
𝐽=− 𝐷+ 𝐸 𝐹
0 0,25 0 0,25 0 0
0 0,0625 0,25 0,0625 0,25 0
0 0,0156 0,0625 0,0156 0,0625 0,25
𝐽=
0 0,0625 0 0,0625 0,25 0
0 0,0313 0,0625 0,0313 0,125 0,25
0 0,0117 0,0313 0,0117 0,0469 0,125
Raio espectral = 0,3643

35. RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Iter x Norma
Rel.
1 31,25 7,81 1,95 32,81 10,15 3,07 0,3095
2
2 35,15 11,81 3,71 36,32 12,79 4,12 0,11
3 37,03 13,38 4,37 37,45 13,74 4,53 0,05
4 37,71 13,95 4,62 37,86 14,08 4,67 0,02
5 37,95 14,17 4,71 38,01 14,21 4,73 0,01