Exercicio complementar 1_resolucao

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Exercicio complementar 1_resolucao

  1. 1. FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002 Resolução / Critério de Avaliação Valorizaçãoa) Nota sobre a Avaliação: Cada item avaliado ou está completamente certo ou está completamente errado. Apenas está certo se o resultado for idêntico ao da solução, ou se for rigorosamente demonstrado que a substituição dos valores de entrada correctos conduz exactamente aos resultados da solução. Consideram-se correctos os valores com um erro inferior a 2%. a) 2%b) O grau de hiperstaticidade é 6. b) 2%c) O número de incógnitas hipergeométricas para resolução pelo método dos deslocamentos – formulaçãodirecta – é 6. c) 2%Na resolução deste exercício considera-se a seguinte notação: acção xiAj B barra configuração grau de liberdade força de fixação∆i deslocamento segundo o grau de liberdade iNota: Todas as forças de fixação (no sentido generalizado) são indicadas em kN ou kN.m e todos os deslocamentos são indicados em m ou rad. 1
  2. 2. d) Considerando apenas a acção Q (carregamentos vertical e horizontal) tem-se que para a configuração∆i = 0 : x10 = Q x10 1 + x10 2 + x10 3 Q Q Q = 0 + 0 − 10 × 4 / 8 = −5 x20 = Q x20 1 + x20 2 + x20 3 Q Q Q =0+0+0 =0 x30 = Q x30 1 + x30 2 + x30 3 Q Q Q = 0 + 0 − 10 / 2 = −5 x40 = Q x40 3 + x40 4 Q Q = 10 × 4 / 8 − 20 × 5 2 / 12 = −36.6(6) x50 = Q x50 3 + x50 4 Q Q = 0 + 20 × 5 / 2 = 50 x60 = Q x60 3 + x60 4 Q Q = −10 / 2 + 0 = −5 d) 6x1.5%=9%Caso na resolução tenha sido considerado exclusivamente o carregamento vertical, a resposta é:x10 = 0 ; x20 = 0 ; x30 = 0 ; x40 = −41.6(6) ; x50 = 50 ; x60 = 0 . Q Q Q Q Q Qe) Considerando apenas a acção A = t0 (variação térmica) tem-se que para a confifuração ∆ i = 0 :E ⋅ A = 6000000 kNE ⋅ A ⋅ α ⋅ t 0 = 1200 kN x10 = t0 x10 1 + x10 2 + x10 3 t0 t0 t0 =0+0+0 =0 x20 = t0 x20 1 + x20 2 + x20 3 t0 t0 t0 = 0 + 0 + E ⋅ A ⋅α ⋅ t0 = 1200 x30 = t0 x30 1 + x30 2 + x30 3 t0 t0 t0 = − E ⋅ A ⋅α ⋅ t 0 + E ⋅ A ⋅α ⋅ t0 + 0 =0 x40 = t0 x40 3 + x40 4 t0 t0 =0+0 =0 x50 = t0 x50 3 + x50 4 t0 t0 = − E ⋅ A ⋅α ⋅ t0 + 0 = −1200 x60 = t0 x60 3 + x60 4 t0 t0 = 0 + E ⋅ A ⋅ α ⋅ t0 = 1200 e) 6x1.5%=9%2
  3. 3. FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002 Resolução / Critério de Avaliaçãof) Configuração ∆1 = 1E ⋅ I = 125000 kN ⋅ m 2 ; L1 = 2.0 m ; L2 = 2.0 m ; L3 = 4.0 m ; L4 = 5.0 m 4 EI 4 EI 4 EI x11 = x11 1 + x11 2 + x11 3 = + + = 625000 L1 L2 L3 6 EI 6 EI x21 = x211 + x21 2 + x21 3 = 2 − 2 +0 =0 L1 L2 6 EI x31 = x31 1 + x31 2 + x31 3 = 0+0+ = 46875 L23 2 EI x41 = x41 3 + x41 4 = +0 = 62500 L3 x51 = x51 3 + x51 4 =0+0 =0 6 EI x61 = x61 3 + x61 4 =− +0 = −46875 L23 6x1%=6%Configuração ∆ 2 = 1 6 EI 6 EI x12 = x12 1 + x12 2 + x12 3 = 2 − 2 +0 =0 L1 L2 12EI 12 EI EA x22 = x22 1 + x22 2 + x22 3 = 3 + 3 + = 1875000 L1 L2 L3 x32 = x32 1 + x32 2 + x32 3 =0+0+0 =0 x42 = x42 3 + x42 4 =0+0 =0 EA x52 = x52 3 + x52 4 =− +0 = −1500000 L3 x62 = x62 3 + x62 4 =0+0 =0 6x1%=6%Nota: x12 = x21 √ 3
  4. 4. Configuração ∆ 3 = 1 6 EI x13 = x13 1 + x13 2 + x13 3 = 0+0+ = 46875 L23 x23 = x23 1 + x23 2 + x23 3 =0+0+0 =0 EA EA 12 EI x33 = x33 1 + x33 2 + x33 3 = + + 3 = 6023437.5 L1 L2 L3 6 EI x43 = x43 3 + x43 4 = +0 = 46875 L23 x53 = x53 3 + x53 4 =0+0 =0 12 EI x63 = x63 3 + x63 4 =− +0 = −23437 .5 L33 6x1%=6%Nota: x13 = x31 ; x23 = x32 √Configuração ∆ 4 = 1 2 EI x14 = x14 1 + x14 2 + x14 3 =0+0+ = 62500 L3 x24 = x24 1 + x24 2 + x24 3 =0+0+0 =0 6 EI x34 = x34 1 + x34 2 + x34 3 = 0+0+ = 46875 L23 4 EI 4 EI x44 = x44 3 + x44 4 = + = 225000 L3 L4 x54 = x54 3 + x54 4 =0− 6 EI = −30000 L24 6 EI x64 = x64 3 + x64 4 =− +0 = −46875 L23 6x1%=6%Nota: x14 = x41 ; x24 = x42 ; x34 = x43 √4
  5. 5. FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002 Resolução / Critério de AvaliaçãoConfiguração ∆ 5 = 1 x15 = x15 1 + x15 2 + x15 3 =0+0+0 =0 EA = −1500000 x25 = x25 1 + x25 2 + x25 3 = 0+0− L3 x35 = x35 1 + x35 2 + x35 3 =0+0+0 =0 x45 = x45 3 + x45 4 =0− 6 EI = −30000 L24 x55 = x55 3 + x55 4 = EA 12 EI + 3 = 1512000 L3 L4 x65 = x65 3 + x65 4 =0+0 =0 6x1%=6%Nota: x15 = x51 ; x25 = x52 ; x35 = x53 ; x45 = x54 √Configuração ∆ 6 = 1 6 EI x16 = x16 1 + x16 2 + x16 3 =0+0− = −46875 L23 x26 = x26 1 + x26 2 + x26 3 =0+0+0 =0 12 EI x36 = x36 1 + x36 2 + x36 3 =0+0− = −23437 .5 L33 6 EI x46 = x46 3 + x46 4 =− +0 = −46875 L23 x56 = x56 3 + x56 4 =0+0 =0 12 EI EA x66 = x66 3 + x66 4 = + = 1223437 .5 L33 L4 6x1%=6% 5
  6. 6. g) Para o carregamento global, as forças de fixação resultam da consideração simultânea das duas acções: x10 = x10 + x10 Q t0 = −5 + 0 = −5 x20 = x20 + x20 Q t0 = 0 + 1200 = 1200 x30 = x30 + x30 Q t0 = −5 + 0 = − 5 x40 = x40 + x40 Q t0 = −36.6(6) + 0 = −36.6(6) x50 = x50 + x50 Q t0 = 50 − 1200 = −1150 x60 = x60 + x60 Q t0 = −5 + 1200 = +1195 2%Ora, pelo princípio da sobreposição de efeitos sabe-se que para cada força generalizada associada ao grau deliberdade i:xi1 ⋅ ∆1 + xi 2 ⋅ ∆ 2 + xi 3 ⋅ ∆ 3 + xi 4 ⋅ ∆ 4 + xi 5 ⋅ ∆ 5 + xi 6 ⋅ ∆ 6 + xi 0 = 0Então, aplicando essa expressão a todos os graus de liberdade e substituindo pelos valores anteriormentedeterminados, obtém-se o seguinte sistema de equações: 625000 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 62500 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − 46875 ⋅ ∆ 6 = 5 0⋅∆ + 1875000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 + 0 ⋅ ∆4 − 1500000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = − 1200 1 46875 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 6023437.5 ⋅ ∆ 3 + 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − 23437.5 ⋅ ∆ 6 = 5 62500 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 225000 ⋅ ∆ 4 − 30000 ⋅ ∆ 5 − 46875 ⋅ ∆ 6 = 36.6(6) 0 ⋅ ∆1 − 1500000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 − 30000 ⋅ ∆ 4 + 1512000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = 1150− 46875 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 − 23437.5 ⋅ ∆ 3 − 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 + 1223437.5 ⋅ ∆ 6 = − 1195 3%Cuja resolução conduz aos seguintes valores: ∆1 = −71.2 × 10 −6 −6 ∆ 2 = −148.1×10∆ 3 = −2.9 ×10 −6 −6 [m, rad ]∆ 4 = 61.8 ×10∆ 5 = 614.9 × 10 −6 ∆ 6 = −977.1×10 −6 3%6
  7. 7. FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002 Resolução / Critério de Avaliaçãoh) Fazendo uso, novamente, do Princípio da Sobreposição de Efeitos, e fazendo também uso de uma notaçãosemelhante à anterior, determinam-se os vários esforços nas extremidades das barras. Note-se que os valoresassim obtidos obedecem à convenção adoptada na alínea c).Ou seja, o esforço segundo o grau de liberdade i na barra B é dado por:xiB = xi1B ⋅ ∆1 + xi 2B ⋅ ∆ 2 + xi 3B ⋅ ∆ 3 + xi 4B ⋅ ∆ 4 + xi 5B ⋅ ∆ 5 + xi 6B ⋅ ∆ 6 + xi 0BRecorrendo a esta expressão, podem determinar-se os esforços nos nós das barras onde se consideraram asincógnitas hiperstáticas, por exemplo:o momento flector na extremidade esquerda da barra 4 é dado por:x44 = x414 ⋅ ∆1 + x424 ⋅ ∆ 2 + x434 ⋅ ∆ 3 + x444 ⋅ ∆ 4 + x454 ⋅ ∆ 5 + x464 ⋅ ∆ 6 + x404 + x404 ; Q t0ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:x44 = −53.9 kN.m;o esforço tranverso na extremidade de baixo da barra 3 é dado por:x33 = x313 ⋅ ∆1 + x323 ⋅ ∆ 2 + x333 ⋅ ∆ 3 + x343 ⋅ ∆ 4 + x353 ⋅ ∆ 5 + x363 ⋅ ∆ 6 + x303 + x303 ; Q t0ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:x33 = 17.4 kN;o esforço axial na extremidade superior da barra 3 é dado por:x53 = x513 ⋅ ∆1 + x523 ⋅ ∆ 2 + x533 ⋅ ∆ 3 + x543 ⋅ ∆ 4 + x553 ⋅ ∆ 5 + x563 ⋅ ∆ 6 + x503 + x503 ; Q t0ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:x53 = −55.5 kN;etc.Os sinais desses esforços têm que ser criteriosamente tratados de modo a respeitar a convenção da Ressitênciados Mareriais (nos diagramas de esforços).Verifica-se que o problema da hiperestáticidade está resolvido. Para determinar os remanescentes esforçosactuantes, pode-se proceder de uma forma análoga ou então pode-se recorrer a cálculos estáticos triviais(equações de equilíbrio). Por exemplo, o momento flector na extremidade direita da barra 4 é dado por: 7
  8. 8. M 4 dir . = − x53 × L4 + x44 − 20 × 5 2 / 2 = −26.3 kN.m.E assim sucessivamente.Resultam os seguintes diagramas de esforços para metade da estrutura (para a estrutura toda os diagramasseriam obtidos atendendo às condições de simetria consideradas anteriormente): 2,775m 55.5 + - 2.00m - -44.5 27.4 + 2.00m 41.1 - + 17.4 - -14.4 2,00m 2,00m 3,00m 8x1.%=8% Diagrama de Esforços Tranversos (kN) 2,775m -53.9 26.3 - - -53.9 + - 2.00m 23.1 0.8 -36.7 2.00m + -18.9 + - - + 35.6 + 10.0 45.6 2,00m 2,00m 3,00m 8x1%=8% Diagrama de Momentos Flectores (kN.m)8
  9. 9. FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002 Resolução / Critério de Avaliação - -27.4 2.00m - 2.00m + -55.5 - - -1191.3 -1208.7 2,00m 2,00m 3,00m 8x1%=8% Diagrama de Esforços Axiais (kN)Chama-se à atenção para o facto de que, se não for desprezada a deformação por esforço transverso, obtém-se ovalor exacto do deslocamento ∆ 2 = −169 × 10 −6 [m] . Esta diferença justifica-se devido à baixa razão h/Ldas barras 1 e 2).i) Para calcular a estrutura da figura 2 com base no sistema de equações anteriormente apresentado, bastaconsiderar as incógnitas ∆4, ∆5 e ∆6 dado os restantes deslocamentos serem nulos, donde resulta um sistema deequações mais simples (zona sombreada). 625000 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 62500 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − − 46875 ⋅ ∆ 6 = 5 0⋅∆ + 1875000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 + 0 ⋅ ∆4 − 1500000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = − 1200 1 46875 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 6023437.5 ⋅ ∆ 3 + 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − 32437.5 ⋅ ∆ 6 = 5 62500 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 225000 ⋅ ∆ 4 − 30000 ⋅ ∆ 5 − 46875 ⋅ ∆ 6 = + 36.6(6) 0 ⋅ ∆1 − 1500000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 − 30000 ⋅ ∆ 4 + 1512000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = 1150− 46875 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 − 23437.5 ⋅ ∆ 3 − 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 + 1223437.5 ⋅ ∆ 6 = − 1195Existem outras soluções possíveis, por exemplo, tornar artificialmente iguais a infinito os valores da rigidez dasduas barras inferiores. 8% 9

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