Este documento apresenta a resolução de um exercício de Teoria das Estruturas 2. Contém a determinação das forças internas para diferentes configurações de deslocamentos unitários, considerando carregamentos térmicos e mecânicos. Também apresenta o sistema de equações para o carregamento global e a sua resolução, obtendo-se os valores dos deslocamentos nas seis incógnitas.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002
Resolução / Critério de Avaliação
Valorização
a)
Nota sobre a Avaliação:
Cada item avaliado ou está
completamente certo ou está
completamente errado.
Apenas está certo se o resultado for
idêntico ao da solução, ou se for
rigorosamente demonstrado que a
substituição dos valores de entrada
correctos conduz exactamente aos
resultados da solução.
Consideram-se correctos os valores
com um erro inferior a 2%.
a) 2%
b) O grau de hiperstaticidade é 6.
b) 2%
c) O número de incógnitas hipergeométricas para resolução pelo método dos deslocamentos – formulação
directa – é 6.
c) 2%
Na resolução deste exercício considera-se a seguinte notação:
acção
xiAj B
barra
configuração
grau de liberdade
força de fixação
∆i deslocamento segundo o grau de liberdade i
Nota: Todas as forças de fixação (no sentido generalizado) são indicadas em kN ou kN.m e todos os deslocamentos são indicados em m ou rad.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002
Resolução / Critério de Avaliação
h) Fazendo uso, novamente, do Princípio da Sobreposição de Efeitos, e fazendo também uso de uma notação
semelhante à anterior, determinam-se os vários esforços nas extremidades das barras. Note-se que os valores
assim obtidos obedecem à convenção adoptada na alínea c).
Ou seja, o esforço segundo o grau de liberdade i na barra B é dado por:
xiB = xi1B ⋅ ∆1 + xi 2B ⋅ ∆ 2 + xi 3B ⋅ ∆ 3 + xi 4B ⋅ ∆ 4 + xi 5B ⋅ ∆ 5 + xi 6B ⋅ ∆ 6 + xi 0B
Recorrendo a esta expressão, podem determinar-se os esforços nos nós das barras onde se consideraram as
incógnitas hiperstáticas, por exemplo:
o momento flector na extremidade esquerda da barra 4 é dado por:
x44 = x414 ⋅ ∆1 + x424 ⋅ ∆ 2 + x434 ⋅ ∆ 3 + x444 ⋅ ∆ 4 + x454 ⋅ ∆ 5 + x464 ⋅ ∆ 6 + x404 + x404 ;
Q t0
ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:
x44 = −53.9 kN.m;
o esforço tranverso na extremidade de baixo da barra 3 é dado por:
x33 = x313 ⋅ ∆1 + x323 ⋅ ∆ 2 + x333 ⋅ ∆ 3 + x343 ⋅ ∆ 4 + x353 ⋅ ∆ 5 + x363 ⋅ ∆ 6 + x303 + x303 ;
Q t0
ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:
x33 = 17.4 kN;
o esforço axial na extremidade superior da barra 3 é dado por:
x53 = x513 ⋅ ∆1 + x523 ⋅ ∆ 2 + x533 ⋅ ∆ 3 + x543 ⋅ ∆ 4 + x553 ⋅ ∆ 5 + x563 ⋅ ∆ 6 + x503 + x503 ;
Q t0
ou seja, substituindo pelos valores anteriormente indicados:
x53 = −55.5 kN;
etc.
Os sinais desses esforços têm que ser criteriosamente tratados de modo a respeitar a convenção da Ressitência
dos Mareriais (nos diagramas de esforços).
Verifica-se que o problema da hiperestáticidade está resolvido. Para determinar os remanescentes esforços
actuantes, pode-se proceder de uma forma análoga ou então pode-se recorrer a cálculos estáticos triviais
(equações de equilíbrio). Por exemplo, o momento flector na extremidade direita da barra 4 é dado por:
7
8. M 4 dir . = − x53 × L4 + x44 − 20 × 5 2 / 2 = −26.3 kN.m.
E assim sucessivamente.
Resultam os seguintes diagramas de esforços para metade da estrutura (para a estrutura toda os diagramas
seriam obtidos atendendo às condições de simetria consideradas anteriormente):
2,775m
55.5
+
-
2.00m
-
-44.5
27.4
+
2.00m
41.1 -
+
17.4
-
-14.4
2,00m 2,00m 3,00m
8x1.%=8%
Diagrama de Esforços Tranversos (kN)
2,775m
-53.9
26.3
-
-
-53.9
+
-
2.00m
23.1
0.8
-36.7
2.00m
+
-18.9
+
-
-
+ 35.6
+
10.0
45.6
2,00m 2,00m 3,00m
8x1%=8%
Diagrama de Momentos Flectores (kN.m)
8
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TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Ano lectivo 2001/2002
Resolução / Critério de Avaliação
-
-27.4
2.00m
-
2.00m
+
-55.5
- -
-1191.3
-1208.7
2,00m 2,00m 3,00m
8x1%=8%
Diagrama de Esforços Axiais (kN)
Chama-se à atenção para o facto de que, se não for desprezada a deformação por esforço transverso, obtém-se o
valor exacto do deslocamento ∆ 2 = −169 × 10 −6 [m] . Esta diferença justifica-se devido à baixa razão h/L
das barras 1 e 2).
i) Para calcular a estrutura da figura 2 com base no sistema de equações anteriormente apresentado, basta
considerar as incógnitas ∆4, ∆5 e ∆6 dado os restantes deslocamentos serem nulos, donde resulta um sistema de
equações mais simples (zona sombreada).
625000 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 62500 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − − 46875 ⋅ ∆ 6 = 5
0⋅∆ + 1875000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 + 0 ⋅ ∆4 − 1500000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = − 1200
1
46875 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 6023437.5 ⋅ ∆ 3 + 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 − 32437.5 ⋅ ∆ 6 = 5
62500 ⋅ ∆1 + 0 ⋅ ∆2 + 46875 ⋅ ∆ 3 + 225000 ⋅ ∆ 4 − 30000 ⋅ ∆ 5 − 46875 ⋅ ∆ 6 = + 36.6(6)
0 ⋅ ∆1 − 1500000 ⋅ ∆ 2 + 0 ⋅ ∆3 − 30000 ⋅ ∆ 4 + 1512000 ⋅ ∆ 5 + 0 ⋅ ∆6 = 1150
− 46875 ⋅ ∆1
+ 0 ⋅ ∆2 − 23437.5 ⋅ ∆ 3 − 46875 ⋅ ∆ 4 + 0 ⋅ ∆5 + 1223437.5 ⋅ ∆ 6 = − 1195
Existem outras soluções possíveis, por exemplo, tornar artificialmente iguais a infinito os valores da rigidez das
duas barras inferiores.
8%
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