1. Director da colecção Manual. Prof. Paulo Manuel de Araújo de Sá Luísa Madureira
Projecto gráfico. Incomun
Impressão e acabamentos. marca-ag.com
1: edição. 2000
2: edição. 2004
3: edição. 2010
Depósito legal n.? 206 451/04
roblemas de equações
ISBN 978-972-752-124-1
© Luísa Madureira . 2000
© Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
iferenciais ordinárias
Rua Dr. Roberto Frias. 4200-465 Porto
http://feupedJe.up.pt transformadas de Laplace
lodo os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro
pod 5 r reproduzida por processo mecânico, electrónico
ou outro sem autorização escrita do editor.
3.a edição

2. li dice
Pr fácio. 11
Introdução. 13
Capítulo 1
quações diferenciais de primeira ordem. 15
1.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis. 15
1.2 Equações diferenciais homogéneas. 20
1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas. 26
1.3 Trajectórias ortogonais. 30
1.1]·Equações diferenciais exactas. Factor integrante. 34
1.4.1 Factor integrante. 38
I. quações diferenciais lineares. 42
1.5.1 Equação de Bernoulli. 48
1.5.2 Equação de Riccati. 52
I. qu cõ s n o r solvidas em ordem à derivada. 56
1.6.1 EqLI c od L gr ng . 60
1.. I 1~lil (o d Clt ir ut. 3

3. Capítulo 2
Equações diferenciais de ordem superior à prim ) .1 7
2.1 Redução da ordem das equações diferenciais 67 I 11111'1111 d', ti! IlIilol íun tl uac dif r nç . 178
2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n. 72 " I I I Ili'l! 1I tI~ jltlltl tl fi nt .178
2.2.1 Soluções da equação homogénea e não homogénea. 73 , I 'I I ililli'ilC,tlS nu i dif r nças divididas. 179
2.2.2 Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes. 75 " I I I qUtlr, s cI drf r ncas. 180
2.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientes I I ,11111t,,1o ti qu ç o de diferenças. 180
constantes. 81 " 1'1 d valor inicial. 180
2.3 Equações de Euler. 93 I II qlltl~ dif r nças lineares homogéneas de coeficientes constantes. 182
2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências. 96 ',11 d p ssoapasso.183
2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto não singular. 97 " I) D l rmin ção da solução geral como combinação linear de soluções. 183
2.4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de Frobenius. 103 I, I ',oluV1 d quação de diferenças não homogénea. Método dos coeficientes
111111'1 rrnin dos. 188
' •. 1 l rminação de uma solução particular. 189
Capítulo 3
Sistemas de equações diferenciais lineares. 111 fia. 193
3.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos de coeficientes constantes.
Método de Euler. 113 Itldl r missivo. 195
3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos de coeficientes
constantes. 125
Capítulo 4
Transformadas de Laplace. 133
4.1 Definição, existência e propriedades da transformada de Laplace. 133
4.2 Transformada de Laplace da derivada. 140
4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equações diferenciais. 143
4.4 Primeiro e segundo teoremas da translação 150
4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac. 159
4.6 Transformada de Laplace do integral. 162
4.7 Derivada e integral da transformada de Laplace. 165
4.8 Teorema da convolução. 170
'I
., I
11111

4. I r fácio
NrI últimas décadas tem-se assistido ao extraordinário desenvolvimento das capacida-
des computacionais existentes e o crescente acesso a poderosos produtos que
nos permitem facilmente executar tarefas outrora ciclópicas ou irrealizáveis. É as-
sim possível hoje em dia, com recurso a essesprodutos, resolver numericamente
sistemas de milhares de equações diferenciais não lineares que caracterizam um
vasto número de problemas com que nos deparamos na Engenharia. Estes no-
vos paradigmas geram a necessidade de, em muitos aspectos, reequacionarmos
a forma como o estudo da Matemática deve ser ministrado aos cursos de Enge-
nharia mas também, indubitavelmente, reforçam a necessidade de se adquirir
um conhecimento sólido dos princípios elementares da Matemática, no sentido
de se ser capaz de desenvolver, interpretar e correctamente utilizar essas novas
ferramentas. Há etapas da aprendizagem que não devem ser queimadas sob
pena de se hipotecar o desenvolvimento dessas competências.
O livro da Prof." Luísa Madureira, Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Trans-
formadas de Laplace, pretende ser um contributo nalgumas dessas etapas fun-
damentais. Escrito numa linguagem acessível, mas com rigor, visa sobretudo
fornecer ao aluno um conjunto variado de problemas que lhes permitam melhor
compreender aqueles assuntos que são ministrados nas aulas teóricas e práticas
nos prim ires anos dos cursos de Engenharia. E permanecerá para os alunos
futuros ngenheiros como uma fonte de consulta onde poderão encontrar
inform c út is p ra a solução de muitos problemas que enfrentarão no seu
(utur I lud nt profissionai .
I( " ,( ",di <11' ,
(1'1111 (!lII'lIlo1I11 ( 11.1 I !lI til<lolcll' di' 111111 1111011101 cloI lJlllvl'I',lcloIill cio I ()J to)

5. dy y
a equação resolve-se integrando ambos os membros de (2) -=n-
dx x
J g(y) dy = J !(x) dx + C (4) e separando variáveis obtém-se
dy dx
onde C é uma constante arbitrária. -=n-
y x
e portanto
Problema 1.1
Calcular a solução da equação diferencial (I - cosx) y' = sen x . y
o que conduz a
Resolução
Escrevendo a equação na forma In Iyl= lnlx"l + In C
dy senx dx A solução é então
y 1- cosx
integrando tem-se y = C x"
Inlyl = In 11- cos x] + In C
Prohlema 1.3
R olvendo em ordem a y I . acordo com a lei de Newton a velocidade de arrefecimento de um corpo é
proporcional à diferença entre a temperatura T desse corpo e a temperatura am-
y = C (I - cos x) hi .nte To. Sabendo que uma dada substância se encontra à temperatura 100°C e é
colocada num ambiente à temperatura 20°C tendo arrefecido até 80°C ao fim de
minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja
Problema 1.2 I xluzida para 40°C.
Determinar a equação da curva que tem a propriedade do declive da tangente em
qualquer dos seus pontos ser n vezes maior que o declive da recta que une esse
ponto à origem das coordenadas. Resolução
A relação de proporcionalidade descrita tem a expressão
Resolução dT = k (T - 20)
di
o declive da tangente à curva é dado por dy e o declive da recta que une um p rando v riáv is obtém-se
dx
d'f'
ponto (x,y) ao ponto (O, O) dado por Z 'r - ()
- t: di
x
fl1l, I'ntlfl"<!)I,I(dlllltll"('d(lI1'.t,H1IP ',IIJ1'''V(/QIl( 1,11'" (), I 11I11,1111,
ti" (11 I (lO" '

6. T (0)=20 + C1 ')(I+er)YY'=ex
obtendo-se assim o valor da constante 11) Ji:I + yy'~1 + x2 =0
I' I' (I + y') = I
Tem-se então T (t) = 20 + 80 il
I} v' + 5 x 4 i = O, y (O) = I
Determine-se agora o, valor de k. Sabendo que para t = 2 o valor de T é de
80°C, tem-se
T ( 2 ) = 80 = 20 + 80 e k2 11m ponto material de massa I g está animado de movimento rectilíneo, sob
1I 11'I,'lIO de uma força directamente proporcional ao tempo decorrido desde o mo-
o que é equivalente a 1111 1110 I = O e inversamente proporcional à velocidade do ponto. Sabe-se que no
11 11li 11 .nto 1= 10 s a velocidade era de 0,5 m/s e a força era de 4x 10-5N. Qual será
k2 80 - 20
e 11 wlo 'idade do ponto I minuto após o início do movimento?
80
I/I I 'termine a funçãof(x) que satisfaz a condição: f(x) = 2+ f ;'f(t)dt.
e portanto 1.7 I 'termine f(x) que satisfaz a condição:
F(x)+2xef(x)=0 e f(O)=O
k = ..!..ln 80 - 20 = ..!.. In 2 I H Uma curva de equação cartesiana y = f(x) passa na origem. Linhas traçadas
2 80 2 4
1'" li 'lamente aos eixos coordenados a partir de um ponto arbitrário da curva de-
Finalmente para um valor da temperatura igual a 40°C tem-se 1111 'Ill um rectângulo conjuntamente com os eixos coordenados. A curva divide o
I túngulo em duas áreas uma das quais é n vezes superior à da outra. Determine
40 = 20 + 80 eO,5 In (3'1/4) , til" ':io/(x).
1.1' IJm tanque tem uma secção quadrangular de 60 em de lado. A água escoa-se
ou 1111IV:S de um orifício na base de 10 em? de área. Se o nível inicial da água estiver
11 rt() '111 de altura qual o tempo necessário para se situar a 30 em?
0,5In(3'1/4) 1
e =-
4
o que conduz a oluções
1,tl
t = 9,638 min 3 4
) -=':::""-+C
4
Problemas b)y. (x_l)eX
1.4 Resolva as equações diferenciais:
) ,I~ • '4' In (I + e,l )
a y'. .r: li
ti) JII 1 I JI I I' •

7. M(l,Y/X)
f)y=--
1
x5 + 1
g) are tg e
x
=
2 sen
1
2
y
+C
M(x,y)
N(x,y) =
M(Àx,ÀY)
N(Àx,ÀY) =
I
N(1,y/x)'x>O
M(-l,-y/x)
N (-l,-y/x)
1111 VI "fica-se que o resultado se pode escrever como uma função de
" equação diferencial
.x e O
(7) pode ser escrita na forma
(8)
1'. e portanto
x
1.5 v = so.J2gem /s (9)
1.6 f(x) =2 /<-I} o que permite concluir que se a equação diferencial y' = F(x,y) é tal que
J
17 y=Jn -- F(Àx,ÀY) = F(x,y) (10)
2
x +1
1.8 Y = kx" ou y=kX'/" então ela é homogénea.
1.936,897 s
11 011 ma
I I !''Iu cáo diferencial y' = F (x, y) é homogénea então a mudança de variável y = ux
ti nsforma esta equação numa equação diferencial em LI, de variáveis separá-
1.2 Equações diferenciais homogéneas
vis.
Uma função M (x,y) diz-se homogénea de grau n se para qualquer À positivo se tem
(5) I «111 n tração
"1 "(, [u cão é homogénea pode ser escrita como
Uma equação diferencial homogénea é do tipo
(6)
M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O
I ""',leI r - e agora a mudança de variável y = ux. Tem-se
em que M (x, y) e N (x,y) são funções homogéneas do mesmo grau n, lIy du
-u+x-
Neste caso a substituição Y = ux transforma a equação (6) numa equação de variáveis tlx dx
separáveis em u e x. Analogamente, a substituição x = vy transforma a equação
port nto
(6) numa equação de variáveis separáveis em v e y.
Se e equação (6) for escrita na forma dll
111-;(- - FCu)
lx
dy =_ M (x,y) (7)
dx N(x,y)
I por À , se À>O. Tom nd t r À v I r
pod -s substituir por Àx
.1 !l1l .IIIVIl nu .1' III'q"llvo, 11'111 ,I'

8. e separando variáveis tem-se 1111(' r ndo tem-se
du dx 11I111l1I1=lnlxl+lnC
F(u)-u x
que é uma equação de variáveis separáveis podendo portanto ser integrada I) 'lu equivalente a
IIlH=Cx
como descrito em 1.1, após o que se substitui u por I.
x
• I' 1 olucão da equação é
Cr
Problema 1.10 li-e
Resolver a equação diferencial xi = y(lny-lnx)+ y
1111 Imente substituindo u por 2'. obtém-se a solução,
x
Resolução
Verificando que a equação é homogénea começa-se por escrevê-Ia na forma
, y (ln y - In x + 1) I'. Hhll'lIIa 1.11
Y =
x
Fazendo a substituição de x por Âx e y por Ây 1 I 01 v 'r a equação diferencial xel (xdy - ydx) = l dy.
, Ây(lnÂy-lnÂx+I) y(lny+lnÂ-lnx-lnÂ+I) y(lny-lnx)+y
y = = =
Âx x x R solução
efectuando a mudança de variável y = UX, tem-se t az ndo a substituição de x por Âx e y por Ây
À,2x2
dy du Âxe
).l,2(
) Âxdy - Âydx
)?2 Â -y
= dy
-=u+x-
dx dx
A equação escreve-se lU quivalente a
du ux ln u + ux
u+x-=
dx x
ou simplificando , implificando verifica-se que a equação é homogénea.
Jl d m o screver-se a equação na forma
du
u+x-=u Inu+u
2
dx
til .1 o / _ y2
5 P rando vari v is obtém-s dv • .'
,
.1"'1,1'
rllI
/I 111
11

9. 1.I.ll- 2xy+x2y' = O
1.14 I' = y_~x2 + l
II .(y+4x)y'+y(x+4y)=0
Neste caso efectua-se a mudança de variável x = vy e tem-se
dx dv
-=v+y-
dy (If
I•17 I
1/2 dx+ ()1/4
xy dy=O, y(0)=1
e a equação em v e y escreve-se
1.1 K Iy' = Y - ~ x2 + l efectuando a mudança para coordenadas polares
1" (r y + xy cos Z)y' = x2 cos Z + xy + l cos Z
que é equivalente a x x x
dv 1 2
y-=-- 11 tly = y(i +x )+ 2x2y
v2
dy ve til" 2x3
Separando as variáveis tem-se
2 d oluções
ve" dv =-~
y
1.12 x2+i =Cx4
e integrando obtém-se
Cx2
113 y=--
Cx+l
I 11 x2 + 2Cy = C2
ou
1.1 X 4 Y 4 = ( x+ Y )3
E finalmente tem-se a solução
x2
I,I! '/'----
1+ scn@
Problemas . +l Z)
R 'solv 'r as s iuint s quaçõ s dif r n .iuis: X
I () ,)
1.1
1'

10. 1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas I! qlldC,dO diferencial resultante em z e x é de variáveis separáveis.
" (19)
Considere-se a equação não homogénea
1
(11)
I ,,!tI. 11111 1.21
na qual se efectua a mudança de variável
-quaçao dif
- rrerencia. I Y ' x +Y- 3
= --'---
x- y-I
(12)
li. lução
( !1I1',!cI re-se a mudança de variável
Tem-se então
dYl = dy = F ( ai xI + ai II + bl YI + bl k + cI ) (13)
dXI dx a2xI +a2II+b2YI +b2k+c2
Ao escolher II e k tal que
1111,0
a1h+ blk + CI = O (14)
{ a2II+b2k+C2 =0 tI"I •• xI + II + YI + k - 3
rlrl XI + II - YI - k-l
e sendo o sistema tal que
().."ma que determina h e k é
l
(15)
" 1-1<-3=0
{ "-/(-1=0
obtém-se a equação diferencial homogénea em xI e YI
t' t m como solução II = 2 e k = 1. A mudança de variável é então
(16)
-XI +2
Se não se verificar a condição (15) então "-YI +I
quação toma a forma
rlYI _ xI + YI
e (11) pode escrever-se
dx, XI - YI
(17) h mo n a e portanto aplica-se a mudança de variável )'1 = uXI'
cr v -s
Fazendo a mudança de variável z = alx + bl)' tem-se
tllI .1I 111'1
1i I11
(li I I 1/ I
(I )
I' 11"'1"'11"

11. du 1+ u2
-x,=--
dx, l-u
~ldz=dx
[ 5z+9
Separando as variáveis tem-se
I' mt grando obtém-se
7
e integrando obtém-se ::+ -lnI5z+ 91= x+ C
25
ou, nas variáveis iniciais,
Então a solução é .1'+IOy+71nIIOx+5y+91 =C
t=r
~l+u~
1 arctgu
=
C
x,
1'1 Ul!h'IIIl1S
e nas variáveis iniciais x e y tem a expressão I I nlv 'r as seguintes equações diferenciais:
1'(lly+l)dx+(2x+2y-l)dy=O
' I 3y-7x+7
I ' - --=-----
3x-7y- 3
Problema 1.22
I,' (I t-2y+l)dx-(2x+4y+3)dy=O
I"eso Iver a equaçao dif
~ - lierenCla. I -
dy 2x + y - I
= ---"--
dx 4x+2y+5
l'fI(l 2y+l)dx-(2x-3)dy=O
Resolução I I 1 t-y-2+(I-x)y'=O
Como a,b2 = a2b,. faz-se a mudança de variável
1'1(( ry)dx+(x+y-l)dy=O
z = 2x+ y
I I) y-5+(3x+2y-5)y'=O
e a equação toma a forma
dZ_2=~ luções
dx 2z+ 5
Separando as variáveis Tem-se 1. x+2y+ Inlx+y-21=C
2z+5
--dz=dx
5z+9
Cill' C[IIÍVtll('lll "

12. 4y+5
1.261n 2x-3 I I---=C
2x- 3
(24)
1.27 Y = 1+(x-l)lnC(x-l) I" lo ~ u integral geral.
1.28(x+y)2_2y=C
I 1 •• 11" 11I11 1.30
? ?
1.29 r+3xy+x--5x-5y=C Ii I 1I11 uur a equação da família de curvas ortogonais à seguinte família
I 2((."
1.3 Trajectórias ortogonais
H lução
Considere-se uma família de curvas no plano a um parâmetro C f l.unllla dada é uma família de circunferências com centros no eixo Ox e
11111(1 tes ao eixo Oy (Fig. 1.1).
n
f(x,y,C) = O (20)
y
sendofdiferenciável. Calculando a diferencial tem-se
af _ af ,
-(x,y,C)+-(x,y,C)y =0 (21)
ax ay
e eliminando C nas duas últimas equações obtém-se a equaçâo diferencial 1------~--~--~--I-7
x
I (x ,y,y') = O (22)
nl- o assim por este processo determinada a equaçâo diferencial que tem como so-
lução geral uma família de curvas dada inicialmente. É de especial importância
a família das trajectórias ortogonais a essascurvas. Cada curva da família inicial 11'1 I I
é intersectada perpendicularmente por todas as curvas da família designada por
família das trajectórias ortogonais. Isto significa que as tangentes às curvas no " 1'<i1111Ç , rencial que as caracteriza é obtida por derivação de ambos os
dif
ponto de intersecção são perpendiculares. 111I'llIllI d quação. Obtém-se então
O d s duas curvas F(x'YI)=ü e G(x,Y2)=ü a relação de perpendicularidade entre
rectas tangentes a essas curvas é dada pela equação I I 1/ _ 2 I
, J
Y2 =r+; (23) ,1111'11111111 O v I r d
I C/ que se obtém da equação inicial
YI
A tr j tória ortogon um famfii d curvas r pres ntada por j(x, y, )- O s o ,1
nt O obti d

13. , y2 _X2
y=-- 11111'1l1 '.
2.xy
I'
Então a equação diferencial das trajectórias ortogonais é tal que y~rt =-~
y'
, 2xy I
Yort =--2--2 1111 nuund y' por ":"; obtém-se a equação diferencial das trajectórias
y -x y
111111'11 lI,lI
que é homogénea. A sua solução é
y
'1111' '11m quação de variáveis separáveis e integrando conduz a
que é a família de circunferências de centros no eixo Oy e tangentes ao eixo
Ox que se pode ver representada na Figura 1.2.
y '1"" 11m família de elipses (Fig. 1.3).
y
1--f--I--7
x
x
Fig. 1.2
IIq 1 1
Problema 1.31
Determinar as trajectórias ortogonais à família de parábolas x = ai.
1', ,,1111'111111/
II II 1111111 11' (I • [uação las trajectórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
Resolução
Derivando ambos os membros da equação tem-se 1 -O, {/>O
I ",2ayy' l/I"
( IiIllÍl1dllCl
II li I I
I'

14. 1.36 cosxchy =a
'I'!lel
1.37 xi - 4ax2 =O
AI (.r,y) =-
au e N(x,y) =-
au (27)
õx õy
1.38 x = ae-/
I' P t t nto a equação (25) é do tipo
1.39 y c axe" tllJ
dx+-dy=O
au
(28)
i), ay
I' () u integral é então
Soluções
2 ?
ll(x,y)=C (29)
1.32 2x + y- = C
? 2
vondo U (x,y) obtido por
1.33 X- + ny = C
x Y
1.34 xy = C se k =2 e /-k = x2-k + C se k '" 2
{/ (.r, y) = J M (t , y) dt + J N (Xo ,t) dt (30)
Yo
ou por
x Y
U(x,y)= J M(t,Yo}dt+ JN(x,t)dt (31)
1.36 senxsenhy = C
Yo
2
1.37 x2+L=C
2 I, 111 r
11111,1 (011 liç o necessária e suficiente para que exista uma função U(x, y) tal que a
1.38 Y = Cex'
ndição (26) se verifique é que
1.39 i = -2x + In (I + x)2 + C íJM( ,y) aN(x,y)
(32)
oy ax
( , funçõ s M (x,y) e N(x,y) sejam contínuas num domínio simplesmente
n xo.
1.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante
Uma equação diferencial exacta é do tipo
1', ullh'lIIl1 1.40
I',"v 11 que ti S' iuint quaçã é diferencial exacta e calcular a sua solução geral.
M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O (25)
se o primeiro membro de (25) for a diferencial de uma função U(x, y), isto é
(/U M (. ,y)dr N(.r,y)rty (2 ) I , ',I II (
''''IIr/1I AI '0 I '' li N 1_ vI I di ul.un ',( ,I', (/I'r/Vddtl', 11t111
itlh

15. aM = 3x2 I IlIhh 1II11/!
ay
I I I 11 1/11' as seguintes equações diferenciais são exactas e calcular as suas solu-
aN = 3x2
ax
I I
Dado que são iguais verifica-se que a equação é exacta. Então existe uma I 11 til 1 dy =0
v~
função U(x, y) tal que
au
-=cosx+3x
2
y II
(I I 'v)d.r+ydy
--=0
ax ( I
. .1')2
e
au
-=x
3
-y
2
,,,.:}m:(I-:;)dY'O com y(0).2
ay
Tem-se então, admitindo um percurso de integração com y constante,
I I ( I 1')"1 I (x+2y)dy=0
que é equivalente a I h
U(x,y) = senx+x3y+ f(y) 11 ,/1' I'fN - (xdy - ydx)/(x2 + l)
em que f (y) é calculado de modo a que ' / 1,1)1111-(1/ y_3x2 / / )dy=O
Então tem-se "I tlll tlll' 'osxdx=3cos3ycos2xdy
f(y)=--+C i
3
e está encontrada a função U(x, y).
3
U(x,y) = senx+x3y- L+c
3
I1
A solução da equação diferencial é
I'
3 , /111 ',111-
3 I I I'
senx+x y-L = C
3
11'1')

16. dl' 111'
dAI IiN N (1 M ily _ N íll n 1' _ M ri In ,LI
(36)
X~ ? C ti" d l' cJx ()y
'I .11 + Xv + v~ = 1'
2 . .
tlIII tld I''1IIt1I,.í( ( ) P lv I d t rminarfactores integrantes. Os casos mais simples
1i 11<111('1(' -rn qu o f tor integrante é uma função só de x ou só de y.
1.47 x2 + l- 2 arctg (y / x) = C
111111
11 ItllllllltlO (J11 quação diferencial (25) é não exacta, se
,3 (37)
. Y 1
1.4 --xy--+-sen2y = C
324
1111lima função só de x, sejaf(x), o factor integrante é
I. O 'os2x sen3y = C
I' () -(' ,
f /(x)dx
(38)
1 2 2 y y
I.' 1 x'y+4x y -12e +12ye =C
1111 1111110 laoo se tem que
I .11. 1 tor integrante I (()M ON) (39)
/11 ()y OX
',I' 11 ('lJllde, (2) não for uma equação diferencial exacta é possível em certos casos I' 11111,1 função só de y, seja g(y), então o factcr integrante é
11,111 f rmá-Ia numa equação exacta multiplicando-a por uma função particular.
I)" 111 11111 ,LI (x,y) é um factor integrante da equação não exacta se multiplicando a I' () -('
Y
- f f;( ..
)')dv
(40)
qu c o por esta função
It(.r,y)[ M (x,y)dx+N(x,y)dy] = O (33) 111111111'1' O
IljI'"II111 ',I' prim iramente que fL = ,u(x), então : = O e a equação (36) escreve-se
I s reduz a uma equação diferencial exacta. Como as equações (25) e (33) são
quivalentes então têm a mesma solução geral. I (fiM _(W)=dIIl/-!=f(x) (41)
(' 1 quação (33) é exacta então
N (I)' õx dx
"P Itlnl
B
-;-(I-LM) =
a
-(.uN) (34)
()y ax
(42)
ou
" () Id( tOI ínt r nt função só de x
iiM
1' ( ---
BN) -N--M-
a/-! aI-" (35)
iJy ãs fi fly
(38)
1111'111111 I'

17. (43) ( I 11);- 2 X -3 Y3) d x+ 3x -2 y 2d y= O
'
integrando obtém-se a solução da equação dada
o que é equivalente a
-?
-y 3 C
ln u =- f g(y)dy (44) x Inx-x+x =
o factor integrante neste caso é então dado pela função só de y
I'whlcma 1.53
(40) I I 01ver a equação diferencial cos xd.x + (y + senx) dy = O,
•
Resolução
Problema 1.52
Resolver a equação diferencial (x4ln 2
x - 2xy3)dx+ 3x ldy = O,
C Icu Ian d o - aM - -aN e diIVI Indo por M tem-se
'd"
ay õx
Resolução
~(aM _ aN) =_1_( -cosx) =-1
4 3 2 ?
M ay õx cosx
Neste caso M = x In x - 2xy e N = 3x y- Então
I m-se neste caso a considerar Il; como função de y
aM aN
--- = -6xy
2
-6xy
2
ay õx
Dividindo por N tem-se
Após multiplicação da equação diferencial por este factor integrante a equa-
f(x) =-~
çtlo screve-se
x
e o factor integrante é
4
J --dx I' mt r ndo obtém-se a solução
/-l(x)=e x
ou
Inx-4
/-l ()x = e
1'111""'11I111>
I, ItI '11 IIS S' iuint s equações diferenciais:
que é equivalente a
-4
1' () ' -
( ' I li ) 1 )1 rly - ()
Mlllilplll tllldo ,lInl)

18. I..(,,' '.1' • c" .om y. ()par;1 .r. () IJIII 11 11111011 I 111 I' I' I" POdl'lld II( ) , J( ) 'I qutli lU I íun do ,«
1111111111.1'. IlIlIll I 1t11111 I,
!I. I 1',11 lil' () (.1') • O ,1 quaçc lrc nsf rm - numa equação diferencial de variáveis
',I'Jldl, v('i li/- qu
I.5X (y / x)dx+(i -In x)dY = O
I" I 1'(.).1' - O (46)
d qu ão homogénea associada a (45). Note-se que esta equação não é
1.60 (I - x tg x + seny) dx + cos y tg xdy = O lic 111 n a no sentido referido em 1.2. (equação (6)). No entanto é costume
11',,11 a m sma terminologia para designar a equação (46). A solução desta
1.61 ( e 2.1' ) 1
- yx dx = -2,xdy I'CJlI,IÇ que se designa por Yh é obtida por integração de
til'
- -I (x)dx (47)
I'
Soluções
1111 ,1'1'111,
2
1.54 y+x = Cy
3
1111.1'1- - f P(x)dx (48)
1.55 Y3 -31nlxl=C
x I Jl rt nto a solução da equação homogénea é
3x 2x
1.56 y=e -e
(49)
I'" -
-x'/2 2
1.57 Y = Ce +x-2
IJ 1111111 () m todo da variação da constante é possível determinar a solução geral da
1 2
1.58 -lnlxl+L=C I'ql1tlÇ o não homogénea. Considera-se que a solução geral tem a forma
y 2
I'.C ( x ) e-fp(rAx-r- (50)
C+e-x
1.59y=ln Fx
I' I m-s
1.60 x cos x + senysenx = C
li. "(x)e- f P(x)dx _ p(x)C(x)e- f P(x)dx (51)
1 2x
1.61 ln 1x 1 + - ye - = C
2 1111 1lIllillc1o n quação (45) obtém-se
c (0 1')('- f IJ(x)dx _ p(x)C (x)e- f P(x)dx + p(x)C (x) e- f P(x)dx = Q(x) (52)
1.5 Equações diferenciais lineares
I' !l011,'1 l
Um equ ç o diferencial linear de primeira ordem em y é do tipo
(o/ .
) (
.1
)
{'
f 1'( ) d. (53)
(1 )

19. (111' P '1IIIill' lil lIltll '(.) (" I) '
ul: 1IIIIIIIdn 1101 ('qUtlc,t 1111 I Il m
Fin 1m nte a solução da equação (45) é então
(55) , 11111111111 ()
~
Problema 1.62
R 'solver a equação diferencial xy' = x3 - 2y. Inlll!,')O n tão
Resolução
A quação pode escrever-se como
I IlIhl. 111111.(13
, 2 2
y+-y=x I. "I 11 -quação diferencial x(x+l)y'+y=x(x+l)2senx.
x
e a equação homogénea associada é
II luç o
,
2 O
Y +-y= ()/I ndo por escrever a equação na forma
X
~; I
Separando variáveis tem-se , f 1'/ I (--) Y = (x + 1) senx
.r x+ I
/ ('C/LI o homogénea associada é
1
e integrando obtém-se I" I y=O
.I'(x+ I)
Inlyl = -2Inlxl+ ln C I' ~ p r ndo variáveis tem-se
ti I c/x
ou
x( + I)
-2
y" = Cx 11 'c) nd obt m-se
Procurando agora a solução geral na forma
I'" lu d
,. I
tcmso. d riv ndo m ord m x I'"
H
1'1111,101111

20. I 10 I ( I li I '1'1111
'lilll1l" '1Ididll snrrc li 'UI'VII ' ti corda li)p é igual a .1'.1,
onsid r - agora omo solução da equação dad
11 I, 111111111
I 1t111~'!
0./'(,1),
x+1 "" li. 11uulnnr li sulução ) irul da equação y'scn .r « ycosx = I para x E ]O,Jí[.
y=C(x)-
x
s di ferenciais:
e portanto
I" ' I I' 'ot '' - S n 2x
Substituindo y e y' na equação tem-se
I ') ,
I' +.I"Y=2x
C' (x) x + 1 = (x + 1)senx
x I U 1' I ' - 4e ~
111 11" __ Y_.I".1e.l"
e portanto
I !I 1'1os s 'guintes problemas:
C'(x)=xsenx
I' 'I' iundo ti lei de Newton, a taxa de variação da temperatura de um cor-
I'" I tlllI'l'l!Im .nrc proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio
donde se obtém para C (x)
(s '.ia
1111111111' k a constante de proporcionalidade). Se y = f(r) é a temperatura
" I IlIlh -cida) do corpo no instante teM (t) designa a temperatura (conhecida) do
C (x) = -x cos x + senx + C
111'1IIIIIIIli '111.cscrever a equação diferencial que traduz a referida lei de Newton.
I' 11111 'cio arrefece de 200°C a 120°C em meia hora num meio com tempe-
obj
Finalmente a solução é
I 11IIslunlc de 60°C.
11111111
x+l ) x+l I) 11"iI temperatura do objecto ao fim de t minutos?
y = C -- - (x + 1 cos x + -- senx
x x 11) uul () tempo necessário para que o objecto atinja a temperatura T?
I ) I ct .rminar o tempo ao fim do qual a temperatura do objecto é de 90°C.
I Itll'IlIll(.JO que a temperatura do meio ambiente embora a 60°C quando o ob-
1111
Problemas
I 111 11 00° diminui de JOC em cada 10 minutos, determinar a nova lei que
1.64 Resolver as seguintes equações diferenciais tendo em conta as condições
I 1111'111'1111
ratura do objecto ao fim de t minutos.
iniciais dadas:
I 11 d -xint • 'ração do elemento rádio é tal que são necessários aproximadamen-
x E ]-oo,+oo[ I 11.1111 lHOSpara que uma dada quantidade se reduza a metade. Determinar qual
a) y-
, 3y=e 2x , y=O para x=O e
I I" 1 11 ' '1 de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos,
5 x E ]O,+oo[ "" IId1 qu ' 11 lo 'ida le de desintegração do rádio é directamente proporcional
V à
b) xy'-2y=x , y=l para x =1 e
~ 1111111 1110instante considerado.
~
dx
c) -+x=e
21
, X =1 para t=O e tE ]-00, + oo[
dt
x El-oo,+oor ',Olll
.& d) y' + xy = x3, y=O para x=O e
11111
li) ' (, a
1.65 rráflco duma fun ã .l x) passa por PO. (O, I) '1' (I, () , I 111'1I
lodo
O ponto urhilrllio (ln 'lII'ViI, p( I', y),lI .urvu stlÍ SilU11(11I 111111i 1'(1dI
pw d Ih/),

21. 2 2 1 5 y' + p(x)y = Q(x)yP (56)
b)y=-x+-x
3 3
2 -t 1 21 com P(x) e Q(x) contínuas num domínio D, e no caso de p '" O é redutível a
C) X = -e +-e
3 3 uma equação diferencial linear de primeira ordem por uma mudança de variável.
Sendo p = O ou p = 1 a equação (56) é linear.
_x2
d) y = 2e 2 + x2 - 2
? 1 orema
1.65 Y = 5x - 6x- + 1
onsidere-se a equação (56). Ao efectuar a mudança de variável
x+C
1.66 y=--
senx (57)
1.67 Y =-
I( Ce ,.2
-- I)
x2 2 a equação transforma-se numa equação diferencial linear de primeira ordem
2 2 C em v e x.
1.68 y=-sen x+--
3 senx
1.69 y=2+C~
monstração
nsidere-se a mudança de variável v = yl-p Obtém-se
? 2 r (58)
1.71 Y = Cx- + X e
e ao multiplicar a equação (56) por (I - p) y- (J tem-se
1.72 y' = -k(Y- M (t))
(59)
1.73
e é equivalente a
a) T = 140e-kl + 60
b) T=~[lnI40-ln(T-60)]
v' + p (x)( 1- p) v = (1 - p) Q (x) (60)
k
que é uma equação linear de primeira ordem. Após obter a solução v desta
C) 54,542 minutos
quação e usando (57) tem-se a solução da equação (56) em y.
In7 -ln3 o P >O y == O. •
d) T = 140-- 1 ) e -kl +60--+- 1
t Nota: k =--- lli) ,1 d a equação (56) admite sempre como solução
( 10k 10 10k 30
1.74'" 4,2%
1'/'c,hh'IIIH 1.75
x
I kl 1 minur 11 S ilu 'I O la IUH '130 Iif rCI1 ial y' - 2yeX = 2JYe .
1.5.1 Equ ç O d B rnoulli
li I'qloIl .lO dill'll'll< 1011 cll·111 111<11111 I' dI) Ilpo