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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título: Uma sequência didática para o ensino de Equações do 1º Grau por meio
da Resolução de Problemas
Autor: Ana Cássia de Oliveira Fiorelli
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Tiradentes–Ensino
Fundamental e Médio
Município da escola: Cafezal do Sul
Núcleo Regional de Educação: Umuarama
Professor Orientador: Profº Dr. Fábio Alexandre Borges
Instituição de Ensino Superior:UNESPAR – Universidade Estadual do Paraná
Relação Interdisciplinar: Língua Portuguesa, Artes e História
Resumo:
Com a presente unidade didático-pedagógica,
temos como objetivo investigar as contribuições
da metodologia de Resolução de Problemas,
pensada por meio de uma sequência didática
para o ensino de álgebra nas equações de 1º
grau. Apresenta um estudo centrado no
desenvolvimento dos processos ensino e
aprendizagem dos alunos do 7ºano de
escolaridade, focando na leitura, interpretação e
na capacidade de relacionar situações
problemas usando os algoritmos, os símbolos e
incógnitas para criar relações simbólicas na
aprendizagem da álgebra e no tema equações.
A metodologia adaptada será através de uma
experiência de ensino. A recolha dos dados
inclui áudios, registos escritos pela professora,
que é também a pesquisadora, e cópias de
atividades feitas pelos alunos. Os momentos
escolhidos para recolher os dados serão aqueles
em que os alunos se envolverão na Resolução
de Problemas, de explorações e investigações
matemáticas, bem como as discussões que
ocorrerem a seu propósito. Espera-se com esse
projeto que os alunos desenvolvam suas
capacidades de investigação e possam superar
suas defasagens, aprendam outras formas de
executar o trabalho com álgebra, façam a
articulação da matemática algorítmica com a
matemática algébrica e resolvam os diversos
tipos de problemas que possam surgir em sala
de aula e em provas externas de longa escala.
Palavras-chave:
Resolução de Problemas; Equações do 1º grau;
Álgebra.
Formato do Material Didático: Unidade Didático-Pedagógica
Público:
Em média 30 alunos do 7º ano do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Tiradentes de
Cafezal do Sul – Pr.
APRESENTAÇÃO
Este trabalho norteia-se nas propostas do PDE – Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paraná - turma 2016, abordando a metodologia de
Ensinode Matemática “Resolução de Problemas”. As atividades de formação do
Programa foram realizadas emparceria com a Universidade Estadual do Paraná –
Unespar, na área de Matemática. Nesta etapa da formação, apresentamos uma
sequência didática pensada para o ensino de Equações do 1º Grau, por meio da
Resolução de Problemas. Visto que as avaliações externas, as quais os alunos
apresentam grandes dificuldades, são baseadas nesta metodologia e também
devido às dificuldades apresentadas por grande parte deles em Matemática e em
aplicar conteúdos matemáticos como as equações de 1º grau na Resolução de
Problemas.
O objetivo principal com este trabalho é investigar as contribuições da
metodologia de Resolução de Problemas, pensada por meio de uma sequência
didática, para o ensino do tema Equações do 1º Grau paraalunos do 7º ano do
Ensino Fundamental, bem como desenvolver nos alunos a capacidade de
investigação, necessária para o trabalho com a metodologia de Resolução de
Problemas, contribuir com a formação continuada de professores de Matemática
para o ensino de Álgebra e que os mesmos possam aplicar essa sequência didática
em suas aulas.
Para que este estudo atinja seus objetivos, elaboramos uma Unidade
Didático-Pedagógica com diferentes tipos de problemas, os quais recorrem a
diferentes tipos de representações, tais como, figuras, álgebra, linguagem natural
etc. Durante a aplicação das atividades, serão lançados questionamentos diversos
sobre os problemas para auxiliá-los na interpretação eorganização do pensamento
matemático, no sentido de relacionar o enunciado do problema com o conteúdo a
ser aplicado. Para maior participação dos educandos, será solicitado a estes que
também tragam textos de sua escolha para arealização de novas situações
problemas e a resolução dos mesmos. Todas as atividades realizadas serão
analisadas enfocando, em especial, as dificuldades para aplicá-las, bem como as
dificuldades apresentadas pelos alunos. Assim, elencaremos as contribuições mais
significativas, as intervenções necessárias emudanças indispensáveis para o
sucesso na aplicação desse tipo de atividade. As informações serão registradas em
um diário de campo que servirão para análise dos resultados futuros da
implementação deste projeto. Esperamos que as atividades trabalhadas auxiliem na
superação da defasagem dos alunos na disciplina de Matemática ena resolução de
exercícios e provas. Esta Unidade Didático-Pedagógica será implementada no 1º
semestre do ano letivo de 2017, com os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do
Colégio Estadual Tiradentes – Ensino Fundamental e Médio, da cidade de Cafezal
do Sul – Paraná.
A unidade será composta de quatro blocos articulados, porém, com
características diferentes. E em determinados exercícios, iremos sugerir alguns
cuidados a serem tomados pelos professores, sendo que os mesmos estarão
destacados em um quadro na cor verde.
O primeiro bloco é destinado ao trabalho com balanças, para que o aluno
desenvolva o conceito de igualdade, um conhecimento prévio que ele deve
apresentar e que é fundamental ao trabalhar com equações de 1º grau, ou seja,
conhecimentos que serão a base a partir da qual os alunos poderão fazer relações e
construir significados para aquilo que estarão aprendendo; o segundo bloco
contempla a introdução ao uso de letras para encontrar valores desconhecidos, em
que o aluno será levado a descrever uma situação por meio de uma expressão
algébrica ou uma equação de 1º grau, conhecer equações a partir do estudo da sua
história e resolver as equações determinadas pela situação-problema, ou seja, o
desenvolvimento dos conteúdos propostos, através de atividades diversificadas
visando à reflexão, discussão em grupo e trabalho sistemático com os conteúdos
propostos para a construção do conhecimento (essa etapa é a fase de assimilação e
sistematização do objeto de estudo visando o máximo de compreensão por parte do
aluno, consolidando seus conhecimentos e habilidades); o terceiro bloco se destina
a matemática e a álgebra no contexto do aluno, a fim de que ele amplie e consolide
os significados da álgebra e, mais especificamente, das equações de 1º grau, a
partir dos diferentes usos em contextos sociais e também que relacione a realidade
com os conceitos matemáticos; e, por último, o quarto bloco, em que o aluno criará
seus próprios problemas, transferindo a sua linguagem para a linguagem
matemática. É o momento em que o aluno terá a oportunidade de demonstrar os
conhecimentos que construiu e sua capacidade criativa e investigativa.
Material Didático
1º Bloco de atividades: Matemática das Balanças e os conceitos de igualdade das
equações.
Objetivo: Desenvolver nos alunos o conceito de igualdade, fundamental no estudo
de equações do 1º grau.
Recursos Didáticos: Atividade impressa e materiais manipuláveis (balança de dois
pratos, pesos de 100g, 200g, 500g e 1000g e frutas).
Existem vários tipos de balanças, algumas como essas abaixo:
Figura 1: Tipos de balanças
Você já viu outras balanças diferentes dessas?
E você sabe para quê as balanças são utilizadas?
Professor (a): Providenciar de 4 a 5 balanças de dois pratos, dividir a turma em
grupos iguais, levar objetos com pesos definidos e outros não, para que os alunos
manuseiem esse material, fazendo comparações do peso dos objetos. Auxilie-os a
verificar o equilíbrio, a igualdade e a desigualdade nas balanças.
Atividade 1:
Utilizando os objetos e frutas que você tem disponível, tente deixar a
balança em equilíbrio, verifique também se as maçãs possuem o mesmo peso, qual
das frutas pesa mais e qual pesa menos.
Fonte: Clip Art
Atividade2:
Comparando pesos nas balanças
a) Observe as balanças abaixo e responda as questões:
 Na primeira balança, o que pesa mais? O mamão ou os abacates?
 E na segunda balança? As laranjas ou o abacate?
Figura 2 - Balanças de Equilíbrio
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
b) Se trocarmos os objetos das balanças, o que acontece?
Figura 3 - Balanças de Equilíbrio
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
c) O que acontece se acrescentarmos uma maçã (com mesmo peso) em cada
prato? E se tirarmos o pacote de farinha e o peso de 10 kg da balança o que
acontece?
Figura 4 - Balanças de Equilíbrio
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
Atividade 3:
Jogo no Computador - Balança Lógica.
Agora iremos ao laboratório de informática, onde vocês deverão ficar em du-
pla para jogar. Nesse jogo vocês deverão determinar, logicamente, a partir das posi-
ções das balanças, qual é o objeto com maior massa ("mais pesado"). Para isso de-
verão acessaro site: https://rachacuca.com.br/jogos/balanca-logica/
Figura 5: Balança Lógica
Fonte: Racha Cuca
Professor (a): Antes de levar os alunos ao laboratório de informática, você deve
passar à eles o endereço eletrônico que eles devem acessar.
Atividade 4:
Na balança do desenho, o objeto do lado direito pesa 1000 gramas e o
objeto do lado esquerdo pesa um quarto desse valor.
Figura 6: Balança
Fonte: MDMat
a) Quanto pesa o objeto que está do lado esquerdo da balança?
b) Para completar 1000 gramas, quantos gramas ainda preciso colocar no lado
esquerdo da balança?
Atividade 5:
(OBMEP 2010) – A balança da figura está em equilíbrio com bolas e
saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os
saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas
bolas?
Figura 7: Balança
Fonte: OBMP 2010
Professor (a): Estimular a troca de ideias e sugestões para resolver os problemas,
discutir suas soluções, trocar informações e, assim, formar novos conceitos.
Atividade 6:
Observe as balanças abaixo e responda o que se pede:
a) A balança está em equilíbrio. Qual é o peso da melancia?
Figura 7: Balanças de Equilíbrio
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
b) A balança está em equilíbrio. Qual o peso da mochila?
Figura 8: Balanças de Equilíbrio
c) José foi pesar os seus filhos Alice e Otávio.
Quem pesa mais? Alice ou Otávio?Qual é a diferença entre os pesos de Otávio e de
Alice?
Figura 9: Balança
d) Considerando que a balança está equilibrada, e que todas as laranjas têm o
mesmopeso, quanto pesa meia dúzia dessas laranjas?
Figura 8: Balança de Equilíbrio
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
Fonte: Somos Educação PNLD 2015
Fonte: SOARES, 2015.
e) Dois garotos, um de 35 kg e outro de 39kg, equilibram 3 irmãos em uma
gangorra. Um dos irmãos pesa 30 kg e os outros dois são gêmeos idênticos,
que têm pesosiguais. Quanto pesa cada um dos gêmeos?
Figura 8: Balança de Equilíbrio
f) (OBMEP - 2011) Um queijo foi partido em quatro pedaços de mesmo peso.
Três desses pedaços pesam o mesmo que um pedaço mais um peso de 0,8
kg. Qual era o peso do queijo inteiro?
Figura 9: Balança de Equilíbrio
Fonte: OBMEP- 2011
Fonte: ALEXANDER; WAGNER, 2002.
2º Bloco de atividades: Introdução ao uso de letras para encontrar valores
desconhecidos.
Objetivos: Descrever uma situação por meio de uma expressão algébrica ou uma
equação de 1º grau; Conhecer equações a partir do estudo da sua história e
resolver as equações determinadas pela situação-problema.
Recursos Didáticos: Atividade impressa, projetor de slide, papel cartão, tesoura,
cola e canetas hidrográficas.
Atividade 1:
O Idioma da Álgebra
Nesses slides vocês poderão ver as diferentes maneiras de comunicação,
como se comunicar em matemática e também aprender um pouco sobre a história
da álgebra. Para isso acessaremos o link: https://goo.gl/NH75yF. Você também
poderá pesquisar no site: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603>
Atividade 2:
Caminho Algébrico
Proposta de Trabalho: Em grupos de 3 ou 4 alunos, cada grupo construirá
seu jogo.
Professor (a): Durante a construção dos jogos você poderá estar retomando os
conceitos de medidas. Peça aos alunos que tenham cuidado ao manusear a
tesoura e demais objetos que irão utilizar.
Regras para o jogo:
 Todas as peças deverão ser distribuídas igualmente por um dos componentes
do grupo, definido por eles mesmos;
 Estabelecer um critério para começar o jogo, podendo ser par ou Ímpar;
 Se a quantidade de jogadores for par, o vencedor (par ou ímpar) começa o
jogo colocando uma peça na mesa e no sentido horário, os demais deverão,
ordenadamente, encostar as peças umas nas outras, obedecendo ao critério
de semelhança entre as pontas;
 Caso o número de integrantes for ímpar, a peça que sobrar vai para a mesa,
sendo usada para começar o jogo, o vencedor (par ou ímpar) joga,
obedecendo ao critério de semelhança entre as pontas; e no sentido horário
os demais participantes procedem;
 Os jogadores só podem colocar uma peça por vez;
 Se o jogador não tiver nenhuma peça que obedeça aos critérios de
semelhança, ele passa a sua vez;
 Vence o jogo quem primeiro terminar suas peças.
Expressões presente no jogo
3𝑥
A metade de um
número
2𝑥2
O dobro de um
número ao cubo
𝑥:
𝑥
3
A diferença entre
o quadrado de
um número e
três
𝑥
2
O dobro da terça
parte de um número
𝑥. 𝑥. 𝑥
A soma de três
números iguais
5 + 𝑥
A diferença entre
seis e um número
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 6 – 𝑥
A metade de um
número adicionado
a três sétimos
𝑥 ² + 1
O triplo de um
número
7 . 𝑥
O quociente entre
um número e sua
terça parte
3. 𝑥2
O dobro do
quadrado de um
número
2𝑥 – 3
O quadrado de um
número adicionado
a um
2.
𝑥
3
O cubo de um 5𝑥 – 1 A diferença entre o
número
adicionado a
cinco unidades
quadrado e o cubo
de um número
𝑥 + 5𝑥 Um número 𝑥 ² – 𝑥 ³
Um número
adicionado ao seu
triplo
3
7
+
𝑥
2
O quíntuplo de
um número
menos um
𝑥 + 3𝑥
O produto entre três
números iguais
𝑥
2
:
𝑥
3
O triplo do
quadrado de um
número
𝑥 . 𝑥
O dobro de um
número menos a
sua terça parte
2 . 𝑥³
Um número
adicionado a
cinco
4𝑥
O produto entre dois
números iguais
𝑥 ³ + 5
O produto entre
um número e
sete
𝑥/4
O quádruplo de um
número
𝑥 ² − 3
Um número
adicionado a sua
décima parte
𝑥 +
𝑥
10
A quarta parte de
um número
2𝑥 –
𝑥
3
O quociente
entre a metade e
a terça parte de
um nº.
𝑋
O dobro de um
número diminuído
de três unidades.
Caminho Algébrico
Figura 10: Caminho Algébrico
Fonte: DIAADIAEDUCAÇÃO, 2015.
Professor (a): Ao trabalhar com figuras geométricas você poderá estar retomando
os conceitos de geometria, medidas, perímetro e área.
Atividade 3:
Escreva a expressão que representa o perímetro de cada figura geométrica
abaixo:
Figura 11: Polígonos
Fonte: (PATARO; SOUZA, 2015).
Atividade 4:
Imagine que a soma da idade de dois irmãos é 21, sendo que o mais velho
tem 11 anos.
a) Como você faria para descobrir a idade do mais novo?
Figura 12: Crianças
Fonte Clip Art
b) Qual informação está faltando nesse desafio?
c) Escreva esta atividade em forma de equação e resolva para achar a idade do
irmão mais novo.
Professor (a): A atividade 5 poderá ser aplicada como atividade extraclasse e
quando os alunos a trouxerem, fazer um debate sobre o texto. Esta pesquisa
favorecerá também o uso da história no ensino de Matemática.
Atividade 5:
Pesquisa - A origem das equações
Nesta atividade, iremos abordar de modo especial o estudo da equação do
1º grau,um conteúdo do ensino de álgebra,sua origem, importância, quando ela é
utilizada e como se apresenta no decorrer da História da Matemática, maneiras
diversas de resolução envolvendo a aritmética, a álgebra e a geometria. Você pode
saber mais, pesquisando no site:
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582>
Atividade 6:
Equações do 1º grau
Nestes slides, vocês poderão aprender mais sobre o que é uma equação,
como resolvê-la, o que é uma incógnita, seus termos e seus membros. Vamos
assistir no site: <https://goo.gl/22jzBB>
Professor (a): Quando os alunos estiverem resolvendo os problemas, caminhe pela
sala e verifique a necessidade de eventuais intervenções, observando se eles já
têm hipóteses e estão conseguindo registrá-las.
Atividade 7:
Aqui temos alguns desafios para resolver. Mostre de que forma é possível
resolvê-los por meio de uma equação.
a) Pedro tinha certo número de figurinhas coloridas, até que perdeu 4 durante a
tarde na escola. No final do dia, voltou para casa com 15 figurinhas. Quantas
figurinhas ele tinha inicialmente?
Figura 12: Crianças
Fonte: Clip Art
b) Leia com atenção e faça o que se pede:
Figura 13: Menino
Fonte: SomosEducaçãoPNLD2017
c) Adaptado de: (BALDIM - 2008)– Leia atentamente a tirinha abaixo:
Figura 14: Tirinha
Fonte: BALDIM, 2008
 Escreva a equação que corresponde ahistória do casal de namorados:
 Resolva a equação e responda:
 Quantos reais tem o rapaz? E quanto tem a moça?
d) (OBMEP 2010) - Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora
estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito,
conforme mostra a figura. Qual o número que foi apagado?
Figura 15: Quadro
Fonte: OBMEP 2010.
e) Responda a seguinte pergunta de um professor de uma turma do 7º ano:
Figura 16: Professor
Fonte: PATARO; SOUZA, 2015.
Atividade 8:
Kit de equações
Material manipulável confeccionável para montar equações de 1º grau.
Confeccionar:
15 retângulos de 15 x 1,5 cm = x cada retângulo;
25 quadradinhos de 1,5 x 1,5 cm = 1 unidade;
5 estrelinhas que representam o sinal de igual.
Obs.: O lado colorido representa o positivo e o lado sem cor representa o
negativo.
a) Utilizando as figuras confeccionadas, represente as equações seguintes:
• 2𝑥 – 𝑥 = 3
• 3𝑥 − 2 = − 𝑥 + 1
• 2𝑥 – 3 = 𝑥 – 4
• 5 + 4𝑥 = − 2
b) De acordo com as figuras abaixo e seus respectivos valores, represente as
equações:
Figura 17: Kit de Equações
Fonte: A autora
Atividade 9:
Usando x, escreva uma sentença matemática que mostra quanto os dois
irmãos da figura abaixo têm juntos.
 Encontre o valor de x.
 Calcule quanto tem cada um dos irmãos.
Figura 18: Enigma
Fonte: VDL
Atividade 10:
O estádio do Maracanã, localizado na cidade do Rio de Janeiro (RJ), foi construído
para que o Brasil pudesse sediar a Copa do Mundo em 1950.
Figura 19: Estádio
Fonte: Clip Art
Observe um esquema com as dimensões do campo de futebol do Maracanã,
que tem 8 250 m² de área. Escreva uma equação para determinar o valor de x. Em
seguida, resolva a equação que você escreveu, obtendo o comprimento do campo.
Figura 20: Campo
Fonte: PATARO; SOUZA, 2015.
Lembre-se que a área do retângulo é calculada multiplicando a medida do
comprimento pela largura.
Atividade 11:
Considerando o perímetro da figura abaixo igual a 80 cm, calcule o valor de
x e na sequência o valor de cada lado dessa figura:
Figura 21: Polinômio
Adaptado: PATARO; SOUZA, 2015.
Atividade 12:
Para cada uma das figuras, encontre a medida desconhecida:
Fonte: VLASSIS; DEMONTY, 2002.
Sabemos que: o perímetro do trapézio é igual a 49 e [DC] vale o do dobro de
[AB].
Atividade 13:
Agora vamos ao laboratório de informática resolver alguns exercícios no
computador – Quiz com equações de 1° grau com uma incógnita para você
compreender melhor. Para isso acessaremos o site:
<https://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/>
Professor (a): Em relação à Resolução dos Problemas você deve seguir as quatro
fases principais apresentadas por Polya: compreender o problema; estabelecer um
plano; executar o plano e fazer um retrospecto da resolução.
Atividade 14:
Temos aqui alguns exercícios adaptados de um Simulado da Prova Brasil
para você resolver:
a) Paguei R$ 74,00 por uma bolsa e uma sandália. A bolsa foi R$ 23,00 mais
barata do que a sandália. Qual o preço da sandália?
b) Júnior estava participando de uma maratona. O percurso total da prova é de
42,195 Km. Sabendo-se que ainda faltam 16,4 Km para ele completar a
prova, qual a distância já percorrida por Júnior?
c) Com o dinheiro que economizou de sua mesada, Márcia pretende comprar
um MP4 e um tênis que custa R$ 154,00. A soma do dobro do preço do MP4
com o preço do tênis é R$ 334,00. A expressão que representa esse
problema é:
d) A expressão representa a compra de camisetas feita por uma loja na qual
obteve R$100,00 de desconto: 𝐶 = 15𝑎 + 10𝑏 + 18𝑐 + 12𝑑 − 100 Os preços
das quatro marcas de camisetas são dados na tabela a seguir, então o valor
dessa compra com o desconto foi de:
Professor (a): Ao terminar estes exercícios, que poderão ser feitos em grupo de até
4 ou 5 alunos, você poderá sugerir à eles que façam as demonstrações por
cartazes ou no quadro negro de como chegaram aos respectivos resultados.
Atividade 15:
Jogo das Equações
Número de participantes 3 ou 4.
Preparando o jogo: Providenciem duas folhas de papel sulfite de cores
diferentes.
Dividam cada folha em 12 partes iguais, como mostram as figuras abaixo.
Em uma das folhas escrevam as equações e na outra as soluções dessas
equações. Recortem as 24 peças.
Figura 22: Peças do Jogo das Equações
Fonte: DANTE, 2015
Modo de jogar:
Em cada rodada os participantes misturam as peças e as repartem
igualmente. No caso de 3 participantes, cada um fica com 4 fichas de cada cor. No
caso de 4 participantes, cada um fica com 3 fichas de cada cor. Ao receber as fichas,
cada jogador as verifica e marca um ponto toda vez que tiver uma ficha com a
equação e a ficha com a solução. Por exemplo:
O mesmo deve ser feito nas rodadas seguintes. Os pontos devem ser
anotados em uma folha de sulfite à parte. Vence o jogo quem primeiro fizer 5 pontos.
Atividade 16:
(SANTANA, 2009) Observe a figura abaixo. Nela vemos três retângulos, e as
medidas do comprimento de cada um deles, ou seja:
• O primeiro retângulo mede x cm de comprimento
• O segundo retângulo mede 32 cm de comprimento
• O terceiro retângulo mede 47 cm de comprimento
a) Que interpretação você faz da figura, comparando as três medidas?
b) Como você pode calcular o valor numérico de x?
Atividade17:
Quadrado Mágico
Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou
diagonal é sempre a mesma. Descubra o valor de x em cada quadrado mágico
seguinte e, depois, complete cada quadrado.
Qual é o valor de x?
Figura 23: Quadrado Mágico
10 𝑋
𝑋 − 1
𝑋 − 2 𝑋 − 4
Fonte: Projeto Ativa Álgebra
Agora descubra o valor correspondente a cada figura geométrica:
a) Triângulo:
b) Retângulo:
c) Paralelogramo:
d) Losango:
Atividade 18:
Voltar a atividade 6 do bloco 1 e escrever a equação que representa cada
uma das balanças, representaros pesos desconhecidos por uma letra do alfabeto
(incógnita) e na sequência resolver as equações.
3º Bloco de atividades: A Matemática e a Álgebra no Contexto do Aluno
Objetivos: Ampliar e consolidar os significados da álgebra e, mais especificamente,
das equações de 1º grau, a partir dos diferentes usos em contextos sociais.
Relacionar a realidade com os conceitos matemáticos.
Recursos Didáticos: Atividade impressa
Professor (a): Estes problemas poderão ser adaptados de acordo com a realidade
local dos seus alunos, (os dados referentes à sua escola, os municípios vizinhos e
alguma fábrica ou empresa da sua cidade).
Professor (a): A atividade 1, a pesquisa, você poderá pedir aos alunos com alguns
dias de antecedência que seja realizada extraclasse, e que tragam esses dados e
possam com eles completar as lacunas nos enunciados dos problemas. Conversar
também com o professor de Educação Física para que os auxilie na medição da
quadra.
Atividade 1:
Em dupla, realize as seguintes pesquisas e traga para a próxima aula.
a) Distância entre as cidades de Iporã e Cafezal do Sul;
b) Números de alunos matriculados no ano de 2015 no Colégio Estadual
Tiradentes de Cafezal do Sul;
c) O perímetro da quadra poliesportiva do Colégio Estadual Tiradentes (vocês
poderão pedir auxílio ao professor de Educação Física), levando no dia algum
instrumento de medida, fita métrica, trena ou outros que dê para realizar a
atividade;
d) O valor do suco e do pão de queijo que são vendidos na cantina do Colégio;
e) O número total de funcionários que trabalham nos três setores da fábrica
Adewil: costura, corte, tirar linha e pregar botão.
Professor (a): Caso você não queira adaptar os problemas à realidade dos alunos,
aqui estão os resultados das pesquisas com as quais devem completar as lacunas
dos problemas: a) 23 km; b) 576 alunos; c) 96 m de perímetro; d) R$ 0,50 o pão de
queijo e pagou um total de R$ 3,50; e) 285 funcionários.
Complete cada lacuna dos problemas abaixo com os resultados referentes a
pesquisa que vocês fizeram, em seguida, através de equações de 1º grau resolva os
que se pede:
Atividade 2:
João está fazendo ciclismo. Ele está indo de Cafezal do Sul à Iporã.
Sabendo que a distância entre as duas cidades é de ____ km e que ele já percorreu
17 km. Quantos km faltam para ele pedalar para chegar até Iporã?
Figura 24: Bicicleta
Fonte: Clip Art
Atividade 3:
De acordo com o gráfico e tabela abaixo, qual é o número total de matrículas
nos três níveis de ensino do município de Cafezal do Sul no ano 2015?
Figura 25: Matrículas
Fonte: IBGE, 2015.
Atividade 4:
A quadra poliesportiva do Colégio Estadual Tiradentes tem ____ m de
perímetro, sendo a medida do comprimento 12 m maior que a largura. Quais as
dimensões dessa quadra?
Figura 26: Quadra
Fonte: Clip Art
Atividade 5:
Na cantina do Colégio Estadual Tiradentes, o pão de queijo está sendo
vendido a R$ _______a unidade. Mariana comprou um suco e 3 pães de queijo
pagando um totaldeR$________. Escreva a equação algébrica que representa o
gasto de Mariana e calcule o preço a ser pago pelo suco?
Figura 27: Pão de Queijo
Fonte: Clip Art
Atividade 6:
Com base na tabela a seguir, calcule a quantidade de funcionários que há
em cada setor da fábrica de jeans Adewil do município de Cafezal de Sul.
FUNCIONÁRIOS QUE TRABALHAM NA
ADEWIL EM CAFEZAL DO SUL
SETOR
NÚMERO DE
FUNCIONÁRIOS
Costura X
Corte X + 89
Tirar linha e pregar botão 𝑋 + 61
TOTAL _______
Atividade 7:
No Colégio Estadual Tiradentes há _____ alunos matriculados. Sabendo que
há 102 alunos a mais do sexo masculino do que do sexo feminino. Quantos alunos
matriculados no colégio são do sexo feminino e quantos são do sexo masculino?
Figura 28: Pessoas
Fonte: Clip Art
4º Bloco de atividades: Criando seus próprios problemas e transferindo a sua
linguagem para a linguagem matemática.
Objetivos: Estimular nos alunos a criatividade, dando subsídios para que levantem
hipóteses e façam formulações, articulando o texto do problema com o conteúdo
matemático estudado. Incentivar os alunos a escrever os enunciados dos
problemas com uma boa linguagem, permitindo que ele e quem ler entendam o que
foi elaborado.
Recursos Didáticos: Atividade impressa.
Professor (a): Para maior participação dos educandos, você poderá solicitar à eles
que tragam textos de sua escolha, de seu interesse, como notícias de jornal, algum
fato que esteja na mídia, situações do seu cotidiano e/ou outros, para a realização
de novas situações problemas e a resolução dos mesmos.
Atividade 1:
Crie um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação:
2𝑋 − 3 = 16
Atividade 2:
Pesquise um tema do seu interesse e traga para a próxima aula. Esse tema
pode ser relacionado a esportes, música, panfletos com preços de produtos, notícia
de jornal ou da internet, alguma situação da sua casa, escola ou outro quevocê
desejar.
Atividade 3:
Agora, em grupo de até 5 alunos, elabore problemascom os temas escolhido
por cada um de vocês, que envolva equação de 1ºgrau e dê uma cópia para cada
grupo para que eles possam solucionar.
Avaliação de Aprendizagem
A avaliação será feita de forma diagnóstica e contínua, observando o
desempenho, a participação, o interesse e o bom desenvolvimento das atividades
pelos alunos. Será feito um registro do progresso dos mesmos nas atividades.
Também será observada e registrada a organização das produções, da
compreensão e aprendizagem dos alunos, seus avanços e dificuldades
demonstrados. Também será observada a linguagem, as dificuldades e correções
coletivas entre os alunos. Análise dos registros apresentados e, quando necessário,
a exposição oral de suas resoluções, buscando valorizar os mais diversos registros
e estratégias. No que se refere à correção coletiva, será considerada a participação
de todos os alunos, mesmo estando erradas as suas respostas, e não baseando-se
apenas em um aluno para tomar como exemplo as soluções dos problemas
aprendidos. A correção coletiva deve ser o momento de valorização do trabalho
realizado pelo grupo e não apenas um momento de verificação de respostas. A troca
de informações não só entre professor e aluno, mas principalmente entre alunos
também deve ser priorizada, pois possibilita uma melhor aprendizagem.
Referências bibliográficas
AFONSO, Amintas Paiva.A origem da álgebra. Disponível em:
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603>.Acesso em 15 nov. 2016.
______.A origem das equações. Disponível em:
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582>Acesso em 15 nov. 2016.
BALDIM, Márcia Aparecida. Resolução de problemas como metodologia de
ensino e aprendizagem de equações do 1º grau. In: PARANÁ. Secretaria de
Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os
desafios da escola pública paranaense: produção didático-pedagógica, 2008.
Curitiba: SEED/PR., 2011. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em:
<www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=2
0>. Acesso em: 06 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-040-7.
BARROS, Gílian Cristina; MELLO, Rosangela Menta; MENTA, Eziquiel. Pensando
Algebricamente. Disponível em:
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html? aula=6739>Acesso em
16 nov. 2016.
BIANCHINI, E. Matemática: 6º Ano. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2006.
BIGODE, Antonio J. Lopes. Matemática do Cotidiano [livro eletrônico]:
matemática: 7º ano – Manual do Professor. 1. ed. – São Paulo: Scipione, 2015.
Disponível em:
<https://somoseducacaopnld2017.digitalpages.com.br/html/reader/218/48983>.
Acesso em 12 nov. 2016.
BOLZAN, Estela Maris Zanchet. Aprendendo Álgebra e Geometria com jogos. In:
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Os
Desafios da Escola Pública Paranaense na Perspectiva do Professor PDE:
Produção Didático-pedagógica, 2014. Curitiba: SEED/PR., 2016. V.2. (Cadernos
PDE). Disponível
em:<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes
_pde/2014/2014_unioeste_mat_pdp_estela_maris_zanchet_bolzan.pdf>.Acesso em:
04 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-079-7.
BRASIL. Ministério da Educação. Banco de questões da OBMEP 2010. Disponível
em: <http://www.obmep.org.br/bq/bq2010.pdf> Acesso em: 13 nov. 2016.
______. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatísticas - IBGE. Cidades@.
Disponível em:
<http://www.cidades.ibge.gov.br/xtras/grafico_cidades.php?lang=&codmun=410347&
idtema=156&search=parana|cafezal-do-sul|ensino-matriculas-docentes-e-rede-
escolar-2015>. Acesso em 15 nov. 2016.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria da Educação
de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2001.
______.OBMEP 2005. 1ª. Olimpíada Brasileira das Escolas Públicas: Provas.
Disponível em: < http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2005.pdf>. Acesso
em: 15 nov. 2016.
______.OBMEP 2011. 7ª. Olimpíada Brasileira das Escolas Públicas: Provas.
Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2011.pdf>. Acesso em:
15 nov. 2016.
CAMPAGNER, Carlos Alberto.Equação de 1º grau: Resolução. UOL Educação
Pesquisa Escolar – Disponível em:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacao-de-1-grau-2-
resolucao.htm> . Acesso em 01 dez. 2016.
DANTE, Luiz R. Projeto Teláris: matemática: 7º ano – 2. ed. - São Paulo: Ática,
2015.
FELIPE, Leandro. Quis - Equação de 1° grau. Disponível em:
<https://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/>.Acesso em 13 nov. 2016.
MDMat – Anos Iniciais. Banco de Atividades. Balanças. Disponível
em:<http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/> Acesso em 17 nov. 2016.
NETO, Paula Cristina Silva. SLIDES: Equações do 1º grau. Disponível em:
<http://pt.slideshare.net/CristinaNeto/equacoes-de-7-ano>.Acesso em: 14 nov. 2016.
PALUCH, Elenir Terezinha. OBMEP: UM MOMENTO PARA A AVALIAÇÂO
CURRICULAR DE MATEMÁTICA. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação.
Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública
paranaense: produção didático-pedagógica, 2012. Curitiba: SEED/PR., 2014. V.2.
(Cadernos PDE). Disponível em:
<www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=2
0>. Acesso em: 15 nov. 2016. ISBN 978-85-8015-064-3.
PATARO, Patrícia R. Moreno; SOUZA, Joamir Roberto de. Vontade de Saber
Matemática. – 7º ano – 3. ed. -. São Paulo: FTD, 2015.
______ Vontade de Saber Matemática. – 8º ano – 3. ed. -. São Paulo: FTD, 2015.
SANTANA, Geralda de Fatima Neri. O Ensino da álgebra para alunos surdos e
ouvintes: as possibilidades pedagógicas da História da Matemática. In:
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O
professor PDE e os desafios da escola pública paranaense: produção didático-
pedagógica, 2009. Curitiba: SEED/PR., 2012. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em:
<http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteu
do=20>. Acesso em: 06 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-053-7.
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Caderno de Atividades. Matemática. Anos Finais do Ensino Fundamental, 2009.
Disponível em:
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/cadernos_pedagogicos/ativ_
mat2.pdf>. Acesso em 16 nov. 2016.
VDL UFC. Enigma. Disponível em: <http://www.vdl.ufc.br/ativa/imagens/figura2.jpg>
Acesso em: 10 nov. 2016.
______. Quadrado. Disponível
em:<http://www.vdl.ufc.br/ativa/quadrado_mágico.swf> Acesso em: 10 nov. 2016.
VLASSIS, J.; DEMONTY, I. A Álgebra ensinada por situações-problema. Lisboa:
Instituto Piaget, 2002.

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  • 1.
  • 2. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA Título: Uma sequência didática para o ensino de Equações do 1º Grau por meio da Resolução de Problemas Autor: Ana Cássia de Oliveira Fiorelli Disciplina/Área: Matemática Escola de Implementação do Projeto e sua localização: Colégio Estadual Tiradentes–Ensino Fundamental e Médio Município da escola: Cafezal do Sul Núcleo Regional de Educação: Umuarama Professor Orientador: Profº Dr. Fábio Alexandre Borges Instituição de Ensino Superior:UNESPAR – Universidade Estadual do Paraná Relação Interdisciplinar: Língua Portuguesa, Artes e História Resumo: Com a presente unidade didático-pedagógica, temos como objetivo investigar as contribuições da metodologia de Resolução de Problemas, pensada por meio de uma sequência didática para o ensino de álgebra nas equações de 1º grau. Apresenta um estudo centrado no desenvolvimento dos processos ensino e aprendizagem dos alunos do 7ºano de escolaridade, focando na leitura, interpretação e na capacidade de relacionar situações problemas usando os algoritmos, os símbolos e incógnitas para criar relações simbólicas na aprendizagem da álgebra e no tema equações. A metodologia adaptada será através de uma experiência de ensino. A recolha dos dados inclui áudios, registos escritos pela professora, que é também a pesquisadora, e cópias de atividades feitas pelos alunos. Os momentos escolhidos para recolher os dados serão aqueles em que os alunos se envolverão na Resolução de Problemas, de explorações e investigações matemáticas, bem como as discussões que ocorrerem a seu propósito. Espera-se com esse projeto que os alunos desenvolvam suas capacidades de investigação e possam superar suas defasagens, aprendam outras formas de executar o trabalho com álgebra, façam a articulação da matemática algorítmica com a matemática algébrica e resolvam os diversos tipos de problemas que possam surgir em sala
  • 3. de aula e em provas externas de longa escala. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Equações do 1º grau; Álgebra. Formato do Material Didático: Unidade Didático-Pedagógica Público: Em média 30 alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Tiradentes de Cafezal do Sul – Pr.
  • 4. APRESENTAÇÃO Este trabalho norteia-se nas propostas do PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná - turma 2016, abordando a metodologia de Ensinode Matemática “Resolução de Problemas”. As atividades de formação do Programa foram realizadas emparceria com a Universidade Estadual do Paraná – Unespar, na área de Matemática. Nesta etapa da formação, apresentamos uma sequência didática pensada para o ensino de Equações do 1º Grau, por meio da Resolução de Problemas. Visto que as avaliações externas, as quais os alunos apresentam grandes dificuldades, são baseadas nesta metodologia e também devido às dificuldades apresentadas por grande parte deles em Matemática e em aplicar conteúdos matemáticos como as equações de 1º grau na Resolução de Problemas. O objetivo principal com este trabalho é investigar as contribuições da metodologia de Resolução de Problemas, pensada por meio de uma sequência didática, para o ensino do tema Equações do 1º Grau paraalunos do 7º ano do Ensino Fundamental, bem como desenvolver nos alunos a capacidade de investigação, necessária para o trabalho com a metodologia de Resolução de Problemas, contribuir com a formação continuada de professores de Matemática para o ensino de Álgebra e que os mesmos possam aplicar essa sequência didática em suas aulas. Para que este estudo atinja seus objetivos, elaboramos uma Unidade Didático-Pedagógica com diferentes tipos de problemas, os quais recorrem a diferentes tipos de representações, tais como, figuras, álgebra, linguagem natural etc. Durante a aplicação das atividades, serão lançados questionamentos diversos sobre os problemas para auxiliá-los na interpretação eorganização do pensamento matemático, no sentido de relacionar o enunciado do problema com o conteúdo a ser aplicado. Para maior participação dos educandos, será solicitado a estes que também tragam textos de sua escolha para arealização de novas situações problemas e a resolução dos mesmos. Todas as atividades realizadas serão analisadas enfocando, em especial, as dificuldades para aplicá-las, bem como as dificuldades apresentadas pelos alunos. Assim, elencaremos as contribuições mais significativas, as intervenções necessárias emudanças indispensáveis para o
  • 5. sucesso na aplicação desse tipo de atividade. As informações serão registradas em um diário de campo que servirão para análise dos resultados futuros da implementação deste projeto. Esperamos que as atividades trabalhadas auxiliem na superação da defasagem dos alunos na disciplina de Matemática ena resolução de exercícios e provas. Esta Unidade Didático-Pedagógica será implementada no 1º semestre do ano letivo de 2017, com os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Tiradentes – Ensino Fundamental e Médio, da cidade de Cafezal do Sul – Paraná. A unidade será composta de quatro blocos articulados, porém, com características diferentes. E em determinados exercícios, iremos sugerir alguns cuidados a serem tomados pelos professores, sendo que os mesmos estarão destacados em um quadro na cor verde. O primeiro bloco é destinado ao trabalho com balanças, para que o aluno desenvolva o conceito de igualdade, um conhecimento prévio que ele deve apresentar e que é fundamental ao trabalhar com equações de 1º grau, ou seja, conhecimentos que serão a base a partir da qual os alunos poderão fazer relações e construir significados para aquilo que estarão aprendendo; o segundo bloco contempla a introdução ao uso de letras para encontrar valores desconhecidos, em que o aluno será levado a descrever uma situação por meio de uma expressão algébrica ou uma equação de 1º grau, conhecer equações a partir do estudo da sua história e resolver as equações determinadas pela situação-problema, ou seja, o desenvolvimento dos conteúdos propostos, através de atividades diversificadas visando à reflexão, discussão em grupo e trabalho sistemático com os conteúdos propostos para a construção do conhecimento (essa etapa é a fase de assimilação e sistematização do objeto de estudo visando o máximo de compreensão por parte do aluno, consolidando seus conhecimentos e habilidades); o terceiro bloco se destina a matemática e a álgebra no contexto do aluno, a fim de que ele amplie e consolide os significados da álgebra e, mais especificamente, das equações de 1º grau, a partir dos diferentes usos em contextos sociais e também que relacione a realidade com os conceitos matemáticos; e, por último, o quarto bloco, em que o aluno criará seus próprios problemas, transferindo a sua linguagem para a linguagem matemática. É o momento em que o aluno terá a oportunidade de demonstrar os conhecimentos que construiu e sua capacidade criativa e investigativa.
  • 6. Material Didático 1º Bloco de atividades: Matemática das Balanças e os conceitos de igualdade das equações. Objetivo: Desenvolver nos alunos o conceito de igualdade, fundamental no estudo de equações do 1º grau. Recursos Didáticos: Atividade impressa e materiais manipuláveis (balança de dois pratos, pesos de 100g, 200g, 500g e 1000g e frutas). Existem vários tipos de balanças, algumas como essas abaixo: Figura 1: Tipos de balanças Você já viu outras balanças diferentes dessas? E você sabe para quê as balanças são utilizadas? Professor (a): Providenciar de 4 a 5 balanças de dois pratos, dividir a turma em grupos iguais, levar objetos com pesos definidos e outros não, para que os alunos manuseiem esse material, fazendo comparações do peso dos objetos. Auxilie-os a verificar o equilíbrio, a igualdade e a desigualdade nas balanças. Atividade 1: Utilizando os objetos e frutas que você tem disponível, tente deixar a balança em equilíbrio, verifique também se as maçãs possuem o mesmo peso, qual das frutas pesa mais e qual pesa menos. Fonte: Clip Art
  • 7. Atividade2: Comparando pesos nas balanças a) Observe as balanças abaixo e responda as questões:  Na primeira balança, o que pesa mais? O mamão ou os abacates?  E na segunda balança? As laranjas ou o abacate? Figura 2 - Balanças de Equilíbrio Fonte: Somos Educação PNLD 2015 b) Se trocarmos os objetos das balanças, o que acontece? Figura 3 - Balanças de Equilíbrio Fonte: Somos Educação PNLD 2015 c) O que acontece se acrescentarmos uma maçã (com mesmo peso) em cada prato? E se tirarmos o pacote de farinha e o peso de 10 kg da balança o que acontece? Figura 4 - Balanças de Equilíbrio Fonte: Somos Educação PNLD 2015
  • 8. Atividade 3: Jogo no Computador - Balança Lógica. Agora iremos ao laboratório de informática, onde vocês deverão ficar em du- pla para jogar. Nesse jogo vocês deverão determinar, logicamente, a partir das posi- ções das balanças, qual é o objeto com maior massa ("mais pesado"). Para isso de- verão acessaro site: https://rachacuca.com.br/jogos/balanca-logica/ Figura 5: Balança Lógica Fonte: Racha Cuca Professor (a): Antes de levar os alunos ao laboratório de informática, você deve passar à eles o endereço eletrônico que eles devem acessar. Atividade 4: Na balança do desenho, o objeto do lado direito pesa 1000 gramas e o objeto do lado esquerdo pesa um quarto desse valor. Figura 6: Balança Fonte: MDMat
  • 9. a) Quanto pesa o objeto que está do lado esquerdo da balança? b) Para completar 1000 gramas, quantos gramas ainda preciso colocar no lado esquerdo da balança? Atividade 5: (OBMEP 2010) – A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas? Figura 7: Balança Fonte: OBMP 2010 Professor (a): Estimular a troca de ideias e sugestões para resolver os problemas, discutir suas soluções, trocar informações e, assim, formar novos conceitos. Atividade 6: Observe as balanças abaixo e responda o que se pede: a) A balança está em equilíbrio. Qual é o peso da melancia? Figura 7: Balanças de Equilíbrio Fonte: Somos Educação PNLD 2015
  • 10. b) A balança está em equilíbrio. Qual o peso da mochila? Figura 8: Balanças de Equilíbrio c) José foi pesar os seus filhos Alice e Otávio. Quem pesa mais? Alice ou Otávio?Qual é a diferença entre os pesos de Otávio e de Alice? Figura 9: Balança d) Considerando que a balança está equilibrada, e que todas as laranjas têm o mesmopeso, quanto pesa meia dúzia dessas laranjas? Figura 8: Balança de Equilíbrio Fonte: Somos Educação PNLD 2015 Fonte: Somos Educação PNLD 2015 Fonte: SOARES, 2015.
  • 11. e) Dois garotos, um de 35 kg e outro de 39kg, equilibram 3 irmãos em uma gangorra. Um dos irmãos pesa 30 kg e os outros dois são gêmeos idênticos, que têm pesosiguais. Quanto pesa cada um dos gêmeos? Figura 8: Balança de Equilíbrio f) (OBMEP - 2011) Um queijo foi partido em quatro pedaços de mesmo peso. Três desses pedaços pesam o mesmo que um pedaço mais um peso de 0,8 kg. Qual era o peso do queijo inteiro? Figura 9: Balança de Equilíbrio Fonte: OBMEP- 2011 Fonte: ALEXANDER; WAGNER, 2002.
  • 12. 2º Bloco de atividades: Introdução ao uso de letras para encontrar valores desconhecidos. Objetivos: Descrever uma situação por meio de uma expressão algébrica ou uma equação de 1º grau; Conhecer equações a partir do estudo da sua história e resolver as equações determinadas pela situação-problema. Recursos Didáticos: Atividade impressa, projetor de slide, papel cartão, tesoura, cola e canetas hidrográficas. Atividade 1: O Idioma da Álgebra Nesses slides vocês poderão ver as diferentes maneiras de comunicação, como se comunicar em matemática e também aprender um pouco sobre a história da álgebra. Para isso acessaremos o link: https://goo.gl/NH75yF. Você também poderá pesquisar no site: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603> Atividade 2: Caminho Algébrico Proposta de Trabalho: Em grupos de 3 ou 4 alunos, cada grupo construirá seu jogo. Professor (a): Durante a construção dos jogos você poderá estar retomando os conceitos de medidas. Peça aos alunos que tenham cuidado ao manusear a tesoura e demais objetos que irão utilizar. Regras para o jogo:  Todas as peças deverão ser distribuídas igualmente por um dos componentes do grupo, definido por eles mesmos;  Estabelecer um critério para começar o jogo, podendo ser par ou Ímpar;  Se a quantidade de jogadores for par, o vencedor (par ou ímpar) começa o
  • 13. jogo colocando uma peça na mesa e no sentido horário, os demais deverão, ordenadamente, encostar as peças umas nas outras, obedecendo ao critério de semelhança entre as pontas;  Caso o número de integrantes for ímpar, a peça que sobrar vai para a mesa, sendo usada para começar o jogo, o vencedor (par ou ímpar) joga, obedecendo ao critério de semelhança entre as pontas; e no sentido horário os demais participantes procedem;  Os jogadores só podem colocar uma peça por vez;  Se o jogador não tiver nenhuma peça que obedeça aos critérios de semelhança, ele passa a sua vez;  Vence o jogo quem primeiro terminar suas peças. Expressões presente no jogo 3𝑥 A metade de um número 2𝑥2 O dobro de um número ao cubo 𝑥: 𝑥 3 A diferença entre o quadrado de um número e três 𝑥 2 O dobro da terça parte de um número 𝑥. 𝑥. 𝑥 A soma de três números iguais 5 + 𝑥 A diferença entre seis e um número 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 6 – 𝑥 A metade de um número adicionado a três sétimos 𝑥 ² + 1 O triplo de um número 7 . 𝑥 O quociente entre um número e sua terça parte 3. 𝑥2 O dobro do quadrado de um número 2𝑥 – 3 O quadrado de um número adicionado a um 2. 𝑥 3 O cubo de um 5𝑥 – 1 A diferença entre o
  • 14. número adicionado a cinco unidades quadrado e o cubo de um número 𝑥 + 5𝑥 Um número 𝑥 ² – 𝑥 ³ Um número adicionado ao seu triplo 3 7 + 𝑥 2 O quíntuplo de um número menos um 𝑥 + 3𝑥 O produto entre três números iguais 𝑥 2 : 𝑥 3 O triplo do quadrado de um número 𝑥 . 𝑥 O dobro de um número menos a sua terça parte 2 . 𝑥³ Um número adicionado a cinco 4𝑥 O produto entre dois números iguais 𝑥 ³ + 5 O produto entre um número e sete 𝑥/4 O quádruplo de um número 𝑥 ² − 3 Um número adicionado a sua décima parte 𝑥 + 𝑥 10 A quarta parte de um número 2𝑥 – 𝑥 3 O quociente entre a metade e a terça parte de um nº. 𝑋 O dobro de um número diminuído de três unidades.
  • 15. Caminho Algébrico Figura 10: Caminho Algébrico Fonte: DIAADIAEDUCAÇÃO, 2015. Professor (a): Ao trabalhar com figuras geométricas você poderá estar retomando os conceitos de geometria, medidas, perímetro e área. Atividade 3: Escreva a expressão que representa o perímetro de cada figura geométrica abaixo: Figura 11: Polígonos Fonte: (PATARO; SOUZA, 2015).
  • 16. Atividade 4: Imagine que a soma da idade de dois irmãos é 21, sendo que o mais velho tem 11 anos. a) Como você faria para descobrir a idade do mais novo? Figura 12: Crianças Fonte Clip Art b) Qual informação está faltando nesse desafio? c) Escreva esta atividade em forma de equação e resolva para achar a idade do irmão mais novo. Professor (a): A atividade 5 poderá ser aplicada como atividade extraclasse e quando os alunos a trouxerem, fazer um debate sobre o texto. Esta pesquisa favorecerá também o uso da história no ensino de Matemática. Atividade 5: Pesquisa - A origem das equações Nesta atividade, iremos abordar de modo especial o estudo da equação do 1º grau,um conteúdo do ensino de álgebra,sua origem, importância, quando ela é utilizada e como se apresenta no decorrer da História da Matemática, maneiras diversas de resolução envolvendo a aritmética, a álgebra e a geometria. Você pode saber mais, pesquisando no site: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582>
  • 17. Atividade 6: Equações do 1º grau Nestes slides, vocês poderão aprender mais sobre o que é uma equação, como resolvê-la, o que é uma incógnita, seus termos e seus membros. Vamos assistir no site: <https://goo.gl/22jzBB> Professor (a): Quando os alunos estiverem resolvendo os problemas, caminhe pela sala e verifique a necessidade de eventuais intervenções, observando se eles já têm hipóteses e estão conseguindo registrá-las. Atividade 7: Aqui temos alguns desafios para resolver. Mostre de que forma é possível resolvê-los por meio de uma equação. a) Pedro tinha certo número de figurinhas coloridas, até que perdeu 4 durante a tarde na escola. No final do dia, voltou para casa com 15 figurinhas. Quantas figurinhas ele tinha inicialmente? Figura 12: Crianças Fonte: Clip Art
  • 18. b) Leia com atenção e faça o que se pede: Figura 13: Menino Fonte: SomosEducaçãoPNLD2017 c) Adaptado de: (BALDIM - 2008)– Leia atentamente a tirinha abaixo: Figura 14: Tirinha Fonte: BALDIM, 2008  Escreva a equação que corresponde ahistória do casal de namorados:  Resolva a equação e responda:  Quantos reais tem o rapaz? E quanto tem a moça? d) (OBMEP 2010) - Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a figura. Qual o número que foi apagado? Figura 15: Quadro Fonte: OBMEP 2010.
  • 19. e) Responda a seguinte pergunta de um professor de uma turma do 7º ano: Figura 16: Professor Fonte: PATARO; SOUZA, 2015. Atividade 8: Kit de equações Material manipulável confeccionável para montar equações de 1º grau. Confeccionar: 15 retângulos de 15 x 1,5 cm = x cada retângulo; 25 quadradinhos de 1,5 x 1,5 cm = 1 unidade; 5 estrelinhas que representam o sinal de igual. Obs.: O lado colorido representa o positivo e o lado sem cor representa o negativo. a) Utilizando as figuras confeccionadas, represente as equações seguintes: • 2𝑥 – 𝑥 = 3 • 3𝑥 − 2 = − 𝑥 + 1 • 2𝑥 – 3 = 𝑥 – 4 • 5 + 4𝑥 = − 2 b) De acordo com as figuras abaixo e seus respectivos valores, represente as equações:
  • 20. Figura 17: Kit de Equações Fonte: A autora Atividade 9: Usando x, escreva uma sentença matemática que mostra quanto os dois irmãos da figura abaixo têm juntos.  Encontre o valor de x.  Calcule quanto tem cada um dos irmãos. Figura 18: Enigma Fonte: VDL Atividade 10: O estádio do Maracanã, localizado na cidade do Rio de Janeiro (RJ), foi construído para que o Brasil pudesse sediar a Copa do Mundo em 1950.
  • 21. Figura 19: Estádio Fonte: Clip Art Observe um esquema com as dimensões do campo de futebol do Maracanã, que tem 8 250 m² de área. Escreva uma equação para determinar o valor de x. Em seguida, resolva a equação que você escreveu, obtendo o comprimento do campo. Figura 20: Campo Fonte: PATARO; SOUZA, 2015. Lembre-se que a área do retângulo é calculada multiplicando a medida do comprimento pela largura. Atividade 11: Considerando o perímetro da figura abaixo igual a 80 cm, calcule o valor de x e na sequência o valor de cada lado dessa figura:
  • 22. Figura 21: Polinômio Adaptado: PATARO; SOUZA, 2015. Atividade 12: Para cada uma das figuras, encontre a medida desconhecida: Fonte: VLASSIS; DEMONTY, 2002. Sabemos que: o perímetro do trapézio é igual a 49 e [DC] vale o do dobro de [AB]. Atividade 13: Agora vamos ao laboratório de informática resolver alguns exercícios no computador – Quiz com equações de 1° grau com uma incógnita para você compreender melhor. Para isso acessaremos o site: <https://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/> Professor (a): Em relação à Resolução dos Problemas você deve seguir as quatro fases principais apresentadas por Polya: compreender o problema; estabelecer um plano; executar o plano e fazer um retrospecto da resolução.
  • 23. Atividade 14: Temos aqui alguns exercícios adaptados de um Simulado da Prova Brasil para você resolver: a) Paguei R$ 74,00 por uma bolsa e uma sandália. A bolsa foi R$ 23,00 mais barata do que a sandália. Qual o preço da sandália? b) Júnior estava participando de uma maratona. O percurso total da prova é de 42,195 Km. Sabendo-se que ainda faltam 16,4 Km para ele completar a prova, qual a distância já percorrida por Júnior? c) Com o dinheiro que economizou de sua mesada, Márcia pretende comprar um MP4 e um tênis que custa R$ 154,00. A soma do dobro do preço do MP4 com o preço do tênis é R$ 334,00. A expressão que representa esse problema é: d) A expressão representa a compra de camisetas feita por uma loja na qual obteve R$100,00 de desconto: 𝐶 = 15𝑎 + 10𝑏 + 18𝑐 + 12𝑑 − 100 Os preços das quatro marcas de camisetas são dados na tabela a seguir, então o valor dessa compra com o desconto foi de: Professor (a): Ao terminar estes exercícios, que poderão ser feitos em grupo de até 4 ou 5 alunos, você poderá sugerir à eles que façam as demonstrações por cartazes ou no quadro negro de como chegaram aos respectivos resultados.
  • 24. Atividade 15: Jogo das Equações Número de participantes 3 ou 4. Preparando o jogo: Providenciem duas folhas de papel sulfite de cores diferentes. Dividam cada folha em 12 partes iguais, como mostram as figuras abaixo. Em uma das folhas escrevam as equações e na outra as soluções dessas equações. Recortem as 24 peças. Figura 22: Peças do Jogo das Equações Fonte: DANTE, 2015 Modo de jogar: Em cada rodada os participantes misturam as peças e as repartem igualmente. No caso de 3 participantes, cada um fica com 4 fichas de cada cor. No caso de 4 participantes, cada um fica com 3 fichas de cada cor. Ao receber as fichas, cada jogador as verifica e marca um ponto toda vez que tiver uma ficha com a equação e a ficha com a solução. Por exemplo:
  • 25. O mesmo deve ser feito nas rodadas seguintes. Os pontos devem ser anotados em uma folha de sulfite à parte. Vence o jogo quem primeiro fizer 5 pontos. Atividade 16: (SANTANA, 2009) Observe a figura abaixo. Nela vemos três retângulos, e as medidas do comprimento de cada um deles, ou seja: • O primeiro retângulo mede x cm de comprimento • O segundo retângulo mede 32 cm de comprimento • O terceiro retângulo mede 47 cm de comprimento a) Que interpretação você faz da figura, comparando as três medidas? b) Como você pode calcular o valor numérico de x? Atividade17: Quadrado Mágico Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Descubra o valor de x em cada quadrado mágico seguinte e, depois, complete cada quadrado. Qual é o valor de x? Figura 23: Quadrado Mágico 10 𝑋 𝑋 − 1 𝑋 − 2 𝑋 − 4 Fonte: Projeto Ativa Álgebra
  • 26. Agora descubra o valor correspondente a cada figura geométrica: a) Triângulo: b) Retângulo: c) Paralelogramo: d) Losango: Atividade 18: Voltar a atividade 6 do bloco 1 e escrever a equação que representa cada uma das balanças, representaros pesos desconhecidos por uma letra do alfabeto (incógnita) e na sequência resolver as equações.
  • 27. 3º Bloco de atividades: A Matemática e a Álgebra no Contexto do Aluno Objetivos: Ampliar e consolidar os significados da álgebra e, mais especificamente, das equações de 1º grau, a partir dos diferentes usos em contextos sociais. Relacionar a realidade com os conceitos matemáticos. Recursos Didáticos: Atividade impressa Professor (a): Estes problemas poderão ser adaptados de acordo com a realidade local dos seus alunos, (os dados referentes à sua escola, os municípios vizinhos e alguma fábrica ou empresa da sua cidade). Professor (a): A atividade 1, a pesquisa, você poderá pedir aos alunos com alguns dias de antecedência que seja realizada extraclasse, e que tragam esses dados e possam com eles completar as lacunas nos enunciados dos problemas. Conversar também com o professor de Educação Física para que os auxilie na medição da quadra. Atividade 1: Em dupla, realize as seguintes pesquisas e traga para a próxima aula. a) Distância entre as cidades de Iporã e Cafezal do Sul; b) Números de alunos matriculados no ano de 2015 no Colégio Estadual Tiradentes de Cafezal do Sul; c) O perímetro da quadra poliesportiva do Colégio Estadual Tiradentes (vocês poderão pedir auxílio ao professor de Educação Física), levando no dia algum instrumento de medida, fita métrica, trena ou outros que dê para realizar a atividade; d) O valor do suco e do pão de queijo que são vendidos na cantina do Colégio; e) O número total de funcionários que trabalham nos três setores da fábrica Adewil: costura, corte, tirar linha e pregar botão.
  • 28. Professor (a): Caso você não queira adaptar os problemas à realidade dos alunos, aqui estão os resultados das pesquisas com as quais devem completar as lacunas dos problemas: a) 23 km; b) 576 alunos; c) 96 m de perímetro; d) R$ 0,50 o pão de queijo e pagou um total de R$ 3,50; e) 285 funcionários. Complete cada lacuna dos problemas abaixo com os resultados referentes a pesquisa que vocês fizeram, em seguida, através de equações de 1º grau resolva os que se pede: Atividade 2: João está fazendo ciclismo. Ele está indo de Cafezal do Sul à Iporã. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de ____ km e que ele já percorreu 17 km. Quantos km faltam para ele pedalar para chegar até Iporã? Figura 24: Bicicleta Fonte: Clip Art Atividade 3: De acordo com o gráfico e tabela abaixo, qual é o número total de matrículas nos três níveis de ensino do município de Cafezal do Sul no ano 2015?
  • 29. Figura 25: Matrículas Fonte: IBGE, 2015. Atividade 4: A quadra poliesportiva do Colégio Estadual Tiradentes tem ____ m de perímetro, sendo a medida do comprimento 12 m maior que a largura. Quais as dimensões dessa quadra? Figura 26: Quadra Fonte: Clip Art Atividade 5: Na cantina do Colégio Estadual Tiradentes, o pão de queijo está sendo vendido a R$ _______a unidade. Mariana comprou um suco e 3 pães de queijo pagando um totaldeR$________. Escreva a equação algébrica que representa o
  • 30. gasto de Mariana e calcule o preço a ser pago pelo suco? Figura 27: Pão de Queijo Fonte: Clip Art Atividade 6: Com base na tabela a seguir, calcule a quantidade de funcionários que há em cada setor da fábrica de jeans Adewil do município de Cafezal de Sul. FUNCIONÁRIOS QUE TRABALHAM NA ADEWIL EM CAFEZAL DO SUL SETOR NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS Costura X Corte X + 89 Tirar linha e pregar botão 𝑋 + 61 TOTAL _______ Atividade 7: No Colégio Estadual Tiradentes há _____ alunos matriculados. Sabendo que há 102 alunos a mais do sexo masculino do que do sexo feminino. Quantos alunos
  • 31. matriculados no colégio são do sexo feminino e quantos são do sexo masculino? Figura 28: Pessoas Fonte: Clip Art
  • 32. 4º Bloco de atividades: Criando seus próprios problemas e transferindo a sua linguagem para a linguagem matemática. Objetivos: Estimular nos alunos a criatividade, dando subsídios para que levantem hipóteses e façam formulações, articulando o texto do problema com o conteúdo matemático estudado. Incentivar os alunos a escrever os enunciados dos problemas com uma boa linguagem, permitindo que ele e quem ler entendam o que foi elaborado. Recursos Didáticos: Atividade impressa. Professor (a): Para maior participação dos educandos, você poderá solicitar à eles que tragam textos de sua escolha, de seu interesse, como notícias de jornal, algum fato que esteja na mídia, situações do seu cotidiano e/ou outros, para a realização de novas situações problemas e a resolução dos mesmos. Atividade 1: Crie um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2𝑋 − 3 = 16 Atividade 2: Pesquise um tema do seu interesse e traga para a próxima aula. Esse tema pode ser relacionado a esportes, música, panfletos com preços de produtos, notícia de jornal ou da internet, alguma situação da sua casa, escola ou outro quevocê desejar.
  • 33. Atividade 3: Agora, em grupo de até 5 alunos, elabore problemascom os temas escolhido por cada um de vocês, que envolva equação de 1ºgrau e dê uma cópia para cada grupo para que eles possam solucionar. Avaliação de Aprendizagem A avaliação será feita de forma diagnóstica e contínua, observando o desempenho, a participação, o interesse e o bom desenvolvimento das atividades pelos alunos. Será feito um registro do progresso dos mesmos nas atividades. Também será observada e registrada a organização das produções, da compreensão e aprendizagem dos alunos, seus avanços e dificuldades demonstrados. Também será observada a linguagem, as dificuldades e correções coletivas entre os alunos. Análise dos registros apresentados e, quando necessário, a exposição oral de suas resoluções, buscando valorizar os mais diversos registros e estratégias. No que se refere à correção coletiva, será considerada a participação de todos os alunos, mesmo estando erradas as suas respostas, e não baseando-se apenas em um aluno para tomar como exemplo as soluções dos problemas aprendidos. A correção coletiva deve ser o momento de valorização do trabalho realizado pelo grupo e não apenas um momento de verificação de respostas. A troca de informações não só entre professor e aluno, mas principalmente entre alunos também deve ser priorizada, pois possibilita uma melhor aprendizagem. Referências bibliográficas AFONSO, Amintas Paiva.A origem da álgebra. Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603>.Acesso em 15 nov. 2016. ______.A origem das equações. Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582>Acesso em 15 nov. 2016. BALDIM, Márcia Aparecida. Resolução de problemas como metodologia de ensino e aprendizagem de equações do 1º grau. In: PARANÁ. Secretaria de
  • 34. Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense: produção didático-pedagógica, 2008. Curitiba: SEED/PR., 2011. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em: <www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=2 0>. Acesso em: 06 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-040-7. BARROS, Gílian Cristina; MELLO, Rosangela Menta; MENTA, Eziquiel. Pensando Algebricamente. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html? aula=6739>Acesso em 16 nov. 2016. BIANCHINI, E. Matemática: 6º Ano. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2006. BIGODE, Antonio J. Lopes. Matemática do Cotidiano [livro eletrônico]: matemática: 7º ano – Manual do Professor. 1. ed. – São Paulo: Scipione, 2015. Disponível em: <https://somoseducacaopnld2017.digitalpages.com.br/html/reader/218/48983>. Acesso em 12 nov. 2016. BOLZAN, Estela Maris Zanchet. Aprendendo Álgebra e Geometria com jogos. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Os Desafios da Escola Pública Paranaense na Perspectiva do Professor PDE: Produção Didático-pedagógica, 2014. Curitiba: SEED/PR., 2016. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em:<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes _pde/2014/2014_unioeste_mat_pdp_estela_maris_zanchet_bolzan.pdf>.Acesso em: 04 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-079-7. BRASIL. Ministério da Educação. Banco de questões da OBMEP 2010. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/bq/bq2010.pdf> Acesso em: 13 nov. 2016. ______. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatísticas - IBGE. Cidades@. Disponível em: <http://www.cidades.ibge.gov.br/xtras/grafico_cidades.php?lang=&codmun=410347& idtema=156&search=parana|cafezal-do-sul|ensino-matriculas-docentes-e-rede- escolar-2015>. Acesso em 15 nov. 2016. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria da Educação de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2001. ______.OBMEP 2005. 1ª. Olimpíada Brasileira das Escolas Públicas: Provas. Disponível em: < http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2005.pdf>. Acesso em: 15 nov. 2016. ______.OBMEP 2011. 7ª. Olimpíada Brasileira das Escolas Públicas: Provas. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2011.pdf>. Acesso em: 15 nov. 2016. CAMPAGNER, Carlos Alberto.Equação de 1º grau: Resolução. UOL Educação Pesquisa Escolar – Disponível em:
  • 35. <http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacao-de-1-grau-2- resolucao.htm> . Acesso em 01 dez. 2016. DANTE, Luiz R. Projeto Teláris: matemática: 7º ano – 2. ed. - São Paulo: Ática, 2015. FELIPE, Leandro. Quis - Equação de 1° grau. Disponível em: <https://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/>.Acesso em 13 nov. 2016. MDMat – Anos Iniciais. Banco de Atividades. Balanças. Disponível em:<http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/> Acesso em 17 nov. 2016. NETO, Paula Cristina Silva. SLIDES: Equações do 1º grau. Disponível em: <http://pt.slideshare.net/CristinaNeto/equacoes-de-7-ano>.Acesso em: 14 nov. 2016. PALUCH, Elenir Terezinha. OBMEP: UM MOMENTO PARA A AVALIAÇÂO CURRICULAR DE MATEMÁTICA. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense: produção didático-pedagógica, 2012. Curitiba: SEED/PR., 2014. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em: <www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=2 0>. Acesso em: 15 nov. 2016. ISBN 978-85-8015-064-3. PATARO, Patrícia R. Moreno; SOUZA, Joamir Roberto de. Vontade de Saber Matemática. – 7º ano – 3. ed. -. São Paulo: FTD, 2015. ______ Vontade de Saber Matemática. – 8º ano – 3. ed. -. São Paulo: FTD, 2015. SANTANA, Geralda de Fatima Neri. O Ensino da álgebra para alunos surdos e ouvintes: as possibilidades pedagógicas da História da Matemática. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense: produção didático- pedagógica, 2009. Curitiba: SEED/PR., 2012. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em: <http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteu do=20>. Acesso em: 06 dez. 2016. ISBN 978-85-8015-053-7. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Caderno de Atividades. Matemática. Anos Finais do Ensino Fundamental, 2009. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/cadernos_pedagogicos/ativ_ mat2.pdf>. Acesso em 16 nov. 2016. VDL UFC. Enigma. Disponível em: <http://www.vdl.ufc.br/ativa/imagens/figura2.jpg> Acesso em: 10 nov. 2016. ______. Quadrado. Disponível em:<http://www.vdl.ufc.br/ativa/quadrado_mágico.swf> Acesso em: 10 nov. 2016. VLASSIS, J.; DEMONTY, I. A Álgebra ensinada por situações-problema. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.