Estudo de funções com o Software Geogebra

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
ESTUDO DE FUNÇÕES COM O SOFTWARE GEOGEBRA
HELIOMARA RODRIGUES LIMIAS
OSASCO/SP
2016

HELIOMARA RODRIGUES LIMIAS
ESTUDO DE FUNÇÕES COM O SOFTWARE GEOGEBRA
Trabalho de Final de Curso apresentado à
Coordenação do Curso de Pós-graduação da
Universidade Federal Fluminense, como
requisito parcial para a obtenção do título de
Especialista Lato Sensu em Novas Tecnologias
no Ensino da Matemática.
Aprovada em agosto de 2016.
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________________
Prof. Dr. Agnaldo da Conceição Esquincalha – Orientador
UERJ
________________________________________________________________
Prof. Nome
Sigla da Instituição
________________________________________________________________
Prof. Nome
Sigla da Instituição

DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu filho Pedro Luiz.

AGRADECIMENTOS
Agradeço à realização deste trabalho aos colegas Patrícia, Claudia,
Érica e Alberto, pela parceria na realização deste projeto.
Aos professores da Universidade Federal Fluminense, durante todo o
curso de especialização. Em especial, ao professor Dr. Agnaldo, orientador
durante este percurso.

RESUMO
Atendendo ao chamado das discussões e propostas que norteiam os assuntos relacionados a
educação atualmente, especialmente a necessidade do uso de tecnologias com as situações
didáticas, este trabalho propõe a integração do ensino de um conteúdo específico da
matemática, funções, com o universo da informática através do software educacional
GeoGebra. Além de apresentar uma breve análise dos benefícios e desvantagens do uso de
tecnologias, explicita quais características e recursos demandam dos professores para que o
uso de tecnologias seja repleto de intencionalidade e por consequência proveitoso, e também
reitera a contribuição dos registros de representação semiótica para o estudo de objetos
matemáticos com destaque para o estudo de funções. Avaliou-se o desempenho dos alunos do
primeiro ano do ensino médio traçando um comparativo entre as práticas tradicionais para o
ensino de funções com atividades elaboradas para serem exploradas com o software
GeoGebra e suas capacidades de compreensão, assimilação e internalização do conteúdo
sendo por fim avaliados através da proposta de modelagem de um problema contextualizado.
Palavras–chave: Funções, GeoGebra, Aprendizagem.

SUMÁRIO
1. Introdução...............................................................................................................................7
2. Pressupostos teóricos............................................................................................................10
2.1. O ensino da Matemática nas escolas hoje - uma breve consideração .......................10
2.2. Uso educacional de tecnologias em sala de aula.......................................................11
2.3. Uma contribuição dos Registros de Representação Semiótica..................................13
2.4. Softwares e Objetos de Aprendizagem......................................................................17
2.4.1. Softwares educacionais ..........................................................................................17
2.4.2. Objetos de Aprendizagem.......................................................................................19
2.5. O uso de recursos tecnológicos no estudo de funções...............................................20
2.6. Utilização da informática para ensinar e aprender ....................................................21
3. Metodologia e procedimentos da pesquisa..........................................................................23
4. Resultados e discussões........................................................................................................27
5. Considerações finais.............................................................................................................30
6. Referências bibliográficas ....................................................................................................32
Apêndice...................................................................................................................................35

1. Introdução
As demandas da sociedade contemporânea, o desenvolvimento tecnológico, a
automação dos trabalhos realizados e dos serviços prestados, as novas formas de comunicação
e a redução do espaço-tempo nas relações humanas exigem uma formação do indivíduo que
possibilite que ele esteja integrado nessa nova configuração social.
A escola, enquanto espaço de formação para a cidadania, para o mercado de trabalho e
acesso a outros níveis de ensino, fica encarregada de suprir esta necessidade para que todos os
estudantes sejam incluídos socialmente.
O uso de recursos tecnológicos para o ensino de matemática na escola pode contribuir
para esta formação e ressignificar o tratamento dado aos conteúdos estudados além de ajudar
no processo de ensino-aprendizagem.
Os conhecimentos matemáticos foram surgindo em detrimento das necessidades do
homem ao longo da história da humanidade, e ainda hoje ela está presente em grande parte
das atividades das pessoas. O grande desenvolvimento da tecnologia bem como a sua
utilização na forma de máquinas industriais, equipamentos de automação, sistemas de
transportes, sistemas de comunicação, computadores, softwares, calculadoras de última
geração, etc, são criações humanas e históricas, e todas essas tecnologias fazem uso e são
fruto do conhecimento matemático desenvolvido ao longo dos séculos.
Por isso, no estudo da matemática na escola, faz-se necessário e urgente integrar os
seus objetos de estudo aos atuais recursos tecnológicos, e dar-lhe a perspectiva de uma ciência
que foi e ainda é desenvolvida para atender as necessidades do ser humano e é fruto do seu
trabalho enquanto interventor do meio ambiente.
Este trabalho será desenvolvido com a intenção de contribuir na inclusão tecnológica
dos alunos do ensino médio nessa nova configuração social e ao mesmo tentar apresentar a
matemática como uma ciência humana, sob a perspectiva de que ela surgiu e ainda atua para
atender as nossas necessidades.
Para além disso, sabemos que o ensino da matemática não tem apresentado bons
resultados para o processo ensino-aprendizagem no Brasil, portanto espera-se que o uso de
recursos digitais possa nos dar uma alternativa para modificar este quadro. Para contribuir
com este objetivo será desenvolvido um estudo de funções com o software GeoGebra.
Os estudos recentes apontam que o ensino dos objetos matemáticos não têm sido
oferecidos de maneira satisfatória, de modo que propiciem o desenvolvimento do raciocínio

lógico e dedutivo dos alunos e estabeleça uma melhor compreensão e internalização/
instituição dos mesmos. Desta forma, os professores são estimulados a explorar novas
metodologias de ensino para estudo dos objetos matemáticos.
Este trabalho fará uso do software GeoGebra para o estudo de funções com a intenção
de otimizar a observação do comportamento dos gráficos de acordo com a variabilidade dos
coeficientes, comparar o desempenho, a compreensão e a motivação dos estudantes entre a
exploração dos gráficos com o uso do software e o uso de outros recursos como a malha
quadriculada em papel. Por fim, avaliar se são capazes de utilizar o modelo de funções para a
solução de um problema contextualizado e se percebem que os objetos matemáticos estão à
serviço das necessidades humanas.
Respaldado nesses pressupostos este trabalho pretende responder a pergunta: “a
compreensão dos estudantes sobre o estudo de funções no ensino médio melhora com o uso
do software GeoGebra?”
O tratamento dado aos conteúdos das disciplinas contempladas no currículo brasileiro
veem naturalmente se adaptando para atender as novas demandas sociais e com o ensino da
matemática não é diferente.
Atualmente, observamos o grande e crescente uso de recursos tecnológicos no mundo
moderno, assim é necessário propiciar a inclusão das crianças e jovens para o exercício da
cidadania e propiciar um novo tratamento aos objetos matemáticos em detrimento do ensino
ineficiente, atribuindo-lhes um novo significado.
Com o objetivo de desvincular as ações nas salas de aula que partem das definições
dos conteúdos matemáticos no processo de ensino-aprendizagem devemos integrar e
ressignificar o ensino desses conteúdos ao uso das tecnologias digitais de informação e
comunicação. O uso de softwares digitais e da internet pode ajudar nesse processo, agilizando
a construção e observação dos objetos matemáticos, promovendo a inclusão digital e
tecnológica e evidenciando-lhe sua característica humana que lhe é intrínseca e inerente.
O estudo de funções ainda permanece com o tratamento formal e axiomático, em
grande parte das salas de aula, onde os professores ainda se lançam de aulas expositivas que
partem da definição formal deste conteúdo, resolvem alguns exercícios como exemplo e por
fim os alunos resolvem uma lista de exercícios reproduzindo as mesmas técnicas de
“resolução” do professor.
Dito isto, é necessário buscar novas formas de tratamento para o estudo das funções e
designar a este objeto matemático a missão de contribuir para o raciocínio lógico e dedutivo

dos alunos e melhorar a compreensão do mesmo para que os estudantes tenham autonomia no
seu processo de aprendizagem.
Este trabalho pretende propiciar uma experiência significativa do estudo de funções
com o auxílio do GeoGebra e modestamente promover a inclusão digital dos alunos do
Primeiro ano, turma D do ensino médio, período da manhã, da Escola Estadual Maria José,
localizada na Rua Treze de Maio, 267 - Bela Vista, São Paulo - SP, 01327-000. Aulas
ministradas por Heliomara Rodrigues Limias.
Ao ponto de vista dos alunos, pretende-se abordar o estudo de funções através de
construções dos gráficos no software GeoGebra, de modo que os estudantes analisem e
interpretem o comportamento dos gráficos de acordo com a variação dos seus coeficientes e
por fim criem modelos de funções para resolução de problemas de modo autônomo e criativo.
Sobre a perspectiva do professor, pretende-se comparar a eficiência entre as diferentes
abordagens do estudo de funções, analisar o comportamento dos alunos perante o objeto
matemático e o recurso tecnológico e avaliar as vantagens e desvantagens da metodologia
além das alterações promovidas no contrato didático existente entre professor e aluno.

2. Pressupostos teóricos
Neste capítulo são apresentados os pressupostos teóricos da pesquisa, que foram
divididos em seis partes: o ensino da Matemática nas escolas hoje, o uso educacional de
tecnologias em sala de aula, a contribuição dos Registros de Representação Semiótica,
Softwares e Objetos de Aprendizagem, o uso de recursos tecnológicos no estudo de funções, e
por fim a utilização da informática para ensinar e aprender.
2.1. O ensino da Matemática nas escolas hoje - uma breve consideração
Os objetivos da educação básica consistem na formação do aluno para o seu convívio
em sociedade e no seu preparo para o mercado de trabalho, mas nos dias de hoje nem um e
nem outro tem sido contemplado satisfatoriamente, e este aparente fracasso atinge também a
Matemática que é usualmente abordada com metodologias tradicionais que podem ser
ineficientes, desarticuladas e com ausência de diálogo entre os conteúdos estudados e as
demandas sociais e as próprias experiências de vida dos estudantes, além da má-formação dos
professores, poucos investimentos em políticas públicas para a melhoria da educação de modo
geral, o que implica em recursos reduzidos disponíveis no ambiente escolar para uma boa
prática pedagógica, entre outros aspectos. Segundo D’Ambrósio:
Há dois aspectos igualmente importantes apontados como objetivos da Educação
Matemática: ser parte da educação geral, preparando o indivíduo para a cidadania, e
servir de base para uma carreira em ciência e tecnologia. Ambos são igualmente
necessários e, obviamente, vinculados. Mas com preocupação vejo que nem um
desses dois objetivos vem sendo satisfatoriamente contemplado. E há um risco de
desaparecimento da Matemática, como vem sendo praticada atualmente no
currículo, como disciplina autônoma dos sistemas escolares, pois ela se mostra, na
sua maior parte, obsoleta, inútil e desinteressante (D’AMBROSIO, sd, p.1).
Sabemos que o ensino da Matemática ainda permanece de forma tradicional,
ocasionando um desencantamento dos alunos, prejudicando-os na aquisição de habilidades e
competências essenciais para o convívio em sociedade, já que:
Os alunos estão aprendendo mal os programas tradicionais. Mas isso não faz falta. O
mais grave é que não estejam aprendendo coisas realmente importantes nos cursos

de Matemática. Insistir no inútil, desinteressante e obsoleto esgota o tempo e a
energia do aluno, e prejudica, até impede, o aprendizado de coisas úteis,
interessantes e modernas, essenciais para viver na sociedade moderna
(D´AMBROSIO, sd, p.7-8).
Com isso, os professores devem assumir um ensino que venha proporcionar interesse,
recuperando o lúdico na Matemática, para uma integração ao mundo moderno.
Insistir com práticas tradicionais não fará com que os alunos tenham uma
aprendizagem efetiva. A boa relação professor-aluno também é fundamental para o processo
ensino-aprendizagem. De acordo com Moran (2000),
As mudanças na educação dependem também dos alunos. Alunos curiosos e
motivados facilitam enormemente o processo, estimulam as melhores qualidades do
professor, tornam-se interlocutores lúcidos e parceiros de caminhada do professor-
educador. Alunos motivados aprendem e ensinam, avançam mais, ajudam o
professor a ajudá-los melhor. Alunos que provêm de famílias abertas, que apoiam as
mudanças, que estimulam afetivamente os filhos, que desenvolvem ambientes
culturalmente ricos, aprendem mais rapidamente, crescem mais confiantes e se
tornam pessoas mais produtivas (MORAN, 2000, p.6).
Segundo Valente, (1999, apud RIBEIRO; PAZ, 2012, p.17), há vários problemas
relacionados ao ensino como evasão escolar, pavor diante da disciplina, aversão à escola e
esses problemas podem estar ligados a metodologia abordada pelos professores para o ensino,
principalmente no ensino de Matemática.
2.2. Uso educacional de tecnologias em sala de aula
Nos últimos anos com a chegada das novas tecnologias, a nova geração de alunos se
mostra diferente no modo em que se aprende, pela familiaridade e frequência que utilizam os
meios tecnológicos. De acordo com Prensky (2001, p.1)
Eles passaram a vida inteira cercados por e utilizando computadores, videogames,
reprodutores de música digital, câmeras de vídeo, celulares, e todos os outros
brinquedos e ferramentas da era digital. [...] Jogos de computador, e-mail, internet,
celulares e mensagens instantâneas são partes integrais de suas vidas (PRENSKY,
2001, apud ALDA, 2012, p.2).
Por isso, muitos professores estão buscando novas alternativas para a meqlhoria do
processo de ensino-aprendizagem, a fim de atender as necessidades dos alunos, pois o uso de

recursos tecnológicos propicia uma aprendizagem significativa. Essa busca, faz com que cada
vez mais, professores utilizem a informática para trabalhar de forma contextualizada, que com
a ajuda de Softwares e Objetos de Aprendizagem (OA)1
têm a possibilidade de propor
atividades que levem os alunos a desenvolver estratégias para resolução de problemas.
Estudos indicam que o uso do Softwares é uma nova alternativa pedagógica de
melhora da aprendizagem Matemática. Mas, essa utilização deve ser bem planejada, para que
o professor antecipe as possíveis dificuldades que o aluno possa encontrar, além de analisar
qual a maneira e o momento correto de inserir esses recursos de modo a facilitar a
aprendizagem.
Lemos com frequência que as tecnologias estão provocando várias mudanças em
nossa vida. Podemos aprender de várias formas, utilizando espaços diferenciados que
contribuem para a aprendizagem, modificando e ampliando o processo de ensino-
aprendizagem e além disso, os alunos estão cada vez mais próximos dessas tecnologias, por
exemplo de Softwares, que são quase indissociáveis de suas vidas.
Mas, ainda temos diversos empecilhos desde a falta de recursos tecnológicos nas
escolas e a formação contínua dos professores. Esta realidade ainda dificulta o uso das novas
tecnologias em sala de aula.
Tanto o é que de acordo com Miskulin (2009), o surgimento de novas ferramentas
tecnológicas e de novos modos de utilização das redes como uma dimensão virtual e
formativa dia pós dia geram metodologias inéditas de ensino e de aprendizagem, mas tais
recursos não têm mostrado eficiência para a melhora das práticas de ensino-aprendizagem.
Ainda que haja a utilização de diversos recursos modernos, por exemplo, as Tecnologias de
Informação e Comunicação (TIC)2
, para o aprendizado com inovações nas estratégias de
metodologias de ensino no ambiente escolar, tem se constatado um avanço modesto no
ensino-aprendizagem de Matemática.
Vale ressaltar também que:
1
Conforme Hay e Knaack (2007, p. 6) Objetos de Aprendizagem são todas as ferramentas interativas baseadas
na web que apoiam o aprendizado de conceitos específicos incrementando, ampliando, ou guiando o processo
cognitivo dos aprendizes. Fonte: <http://www.ufal.edu.br/cied/objetos-de-aprendizagem>. Acesso em 25 de
março 2016.
2
As Tecnologias da Informação e Comunicação – TIC correspondem a todas as tecnologias que interferem e
medeiam os processos informacionais e comunicativos dos seres. Ainda, podem ser entendidas como um
conjunto de recursos tecnológicos integrados entre si, que proporcionam, por meio das funções de hardware,
software e telecomunicações, a automação e comunicação dos processos de negócios, da pesquisa científica e
de ensino e aprendizagem. Fonte: <http://totlab.com.br/noticias/o-que-e-tic-tecnologias-da-informacao-e-
comunicacao/>. Acesso 25 de março 2016.

“Os recursos interferem fortemente no processo ensino e aprendizagem; o uso de
qualquer recurso depende do conteúdo a ser ensinado, dos objetivos que se deseja
atingir e da aprendizagem a ser desenvolvida, visto que a utilização de recursos
didáticos facilita a observação e a análise de elementos fundamentais para o ensino
experimental, contribuindo com o aluno na construção do conhecimento.”
(LORENZATO, 1991 apud PEREIRA, 2009, p. 4).
Deste modo, há a necessidade da busca de maiores considerações para um
aprimoramento no uso das ferramentas tecnológicas.
2.3. Uma contribuição dos Registros de Representação Semiótica3
Diante dos entraves apresentados anteriormente, observamos que é necessário também
o estudo quanto ao modo e de como o saber pode ser construído para ser ensinado e aprendido
com o uso de recursos tecnológicos. E é nesta busca em que os estudos de Raymond Duval
(2009) mostram-se valiosos, pois consideram os Registros de Representação Semiótica como
ponto de partida às suas investigações e discussões sobre a especificidade da aprendizagem e
do ensino da Matemática que relaciona os aspectos semióticos das representações
Matemáticas.
De maneira resumida, em Duval (2009) constata-se uma abordagem cognitiva junto
aos estudantes para que o ensino de Matemática possibilite o desenvolvimento geral das
capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. Neste tipo de abordagem procura-se
de início a descrição do funcionamento cognitivo que possibilite ao estudante compreender,
efetuar e controlar, ele mesmo, a diversidade dos processos matemáticos presentes nos
ambientes de ensino.
Deste modo, a inserção de recursos tecnológicos no ensino de Matemática não deverá
apenas oferecer a habilidade específica do Software ao estudante, com isso as aulas deverão
ser planejadas para que as ferramentas tecnológicas venham contribuir para facilitar a
aprendizagem de conceitos matemáticos a partir da otimização do processo de passagem de
registro semiótico, pois a passagem de um registro semiótico para outro colabora e muito à
compreensão efetiva de um conceito matemático (DUVAL, 2003).
3
A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, que tem por
objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno de produção de significação e de
sentido. Fonte: http://www.dicionarioinformal.com.br/semi%C3%B3tica/>. Acesso 25 de março 2016.

Tomemos como exemplo a aprendizagem de função, o registro semiótico pode ser
realizado por meio da álgebra, uma alternativa para a passagem de registro semiótico é a
representação da função por meio de tabela ou gráfico que pode ser realizada de modo mais
atraente a partir do uso de Softwares.
Exemplo de registros segundo ARRAIS (s.d.):
 Registro em língua natural:
Considere uma Função definida no conjunto dos Números Reais com valores no
mesmo conjunto e a cada elemento dos Reais faz associar o seu dobro.
 Registro em álgebra simbólica:
 Registro na forma de Tabela
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2

 Registro em gráfico:
Figura 1: gráfico da função .
Fonte: Imagem capturada da tela do Software GeoGebra.
Neste sentido, há a necessidade de um ensino relacionado aos registros de
representação semiótica para a aprendizagem em Matemática. Este tipo de trabalho
pedagógico que lida com registros semióticos, possibilita um eficaz funcionamento cognitivo
do estudante já que descrever, raciocinar e visualizar em Matemática são atividades que estão
intrinsecamente ligadas à utilização de registros de representação semiótica.
Como os objetos matemáticos não são acessados de maneira direta a partir do uso da
intuição ou percepção faz-se necessário o uso de representantes a partir do tratamento destes
objetos com um sistema de representação semiótica.
Um mesmo objeto matemático poderá ter representações diferentes, dependendo da
necessidade e do uso. Isto implica em custo cognitivo diferente, pois duas representações
distintas para um mesmo objeto tem cada uma delas sentidos diferentes, e consequentemente,
tratamentos diferenciados. Tome, por exemplo, a soma de dois números racionais que não têm

o mesmo custo cognitivo quando se faz a soma deles com fração ou quando se faz a soma
deles na forma decimal.
No estudo de funções e sistemas lineares, por exemplo, podemos ter o registro
semiótico natural, algébrico e resolução gráfica, o uso Softwares podem otimizar a passagem
destes registros.
No estudo de sistemas lineares, por exemplo, a passagem da representação semiótica
pode ser observada e otimizada a partir do uso de Software no trato de conjunto verdade, pois
os softwares possibilitará a interpretação geométrica e rápida de diversos tipos de sistemas
lineares.
Na figura a seguir, verifica-se a existência de uma única solução, já que as retas
interceptam-se em um único ponto de coordenadas (1,5; -1,5).
Figura 2: Exemplo de representações semióticas de sistema linear no Winplot.
Fonte: Imagem capturada da tela Winplot.

2.4. Softwares e Objetos de Aprendizagem
Então, para quê e como utilizar Softwares e Objetos de Aprendizagem?
Trata-se das possibilidades que a informática pode oferecer, e além disso, conhecer o
verdadeiro potencial que um Software ou Objeto de Aprendizagem possui pode acrescentar
qualidade ao processo de ensino-aprendizagem.
Batista (2005) enfatiza que o uso de tecnologias pode oferecer uma grande
contribuição ao processo de ensino-aprendizagem de Matemática quando diz:
Para o processo de ensino e aprendizagem de Matemática, as TIC podem oferecer
uma grande contribuição, à medida que: i) reforçam o papel da linguagem gráfica e
novas representações; ii) relativizam a importância do cálculo; iii) permitem a
manipulação simbólica. (BATISTA, 2005, p. 1)
Em contrapartida à crítica de que as tecnologias podem atrofiar certas habilidades
como o cálculo mental, elas permitem explorar outras habilidades como visualização e
simulação, além de possibilitar a formulação de conjecturas. De modo geral, os prós e os
contras do uso das tecnologias no meio educacional estão mais relacionados ao modo como
são utilizadas do que nelas mesmas.
2.4.1. Softwares educacionais
A utilização de Softwares educacionais traz muitas vantagens em relação as atividades
feitas no papel ou no quadro, devido sua acessibilidade e interatividade. Podemos por
exemplo, comparar gráficos de funções com facilidade em visualizações através de um
Software, que no papel levariam muito tempo para realizar tal comparação. O importante é
que se compreenda os conceitos do que está sendo estudado, que seja utilizado como uma
ferramenta que permitirá nas atividades uma prática investigativa.
O uso de Softwares educacionais prescinde do educador algumas considerações, além
do domínio do conteúdo que será estudado certamente, é fundamental o domínio do Software
que será utilizado, além de uma análise e avaliação prévia sobre os aspectos de funcionalidade
e real contribuição no processo ensino-aprendizagem, como: facilidade de instalação;

possibilidade de se utilizar em redes; se apresenta uma interface de fácil manuseio e com
informações claras, etc.
Existem uma série de critérios educacionais para análise de um Software educacional,
que geralmente é feita através de perguntas que devem ser contempladas para garantir a
qualidade de sua usabilidade.
Figura 3: Interface do Software educacional de Geometria Dinâmica GeoGebra.
Fonte: <http://www.oGeoGebra.com.br/arquivos/01-interfaceeferramentas.pdf>.
Segundo Vargas e Silva (2010) os Softwares automatizam os cálculos e gráficos
fazendo com que os alunos concentrem seus esforços na resolução dos problemas de
modelagem e extraem mais facilmente as informações a partir de experimentos
computacionais. Entretanto, entendemos que o processo de automatização dos cálculos e
gráficos só é favorável quando os conceitos do objeto matemático em estudo estão bem
sedimentados do ponto de vista epistemológico, em que se objetive a análise dos resultados
encontrados no processo de modelagem, o que também pode proporcionar ao professor uma
ferramenta de avaliação do bom uso e entendimento do objeto matemático em estudo.

2.4.2. Objetos de Aprendizagem
Os Objetos de Aprendizagem (OA), podem ser qualquer recurso digital que seja
reutilizado permitindo que professores e alunos explorem um conceito específico. Os OA
podem ser criados em qualquer mídia ou formato, abordados de forma simples, onde utilizam-
se imagens, animações, applets, simulações, para estimular a reflexão dos alunos. (CASTRO
FILHO, sd)
Os Objetos de Aprendizagem se apresentam de forma flexível, pois são construídos de
forma simples, sendo reutilizados sem ter problemas com manutenção, além de funcionar em
qualquer plataforma de ensino (MACÊDO et al, 2007).
Figura 4: Interface de Objeto de Aprendizagem Virtual para estudo de funções trigonométricas.
Fonte: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/>.
Segundo Castro Filho (sd) o uso de novas tecnologias na educação é imprescindível, e
o docente deve ousar mais para explorar o potencial de Objetos de Aprendizagem (limitações,
vantagens, adaptações), para estimular um desenvolvimento aprofundado do aluno no campo
matemático.
A utilização de Objetos Virtuais de Aprendizagem como recursos pedagógicos no
processo ensino-aprendizagem vem enriquecer e apoiar a prática docente com as tecnologias,

e por isso, devem apresentar vantagens sobre os materiais tradicionais. De acordo com Castro
Filho (sd),
Embora não haja ainda um consenso sobre sua definição, vários autores concordam
que objetos de aprendizagem devam: (1) ser digitais, isto é, possam ser acessados
através do computador, preferencialmente pela Internet; (2) ser pequenos, ou seja,
possam ser aprendidos e utilizados no tempo de uma ou duas aulas e (3) focalizar em
um objetivo de aprendizagem único, isto é, cada objeto deve ajudar os aprendizes a
alcançar o objetivo especificado (CASTRO FILHO, sd, p. 15).
Contudo, o professor deve explorar o potencial de qualquer Objeto de Aprendizagem
para garantir um bom planejamento e vantagens. Segundo Castro Filho (s.d., p.12) “Um bom
OA deve criar situações interessantes para os alunos, mas que permitam uma reflexão sobre
conceitos fundamentais em Matemática”. Deve-se refletir sobre as limitações que ele possa
apresentar e buscar alternativas para superá-las.
Ainda segundo este autor “o crucial é que o OA apresente uma situação-problema que
seja desafiadora para os alunos e os instiguem a desenvolver hipóteses para resolvê-la.” Isso
se aplica tanto nos objetos de aprendizagem como nos Softwares.
Sabemos que a informática não é a única alternativa de propiciar a aprendizagem e que
a utilização dos Softwares ou Objetos de Aprendizagem por si só não levarão ao propósito que
se pretende chegar. Por isso o planejamento e a maneira que será abordado os recursos
tecnológicos é de extrema importância para explorar suas potencialidades.
2.5. O uso de recursos tecnológicos no estudo de funções
Cada Software e Objeto de Aprendizagem possui uma interface e uma funcionalidade
específica que pode se adequar às necessidades dos professores em explorar um conteúdo
matemático específico, como por exemplo o uso do software Graphmática ou Winplot no
estudo de funções e sistemas lineares, uma vez que a função trata de instrumentos sobre esse
aspecto as novas tecnologias devem ser usadas de modo consciente e crítico como recurso
didático.
É possível a exploração de várias representações, por exemplo, algébrica, tabular e
gráfica de funções com atividades que abordem o estudo dos coeficientes de duas ou mais
funções bem como a plotagem de gráficos em um mesmo plano cartesiano a partir da

utilização do Software Winplot. Estes tipos de atividades podem possibilitar em uma prática
investigativa do professor e do aluno (UMBEZEIRO, 2012).
Ainda de acordo com o (UMBEZEIRO, 2012), é possível que haja a potencialização
no desenvolvimento de certas atividades matemáticas a partir do uso do Winplot . No estudo
de funções, por exemplo, o aluno poderá investigar o comportamento gráfico de determinada
função a partir da variação de seus coeficientes, visualizar os pontos de interseção entre os
gráficos de funções, etc.
Além disso, de acordo com Silva et al, 2012, em uma pesquisa sobre utilização de
software educativo como recurso auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, realizada com dois grupos, sendo alunos do ensino médio de uma escola da rede
estadual de Pernambuco e o outro grupo alunos de licenciatura em Matemática da
Universidade de Pernambuco, houve uma melhora no estudo das funções polinomiais de 1º e
2º graus com o auxílio do Winplot, que possibilitou uma melhora na compreensão do
conhecimento de particularidades de uma função e maior motivação nos estudos destes
mesmos tópicos e trigonometria no curso de Licenciatura em Matemática. Os resultados desta
pesquisa mostram o uso do software como uma nova alternativa pedagógica que gera
motivação, interesse, permitindo uma compreensão que promove uma melhora da
aprendizagem Matemática.
Com a inserção desses recursos tecnológicos os conceitos matemáticos como por
exemplo, representações gráficas, comparações de funções, demostrando crescimento,
decrescimento, estudando transformações de um gráfico em um mesmo plano proporcionam
uma melhor compreensão aos alunos, pois podemos obter informações de uma função
retratadas em um gráfico com facilidade.
2.6. Utilização da informática para ensinar e aprender
As instituições escolares devem acompanhar o desenvolvimento social do país, onde
as novas tecnologias da informação estão cada vez mais presentes e transformando de modo
espetacular a comunicação, o trabalho, a decisão e modo de pensar das pessoas
(PERRENOUD, 2000).
Ademais, o uso de Softwares e Objetos de Aprendizagem no ensino de conceitos
matemáticos deve perpassar o mundo matemático a partir da obtenção de habilidades e

competências à solução de situação-problema presente em nossa sociedade pelos estudantes.
Segundo os PCN (1998)
É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação
tecnológica que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma
sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem
de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo
reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações
de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas
práticas sociais (BRASIL, 1998, p.46).
De acordo com Kilpatrick (1994 apud Fiorentini, 2007, p. 41), uma das mudanças no
currículo é o incentivo “...ao uso de novas tecnologias e novas aplicações na Educação
Matemática” Com a disponibilidade das tecnologias, a aprendizagem Matemática deve tomar
um novo rumo, pois possibilita aos “...alunos estudar temas tradicionais de maneira nova, mas
também explorar novos temas...” (FIORENTINI, 2007, p. 46), como por exemplo, o emprego
excessivo e exclusivo do registro algébrico
O ensino-aprendizagem de Matemática poderá ser mais motivador e eficiente para os
alunos a partir do estudo recorrente do professor da eficiência de determinado Software e,
principalmente no que tange a abordagem de elementos cognitivos que visem o hábito de
trânsito de representações semióticas, pois o emprego de Software sem tais considerações
cognitivas tende na maioria das vezes prejudicar o ensino-aprendizagem ao invés de
contribuir para o mesmo.

3. Metodologia e procedimentos da pesquisa
A abordagem escolhida para este trabalho é a de caráter qualitativo, comumente
utilizada em pesquisas nas áreas das Ciências Sociais e Humanas, em particular, em Educação
Matemática (BORBA e ARAÚJO, 2010).
Segundo Esquincalha (2015), na pesquisa qualitativa o ambiente natural é o
laboratório do pesquisador, que vai a campo em busca dos dados, no local e no tempo em que
os participantes estão vivenciando a situação pesquisada. Observa e interage com os sujeitos
da pesquisa por um tempo prolongado, a fim de garantir a credibilidade dos dados que
emergirão dessas observações e interações.
Nossa abordagem é baseada em análises, trabalhos de campo, com uma abordagem
qualitativa, que tem como propósito, uma investigação onde serão analisados resultados com
uma direta participação de alunos, o que nos permite verificar os dados colhidos de uma
maneira bem rica sobre a realidade que estamos estudando.
Os dados colhidos serão descritos de maneira descritiva e direta. Serão obtidos, de
acordo com a proposta de cada um, através de uma discussão com os alunos sobre o tema
proposto, e/ou através de uma lista de exercícios propostos que servirão basicamente para
levantar se há algum conhecimento prévio por parte dos alunos, e uma avaliação final que
poderá comprovar ou não nossa proposta de ensino. Além disso, deixaremos explicitas
situações, que possam ocorrer durante a aplicação da metodologia, tais como depoimentos,
questões que possam surgir durante ou depois da aplicação do vídeo, fotografias, entre outros.
Tentando visar sempre a perspectiva dos alunos, e para isso, será inserido também um
questionário sobre a metodologia em questão.
Utilizamos o software GeoGebra para o estudo de funções em uma turma da primeira
série do ensino médio, com 34 alunos frequentes, com o objetivo de verificar o aumento de
interesse dos alunos com relação ao tema e as atividades propostas, além da melhora na
compreensão do objeto e otimização no processo de resolução de problemas.
Os alunos plotaram gráficos no software GeoGebra e analisaram o comportamento das
funções de acordo com a variação dos coeficientes a e b. Foram utilizadas dez aulas de 50
minutos cada, intercalando entre aulas expositivas e de construções em papel milimetrado, em
sala de aula, e aulas no laboratório de informática com o uso do GeoGebra.

Na primeira aula os alunos analisaram a seguinte situação-problema, sem a
intervenção do professor:
Um supermercado vende produtos no atacado e no varejo, sendo que as vendas são
consideradas de atacado se o cliente comprar mais de 11 unidades de um mesmo produto.
Sabendo que o preço de uma barra de cereal no varejo é de R$0,69 e no atacado é R$0,57,
verifique se é mais vantajoso comprar 10 ou 12 unidades.
Na segunda aula retomamos a situação-problema, aonde os alunos já haviam
percebido que o preço a pagar dependia da quantidade de barras de cereais compradas e,
construímos o gráfico da situação em uma aula expositiva, levando em consideração os seus
conhecimentos sobre plano cartesiano, já estudado nos anos anteriores. Determinamos sua
representação algébrica, tabular e gráfica e delineamos o conceito de função como uma
relação de dependência entre variáveis, que satisfaça a definição de função.
Resolução: A função ƒ que representa o preço da barra de cereal em função da
quantidade x é dada por:
{
Calculando o preço de 10 a 12 unidades, temos:
ƒ(10) = 0,69 • 10 = 6,90
ƒ(12) = 0,57 • 12 = 6,84
Desse modo o preço de 12 unidades é menor que de 10 unidades, ou seja, é mais
vantajoso comprar 12 unidades da barra de cereal.
No laboratório de informática, nas aulas seguintes, os alunos tiveram o primeiro
contato com o software GeoGebra, explorando sua interface e recursos e, com o auxílio do
professor, plotaram o gráfico do problema anterior.
Em seguida, plotaram o gráfico da função e analisaram o
comportamento do gráfico de acordo com as mudanças dos parâmetros a e b, que tinham os
seus valores atrelados a ferramenta Controle Deslizante do software, anotando as suas
observações.
Responderam algumas perguntas diretas que tinham a finalidade de orientar as suas
observações: Você consegue identificar quais são os coeficientes angular e linear da função?

Qual o comportamento do gráfico quando o coeficiente angular é positivo? E quando é
negativo? E quando o coeficiente angular é zero? O que acontece quando o coeficiente linear
é positivo, negativo ou quando é zero?
Nas aulas seguintes, expositivas, exploraram algumas funções polinomiais de primeiro
grau, com suas representações algébrica, tabular e gráfica e receberam mais orientações sobre
os comandos e funções do software GeoGebra para que pudessem desempenhar as atividades
com mais facilidade.
Posteriormente, os alunos retornaram ao laboratório de informática e novamente
tentaram plotar o gráfico de algumas funções e observar seu comportamento de acordo com a
variação dos parâmetros a e b.
Em seguida, foi discutido com os alunos, em sala de aula, mais uma situação
contextualizada que relacionava o valor a ser pago por uma corrida de táxi em função do
quilômetro rodado e o comportamento do gráfico em outros exemplos algébricos em que o
coeficiente angular era positivo, negativo e nulo. Como já haviam estudado as progressões
aritméticas, solicitou-se que entregassem na próxima aula o gráfico da função da sequência (3,
6, 9, 12, ...) e sua representação algébrica.
No dia seguinte, construíram o gráfico da sequência dos múltiplos de 3 em papel
milimetrado em sala e de uma segunda função e deveriam anotar os valores
de f(x) quando x = 2 e x = -2, localizando os pontos no plano e traçando o gráfico.
Após várias discussões, durante as atividades anteriores para sanar as dúvidas foram
utilizadas duas aulas para uma avaliação em que os alunos modelaram uma expressão para a
seguinte situação-problema no software GeoGebra:
Quando um tanque continha 10 L de água, foi aberta uma torneira com vazão
constante. Vinte e quatro segundos depois, o tanque atingiu sua capacidade total, que é de
40 L. Em cada ponto P(x, y) do segmento de reta representado no plano cartesiano a seguir,
a abscissa x é o tempo, em segundo, necessário para que o total de água no tanque seja y
litros.

Figura 5: Imagem capturada da tela do software GeoGebra.
a) Obtenha uma expressão que relacione x e y.
Resposta: y = 1,25x + 10. Espera-se que atribuindo os valores da questão anterior o
aluno consiga plotar a equação no GeoGebra e analisar o comportamento do gráfico.
b) Quanto tempo ficou aberta a torneira para que o tanque atingisse 20 L?
Resposta: 8 segundos
Observando o gráfico vemos que se no tanque havia 10 L foram preenchidos 30 L em
24 s. Espera-se que o aluno observe que a vazão é 30/24 = 1,25. Para atingir 20 L só precisará
preencher mais 10 L, será 1/3 de 24 seg.
Para confirmar a sua resposta basta que substitua f(x) na caixa de entrada do
GeoGebra por 20 e sua expressão ficará .
Esperava-se também, que os alunos conseguissem identificar e relacionar os valores
correspondentes aos parâmetros a e b sem a ajuda do professor.

4. Resultados e discussões
Importante destacar o perfil dos alunos da presente pesquisa antes de levantar as
discussões. A classe possui quantidade significativa de alunos que são repetentes, dos quais a
maior parte foi reprovada por falta. Há também, muita saída e entrada de novos alunos
durante todo o ano letivo, pois muitos fazem o fluxo migratório entre os estados do Nordeste
brasileiro e o centro da cidade de São Paulo, onde os pais vêm em busca de trabalho, sendo
que uma parcela significativa dos estudantes vive com familiares e outras pessoas em quartos
de pensões na região central de São Paulo.
O perfil socioeconômico é consideravelmente baixo, observando que muitos não têm
acesso ao computador e a internet, tornando a escola um meio de inclusão digital. Geralmente
são desmotivados em relação aos estudos não demonstrando muito interesse pelas atividades e
negando-se a executá-las com bastante frequência. A participação da classe nas aulas de
matemática é consideravelmente baixa exigindo um esforço maior do professor para envolvê-
los nas atividades.
Dito isso, podemos partir do pressuposto que essas características influenciam no
desempenho dos alunos fazendo com que tivéssemos que retomar algumas atividades um
maior número de vezes do que o esperado.
Na situação-problema inicial, em que deveriam calcular o preço a pagar em função do
número de barras de cereais, não tiveram dificuldade em perceber a relação de dependência
entre as grandezas. Até mesmo quando a professora transportou o problema para o modelo
matemático { e fez a representação gráfica no plano cartesiano, eles
demonstraram compreender de modo satisfatório.
Entretanto, durante as aulas com o software GeoGebra apareceram as primeiras
dificuldades. Inicialmente motivadas pelo desconhecimento e inabilidade em utilizar o
programa, até mesmo reconhecer as funções básicas do teclado do computador, como inserir
acentuações. Isto fez com que o professor dispensasse um tempo para ajudar os alunos de
modo individual muito maior do que o desejado.
Muitos alunos não conseguiram plotar o gráfico da função porque não compreenderam
o comando correspondente a condição de uma determinada função, que deveria ser digitado
na caixa de Entrada do GeoGebra.

Figura 6: comando necessário para executar a função solicitada no
software GeoGebra. Imagem capturada da tela.
Acredito que duas aulas em dias distintos sejam importantes para que os alunos se
familiarizem com o programa e, tanto os alunos faltosos como os novos possam ser integrados
ao planejamento para que as atividades prossigam com mais tranquilidade.
Quando da análise do modelo genérico de , em que deveriam anotar o
comportamento do gráfico, quando moviam os controles deslizantes correspondentes aos
coeficientes angular e linear, eles notaram imediatamente que havia uma diferença no
comportamento do gráfico entre a movimentação de um e outro mas não conseguiam
descrever com muita clareza qual a diferença.
Reprodução da explicação de uma das alunas: “Angular – quando é negativo fica para
a esquerda, quando é positivo fica pra direita por ser + não tem valor para x, quando mexe
na barra preta o eixo f (provavelmente relativo ao gráfico f da função) da um giro não inteiro
pela barra. [...]
Linear – quando mexe a barra (controle deslizante) ele sobe e desce. Quando negativo
ele desce, quando positivo sobe.”
Com o desenrolar das atividades e algumas explicações extras os comentários
começaram a mudar de perfil e incorporar a linguagem usual do professor. Reprodução do
texto de outra aluna:
“Quando o coeficiente angular é 0 ele fica paralelo ao eixo x.
Quando o coeficiente angular é positivo ele fica para a esquerda mostrando que é
crescente”.
Todavia, quando tinham que modelar situações contextualizadas sozinhos e construir
os gráficos das situações no papel de malha milimetrada, tiveram muita dificuldade em atrelar
os valores correspondentes tanto aos parâmetros a e b, como atribuir valores para x e y. Na
situação relacionada a progressão aritmética dos múltiplos de 3, além de ajudá-los a deduzir a
expressão f(x) = 3x, no qual esperava-se que fariam sem muita dificuldade pois já se
defrontaram com a situação, poucos alunos sequer construíram o gráfico demonstrando

pouquíssimo interesse em comparação com as atividades executadas no laboratório de
informática com o GeoGebra.
Por fim, durante a atividade avaliativa em que tinham que modelar e plotar o gráfico
do volume de água em litros, para encher um tanque, em função do tempo, os alunos tiveram
muita dificuldade não somente para interpretar os dados do problema e transformar a situação
em uma expressão algébrica como para plotar os gráficos.
Após várias tentativas frustradas em realizar a atividade sozinhos, sem a intervenção
do professor, resolvemos o problema juntos e ele plotaram o gráfico sozinhos digitando a
expressão na caixa de entrada e com o auxílio do controle deslizante
localizaram os parâmetros para os valores correspondentes a = 1,25 e b = 10.
Não podemos deixar de mencionar que alguns alunos conseguiram atribuir o valor
correto para o coeficiente b na expressão, sem compreender exatamente o que ele
representava antes dos esclarecimentos do professor. Tiveram maior dificuldade em
identificar o coeficiente a.
A seguir, a imagem da atividade realizada por um dos alunos.
Figura 7: imagem da construção realizada por um dos alunos.
Na construção da figura 3, o aluno colocou pontos em cima do gráfico na tentativa de
localizar por deslocamento dos pontos os valores de x quando y = 20.
Por sugestão da professora, não só ele como outros alunos, sobrepuseram um
seguimento de reta sobre a função para delimitar o intervalo descrito na situação-problema
pela dificuldade em executar o comando condição na caixa de entrada do GeoGebra
mencionado anteriormente.

5. Considerações finais
A pesquisa comprovou os benefícios da utilização do software GeoGebra no estudos
de funções pela facilidade proporcionada aos alunos na observação dos comportamentos dos
gráficos diante da variação dos coeficientes e das variáveis x e y, porém devemos ressaltar as
dificuldades encontradas pelos alunos em aplicar os conhecimentos estudados em situações
contextualizadas, algo que demonstrou que apesar do software ser uma ferramenta poderosa
como auxiliar na construção do conhecimento, sozinho não é suficiente para consolidar o
conhecimento acerca do objeto matemático.
Seria interessante reservar ao menos duas aulas para que os alunos pudessem explorar
os recursos do software em atividades em duplas por exemplo, para que uns ajudem os outros
com os comandos necessários para plotar os gráficos e se apropriarem de outras ferramentas.
Devido as dificuldades em manejar o software pela primeira vez e até mesmo o pouco ou
nenhum contato com computadores e recursos da informática que alguns alunos apresentaram
deixou-se de otimizar ainda mais o trabalho, fazendo com que se despendesse muito tempo
com tarefas que não eram necessariamente o objetivo do estudo e focassem mais nas funções,
o verdadeiro propósito.
Ficou evidente que a característica do grupo foi determinante para o desenvolvimento
das atividades. Apesar de estarem cursando o primeiro ano do ensino médio os estudantes
nunca tiveram contato com nenhum software de aprendizagem de matemática, e esse fato, por
si só, fez com que aumentassem as expectativas e o interesse pelas aulas e o conteúdo
abordado.
O fato do GeoGebra apresentar uma interface intuitiva e recursos que contribuíssem
para a realização das atividades ajudou muito. Por exemplo, na versão utilizada na pesquisa,
GeoGebra 5, quando digitavam a função na caixa de entrada
automaticamente apareciam na tela os controles deslizantes atrelados aos coeficientes a e b.
Porém, para funções específicas são necessários comandos específicos, como por exemplo o
comando que determina uma condição, o qual alguns alunos não conseguiram estabelecer
uma relação entre ele e os gráficos desejados fazendo com que tivessem que se valer de outros
subterfúgios para executar a tarefa.
Portanto, como já mencionado, é interessante que se reserve umas duas aulas ou mais
para que os alunos se apropriem desses recursos e ferramentas. O tempo gasto para isto nessa
atividade não foi suficiente, e foi agravado pela transitoriedade dos alunos em sala, alunos

faltosos, alunos novos, etc., o que fez com que tivéssemos que retomar as explicações
diversas vezes.
Em comparação com as atividades executadas em sala de aula, observou-se um maior
interesse dos alunos e maior participação. Até mesmo os que se mostram costumeiramente
apáticos em relação aos estudos demonstraram-se mais dispostos em executar as tarefas.
Sendo assim, podemos concluir seguramente que o GeoGebra como ferramenta de estudo
envolveu muito mais os alunos do que as resoluções de problemas em sala de aula.
Entretanto, apesar de otimizar os trabalhos e facilitar a visualização dos gráficos das
funções não podemos dizer que o GeoGebra facilitou a compreensão dos alunos sobre o tema
em termos de aplicabilidade.
No exercício em que deveriam modelar a expressão que relacionava a quantidade de
água no tanque com o tempo os alunos encontraram grande dificuldade em determinar os
valores para os coeficiente a e b. Percebe-se que este tipo de assimilação independe do
software e está relacionado com a compreensão e utilização do objeto matemático em estudo.
Por fim, podemos dizer que tratando-se de uma ferramenta para agilizar a construção
dos gráficos e expressões, e observar em tempo real o comportamento dos gráficos de acordo
com as variações dos parâmetros e dos valores de x e y, o GeoGebra de fato é um recurso
muito eficiente, porém em termos de assimilação e construção do conhecimento para
utilização do objeto matemático como instrumento para resolução de problemas reais depende
mais de todo o trabalho desenvolvido pelo professor para ajudá-los a relacionar o
conhecimento axiomático com situações reais, dos conhecimentos já acumulados pelos alunos
e seus processos cognitivos.
Talvez, em estudos posteriores, seja útil que o professor, para resolução de problemas
contextualizados, já tenha ou desenvolva objetos de aprendizagem virtuais construídos no
GeoGebra em que os alunos possam interagir e observar as variações de grandezas, por
exemplo, com suas respectivas constantes de proporcionalidade. Isso pode atribuir um valor
maior na construção e significação do estudo de funções como conhecimento palpável do que
somente a simples observação dos gráficos axiomáticos e a tentativa de que modelem
sozinhos os problemas em situações contextualizadas conforme proposto neste trabalho.

6. Referências bibliográficas
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Semana da Estatística, 2010. Disponível em:
<http://www.cead.ufop.br/jornal/index.php/redumat/article/view/332/289>. Acesso em: 18
fev. 2016.

Apêndice
Planejamento das Atividades desenvolvidas em sala de aula
Título:
O estudo de funções com o software GeoGebra
Objetivo:
Com atividades desenvolvidas o software GeoGebra pretende-se otimizar o estudo de funções
facilitando a observação e compreensão do comportamento dos gráficos com as mudanças das
variáveis e dos coeficientes além de propor situações contextualizadas para que sejam
modeladas com expressões como formas de avaliação e aplicação do conteúdo.
Público alvo:
Alunos do Primeiro ano, turma D do ensino médio, período da manhã, da Escola Estadual
Maria José, localizada na Rua Treze de Maio, 267 - Bela Vista, São Paulo - SP, 01327-000.
Recursos necessários:
Laboratório de informática com computadores com acesso a internet e com o software
GeoGebra instalado; pen drive; papel milimetrado; lápis; caneta; caderno; régua e borracha.
Tempo estimado: 16 aulas de 50 min cada.
Atividade 1
Exploração de situação-problema (1 aula de 50 min)
Nesta atividade será proposta uma situação problema em que os alunos deverão
encontrar a solução sem a intervenção do professor e discutir os caminhos percorridos.
Problema: Um supermercado vende produtos no atacado e no varejo, sendo que as
vendas são consideradas de atacado se o cliente comprar mais de 11 unidades de um mesmo

produto. Sabendo que o preço de uma barra de cereal no varejo é de R$0,69 e no atacado é
R$0,57, verifique se é mais vantajoso comprar 10 ou 12 unidades4
.
Espera-se que eles notem a dependência do preço a ser pago em relação a quantidade
de barras de cereais compradas.
Atividade 2
Aula expositiva – Definição formal do conceito de função. (2 aulas de 50 min)
Conceito de função
Sejam os conjuntos A e B não vazios, uma relação ƒ de A em B é uma função quando
associa a cada elemento x, pertencente ao conjunto A, um único elemento y, pertencente a B.
Essa função pode ser indicada por:
(lê-se “função f de A em B”)
O conjunto A é denominado domínio (D (f)) e o conjunto B, contradomínio (CD (f))
da função ƒ. Cada elemento y de B que possui correspondente x em A é chamado imagem de
x pela função ƒ. O conjunto formado por todas as imagens é denominado imagem da função
(Im (f)).
Exemplo: uma função ƒ de A em B, com A = {-2, 0, 1, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 9, 10},
associa cada elemento de x de A ao seu quadrado y em B, pode ser indicada pela fórmula (lei
de formação): f(x) = x2
ou y = x2
.
Utilizando a lei de formação podemos ƒ(x)= x2
, podemos determinar a imagem y de
cada elemento x de A:
• ƒ(-2) = (-2)2
= 4; a imagem de -2 é 4
• ƒ(0) = (0)2
= 0; a imagem de 0 é 0
4
Problema retirado de: PAIVA, Manoel. Matemática, Paiva. (Manual do professor). 2 ed. São Paulo, Moderna,
2013, p. 131.

• ƒ(1) = (1)2
• ƒ(3) = (3)2
Na função ƒ, temos D(ƒ) = A CD(ƒ) = B e Im(ƒ) ={0, 1, 4, 9}
Atividade 3
Exploração da Interface, recursos e alguns comandos e ferramentas do software GeoGebra
(1 aula de 50 min)
Exploração da interface, recursos e ferramentas do software GeoGebra no laboratório
de informática. Os alunos serão separados em duplas, sendo uma dupla por computador. A
escola dispõe de 17 computadores com internet e softwares instalados.
Eles farão reconhecimento e manuseio de alguns comandos do GeoGebra de modo que
se sintam mais confortáveis ao realizar as atividades.
Algumas informações fundamentais de comandos e interface do GeoGebra5
:
Barra de Menus: Na barra de menus há o botão para salvar os trabalhos e determinar
configurações gerais.
Barra de Ferramentas: possui as ferramentas para construir objetos como polígonos,
retas, vetores, obter as medidas dos objetos, etc. Cada ícone esconde outros ícones que podem
ser acessados clicando com o botão direito do mouse em seu canto inferior direito.
Janela da Álgebra: Área em que é exibida as coordenadas, equações, medidas e
outros atributos dos objetos construídos.
Entrada: Campo de entrada para digitação de comandos.
Janela de Visualização: Área de visualização gráfica de objetos que possuam
representação geométrica e que podem ser desenhados com o mouse usando ícones da Barra
de Ícones ou comandos digitados na Entrada.
5
Informações extraídas do site <http://www.oGeoGebra.com.br/arquivos/01-interfaceeferramentas.pdf>.
Acesso 3 de abril 2016.

Lista de Comandos: Listagem de comandos predefinidos. Entre eles há comandos
relacionados aos ícones da Barra de Ferramentas.
Figura 1: Configuração padrão do GeoGebra ao ser carregado. Extraído de
http://www.oGeoGebra.com.br/arquivos/01-interfaceeferramentas.pdf. Acesso 07/04/2016.
Atividade 4
Retomada do problema da Atividade 1 com construção do gráfico na lousa. (2 aula de 50
min)
R$0,57, verifique se é mais vantajoso comprar 10 ou 12 unidades.
{ }

ƒ(10) = 0,69 • 10 = 6,90
ƒ(12) = 0,57 • 12 = 6,84
Desse modo o preço de 12 unidades é menor que de 10 unidades, ou seja, é mais
vantajoso comprar 12 unidades da barra de cereal.
Atividade 5
Aula expositiva - Representação algébrica, tabular e gráfica de algumas funções
(2 aula de 50 min)
Representação algébrica da função ƒ(x) = x+2
Representação tabular da função
ƒ(x) X
1 -1
2 0
3 1
4 2

Representação gráfica da função
Figura 2: Representação gráfica da função .
Imagem capturada da tela do software GeoGebra

Atividade 6
Construção dos gráficos das funções em papel milimetrado com a análise dos coeficientes. (2
aulas de 50 min)
Algumas funções
a)
b)
c)
d)
e)
Atividade 7
Construção dos gráficos das funções com o software GeoGebra e resposta ao questionário
fornecido (3 aulas de 50 min)
Nesta etapa os alunos deverão inicialmente plotar os gráficos das funções anteriores no
software GeoGebra e comparar com as suas construções feitas em papel milimetrado e
responder se os gráficos são correspondentes. Caso as construções sejam diferentes das
exibidas no software deverão analisar o que pode ter ocorrido (possíveis erros) para a
incompatibilidade.
Nesta mesma etapa, deverão criar um controle deslizante com a ferramenta Controle
do software GeoGebra e relacioná-la a cada um dos coeficientes da função e
anotar o que acontece com o gráfico quando movemos o controle deslizante.
Nome atribuído ao controle deslizante = a; correspondente ao coeficiente angular da
função.
Nome atribuído ao controle deslizante = b; correspondente ao coeficiente linear da
função.
Questões: O que ocorre com o gráfico da função quando modificamos o coeficiente
angular? O que ocorre com o gráfico da função quando modificamos o coeficiente linear?
Qual o comportamento do gráfico quando o coeficiente angular é 0? E quando o coeficiente
linear é igual a 0? O que acontece com o gráfico quando o coeficiente angular é -1 e 1? Quais

os valores de x e y quando o coeficiente angular é igual a 2 e o coeficiente angular é igual a 3?
E quando o coeficiente angular é igual a -2 e o coeficiente angular é igual a -3?
Figura 3: Gráfico da função com valores dos coeficientes atrelados ao controle
deslizante do GeoGebra. Imagem capturada da tela.
Os estudantes deverão salvar as suas construções em pen drive fornecido pelo professor.
Atividade 8
Nesta etapa será retomado o problema da Atividade 2 onde iremos plotar os gráficos
que relacionam o valor pago pelo produto com a quantidade. (1 aula de 50 min)

R$0,57, verifique se é mais vantajoso comprar 10 ou 12 unidades.
{ }
ƒ(10) = 0,69 • 10 = 6,90
ƒ(12) = 0,57 • 12 = 6,84
A imagem a seguir mostra a construção do gráfico da função definida pelas duas
sentenças. Os pontos A e B confirmam os valores pagos para a quantia de 10 e 12 barras de
cereais.
Figura 4: Gráfico da função { } Imagem capturada da tela.

Atividade 9
Atividade de avaliação: construção de modelo de função para problema contextualizado. (2
aulas de 50 min)
Os alunos deverão modelar uma função para o problema a seguir:
Quando um tanque continha 10 L de água, foi aberta uma torneira com vazão
constante. Vinte e quatro segundos depois, o tanque atingiu sua capacidade total, que é de 40
L. Em cada ponto P(x, y) do segmento de reta representado no plano cartesiano a seguir, a
abscissa x é o tempo, em segundo, necessário para que o total de água no tanque seja y litros.
a) Obtenha uma expressão que relacione x e y.
Resposta: y = 1,25x + 10. Espera-se que atribuindo os valores da questão anterior o
aluno consiga plotar a equação no GeoGebra e analisar o comportamento do gráfico.
b) Quanto tempo ficou aberta a torneira para que o tanque atingisse 20 L?
Resposta: 8 segundos
Observando o gráfico vemos que se no tanque havia 10 L foram preenchidos 30 L em
24 s. Espera-se que o aluno observe que a vazão é 30/24 = 1,25. Para atingir 20 L, só
precisará prencher mais 10, será 1/3 de 24 seg.
Para confirmar a sua resposta basta que substitua f(x) na caixa de entrada do
GeoGebra por 20 e sua expressão ficará .

Figura 5: Imagem capturada da tela.

Figura 6: Imagem capturada da tela.

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