Projeto didático

Funções Exponenciais e Funções LogarítmicasLEM
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APARECIDA FERREIRA SILVA
FERNANDO CARDOSO DE MENEZES
MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS
UMA PROPOSTA DE ENSINO A RESPEITO DAS
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE RECURSOS
DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS E DE RECURSOS
TECNOLÓGICOS
Atividade apresentada à Universidade Federal de
Sergipe, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia,
Departamento de Matemática, como um dos pré-
requisitos para a conclusão da disciplina Laboratório de
Ensino de Matemática.
Orientadora: Professora Rita de Cássia Pistóia Mariani
SÃO CRISTÓVÃO
2013

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INTRODUÇÃO
As abordagens recentes das questões de ensino e aprendizagem, no que diz
respeito à aquisição de conhecimentos matemáticos, têm sido marcadas por críticas feitas
aos conteúdos ensinados com base na ideia de “transmissão” em oposição à “construção”
de conhecimento. Isso nos leva a indagar: será que a transmissão de conteúdos é o único
meio de mediar o conhecimento? Ou melhor, será que esse é o objetivo de quem resolveu
abraçar essa prática?
Essas perguntas nos levam a pensar a respeito de como trabalhar com a
Matemática para que não entremos nesse mesmo contexto de transmissor de conteúdo.
Assim, através de teorias como as de D’AMBROSIO (1998), BIEMBENGUT (1999),
LORENZATO (2006), MIGUEL e MIORIM (2005), ONUCHIC (2008), e outros da área
da Educação Matemática, percebe-se que existem metodologias que possibilitam uma
construção dos conhecimentos matemáticos diferenciando o ensino em sala de aula, e
deixando o professor não mais, apenas, como detentor do conhecimento, mas como
mediador e aprendiz; e os alunos passam a ser construtor dos conhecimentos que
contribuirão em sua atuação como cidadão.
Devido a essa forma de se trabalhar com os conteúdos matemáticos, fazendo
uso apenas da transmissão como metodologia, surgiu à necessidade da elaboração desse
Projeto Didático com o intuito de fazer com que os alunos do 1º ano do ensino médio
possam construir os conhecimentos a respeito dos assuntos exponenciais e logaritmos.
Assim, esse projeto será uma alternativa de sequências didáticas as quais
enfatizam a construção do conhecimento por meio da Modelagem Matemática e das
Tecnologias da Informação e Comunicação – (TIC) no ensino das Funções Exponenciais e
Logarítmicas.
Segundo Borba e Penteado
Os estudos sobre as implicações do uso de tecnologia informática para a prática
docente apontam para a necessidade de ações que forneçam estímulo e suporte
para que o professor consiga lidar com as incertezas e imprevisibilidades de um
ambiente informatizado. O uso de TICs exige movimento constante, por parte do
professor, para áreas desconhecidas. É preciso atuar numa zona de risco, onde a
perda de controle é algo que ocorre constantemente. Além dos problemas
técnicos que freqüentemente perturbam o andamento das atividades propostas,
há as perguntas imprevisíveis que, para grande parte dos professores, são a parte
mais difícil de lidar na interação com os alunos. (BORBA e PENTEADO, 2002,
p. 248.)
Não adianta termos o computador à disposição, se não soubermos como utilizá-
lo e, ainda, o professor tem que se preparar quando for utilizar um software, no sentido de
conhecer suas interfaces e estar aberto a aprender com o aluno, pois existe uma troca
muito grande entre professor e aluno, quando se utiliza uma ferramenta tão vasta como é o
computador.
Assim, mesmo quando o professor utiliza o computador para ministrar
conteúdos específicos da disciplina, ele necessita estar atento para perceber se está
utilizando o computador apenas para transmitir o conteúdo já desenvolvido - uma literatura
qualquer da internet, por exemplo, que retoma aquilo que já foi trabalhado por ele num

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outro momento - ou se está utilizando o computador para construir o conhecimento com o
aluno, orientando-o durante o processo, fazendo assim a contextualização desses
conteúdos.
De acordo com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – (PCN+, 2002), faz-se necessário uso da
contextualização para que os conhecimentos matemáticos possam ser mediados, e segundo
Jurkiewicz e Fridemann (2007).
O mundo circundante, com seus problemas e fenômenos, é uma das fontes de
criação do desenvolvimento da Matemática. Para tratar-se matematicamente uma
situação há necessidade, em algumas fases do estudo, de transladar-se desse
mundo para uma realidade Matemática. Também existe o caso contrário: o
desenvolvimento de alguma teoria matemática pode servir como base para
explicar fenômenos que só são percebidos e/ou estudados tempos depois de a
teoria ser concebida. (JURKIEWICZ e FRIDEMANN, 2007, p.16)
Assim, o uso de situações que enfatize aspectos e investigação da vida real é o
ponto de partida para transformar as aulas de Matemática em um espaço de construção e
investigação dos problemas que permeiam a sociedade, para que se possam compreender
as teorias matemáticas não só através da abstração, mas tendo em vista as áreas do
conhecimento que fazem uso dos conteúdos construídos.
Deste modo, através do Art. 22 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional – LDBN Lei nº 9394/96, e principalmente do item que fala sobre o progresso no
trabalho e nos estudos posteriores, percebe-se a importância dessa contextualização por
parte das disciplinas, pois só assim os conteúdos acadêmicos terão uma maior ligação com
a realidade de quem os utilizam. Com isso as disciplinas precisam adequar-se a
problematizar os conhecimentos para que os discentes possam ser atuantes no processo de
ensino e aprendizagem.
As ciências Matemática, Física, Química e Biologia, segundo os (PCN+,
2002), “[...] são ciências que tem em comum a investigação da natureza e dos
desenvolvimentos tecnológicos, compartilham linguagens para a representação e
sistematização do conhecimento de fenômenos ou processos naturais e tecnológicos”
(BRASIL, 2002, p. 23). As características supracitadas evidenciam a possibilidade de se
trabalhar de forma interdisciplinar, não só entre essas áreas do conhecimento, fazendo uso
de metodologias que possam mediar os conhecimentos de forma contextualizada
favorecendo uma melhor articulação com os diferentes campos dos saberes específicos.
Segundo o Artigo 8, Parágrafo 2° das Diretrizes Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio – DCNEM (2012, p. 3.):
A organização por áreas de conhecimento não dilui nem exclui componentes
curriculares comespecificidades e saberes próprios construídos e sistematizados,
mas implica no fortalecimento das relações entre eles e a sua contextualização
para apreensão e intervenção na realidade, requerendo planejamento e execução
conjugados e cooperativos dos seus professores. (BRASIL, 2012, Art. 8,
Parágrafo 2º, p. 3.)
Segundo os (PCN+, 2002),
A articulação e o sentido dos conhecimentos devem ser garantidos já no ensino
médio, assim num mundo como o atual, de tão rápidas transformações e de tão
difíceis contradições, estar formado para a vida significa mais do que reproduzir

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dados, denominar classificações ou identificar símbolos. Significa: saber se
informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir; enfrentar problemas de
diferentes naturezas; participar socialmente, de forma prática e solidária; ser
capaz de elaborar críticas ou propostas e especialmente, adquirir uma atitude de
permanente aprendizado. (BRASIL, 2002, p. 9.).
É através desses significados que mostraremos como as tendências
metodológicas da Educação Matemática serão utilizadas nesse projeto didático e que
estarão ancoradas nos seguintes recursos didáticos: Torre de Hanói, nos Softwares
GeoGebra e no Editor de Planilhas. Estes recursos didáticos serão de grande importância
no decorrer das aulas, pois servirão como ponte mediadora entre os conhecimentos
matemáticos e os alunos, dando-lhes subsídio para assumirem o papel de agentes
responsáveis por problematizar, pesquisar, levantar conjecturas e chegar a resultados
satisfatórios percebendo a aplicabilidade dos conteúdos nas diversas áreas do
conhecimento. Com base nesses recursos didáticos, os assuntos serão problematizados e
apresentados aos educandos para que possam começar o processo de construção dos
conhecimentos matemáticos.
Assim, temos como meta orientar as aulas de Matemática sobre estudo das
funções exponenciais e logarítmicas, articulando os recursos didáticos as propriedades
inerentes as mesmas, para que se tenha uma visão concreta do comportamento dessas
funções e se chegue a um modelo matemático que esteja subordinado as suas propriedades.
É de grande valia o uso desses recursos didáticos para que os alunos possam atuar como
sujeito investigativo e chegar a conclusões a respeito dos conhecimentos matemáticos
sobre as funções exponenciais e logarítmicas, o que torna mais fácil a visualização do
comportamento dessas funções. Assim, o ensino estaria voltado ao universo vivencial dos
alunos o que aproxima a escola do mundo real. Para tal, o uso desses recursos didáticos
fará das aulas um espaço de construção e pesquisa a respeito dos saberes matemático.
PROBLEMÁTICA
A abordagem dos conteúdos matemáticos, em sua maioria, é realizada sem
interação com as outras áreas do conhecimento, de forma isolada, deixando os conteúdos
como algo dissociado.
Mas, apesar de toda essa dissociação, será que existe uma maneira de se
construir os conhecimentos a respeito da Função Exponencial e Logarítmica, com o apoio
dos recursos didáticos, e que possa mudar esse quadro nas aulas de Matemática?
Podemos abordar os conceitos de Função Exponencial e Logarítmica por meio
da aprendizagem com a utilização da Torre de Hanói fazendo uso da Modelagem
Matemática e com o uso dos Softwares GeoGebra e do Editor de Planilhas, a partir do uso
desses recursos didáticos o aluno poderá compreender o significado desses conteúdos
matemáticos, tendo como ponto de partida a resolução de problemas por meio da História
da Matemática e com a utilização de materiais manipuláveis.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA
TURMA: N1
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 01
TÍTULO: O Mistério que Envolve o Fim do Mundo!
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S):
 Potenciação.
 Noção de Exponencial.
ANO/SÉRIE: 1º Ano do Ensino Médio.
OBJETIVO(S):
 Construir um modelo Exponencial através da manipulação da Torre de Hanói.
 Confeccionar um modelo de Torre de Hanói utilizando EVA e cartolina.
 Conhecer o mistério por trás da Torre de Hanói.
 Compreender a importância da Exponencial para as outras áreas do conhecimento
como a Biologia e a economia, através do modelo construído por meio da Torre de
Hanói.
RECURSO(S):
Folha de papel com a lenda “Torre de Hanói”, EVA colorido, tesoura, régua, caneta ou
lápis, folha de papel com o protótipo da Torre de Hanói, folha de papel A4 para montar a
tabela e atividade impressa com situações-problemas.
PROCEDIMENTOS:
Em uma turma de 1ª ano do Ensino Médio, o educador pede que formem trios e
entrega uma folha com a lenda “A Torre de Hanói” e pede que eles façam a leitura.
A TORRE DE HANÓI
Segundo um mito indiano, o centro do mundo está sob a cúpula do templo de
Benares. Nele, há uma placa de latão onde estão fixadas três agulhas de diamantes. Ao
criar o mundo, Brahma colocou, em uma dessas agulhas, sessenta e quatro discos de ouro
puro de tamanhos diferentes, estando o maior junto à placa e o menor no topo. É a Torre de
Brahma. Seguindo as imutáveis leis de Brahma, os sacerdotes do templo mudam os discos
de uma agulha para outra, dia e noite, sem cessar, e cada sacerdote move apenas um disco
por vez, sem nunca colocar um sobre outro menor. Quando os sessenta e quatro discos

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tiverem sido transferidos de uma agulha para outra, a Torre, o templo e os sacerdotes serão
transformados em pó, e o mundo desaparecerá com um trovão.
Após, cada trio irá falar o que entendeu sobre a lenda e irão confeccionar o
jogo da Torre de Hanói, seguindo as orientações do professor. Para essa atividade cada trio
receberá pedaços de EVA, tesoura, régua, caneta ou lápis e uma folha representando o
protótipo dos pinos da Torre de Hanói onde serão colocadas as peças.
PROTÓTIPO
Com esses materiais os alunos deverão, com base no tamanho do quadrado do
protótipo, desenhar no EVA, com o auxílio da régua, cinco quadrados com os lados
diferindo de um centímetro e meio de comprimento e recortá-los com a tesoura. Com os
quadrados prontos os educandos deverão enumerá-los do menor para o maior e empilhá-los
no primeiro quadrado do protótipo em ordem decrescente, onde o menor ficará no topo. O
docente falará que esse jogo seguirá as mesmas regras da lenda que eles tinham lido, ou
seja, só será permitido mover um quadrado de cada vez e sem colocar um maior em cima
de um menor, com o objetivo de mover todas as peças para outra base. Assim os alunos
começam a jogar.
Em seguida, o professor entrega uma folha A4 aos trios para que eles
construam uma tabela para anotar a quantidade de movimentos feitos para conseguir passar
todos os quadrados para a outra marcação do protótipo e marcar a quantidade de
movimentos de cada peça do jogo, seguindo as mesmas regras da lenda linda no início da
aula.

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MODELO DE TABELA QUE DEVERÁ SER CONSTRUÍDA PELOS ALUNOS
Quantidade de discos
da torre
Quantidade de movimentos de cada peça Total de
movimentosPeça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5
Após, transcorridas algumas partidas o educador pede que eles comecem a
jogar com apenas um quadrado e anote quantos movimentos foram necessários, isso será
feito aumentando uma peça a cada partida. Com a tabela preenchida, os alunos deverão
analisá-la e encontrar um modelo matemático que satisfaça a quantidade de movimentos
mínimos para passar todos os n quadrados para outra base do protótipo.
O educador deverá agir como um mediador do conhecimento conduzindo os
educandos por caminhos cabíveis para chegar aos resultados corretos, mas isso, sem
necessariamente, falar o resultado a ser encontrado.
Com o modelo pronto, os discentes deverão mostrar quais caminhos foram
seguidos e justificar com argumentos fundáveis e matemáticos que esse modelo servirá
para quaisquer quantidades de peças no jogo.
Com base no modelo encontrado, o professor falará que esse tipo de expressão
é conhecido como Exponencial e que é de grande importância na Biologia, na Informática,
na Economia e entre outras áreas. Para mostrar a atuação desse tipo de modelo matemático
em outras áreas do conhecimento são entregue aos alunos uma atividade impressa
contendo algumas situações-problemas para que eles possam resolvê-las com base nos
conhecimentos adquiridos sobre exponencial. Se os alunos não conseguirem responder, ela
será deixada para as futuras aulas, onde os conhecimentos já estarão mais esclarecidos.
SITUAÇÕES-PROBLEMAS
1ª) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais.
Suponha que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras
bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?
c) Encontre um modelo matemático para calcular a população de bactérias em n
horas.
2ª) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + 𝛼3 𝛽𝑡
,
onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é
a temperatura ambiente, suposta constante, e 𝛼 e 𝛽 são constantes. O referido corpo foi
colocado em um congelador com temperatura de – 18 °C. Um termômetro no corpo
indicou que ele atinge 0 °C após 90 minutos e chegou a – 16 °C após 270 minutos.

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a) Encontre os valores numéricos das constantes 𝛼 e 𝛽.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas
(
2
3
) ºC superior à temperatura ambiente.
3ª) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em
que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um
observador por meio do seguinte modelo matemático.
h(t) = 4t – t.20,2-t,
com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. Qual o intervalo de tempo, em segundos,
em que o golfinho esteve fora da água durante este salto?
4ª) Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são
creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que o montante é igual ao capital mais o
juro, determine:
a) A função que permite encontrar o montante M dessa aplicação após x meses;
b) O montante após um ano;
c) O rendimento (juros) no primeiro ano.
Após, terminarem de resolver as situações-problemas os discentes são
orientados a apresentar as maneiras como conseguiram chegar aos resultados.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
COSTA. A. Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio.
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf.
Acesso em 26 de jan. de 2013.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa: 1ª série do
Ensino Médio. 2ª ed. renov. São Paulo: FTD, 2005. p. 224-242.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio: Volume 1. 6ª ed.
São Paulo: Saraiva, 2010.

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TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 02
TÍTULO DA AULA: Modelonencial.
 Definição de Função Exponencial.
 Propriedades das Funções Exponenciais.
 Representação Gráfica de Funções Exponenciais.
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio.
OBJETIVO(S):
 Construir modelos matemáticos através da análise do comportamento de
determinada situação-problema e através da utilização de materiais manipuláveis
como recorte de papel.
 Compreender a definição e as propriedades das funções exponenciais através de
situações-problemas, do estudo de tabelas, da análise gráfica e da construção de
modelos matemáticos por meio das conclusões a respeito do estudo das tabelas,
gráficos e das situações-problemas.
RECURSOS:
Atividade impressa com situações-problemas, régua, papel colorido, papel milimetrado,
tesoura, sala de aula e atividade impressa.
PROCEDIMENTOS:
Ao entrar na sala, o educador pede que os alunos se organizem em dez grupos
com três componentes. Cada grupo receberá uma atividade contendo duas situações-
problemas, régua, papel colorido, papel milimetrado, papel A4 e tesoura.
ATIVIDADE 01
1ª Situação-Problema:
Um biólogo acompanha o crescimento da folha com forma circular de uma planta aquática

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(Vitória-Régia, típica da região amazônica). Durante suas observações, percebeu que a
cada mês o diâmetro da folha da planta triplicava. Se no início das suas observações o
biólogo mediu a folha e obteve 1 centímetro de diâmetro, qual será o diâmetro que ela terá
ao final de prazo máximo de sobrevivência, que é de quatro meses? Construa uma tabela
que represente o aumento do diâmetro da folha da planta em função do tempo. Através
dessa tabela construa um modelo matemático que satisfaça esses resultados para um tempo
indeterminado. Com o modelo pronto, construa o gráfico do diâmetro em função do tempo
para esse modelo matemático no papel milimetrado.
2ª Situação-Problema:
Dado um quadrado de lado 1 cm, são construídos outros quadrados de modo que, a partir
do segundo quadrado, os pontos médios dos lados de cada um deles sejam os vértices do
quadrado anterior. Veja a figura ao lado:
Utilizando os papeis coloridos, para construir quadrados com cores
diferentes, régua e tesoura, descubra, desconsiderando o primeiro
quadrado, qual é a área do quinto quadrado construído? Crie uma
tabela para mostrar o crescimento das áreas dos quadrados recortados
e através dela encontrar um modelo matemático que possa ser usado
para encontrar a área do n-ésimo quadrado. Por meio do modelo, construa em uma folha de
papel milimetrado, o gráfico que representa esse modelo matemático.
Através das duas situações-problemas será pedido aos alunos que expliquem
suas semelhanças, encontre pontos em que a representação gráfica dos modelos
matemáticos permaneça constante e valores que os anulam. Explique por que isso
acontece.
Após responder as duas atividades, os grupos explicarão como encontrar as
respostas e a justificativa dada ao comportamento dos modelos matemáticos encontrados.
Através das respostas o professor fará questionamentos a respeito dos pontos em que os
modelos ficaram constantes e quando se anularam; e a partir dessa discussão será
construída a definição de Função Exponencial, que consiste em uma função f, de em
, que a cada número x associa o número ax
, em que a ∈ R, 0 < a ≠ 1.
ƒ : ℝ → ℝ
x→ƒ(x) = ax
Ao término das apresentações dos resultados, o docente pedirá que os trios
multipliquem os valores que ocupam as mesmas posições em cada tabela e encontre um
comportamento comum a ambos, depois multiplique os modelos das duas situações-
problemas por elas mesmas e estudem o seu comportamento. Após os educandos deverão
repetir todo o processo novamente, só que dessa vez no lugar de multiplicar deve-se
dividir; depois elevando a uma potência qualquer; radiciando o modelo; e elevando-o a um
expoente negativo.
Através da análise do gráfico, os trios deverão testar o seu comportamento se
0 < 𝑎 < 1, e explicar o que aconteceu e o porquê desse comportamento. Cada grupo

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deverá expor suas argumentações para a turma. Após, será entregue, aos discentes, uma
atividade impressa contendo três questões sobre os conhecimentos construídos.
ATIVIDADE 02
1ª) Analise as funções e determine seus domínios, suas imagens e os intervalos onde são
crescentes ou decrescentes. Depois, desenhe o gráfico de cada uma.
a) 𝑓( 𝑥) = (
1
4
)
𝑥
b) 𝑓( 𝑥) = −2 + 5 𝑥
2ª) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou
com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias seja nula. Os
resultados obtidos na primeira hora são:
Tempo decorrido (min) Número de bactérias
0 100
20 200
40 400
60 800
Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem,
após quatro horas do início do experimento, de quanto será a população de bactéria?
Construa um modelo matemático para encontrar o valor depois de decorridas n horas.
3ª) Em um depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo
tempo é dado pela fórmula 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡) 𝑛
, em que C representa o capital acumulado, D o
valor do depósito, t a taxa de juros ao ano e n o número de anos. Supõe-se que, ao final de
cada ano, os juros capitalizados sejam sempre acumulados ao depósito.
a) Para um depósito de R$ 2000,00, a uma taxa de 12% ao ano, qual o capital
acumulado ao fim de um ano? Calcule também o capital acumulado ao fim de cinco
anos, de dez anos e de vinte anos. (Lembre-se que 12% =
12
100
= 0,12.)
b) Se a taxa fosse de 9% ao ano, qual seria o capital acumulado nos mesmos períodos
de tempo?
c) Construa em papel milimetrado usando régua, em um mesmo sistema cartesiano, os
gráficos que mostram a variação do capital em função de n nos itens a e b.
d) Para um depósito de R$ 1000,00, à taxa de 10,5% ao ano, durante quantos anos o
capital será menor ou igual a R$ 5000,00? (Se precisar use a calculadora para
resolver.)
Após, os alunos terminarem de resolver a Atividade 02, o educador fará
questionamentos sobre o que os discentes conseguiram compreender a respeito das
Funções Exponenciais e anotará na lousa as respostas dos questionamentos, e explicará
formalmente esses conceitos, após, será pedido que os alunos anotem no caderno os
tópicos que foram escritos no quadro para servir como modelo de resumo para estudar o
assunto trabalhado na aula.

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Definição de Exponencial
A função 𝑓, de ℝ em ℝ, que a cada número x associa o número 𝑎 𝑥
, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1,
é denominada função exponencial de base 𝑎.
ƒ : ℝ → ℝ
x→ƒ(x) = ax
, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Propriedades da Função Exponencial
A função exponencial 𝑦 = 𝑎 𝑥
, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é a extensão para todos os valores da
x da potência 𝑎 𝑟
, com 𝑟 ∈ ℚ . Disso decorre que todas as propriedades das potências
valem para a função exponencial 𝑦 = 𝑎 𝑥
, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Assim, para quaisquer valores de 𝑚 e 𝑛 reais, temos:
1) 𝑎 𝑚
. 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
2) 𝑎 𝑚
÷ 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
, 𝑎 ≠ 0
3) ( 𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚.𝑛
4) √ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ 𝑛 > 1⁄
5) 𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛, 𝑎 ≠ 0
Além dessas propriedades, vale lembrar que:
6) 𝑎0
= 1
7) Se 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛
apenas se 𝑚 = 𝑛.
Gráfico Cartesiano de Função Exponencial
O Gráfico cartesiano de uma função exponencial 𝑓 da base 𝑎, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, e de
domínio ℝ.
 Está acima Ox, pois 𝑎 𝑥
> 0 pata todo 𝑥 ∈ ℝ;
 Tem 𝐼𝑚( 𝑓) = ℝ+
∗
, e corta Oy em (0,1), pois 𝑎0
= 1;
 Apresenta um destes aspectos:
𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1
Função Crescente em ℝ Função decrescente em ℝ

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TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 03
TÍTULO DA AULA:Dançando no Plano Cartesiano.
CONTEÚDO:
 Propriedades das Funções Exponenciais.
 Imagens e Gráficos de Funções Exponenciais.
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio
OBJETIVO(S):
 Compreender o comportamento do gráfico de funções exponenciais e como ocorre o seu
deslocamento nos eixos do plano cartesiano através da observação dos mesmos no software
GeoGebra.
 Identificar através de gráficos feitos no GeoGebra o domínio, imagem e contradomínio das
funções exponenciais através da manipulação desse software.
RECURSOS:
Laboratório de Informática, software GeoGebra, projetor multimídia, papel milimetrado,
régua, atividade impressa,
PROCEDIMENTOS:
A aula será iniciada com a organização da turma em quinze duplas, assim serão
convidadas a se deslocarem até o laboratório de informática da escola. Ao chegar ao
laboratório e cada dupla se organizar em um computador, deverão abrir o software
GeoGebra, com o programa executado o professor apresentará, com auxilio do data show,
as ferramentas desse software que serão usadas na aula, (mover, ponto novo, intersecção
entre dois objetos, ponto médio, reta perpendicular, circunferência com centro fixo, ângulo,
entrada de comandos, entre outras) e mostrará como introduzir uma função para construir
gráficos nesse programa.
Após, ter apresentado as ferramentas que serão utilizadas na aula, os discentes
receberão papel milimetrado, régua e a seguinte atividade impressa:

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ATIVIDADE 01
Na folha de papel milimetrado esboce os gráficos das seguintes funções exponenciais:
𝑓(𝑥) = 2 𝑥
e 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
Após terem esboçados os gráficos dessas funções, devem analisar o comportamento
referente ao crescimento e decrescimento. Em sequência deverão apresentá-las para os
demais colegas da turma.
Assim, o docente solicita que os alunos insiram através da entrada de comando
do software as duas funções que foram usadas e comparem a plotagem com o esboço feito
no papel milimetrado. Em seguida deverão construir no GeoGebra o gráfico de funções do
tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, onde 0 < 𝑎 < 1, ou seja, 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 < 1, e observar o comportamento
dessas funções.
Com a construção desses gráficos, os alunos deverão resolver os seguintes
questionamentos:
1) O que se pode concluir a respeito do comportamento do gráfico de uma
função 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
se 0 < 𝑎 < 1? Justifique sua resposta.
2) Em qual ponto essas funções interceptam o eixo y? Esse fato ocorre em
todas as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
?
3) Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 1 𝑥
. Essa função pode ser chamada de
exponencial? Justifique sua resposta.
4) Observe as funções que vocês construíram por meio do GeoGebra, escreva
qual é o domínio, o conjunto imagem e o contradomínio delas.
Após concluírem a Atividade 01, o docente pedirá que os alunos insiram as
seguintes funções: 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑥
+ 𝑏, 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑥
− 𝑏 , 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑥+𝑏
, 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑥−𝑏
, 𝑓( 𝑥) =
𝑏. 𝑎 𝑥
, com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, através delas, os discentes deverão identificar:
1) Quais as diferenças que há entre esses gráficos?
2) O que ocorre com o gráfico dessas funções quando os valores de 𝑎 𝑒 𝑏 aumentam e
quando diminuem?
3) Através dessa análise o que se pode concluir a respeito desses tipos de funções
exponenciais? Registre suas conclusões.
Cada dupla mostrará os seus resultados para a turma, podendo fazer uso do
quadro, giz, projetor multimídia ou outro recurso que o educando achar necessário; e
através desta exposição será aberto um debate a respeito do comportamento dos gráficos
das funções exponenciais e será pedido que os alunos identifiquem seu domínio, imagem e
contradomínio.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio: Volume 1. 6ª Ed.

15
TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 04
TÍTULO: O Mundo dos Logaritmos
 Conceitos históricos dos Logaritmos (Século XVII).
 Definição dos Logaritmos.
OBJETIVO(S):
 Conhecer o contexto histórico a respeito da origem dos logaritmos e suas
aplicações por meio de um caça-palavras sobre a historia dos logaritmos.
 Identificar, compreender e aplicar as propriedades da definição dos logaritmos, com
vista à resolução de situação-problema.
RECURSOS:
Projetor multimídia, computador, software PowerPoint, quadro e giz.
PROCEDIMENTOS:
A aula será iniciada com a organização da turma em nove grupos com três
integrantes, assim que formados, será entregue a cada um dos grupos uma folha A4
impressa que estar uma tabela com onze palavras formando um caça-palavras e os alunos
não saberão ao que elas se referem, sendo que elas compõem à história dos logaritmos, o
primeiro grupo que encontrar todas as palavras deverá expô-las no quadro.
F M A T E M A T I C A
P D G L B A T D L V F
M O N A P I E R H J L
K A T A C A L C U L O
T L G E V V C G K X G
A E B F N E L N O P A
B R B A H C G E D D R
U T D G S G I A Z S I
A S G H P E A C T
I E X P O E N T E A M
O K T E R R E M O T O
1. _______________
2. _______________
3. _______________
4. _______________
5. _______________
6. _______________
7. _______________
8. _______________
9. _______________
10. ______________
11. ______________

16
Em seguida, através das palavras no quadro e com o auxilio de um projetor
multimídia o professor abordará o conteúdo dos logaritmos ressaltando os motivos que
levaram a criação dos logaritmos, as aplicações que se faziam antigamente e as que se
fazem hoje.
Após ser apresentada a história dos logaritmos será entregue para os grupos
uma folha A4 contendo a seguinte atividade:
ATIVIDADE 01
O matemático alemão Michael Stifel (1487-1567) construiu um quadro de
potências de base 2, conforme a tabela abaixo.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∙∙∙
2 𝑛
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ∙∙∙
1) Efetue as seguintes multiplicações:
(a) 4 x 16 =
(b) 16 x 128 =
(c) 32 x 512 =
Qual é a relação entre os resultados das multiplicações com a tabela
acima? Justifique.
2) Efetue as seguintes divisões:
(a) 2048 : 128 =
(b) 256 : 16 =
(c) 4096 : 64 =
Qual é a relação entre os resultados das divisões com a tabela acima?
Justifique.
Em seguida, assim que os grupos justificarem qual é a relação entre os
resultados das multiplicações e divisões com a tabela, apresentarão seus resultados a turma,
abrindo assim um debate entre eles. Após este debate, o docente conduzirá a aula
mostrando como Michael Stifel conseguiu verificar este fato.
A partir do livro Arithmetica Integra de Michael Stifel, Jhon Napier (1550-
1617) comparou as seguintes sequências numéricas:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∙∙∙
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ∙∙∙
Com base nessa sequência, para calcular 16 x 64, bastava somar os números
correspondentes a 16 e a 64 na linha de cima (4 + 6 = 10). O resultado da multiplicação
era o número correspondente a 10 na linha debaixo, ou seja, 1024. Assim 16 x 64 = 1024.
Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números da primeira
linha. Simples, não?
Isso valia também para a divisão.
Para calcular 512÷32, basta subtrair os números correspondentes a 512 e a 32

17
na linha de cima. Como 9 – 5 = 4, o resultado da divisão era o número que correspondia a
4 na linha debaixo, isto é, 16. Daí, 512÷32 = 16.
Hoje, com o conhecimento sobre potências, é fácil encontrar uma explicação
para a relação entre as sequências:
24
𝑥26
= 24+6
= 210
e 29
:25
= 29−5
= 24
Essa linguagem, no entanto, não existia naquela época. Ela é creditada a René
Descartes (1596-1650), francês que a descobriu por volta de 1637. Jhon Napier e Jost
Bürgi (1552-1632) percebendo que as sequências facilitavam os cálculos fizeram nascer
às tabuas dos logaritmos.
A partir das sequências de Stifel e dos conhecimentos sobre potenciação,
elaborem um gráfico com respeito à tabela de Stifel até n = 6, e verifique o que acontece
com este gráfico.
Com isso percebe-se que a função é crescente para valores maiores que zero
assim teria:
2 𝑥
= 1 → 2 𝑥
= 20
⇒ 𝑥 = 0
2 𝑥
= 2 → 2 𝑥
= 21
⇒ 𝑥 = 1
2 𝑥
= 4 → 2 𝑥
= 22
⇒ 𝑥 = 2
2 𝑥
= 8 → 2 𝑥
= 23
⇒ 𝑥 = 3
2 𝑥
= 16 → 2 𝑥
= 24
⇒ 𝑥 = 4
2 𝑥
= 32 → 2 𝑥
= 25
⇒ 𝑥 = 5
...
Foi através de equações exponenciais deste tipo que Napier, notou que para
achar o valor correspondente a x, bastava calcular o logaritmo de um número positivo b na
base a e o resultado seria o valor de x, assim foi definido que:
O Logaritmo de um número positivo b na base a, tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, é o
expoente da potência à qual se deve elevar a para se obter b.
Se 𝑏 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, então log 𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥
= 𝑏
Na igualdade log 𝑎 𝑏 = 𝑥, temos que:
a é a base do logaritmo;
b é o logaritmando;
x é o logaritmo de b na base a.
As restrições impostas à base do logaritmo ( 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0) provém das
condições sobre a função exponencial e garantem que o logaritmo exista e seja único.
A restrição de 𝑏 > 0 é porque 𝑎 𝑥
> 0 para todo valor de 𝑥 ∈ R. Dessa forma,
temos também uma condição de existência o logaritmando que é 𝑏 > 0.
Em seguida, os grupos receberão a seguinte atividade sobre logaritmos:
ATIVIDADE 02

18
1) Calcule os logaritmos na base 5 destes números.
a) 5 c)
1
5
b) 25 d) 625
2) Calcule.
a) log2 256 d) log2
3
729
64
b) log1
3
243 e) log2√2 32
c) log5
3
27
125
f) log10 0,0001
3) Calcule o valor de x.
a) log5 𝑥 =
4
3
c) log 𝑥 8 = 2
b) log4(2𝑥 − 1) =
1
2
d) log 𝑥 5 =
1
2
4) Calcule o valor de.
a) 52+log5 2
+ 32−log3 2
b) 10log5 2
∙ 3log10 5
Assim devem calcular esses logaritmos selecionados pelo docente, onde têm
logaritmos simples de se resolver e outros mais complexos, os quais precisariam das
propriedades da definição dos logaritmos. Ao perguntar se todos conseguiram efetuar os
cálculos será explicado conforme as respostas deles o porquê de tal dificuldade para
calcular esses outros logaritmos, as quais seriam necessárias conhecer as propriedades
decorrentes da definição dos logaritmos.
Sejam a, b e c números positivos, com 𝑎 ≠ 1, e m um número real, temos que:
1 log 𝑎 1 = 0, pois 𝑎0
= 1.
2 Da relação log 𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥
= 𝑏, podemos escrever a
log 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑒 log 𝑎 𝑎 𝑥
= 𝑥
3 log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐
Aplicando a definição de logaritmo e a propriedade 2 em log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐
temos: 𝑏 = 𝑎log 𝑎 𝑏
= 𝑎log 𝑎 𝑐
= 𝑐, então, 𝑏 = 𝑐.

19
Com essa definição os alunos são convidados a retomarem a atividade anterior
para aplicar as propriedades nas questões que não conseguiram resolver. Após encontrarem
as soluções o docente pergunta se eles tiveram dificuldade em aplicá-las e será deixada
uma atividade sobre aplicação da definição dos logaritmos e as propriedades da definição
dos logaritmos.
ATIVIDADE 03
1) Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para
indicar a resposta.
(a) (
2
5
)
𝑥
=
8
125
(b) (
1
3
)
𝑥
= 27
(c) 32 𝑥
= 16
(d) 8 𝑥
= 4
2) Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para
indicar a resposta.
3) Responda as questões.
(a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base?
(b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
4) Determine x para que estejam definidos:
(a) log2(2𝑥 − 1)
(b) log5(−4𝑥 + 8)
(c) log3−𝑥( 𝑥 − 1)
(d) log 𝑥−2(−2𝑥 + 8)
5) (UFRJ – 2008) Dados a e b números reais positivos, 𝑏 ≠ 1, define-se
logaritmo de a na base b como número real x tal que 𝑏 𝑥
= 𝑎, ou seja,
log 𝑏 𝑎 = 𝑥. Para 𝛼 ≠ 1, um número real positivo, a tabela a seguir fornece
valores aproximados para 𝛼 𝑥
e 𝛼−𝑥
. Com base nesta tabela, determine
uma boa aproximação para:
(a) O valor de 𝛼.
(b) O valor de log 𝛼
1
10
.
x 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
𝛼 𝑥 6,250 6,850 7,507 8,227 9,017 9,882 10,830 11,870 13,009 14,257 15,625
𝛼−𝑥 0,160 0,146 0,133 0,122 0,111 0,101 0,092 0,084 0,077 0,070 0,064

20
TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 05
TÍTULO: Modelando o Saber Matemático sobre os Logaritmos.
 Propriedades operatórias dos Logaritmos.
 Logaritmos decimais.
 Mudança de base dos Logaritmos.
OBJETIVO(S):
 Construir um modelo das propriedades operatórias dos logaritmos através do Editor
de Planilhas.
 Identificar e aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos, por meio de
atividades didáticas.
 Conhecer e diferenciar os logaritmos decimais dos logaritmos em outras bases,
através da resolução de situação-problema.
 Conhecer, identificar e aplicar a mudança de base para desenvolver logaritmos com
base diferentes em base decimais.
RECURSOS:
Projetor multimídia, computador, software Editor de Planilhas e a calculadora.
PROCEDIMENTOS:
O professor iniciará a aula, solicitando que os alunos se desloquem até o
laboratório e que eles se organizem em 15 duplas. Ao ligarem os computadores, os
discentes abrirão o programa Editor de Planilhas.
Com o projetor multimídia, o docente irá apresentar as ferramentas que poderá
ser usadas no decorrer da aula (Barra de menus, Barra de ferramentas, Referência da célula
selecionada, Janela de pastas de trabalho, Barra de status, Barra de fórmulas, Barra de
ferramentas desenho, Guias de Planilhas; Linha, Coluna, Célula, Célula ativa, Endereço da
Célula, Intervalo de células):

21
Mostrará como construir uma tabela, como introduzir dados nela, como inserir
fórmulas matemáticas, como mudar a cor da fonte, como alterar a cor do plano de fundo
das células, como inserir um gráfico através dos dados já obtidos na planilha, entre outras
que podem surgir como dúvidas para o aluno.
Operador Nome Exemplo Resultado
+ Adição =1+1 2
- Subtração =2-1 1
* Multiplicação =7*9 63
/ Divisão =10/2 5
% Porcentagem =15% 15,00%
^ Exponenciação =3^2 9
= Igual =8=8 Verdadeiro
> Maior que =7>9 Falso
< Menor que =5<6 Verdadeiro
>= Maior que ou igual a =3>=4 Falso
<= Menor que ou igual a =42<=63 Verdadeiro
< > Diferente de =6< >4 Verdadeiro
Após esta apresentação será entregue uma atividade que os alunos deverão
desenvolver o Editor de Planilhas, o docente deverá atuar como observador e mediador do
conhecimento.
Cada dupla deverá montar em seus referentes computadores a seguinte tabela:
𝑛 log 𝑛 log( 𝑛) + log( 𝑛 + 1) log( 𝑛) − log( 𝑛 + 1) log( 𝑛) 𝑛+1
log[( 𝑛) ∙ ( 𝑛 + 1)] log (
𝑛
𝑛 + 1
) ( 𝑛 + 1) ∙ log 𝑛
1 log 1 log(1) + log(2) log(1) − log(2) log(1)2
log[(1) ∙ (2)] log(1
2⁄ ) (2) ∙ log 1
log[(2) ∙ (3)] log(2
3⁄ ) (3) ∙ log 2
log[(3) ∙ (4)] log(3
4⁄ ) (4) ∙ log 3
log[(4) ∙ (5)] log(4
5⁄ ) (5) ∙ log 4
log[(5) ∙ (6)] log(5
6⁄ ) (6) ∙ log 5
log[(6) ∙ (7)] log(6
7⁄ ) (7) ∙ log 6
log[(7) ∙ (8)] log(7
8⁄ ) (8) ∙ log 7
log[(8) ∙ (9)] log(8
9⁄ ) (9) ∙ log 8
log[(9) ∙ (10)] log(9
10⁄ ) (10) ∙ log 9
10 log 10
Após terem finalizado esta primeira etapa que era construir a tabela, eles
deverão analisar os resultados e daí estabelecer algumas conclusões sobre estes logaritmos
que seja convincente, caso queira relacionar os valores iguais poderão colorir com cores
iguais o plano de fundo de cada coluna. Desta forma ao comparar os resultados deverão
montar um modelo matemático para as propriedades operatórias dos logaritmos. Assim os
modelos que poderão ser encontrados seriam:

22
𝐥𝐨𝐠[( 𝟏) ∙ ( 𝟐)] = 𝐥𝐨𝐠( 𝟏) + 𝐥𝐨𝐠( 𝟐)
𝐥𝐨𝐠( 𝟏
𝟐⁄ ) = 𝐥𝐨𝐠( 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠( 𝟐)
𝐥𝐨𝐠( 𝟏) 𝟐
= ( 𝟐)∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟏
O professor orientará caso os discentes não diferenciem estes logaritmos
decimais de outros com bases diferentes. Assim definirá:
Os logaritmos de base 10 são chamados de Logaritmos Decimais e sua
importância se deve ao fato de as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalharem com
essa base, que é também a base do sistema de numeração que utilizamos.
Assim, são representados por:
log10 𝑥 ou log 𝑥, para todo 𝑥 > 0.
Também temos logaritmos que não são de base 10, assim o calculo dos
logaritmos possui, além das propriedades da definição dos logaritmos, diferentes bases
facilitando os cálculos mais extensos.
1 Logaritmo de um produto
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de um produto por dois
números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa mesma base, dos fatores.
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0, então log 𝑎( 𝑏 ∙ 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐.
De fato, essa propriedade pode ser provada fazendo-se log 𝑎 𝑏 = 𝑥 e log 𝑎 𝑐 =
𝑦; temos 𝑎 𝑥
= 𝑏 e 𝑎 𝑦
= 𝑐. Substituindo em log 𝑎( 𝑏 ∙ 𝑐), obtemos:
log 𝑎( 𝑏 ∙ 𝑐) = log 𝑎( 𝑎 𝑥
∙ 𝑎 𝑦) = log 𝑎 𝑎 𝑥+𝑦
= 𝑥 + 𝑦 = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐
Observação: log 𝑎( 𝑏 + 𝑐)≠ log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐
2 Logaritmo de um quociente
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de um quociente de dois
números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa mesma base, do
dividendo e do divisor.
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0, então log 𝑎( 𝑏
𝑐⁄ ) = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐.
Fazendo log 𝑎 𝑏 = 𝑥 e log 𝑎 𝑐 = 𝑦; temos 𝑎 𝑥
= 𝑏 e 𝑎 𝑦
= 𝑐. Substituindo em
log 𝑎( 𝑏
𝑐⁄ ), obtemos:
log 𝑎( 𝑏
𝑐⁄ ) = log 𝑎 ( 𝑎 𝑥
𝑎 𝑦⁄ ) = log 𝑎 𝑎 𝑥−𝑦
= 𝑥 − 𝑦 = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
Observação: log 𝑎( 𝑏 − 𝑐)≠ log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
3 Logaritmo de uma potência
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de uma potência e expoente
real é igual ao produto pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 e 𝑚 𝜖 ℝ, então log 𝑎( 𝑏 𝑚 ) = 𝑚 ∙ log 𝑎 𝑏.

23
Fazendo log 𝑎 𝑏 = 𝑥, temos 𝑎 𝑥
= 𝑏. Substituindo em log 𝑎( 𝑏 𝑚), obtemos:
log 𝑎( 𝑏 𝑚) = log 𝑎(( 𝑎 𝑥) 𝑚) = 𝑚 ∙ 𝑥 = 𝑚 ∙ log 𝑎 𝑏
Com as propriedades operatórias explanadas, os discentes receberão uma
atividade:
ATIVIDADE 01
(CEFET-SP-2007) Considere uma calculadora cientifica que se calcula
logaritmos na base 10. Admita também que ela esteja com a tecla de número 4 quebrada.
Nessa calculadora, para encontrar o log3 4, pode se calcular:
(a) (2 ∙ log 2) ÷ log 3
(b) (log2 ∙ log2) ÷ log3
(c) (2 ∙ log 2) − log 3
(d) 2 ∙ (log2 − log 3)
(e) log12
Após resolverem este problema sem o uso da calculadora e utilizando apenas
logaritmos decimais e usando a propriedades dos logaritmos.
Se houver dificuldade para encontrar o resultado, o professor entregará para
cada dupla uma calculadora. Assim quando eles resolverem este problema, o docente
definirá:
Mudança de base
Uma das formas de determinar esse valor é usar os logaritmos de base 10, pois
as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalham com o sistema de logaritmos
decimais. Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que
permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais.
Inicialmente, vamos mostrar a chamada fórmula da mudança de base.
Se 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0, 𝑏 ≠ 1 𝑒 𝑐 ≠ 1, então log 𝑏 𝑎 ∙ log 𝑐 𝑏 = log 𝑐 𝑎.
Agora observe:
Fazendo {
log 𝑏 𝑎 = 𝑥
log 𝑐 𝑏 = 𝑦
temos {
𝑏 𝑥
= 𝑎 (1)
𝑐 𝑦
= 𝑏 (2)
Substituindo (2) em (1), obtemos:
( 𝑐 𝑦) 𝑥
= 𝑎 ⇔ 𝑐 𝑥𝑦
= 𝑎 ⇔ xy = log 𝑐 𝑎 ⇔ log 𝑏 𝑎 ⋅ log 𝑐 𝑏 = log 𝑐 𝑎
Isolando log 𝑏 𝑎 na relação log 𝑏 𝑎 ⋅ log 𝑐 𝑏 = log 𝑐 𝑎, obtemos:
log 𝑏 𝑎 =
log 𝑐 𝑎
log 𝑐 𝑏
Que é a fórmula da mudança de base.
Com a definição explicada, o professor deixará como atividade de fixação que
eles respondam as questões referentes às propriedades operatórias dos logaritmos,
logaritmos decimais e a mudança de base.

24
ATIVIDADE 02
1) Sabendo que log 𝑎 = 6 ∙ log 𝑏, 2 ∙ log 𝑏 = log 𝑐 e que log 𝑐 = 45, calcule o valor
numérico da expressão
log √
𝑎3 ∙ 𝑏4
𝑐2
5
2) Escreva na forma de um único log:
a) log5 6 + log5 11
b) log7 28 − log7 4
c) 4 ∙ log3
3) Sendo log 𝑎 2 = 20 e log 𝑎 5 = 30, calcule o valor de log 𝑎 100.
4) Sendo log 𝑥 2 = 𝑎 e log 𝑥 3 = 𝑏, calcule log 𝑥 √12
3
em função de a e b.
5) Determine a expressão P sabendo que:
a) log 𝑃 = 2 ∙ log 𝑎 + 5 ∙ log 𝑏
b) log 𝑥 𝑃 = log 𝑥 𝑎 −
1
2
∙ log 𝑥 𝑏
6) Escreva usando logaritmos na base 10:
a) log2 5 c) log2( 𝑥 − 1)
b) log 𝑥 2 d) log( 𝑥+1)( 𝑥 − 3)

25
TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 06
TÍTULO DA AULA: Uso de software na construção gráfica de funções logarítmicas e
exponenciais.
CONTEÚDO:
 Gráfico da função logarítmica e exponencial
OBJETIVO(S):
 Perceber e compreender a relação que se estabelece entre a função logarítmica e
exponencial, representada por gráficos e expressões algébricas, com vista a
resolução de situações-problema por meio do uso do GeoGebra.
RECURSOS:
Projetor multimídia; computador/ notebook; software GeoGebra, quadro negro; giz; livro
didático e folha de papel A4.
PROCEDIMENTOS:
Inicialmente, à turma será conduzida ao laboratório de Informática, no qual os
30 alunos serão organizados em equipes com 3 integrantes, cada grupo ficará com um
computador. O professor distribuirá para a turma livros didático de diversos autores e
solicitará que façam uma revisão a respeito do comportamento do gráfico de uma função
logarítmica e exponencial. Durante esse tempo, o docente esclarece as dúvidas que
surgirão.
Diante da revisão literária, faz-se necessário que eles observem as condições
que determinam uma função crescente e decrescente, seu domínio e imagem.
Função Exponencial e Logarítmica
Crescente: A base é um número real maior que 1: a > 1;
Decrescente: A base é um número real, maior que 0 e menor que 1: 0 < a < 1;

26
Função Exponencial: D(f) = R ; Im(f) = R+
∗
.
Função Logarítmica: D(f) =R+
∗
; Im(f) = R.
Em seguida, o professor pede que todos liguem os computadores, e apresenta
aos alunos as ferramentas disponíveis no editor de planilhas, após solicitará que criem duas
planilhas.
As planilhas constarão de três colunas cada, na primeira encontram-se os
valores de x, estabelecidos pelo professor, na segunda está à função e a terceira coluna os
alunos encontrarão os valores de y,
Planilha 1 Planilha 2
Através dos dados da primeira e da segunda planilha, respectivamente,
os alunos deveram construir em um mesmo sistema coordenado, os gráficos de y = log2 x
e y = 2x, e em outro sistema deverão construir os gráficos de y = (
1
2
)x e y = log1
2
x, a
construção será realizada no GeoGebra ( programa já apresentado aos alunos).
Em seguida, o professor fará os seguintes questionamentos e solicitará que as
equipes respondam:
O que pode se observar na representação dos gráficos, em relação à simetria?
O que ocorreria se trocássemos os eixos entre si?
Por que as funções exponenciais e logarítmicas são consideradas inversas?
Classifique as funções em crescente ou decrescente?
X log2x Y
1
4
log2
1
4
1
2
log2
1
2
1 log21
2 log22
4 log24
X log
1
2
x Y
1
4
log1
2
1
4
1
2
log1
2
1
2
1 log1
2
1
2 log1
2
2
4 log1
2
4

27
É esperado, que os alunos percebam que como a função logarítmica é a inversa
da exponencial, na construção do gráfico, basta construir apenas o de uma das funções e
em seguida permutar as coordenadas dos pontos desse gráfico, a fim de obter as
coordenadas do outro.
O professor orienta as equipes em toda a atividade e estipula um tempo para
que cada equipe discuta os questionamentos. Após esse período, alguns grupos serão
convidados a apresentarem a atividade e por meio de intervenções, o professor esclarece as
dúvidas que forem surgindo.
Após, será entregue a cada trio um roteiro de atividades, e o professor irá
propor, um campeonato entre eles, o qual obedecerá às seguintes regras:
Todos só podem dar início à resolução de cada atividade no mesmo instante;
Ao término de cada questão, as equipes mostrarão ao professor a resolução
feita na folha de papel A4, entregue pelo docente, e em seguida aos demais colegas;
Ao final ganhará a equipe que tiver feito corretamente as atividades, em um
menor tempo.
Roteiro de Atividade
1) Construa em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções reais
y = log2x e y = -log2x.
2) (Vunesp-SP) A figura representa o gráfico de y = 𝑙𝑜𝑔10x.Sabe-se que OA = BC.
Então, pode-se afirmar que:
3) Classifique como crescente ou decrescente as funções de domínio ]0,+∞[.
a. f(x) = log√2 x
b. f(x) = log√3/2 x
4) Período de desintegração (meia-vida) é o tempo gasto para desintegração de metade
dos átomos radiativos, metade da massa de determinado isótopo de um elemento
químico.
Ocorre que a massa do isótopo não desaparece, apenas diminui, pelo fato de o
isótopo se converter em outro isótopo.

28
Como exemplo, o cobalto 60 é usado para tratamento de pacientes com câncer,
considerando uma amostra de 10g de cobalto 60, obtenha:
A expressão exponencial e o gráfico da função que relaciona a massa (m) da
amostra em função do número de meias-vidas;
A massa do isótopo de cobalto dentro de 5 anos e de 25 anos.
5) Um determinado tipo de vegetal cresce dobrando a sua altura mensalmente.
Sabendo que sua altura inicial é 1 mm, determine a expressão exponencial altura y
(mm) em função do tempo t (meses) e construa o gráfico cartesiano dessa função.
Obs.: Os gráficos devem ser realizados no software Geogebra.
Ao final de toda a atividade, alguns alunos serão convidados a fazerem um
breve relato do conhecimento adquirido nessa aula, e o professor esclarece os principais
pontos que devem ser observados e compreendidos por toda a classe.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GENTIL, Nelson et al. Matemática para o 2ºgrau. São Paulo: Ática, 1997.
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto . Matemática Aula por Aula. 2º ed.
São Paulo: FTD: 2005.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio. 6ª ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.

29
TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 07
TÍTULO DA AULA: As relações entre conceitos matemáticos sobre equações e
inequações.
CONTEÚDO:
 Equações e Inequações Exponenciais e Logarítmicas
OBJETIVO(S):
 Identificar as principais características de uma equação e inequação exponencial e
logarítmica, para que sejam capazes de compreender a relação que se estabelece
entre esses conteúdos, por meio de resolução de problemas.
RECURSOS:
Cartolina, tesoura, quadro negro; giz e livro didático.
PROCEDIMENTOS:
A aula será iniciada, com o professor organizando uma turma de 30 alunos em
duplas e em seguida, distribuirá uma folha de cartolina a cada dupla.
O professor solicita que as equipes comecem a dobrar a cartolina em partes
iguais e que um faça anotações enquanto o outro faz as dobraduras. Enquanto isso, o
professor pede que eles observem que relação há entre o número de dobras e o número de
folhas obtidas.
No quadro é colocada a seguinte pergunta: Quantas dobras deverão ser feitas,
para se obter 128 folhas?

30
Esquema da atividade
Após um tempo, o professor convida algumas duplas a apresentarem à turma, a
solução da atividade e aproveita os resultados, para abordar o conceito de equações
exponenciais.
O professor explica que a atividade realizada por eles, faz parte do contexto de
equações exponenciais, em que existe uma incógnita como expoente, na atividade essa foi
as dobras, e uma igualdade de mesma base. Os alunos são questionados, se ao invés de
uma igualdade de mesma base, nos deparar-nos com uma igualdade de bases diferentes, e
que não seja possível reduzir à mesma base.
Nesse contexto, o professor aborda o conceito de equação logarítmica, ou seja,
quando não for possível reduzirmos à mesma base, recorremos aos logaritmos.
Os alunos, agora serão questionados se ao invés de uma = (igualdade),
usássemos uma ≥ ou ≤ (desigualdade), o que mudaria fora o sinal, que conceito poderia se
pensar agora. Através das respostas dos alunos, o professor age como um mediador do
conhecimento e leva-os a perceber as diferenças que existem entre quando trabalhamos
com equações, estamos procurando um valor que iguale a outro, em contrapartida, na
inequação determinaremos valores que atestem aquela desigualdade. E que a técnica para
resolver inequações é a mesma das equações, a única diferença é que temos que analisar a
base, em virtude do problema da função ser crescente e decrescente, e também obter a
condição de existência para a solução final.
O professor fará um detalhamento, das condições para que seja considerada
inequações exponenciais:
Dada uma desigualdade de potências, sendo an > am:
1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e
maiores que 1, é maior a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade é
conservada);

31
2.º caso – Se 0 < a < 1, então m > n (se as bases de duas potências são iguais e
menores que 1, é maior a potência de menor expoente, ou seja, a desigualdade não é
conservada).
Em seguida, as condições de inequações logarítmicas serão abordadas:
Sendo a > 1, como a função é crescente
log 𝑎 𝐴 > log 𝑎 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 > 𝐵, as desigualdades possuem o mesmo sentido.
Sendo 0 < a < 1, como a função é decrescente.
log 𝑎 𝐴 > log 𝑎 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 < 𝐵, as desigualdades possuem os sentidos
contrários.
O professor seleciona algumas atividades para serem resolvidas:
1. (ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos em geral, com 8,
16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal
fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor
aproveitamento possível do papel disponível.
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel
com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando
uma única folha de:
a) 84 cm x 62 cm
b) 84 cm x 124 cm
c) 42 cm x 31 cm
d) 42 cm x 62 cm

32
e) 21 cm x 31 cm
2. Numa determinada cultura há 200 bactérias em condições ideais. A cada
duas horas a quantidade dobra. Determine o número de bactérias, 12 horas após o início do
estudo, sabendo que esse crescimento é dado pela lei exponencial:
N(t) = N0 Kt (número de bactérias em função do tempo), onde N0 (nº inicial de
bactérias).
3. As populações de duas cidades A e B são dadas em milhares de habitantes
pelas expressões A = 𝐿𝑜𝑔2( 1+t)2 e B = 𝐿𝑜𝑔2 ( 4t+4) em que a variável t representa o
tempo em anos.
a) Complete a tabela abaixo.
Tempo (anos) População da Cidade A População da Cidade B
1
7
15
b) Determine em que instante a população de uma cidade é maior ou igual ao
da outra.
4. Numa fábrica, o lucro y originado pela produção de x peças é dado, em
milhares de reais, pela expressão:
Y = 𝑙𝑜𝑔10 (100 + x) + k, sendo K uma constante real.
a) Sabendo que não há produção não há lucro, determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário para produzir um lucro
superior a 1000 reais.

33
5.(FGV-SP) A solução da desigualdade (
1
2
) x^2-4 ≤ 8x+2 é o conjunto dos x reais
tais que:
a) -2 ≤ x ≤ 2.
b) x ≤ -2 ou x ≥ -1.
c) -1 ≤ x ≤ 2.
d) -2 ≤ x ≤ -1.
e) x ≤ -1ou x ≥ 2.
Após um tempo, algumas duplas serão convidadas a apresentarem sua
resolução, aos colegas, e o professor tenta sanar as dúvidas obtidas.
GENTIL, Nelson et al. Matemática para o 2ºgrau. São Paulo: Ática, 1997.
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto . Matemática Aula por Aula. 2º ed.
São Paulo: FTD: 2005.

34
TURMA: N1
DATA: ___/___/_______
PLANO DE AULA 08
TÍTULO: TUR-Logaritmonencial
 Relação entre Função Exponencial e Logarítmica.
OBJETIVO(S):
 Revisar os conceitos a respeito das funções exponenciais e logarítmicas através da
utilização do Jogo Logaritmonencial.
 Confeccionar um jogo que servirá para relembrar os passos seguidos para encontrar
os resultados de expressões exponenciais e logarítmicas por meio da resolução de
expressões envolvendo as exponenciais e logaritmos.
 Fixar de forma lúdica os conteúdos trabalhados em salas de aula a respeito de
exponenciais e logaritmos fazendo uso do joo confeccionado em sala de aula.
RECURSOS:
Papel cartão, tabela, tesoura, cola, papel A4, laboratório de informática,
computador, software Geogebra, impressora e régua.
PROCEDIMENTOS:
A aula será iniciada com a organização da turma em grupos com quatro
componentes; a estes, serão entregues 24 folhas de papel cartão, no formato de quadrados
de lado 21 cm; uma tabela com exponenciais, logaritmos, equações e inequações
exponenciais e logarítmicas, funções exponenciais e logarítmicas; tesoura, cola e papel A4
para que os alunos possam usar como rascunho para resolver as expressões da tabela
abaixo que deverá ser registrado em seus cadernos.
𝑓(𝑥) = 2 𝑥
𝑓( 𝑥) = 2 𝑥
+ 1 𝑓( 𝑥) = (
1
3
)
𝑥
+ 3
𝑓( 𝑥) = 3. 2 𝑥−1
𝑓( 𝑥) = 2 𝑥
+ 5 𝑓( 𝑥) = 5 𝑥+3

35
𝑓( 𝑥) = 5 𝑥−3
(√2
3
)
𝑥
= 8 (9 𝑥+1
) 𝑥−1
= 3 𝑥2+𝑥+4
𝑓( 𝑥) = (
3
7
)
2𝑥
− 4 √8 𝑥−1. √42𝑥−3𝑥+1
= √25𝑥+36
(
1
5
)
𝑥
≥ 125
(2 𝑥) 𝑥+4
= 32 8 𝑥+1
= √4 𝑥−13 4 𝑥
+ 6 𝑥
= 2. 9 𝑥
(
1
9
)
𝑥
≤ 243
(27 𝑥−1) 𝑥+1
≥ (9 𝑥+1) 𝑥−3
4 𝑥−
1
2 + 5.2 𝑥
+ 2 > 0
log100 √10
3
log √93 √
1
27
𝑓( 𝑥) = 7 𝑥−4
+ 9
log3 (
𝑎. 𝑏2
𝑐
)
f(x) = log(3−𝑥)( 𝑥 + 2)
𝑓( 𝑥) = log2(1 − 2𝑥)
log2 1024 log3(log2 3) = 1 log √1003 √0,16
f(x) = log 1
10
𝑥 log3 2.log8 3 log √163 √8
(
1
3
)
−3
𝑓( 𝑥) = log1
3
𝑥 3 𝑥
= 2 𝑥+2
log5 𝑥 =
4
3 10log5 2.log10 5 16 ≤ 2 𝑥
< 33
log3−𝑥( 𝑥 − 1) log3(2𝑥 − 6) < log3 4 log 𝑥 + log 2 = 2

36
log2 𝑥 < −3 log1
2
( 𝑥2
− 1) ≥ log1
2
3
2 𝑥2−3𝑥
≥
1
4
(
1
2
)
𝑥2
< (
1
4
)
4𝑥−6 2 𝑥+1
+ 2 𝑥
≤ 3 𝑥−1
+ 3 𝑥
(0,2) 𝑥−2
> 1
Sendo log2 = 0,3
e log3 = 0,4
calcule log2 6
𝑓( 𝑥) = log5 𝑥 log √0,1 = 𝑥, então
𝑥2
é:
Após, terminarem de resolver as expressões da tabela os discentes deverão se
deslocar até o Laboratório de Informática, ligar os computadores, executar o programa
GeoGebra e plotar os gráficos das funções que estavam na tabela. Com as plotagens salvas
deve-se imprimi-las em folha A4 com um tamanho que caibam seis gráficos de funções
diferentes em cada folha. Com os gráficos impressos os alunos deverão recortá-los, o
mesmo será feito com as expressões que estavam na tabela para serem colados nas folhas
de papel cartão com 21 cm de lado, essa folha deverá ser marcada conforme a figura
abaixo. Com os gráficos já cortados e as expressões também, deve-se colá-los na folha de
papel cartão duas expressões e duas respostas, uma em cada triângulo, só que as respostas
não poderão ficar no mesmo quadrado das expressões correspondentes, para que se possa
construir o jogo: Logaritmonencial.
Com o jogo pronto as peças serão distribuídas igualmente entre os
participantes. Sorteia-se o primeiro a jogar, que deve colocar a peça na mesa e anotar numa
tabela de pontos, o maior resultado contido nesta peça. O próximo deve colocar uma peça
encostada naquela que está sobre a mesa, fazendo corresponder cálculo e resultado e
marcando na tabela o resultado do cálculo que completou. Caso o jogador não tenha uma
log √163 √8
(
1
5
)
𝑥
≥ 125
log2 1024 (
1
3
)
−3
27
𝑥 ≥ −3
𝑥 =
9
8
𝑥 = 10

37
peça para colocar, passa a vez e perde o número de pontos que o próximo jogador fará
desde que ainda tenha cartas. No final do jogo, não tendo mais como colocar peças, o
jogador perde o número de pontos do maior resultado possível de cada uma destas peças.
Ganha o jogo quem tem o maior número de pontos.
TABELA DE PONTOS
Aluno A
Aluno B
Aluno C
Aluno D
Após jogarem algumas partidas os alunos vencedores deverão mostrar para a
turma quais foram os cálculos realizados para realizar as jogadas. Com os resultados
expostos, os discentes serão convidados a analisá-los e deverão destacar as propriedades
usadas em cada jogada exposta na aula e a qual conteúdo pertence: Exponencial ou
Logaritmo e registrar esses resultados nos cálculos que eles já haviam feito quando
resolveu as expressões da tabela.
REFERÊNCIA(S) BIBLIOGRÁFICA(S):
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática
Elementar 2: Logaritmos. 3ª ed. São Paulo: Atual, 1977.
QUARTIERI, M. T.; REHFELDT, M.; GIONGO, I. M. Jogos para o Ensino Médio.
Disponível em: <
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf>. Acesso em
10 de mar. 2013.

38
CRONOGRAMA
ORDEM DAS
AULAS
CONTEÚDOS
MATEMÁTATICOS
RECURSOS
DIDÁTICOS
TENDÊNCIAS
METODOLÓGICAS
AULA 01
Potenciação.
Definição de Exponencial.
Torre de Hanói
Modelagem
Matemática
AULA 02
Propriedades da
Exponencial e sua
representação no Plano
Cartesiano.
Situações-Problemas
Modelagem
Matemática
AULA 03
Propriedades das Funções
Exponenciais.
Imagens e Gráficos de
Funções Exponenciais.
GeoGebra
Tecnologias da
Informação e
Comunicação.
AULA 04
Conceito de Logaritmo.
Propriedades dos
Logaritmos.
História da
Matemática
Editor de Planilha
Calculadora
Modelagem
Matemática
AULA 05
Propriedades Operatórias
dos Logaritmos.
Logaritmos Decimais.
Mudança de base dos
Logaritmos.
GeoGebra
Modelagem
Matemática
AULA 06
Comparação de Gráficos
das Funções Exponenciais e
Logarítmicas.
GeoGebra
Editor de Planilha
Tecnologias da
Informação e
Comunicação
AULA 07
Equações e Inequações
Exponenciais e
Logarítmicas.
Situações-Problemas
Resolução de
Problemas
AULA 08
Relação entre Função
Exponencial e Logarítmica.
Jogo:
Logaritmonencial
Jogos

39
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem & Etnomatemática: pontos (in)comuns –
disponível em: <http://www2.fe.usp.br/~etnomat/site-
antigo/anais/MariaSalettBiembengut.html>. Acesso em: 17 de mar. 2013.
BORBA, Marcelo C.; PENTEADO, Miriam G. Pesquisa em Informática e Educação
Matemática. In: Educação em Revista, Belo Horizonte, nº36, dez.2002, p. 239-253.
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB Lei nº 9394/96.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+) - Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília: MEC, 2002.
Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias / Secretaria de Educação Básica. –
Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 135 p.
(Orientações Curriculares para o ensino médio; volume 2)
COSTA. A. Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio.
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf.
Acesso em 26 de janeiro de 2013.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: Reflexões sobre Educação e Matemática.
Campinas, São Paulo: Summus, 1986.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa: 1ª série do
Ensino Médio. 2ª ed. renov. São Paulo: FTD, 2005. p. 224-242.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática
Elementar 2: Logaritmos. 3ª ed. São Paulo: Atual, 1977.
JURKIEWICZ, S.; FRIDEMANN, C. V. P. Modelagem Matemática na escola e na
formação do professor. Zetetiké, Campinas – SP, v. 15, nº 28, p.16, jul./dez., 2007.
LORENZATO, Sérgio. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de
Professores. Campinas - SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de
professores).
MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática -
propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. O Ensino de Matemática: mudanças no ensino, na
aprendizagem, na avaliação e no uso de tecnologia – disponível em:
<http://lourdesonuchic.blogspot.com.br/2008/07/o-ensino-de-matemtica-mudanas-no-
ensino.html>. Acesso em: 17 de mar. 2013.
QUARTIERI, M. T.; REHFELDT, M.; GIONGO, I. M. Jogos para o Ensino Médio.
Disponível em: <

40
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf>. Acesso em
10 de mar. 2013.

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