Reflexão, Rotação e Translação Tarefas Geometria 2o Ciclo

Reflexão, Rotação e Translação
Proposta de conjunto de tarefas para o 2.º ciclo
Autores:
Professores das turmas piloto do 6.º ano de escolaridade
Ano lectivo 2009/10
Maio de 2010

Proposta planificação: Reflexão, Rotação e Translação
Escola 2º Ciclo
Geometria
Propósito Principal de Ensino: Desenvolver nos alunos o sentido de espacial, com
ênfase na visualização e na compreensão das propriedades de figuras geométricas
no plano e no espaço, a compreensão de
grandezas geométricas e respectivos processos de medida, bem como a utilização
destes conhecimentos e capacidades na resolução de problemas em contextos
diversos.
Objectivos Gerais: Compreender propriedades das figuras geométricas no plano e
no espaço.
Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar.
Ser capaz de analisar padrões geométricos e desenvolver o conceito de simetria.
Ser capaz de resolver problemas, raciocinar e comunicar matematicamente em
situações que envolvam contextos geométricos.
Tópicos e Subtópicos Objectivos Específicos Notas (2º ciclo) Tarefas Duração
Reflexão, Rotação e Translação
. Noção e propriedades da
reflexão, da rotação e da
translação.
. Simetrias axial e rotacional
(A) Identificar, predizer e descrever a isometria em
causa dada a figura geométrica e o transformado.
(B) Construir o transformado de uma figura a
partir de uma isometria ou de uma composição de
isometrias.
(C) Compreender as noções de simetria axial e
rotacional e identificar as simetrias numa figura.
(D) Completar, desenhar e explorar padrões
geométricos que envolvam simetrias.
(E) Identificar as simetrias de frisos e rosáceas.
(F) Construir frisos e rosáceas
No estudo das isometrias recorrer à exploração
de obras de arte e artesanato.
Usar imagens obtidas por composição de
isometrias.
Fazer notar que a recta que contém a bissectriz
de um ângulo é um eixo de simetria desse ângulo.
Na identificação dos eixos de simetria de uma
figura, dar particular relevo ao caso dos
triângulos.
Propor a construção de figuras com mais de um
eixo de simetria.
Na rotação, solicitar indicação do centro, do
sentido e da amplitude do ângulo de rotação.
Na construção de rosáceas, considerar a divisão
do círculo num número par e ímpar de sectores,
desenhar uma figura (motivo) num dos sectores,
e, por decalque ou por dobragem, preencher os
sectores seguintes segundo uma regra (rodar ou
reflectir).
Usar espelhos e dobragens de papel,
representações gráficas e applets.
T1 - Como peixe no papel (A)
T2 - Geoplano e companhia:
Translações, reflexões e rotações (A) (B)
T3- Composições e mais composições…
(B) (D)
T4 - Descobrir eixos de simetria nos
polígonos (C)
T5 - O milagre dos dois espelhos (C) (E)
(F)
T6 -Frisos e mosaicos (F) (E)

T7 - Construir frisos e rosáceas com
papel e tesoura (C) (E) (F)
90…
90…+45…
90…
90…
90…
90…
90…

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo
Tarefa 1: Como peixe no papel
Recorrendo ao acetato, descobre como podes transformar o peixe A no peixe B.
1
A B
2
A B
3 4
A B
A
B
5
A
B
Foi sempre possível obter o peixe B a partir do peixe A?
Explica como procedeste em cada uma das situações apresentadas.
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NPMATEB 2009/10 4
Planificação da Tarefa 1: Como Peixe no papel
Com esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, pretende-se que os alunos
descubram e
distingam transformações no plano que tornam uma determinada figura invariante,
iniciando
assim o estudo de três tipos de isometria: reflexão, translação e rotação.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação
Subtópicos matemáticos: Noção e propriedades da reflexão, da rotação e da
translação.
Capacidades transversais: Raciocínio matemático
Comunicação matemática
Conhecimentos prévios dos alunos:
. Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos;
. Resolver problemas envolvendo a visualização e a compreensão de relações
espaciais.
Aprendizagens visadas:
. Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura
geométrica e o
transformado;
. Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos;
. Interpretar informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas;
. Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando
vocabulário
próprio;
. Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Figuras do peixe A em acetato (uma por grupo), enunciado da tarefa em
acetato,
réguas, retroprojector ou quadro interactivo.
Duração prevista: 90 minutos

Notas para o professor:
Nos primeiros 30 minutos, a pares, os alunos exploram as situações apresentadas
e fazem
registos sobre as suas descobertas. Nos 40 minutos seguintes realiza-se a
discussão em grande
grupo e nos últimos 20 minutos é feita a sistematização da tarefa e dos
conceitos envolvidos.
Com esta tarefa pretende-se que os alunos descubram como podem transformar uma
figura
noutra, congruente, usando três tipos de isometrias: reflexão, translação e
rotação.
O professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a cada par de alunos
uma cópia do
peixe A em acetato. Os alunos movem o acetato de modo a que o peixe A coincida,
ponto por
ponto, com o peixe B. São propostas cinco situações diferentes e, em relação a
cada situação, os
alunos devem efectuar registos sobre o procedimento que adoptaram para conseguir
obter o
peixe B partindo do peixe A.
Pretende-se que os alunos distingam três tipos de movimentos diferentes:
-Nas situações 1 e 5 é necessário virar o acetato ao contrário para conseguir
obter o peixe B;
-Nas situações 2 e 4 é preciso deslocar o acetato num determinado comprimento,
numa
determinada direcção e sentido;
-Na situação 3 temos de rodar o acetato; a figura é rodada a partir de um ponto
fixo e num
determinado ângulo.
O professor deve explicar que nas situações 1 e 5 o peixe B foi obtido por
reflexão do peixe A
segundo um eixo. No primeiro caso, trata-se de um eixo vertical e, no segundo,
de um eixo
horizontal. Com a orientação do professor, os alunos devem representar os
respectivos eixos
utilizando uma régua. O professor deve reforçar que todos os pontos do eixo
estão à mesma
distância (são equidistantes) do peixe A e do peixe B e que, se …dobrássemos… a
folha de papel
pelo eixo, os peixes ficariam sobrepostos ponto por ponto.
Nas situações 2 e 4 houve uma transformação no plano num determinado
comprimento, numa
determinada direcção e sentido, logo dizemos que ocorreu uma translação. Com a
ajuda do
professor, os alunos podem representar o comprimento, a direcção e o sentido em
que ocorreu a
transformação utilizando um vector, fazendo corresponder a um ponto do peixe A,
o ponto do
peixe B que é seu transformado.
Na situação 3 houve uma rotação em torno de um ponto, designado centro de
rotação,
pertencente ao peixe A, cujo ângulo de rotação é de 90 graus. É importante que o

professor
esclareça que o sentido da rotação é negativo quando esta se faz no sentido dos
ponteiros do
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relógio, e positivo quando se faz no sentido contrário. Com a orientação do
professor, os alunos
devem representar o centro e o ângulo de rotação.
No final da aula o professor faz uma sistematização sobre cada uma das
transformações
geométricas abordadas, explicando que todas são isometrias, isto é, transformam
figuras noutras
figuras congruentes, preservando a distância entre pontos e a amplitude dos
ângulos.
Atendendo ao nível de escolaridade em causa é referido o movimento dos pontos da
figura, para
referir transformações no plano.
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Informação:
Isometrias
Uma isometria (iso=igual; metria=medição) é uma transformação geométrica que
mantém as
distâncias entre pontos e as amplitudes dos ângulos, transformando figuras
noutras figuras
congruentes.
Translações, reflexões e rotações são exemplos de isometrias.
Translação
Numa translação efectua-se uma
transformação em que todos os
pontos da figura original se
deslocam segundo a mesma
direcção, o mesmo sentido e
percorrendo a mesma distância.
Reflexão
Cada ponto da figura original e o
correspondente da figura reflectida estão
sobre uma recta perpendicular ao eixo
de reflexão e a igual distância desse
eixo, e.
Rotação
O Todos os pontos do transformado são
obtidos rodando a figura inicial em
torno de um ponto fixo, o centro de
88º
rotação, segundo um ângulo orientado
no sentido positivo ou no sentido
negativo.
e
O peixe da esquerda rodou em torno do ponto O no sentido contrário ao dos
ponteiros do
relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de 88 graus.
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Explorações dos alunos
Situação 1
Situação 2
Situação 3
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Situação 4
Situação 5
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Tarefa 2: Geoplano e companhia … translações, reflexões e rotações1
1. Identifica pelas respectivas letras as figuras que representam transformados
da figura A por:
. Translação
. Reflexão
A B C D E
F
G H
I J K L
2. Desenha o transformado de cada uma das seguintes figuras, considerando as
rectas
representadas como eixo de reflexão (confirma os teus desenhos com a Mira).
3. Desenha o triângulo C´A´T´ obtido por uma rotação de 180º do triângulo CAT em
torno do
ponto O.
Valida o teu desenho, recorrendo à utilização de papel vegetal: copia a figura
constituída pelo
triângulo CAT e pelo ponto O e roda-a 180 graus em torno de O, verificando se a
figura que
obtiveste é congruente com a que desenhaste.
1 Adaptado de …Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar…,
Adenda …Geometria dos 2.º e 3.º Ciclos… (NCTM, 2001)

4. …Transformer…
Descreve um movimento que transforme a primeira figura na segunda (para te
ajudar na
visualização podes usar o acetato com a figura):
a) A figura A na figura B.
b) A figura A na figura C.
c) A figura B na figura D.
d) A figura B na figura E.
e) A figura B na figura F.
Nota: as letras apresentadas servem apenas para identificar cada figura, não
pertencendo à
própria figura.
5. Transformações no geoplano
a) Coloca um elástico no geoplano para funcionar como eixo de reflexão. Constrói
uma figura do
lado esquerdo do eixo e pede ao teu colega para construir o transformado por
reflexão. Regista
os resultados no papel ponteado. Troquem de funções e repitam o procedimento.
b) No canto inferior esquerdo do geoplano, constrói um triângulo escaleno
pequeno. Pede ao teu
colega para construir o transformado, dessa figura, por translação. Desenhem, no
papel ponteado
a figura e a imagem descrevendo a transformação ocorrida.
c) Na parte central do geoplano pede ao teu colega para construir um triângulo
rectângulo
escaleno e tu vais construir o transformado por rotação de 90o (sentido
contrário ao dos ponteiros
do relógio) em torno do vértice do ângulo recto. Façam os respectivos registos
no papel
ponteado.
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Planificação da Tarefa 2: Geoplano e companhia … translações, reflexões e
rotações
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos explorem
os conceitos
de translação, reflexão e rotação e desenvolvam capacidades de visualização,
reforçando a
compreensão dos conceitos relativos às transformações geométricas.
translação.
. Visualizar e descrever figuras e identificar propriedades que as caracterizam;
espaciais.
geométrica e o seu
transformado.
. Construir o transformado de uma figura a partir de uma isometria ou de uma
composição
de isometrias;
. Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos,
recorrendo a exemplos
e contra-exemplos e à análise exaustiva de casos;
. Formular e testar conjecturas e justificá-las fazendo deduções informais;
vocabulário
próprio;
Recursos: Mira ou espelho; papel vegetal ou acetato, geoplano, papel ponteado,
elásticos,
computador e projector, acetato e canetas ou quadro interactivo.
Duração prevista: 90 minutos + 45 minutos

Nos primeiros 40 minutos, para responder às questões de 1 a 4, os alunos, a
pares, exploram as
situações apresentadas e fazem registos sobre as suas descobertas. Nos 30
minutos seguintes
realiza-se a discussão em grande grupo e nos últimos 20 minutos é feita a
sistematização da
tarefa e dos conceitos envolvidos.
Na aula seguinte, os alunos fazem explorações respeitantes à quinta parte da
tarefa durante 25
minutos, sendo os restantes 20 minutos dedicados à sistematização dos conceitos
envolvidos.
Sugere-se que o professor faça a exploração/sistematização das questões
apresentadas através
da comunicação feita pelos grupos aquando da apresentação dos seus resultados. O
professor
pode projectar no quadro branco a ficha de trabalho para que os alunos utilizem
essa projecção
para comunicar à turma as suas descobertas. Em alternativa cada grupo pode ter
um acetato e
canetas. É importante que seja utilizado um acetato ou papel vegetal para
facilitar a visualização
dos movimentos, enriquecendo a exploração da tarefa.
Relativamente à primeira questão, os transformados por translação da figura A
são D, F, G e H.
Os transformados por reflexão são B, C e I. Pode recorrer-se ao desenho da
figura no papel
vegetal ou acetato que desliza um determinado comprimento, numa determinada
direcção e
sentido.
Na segunda questão os alunos devem desenhar os transformados da figura inicial
(imagens da
figura inicial) antes de usarem material manipulável, que apenas devem servir
para confirmação
das suas conjecturas. A Mira é um recurso útil e adequado para confirmar as
reflexões.
Quanto à terceira questão, os alunos podem copiar a figura e o centro de rotação
para papel
vegetal ou acetato e rodá-la fixando o centro de rotação, verificando assim se a
figura se
sobrepõe ao transformado.
Na quarta questão prevê-se que os alunos apresentem diferentes descrições para o
mesmo
problema. O professor deve encorajar os alunos a argumentarem as suas respostas,
a escutar e
a verificar as soluções alternativas dos seus colegas para compreenderem que
podem existir
mais do que uma resposta correcta para cada problema.
Existe apenas uma isometria que transforma uma figura noutra. Porém, essa figura
pode ser
obtida da outra figura através da composição de várias isometrias.
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Pretende-se que os alunos, na alínea a), identifiquem a reflexão de eixo
vertical como a
transformação geométrica que permite obter a figura B a partir da figura A.
Relativamente à alínea b), pretende-se que a transformação identificada seja a
translação, com
um comprimento igual a 4 (tomando como unidade a distância entre dois pontos
consecutivos),
direcção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Os alunos podem ainda
identificar a
composição de duas reflexões de eixo vertical (A para B e B para C) para obter a
figura C a partir
da figura A.
Na alínea c) deve ser reconhecida a rotação como transformação que permite obter
a figura D a
partir da figura B. O centro da rotação é o ponto comum a ambas as figuras, o
ângulo é de 180º
considerando a rotação no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido
positivo), ou -180º
considerando a rotação no sentido dos ponteiros do relógio (sentido negativo).
Ainda é possível
que seja identificada a composição de duas reflexões (de B para E e de E para D
ou ainda de B
para A e de A para D).
Na alínea d) pretende-se que os alunos reconheçam que a reflexão de eixo
horizontal é a
transformação em causa. Nesta situação pode acontecer que os alunos sugiram que
a figura E
se obtenha a partir da figura B por composição de três reflexões (de B para A,
de A para D e de D
para E). Também pode surgir a composição de uma reflexão (B para C) com uma
rotação (C para
E).
Na alínea e) temos a composição da reflexão (de B para E) com a translação (de E
para F). O
professor deve referir que, neste caso, a transformação designa-se por reflexão
deslizante.
O professor pode sugerir como trabalho suplementar que os alunos coloquem
questões
semelhantes às trabalhadas na aula e explorem as respectivas soluções. Por
exemplo, pedir o(s)
movimento(s) que permitem obter a figura F a partir da figura A. Os alunos podem
referir a
composição de duas reflexões (A para B e B para E) com uma translação (E para
F), apesar da
isometria em causa ser a reflexão deslizante (translação de A para C composta
com reflexão de
C para F).
Na quinta questão, a utilização do geoplano e os registos em papel ponteado
fornecem ainda
outra experiência de aprendizagem para a exploração das transformações e para o
desenvolvimento das capacidades de visualização e destrezas psico-motoras. O
facto de serem
os próprios alunos a colocarem questões aos seus colegas, para além de promover
a autonomia

e a partilha de ideias matemáticas entre si, permite também que estes tenham um
papel activo na
construção do seu conhecimento matemático.
O uso do geoplano está indicado para esta questão, mas o professor também pode
usá-lo como
recurso auxiliar na visualização dos transformados das questões anteriores.
A discussão e a formulação de questões acerca dos resultados obtidos devem
conduzir a
considerações sobre quais as propriedades que se mantêm numa translação,
reflexão e rotação
(por exemplo, o comprimento dos segmentos de recta, a amplitude dos ângulos e,
no caso da
translação, a direcção).
O professor deve verificar se os alunos reconhecem que em cada uma das
transformações a
figura resultante é congruente com a figura inicial. Devem ser investigadas as
propriedades para
que os alunos descubram que a orientação do transformado nem sempre se mantém
(podem dar
o exemplo de quando o professor coloca “incorrectamente“ um acetato no
retroprojector).
Também podem ser discutidas transformações que não são de isometrias
(transformações que
distorcem ou alteram uma figura), tais como as imagens obtidas nos espelhos
curvos dos
parques de diversões ou as ampliações e reduções tiradas na fotocopiadora.
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Tarefa 3: Composições e mais composições2
A “ Composição de duas reflexões de eixos paralelos
1.º Dobra o papel vegetal pelo eixo a.
2.º Decalca a seta da figura, usando um lápis afiado e fazendo pressão com a
ponta do lápis.
3.º Dobra a folha pelo eixo b e torna a decalcar (desta vez, decalcas a segunda
seta).
4.º Desdobra o papel e compara a primeira e a última setas. Descreve o que
observas.
Usando dois eixos paralelos, o que prevês quando fazes reflexões consecutivas?
B “ Composição de duas reflexões de eixos concorrentes
1.º Com um procedimento semelhante ao anterior, decalca a seta usando o eixo c e
depois o eixo
d.
2.º Desdobra o papel e compara a primeira seta e a última. O que observas?
Utiliza o transferidor e mede o menor ângulo entre as duas rectas.
Qual será a relação entre o ângulo formado pelas duas rectas e o ângulo formado
pela posição
inicial e final da seta.
2 Adaptado de Conjuntos de tarefas do Programa de Acompanhamento e Formação
Contínua em Matemática, ESE do
Instituto Politécnico do Porto
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Prática Compreensiva de Procedimentos
1. Indica o número mínimo de reflexões necessário para que a figura A“ seja o
transformado da
figura A. São necessárias _____________________ . Representa-as. Que outra
transformação
te permitiria obter a figura A´ a partir da figura A?
A
A“
2. Indica como podes obter uma pegada a partir da outra:
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Tempo de estudo complementar
1. Desenha todas as reflexões possíveis da figura 1 de acordo com os eixos de
reflexão
representados.
Figura 1
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Planificação da tarefa 3: Composições e mais composições!
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam
o
transformado de uma figura a partir de uma composição de isometrias e relacionem
a figura
inicial com a figura obtida com a composição de duas reflexões de eixos
paralelos ou com a
composição de duas reflexões de eixos concorrentes.
translação
espaciais;
. Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos;
. Identificar, numa grelha quadriculada, pontos equidistantes de um dado ponto;
. Descrever a posição de figuras desenhadas numa grelha quadriculada recorrendo
à
identificação de pontos através das suas coordenadas
geométrica e o
transformado.
. Construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma
composição
de isometrias;
. Completar, desenhar e explorar padrões geométricos que envolvam simetrias;
recorrendo a exemplo
e à análise de casos;
. Traduzir relações de linguagem natural para linguagem matemática e vice-versa;
vocabulário
próprio;

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Recursos: Cópias em papel vegetal das figuras das setas em fundo quadriculado,
régua,
acetato com enunciado da tarefa, canetas de acetato, retroprojector ou quadro
interactivo.
Nos primeiros 20 minutos, a pares, os alunos resolvem as situações apresentadas
em A e em B,
seguindo as instruções e registando as suas descobertas. Nos 40 minutos
seguintes realiza-se a
discussão em grande grupo e a sistematização dos conceitos envolvidos. Nos 30
minutos
seguintes, os alunos realizam a prática compreensiva de procedimentos e é feita
a sua
discussão.
Com esta tarefa pretende-se que os alunos explorem composições de duas
isometrias. Na parte
inicial dá-se ênfase à composição de duas reflexões de eixos paralelos e de duas
reflexões de
eixos concorrentes (não perpendiculares). A composição de duas reflexões de
eixos paralelos é
explorada usando papel vegetal e lápis. A figura, reproduzida em papel vegetal
(em anexo),
permite que os alunos dobrem pelo eixo a e decalquem facilmente a seta original.
De seguida
dobram o papel pelo eixo b e decalcam a segunda seta. Posteriormente, os alunos
passam à
composição de duas reflexões de eixos concorrentes, usando um processo análogo
ao anterior.
Na fase de discussão das situações A e B o professor deve colocar as seguintes
questões acerca
da situação A (composição de duas reflexões de eixos paralelos):
- Que transformação geométrica ocorreu quando se obteve a segunda seta, por
dobragem e
decalque através do eixo a?
- E que transformação houve quando se passou da segunda para a terceira seta,
por dobragem e
decalque através do eixo b?
- Comparando a primeira com a última seta, o que se verifica?
- Qual é a distância entre as duas rectas?
- Que relação existe entre a distância entre as duas rectas e a distância entre
a primeira e última
seta?
Em relação à situação B (composição de duas reflexões de eixos concorrentes), o
professor
poderá colocar as seguintes questões:
- Que transformação geométrica ocorreu quando se obteve a segunda seta por
dobragem e
decalque através do eixo c?

-E que transformação houve quando se passou da segunda para a última seta, por
dobragem e
decalque através do eixo d?
-Comparando a primeira com a última seta, o que se verifica?
-Qual é a medida da amplitude do menor ângulo formado pelas duas rectas? (os
alunos devem
medir a amplitude com a ajuda do transferidor)
-Que relação existe entre a amplitude desse ângulo e a amplitude do ângulo
formado entre a
posição inicial e final da seta? Os alunos devem unir um ponto da seta original
ao ponto onde as
rectas se intersectam “ esse ponto é o vértice do ângulo. Depois unem o vértice
do ângulo ao
ponto correspondente do transformado. Por último, medem a amplitude do ângulo
formado pelos
dois segmentos de recta que traçaram. Concluem que a amplitude deste ângulo é o
dobro da
amplitude do ângulo formado pelas duas rectas.
Após a discussão, o professor sistematiza cada uma das composições estudadas,
levando os
alunos a compreender que:
-ao efectuar uma reflexão em relação a uma recta, seguida de uma reflexão em
relação a uma
outra recta, paralela à primeira (composição de duas reflexões de eixos
paralelos), obtém-se um
efeito correspondente ao de uma translação, definida por uma direcção
perpendicular aos eixos
de reflexão e deslocamento igual ao dobro da distância entre os dois eixos.
-ao efectuar uma reflexão em relação a uma recta, e depois uma reflexão em
relação a uma
outra recta, que tenha um ponto comum com a primeira (composição de duas
reflexões de eixos
concorrentes), obtém-se um efeito equivalente ao de uma rotação em torno desse
ponto: a
amplitude do ângulo de rotação é igual ao dobro da amplitude do ângulo formado
pelas duas
rectas.
No final da aula os alunos realizam duas questões, onde utilizam os
conhecimentos adquiridos. A
primeira situação é semelhante à anterior, porém com os eixos de reflexão
perpendiculares. Os
alunos devem traçar os respectivos eixos e a figura “intermédia“ (transformado
após a primeira
reflexão). A segunda situação consiste numa abordagem à reflexão deslizante.
Pretende-se que
os alunos concluam que, para obter o transformado do primeiro pé, é preciso que
ocorra uma
reflexão de eixo horizontal composta com uma translação de direcção paralela ao
eixo de
reflexão (reflexão deslizante).
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Anexo
ab
c
d
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Informação
Composição de duas reflexões3
Se os eixos forem paralelos:
Se efectuarmos primeiro uma reflexão em relação a uma recta e depois uma
reflexão em relação a
uma outra recta, paralela à primeira, o efeito obtido corresponde ao de uma
translação, numa
direcção perpendicular às duas rectas e deslocamento igual ao dobro da distância
entre essas duas
rectas.
Qualquer reflexão inverte o sentido (troca a direita com a esquerda): a imagem
no espelho de um
gato, que tem a cauda para a direita, é um gato, com a cauda para a esquerda.
Uma translação (que
equivale à composição de duas reflexões) mantém a posição da cauda do gato
Se os eixos forem concorrentes:
Neste caso, as imagens não se encontram dispostas ao longo de uma linha. O gato
mais à esquerda
rodou em torno de um centro de modo a coincidir com o gato da direita.
Na verdade, ao efectuarmos uma reflexão em relação a uma recta e, seguidamente,
outra reflexão
em relação a uma outra recta que tenha um ponto em comum com a primeira, o
efeito obtido
equivale ao de uma rotação em torno desse ponto, cujo ângulo é o dobro do ângulo
entre as duas
rectas.
3 Adaptado de: Simetria jogos de espelhos (P. Cereda e outros)
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Tarefa 4: Descobrir eixos de simetria em polígonos
1. Será que consegues, utilizando um espelho, obter a figura completa, partindo
apenas de uma
parte da figura?
Experimenta com esta estrela.
Se for possível, desenha o(s) eixo(s) de simetria.
2. Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares.
ALGUNS POLÍGONOS REGULARES
2.1 Faz os registos na tabela seguinte.
N.º de lados do
polígono regular 3 4 5 6 7 8 ... n
N.º de eixos de
simetria ...
2.2. Na tabela que preencheste, que relação observas entre o número de lados do
polígono e o
número de eixos de simetria?
2.3. Em cada um dos polígonos regulares, explica por onde passam os eixos de
simetria em
relação aos vértices e aos lados.
2.4. Observa os eixos de simetria que traçaste em cada polígono.
Como ficam divididos os ângulos que são atravessados por eixos de simetria?
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3. Já viste na questão anterior quantos eixos de simetria possui um triângulo
equilátero.
Experimenta agora para outros tipos de triângulos e escreve as tuas conclusões
acerca do
número de eixos de simetria de cada um deles.
ALGUNS TRIÂNGULOS NÃO EQUILÁTEROS
4. E um círculo, quantos eixos de simetria tem?
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NPMATEB 2009/10 27
Planificação da tarefa 4: Descobrir eixos de simetria em polígonos
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos
identifiquem os eixos
de simetria de figuras geométricas, com particular relevo para os polígonos
regulares e para os
triângulos. Pretende-se ainda que considerem o número de eixos de simetria na
classificação de
triângulos e compreendam que a bissectriz de um ângulo está contida no seu eixo
de simetria.
Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional
. Reconhecer propriedades de figuras no plano e fazer classificações;
. Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo;
. Desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou
vertical;
. Compreender a noção de ângulo;
. Identificar no plano eixos de simetria de figuras.
. Compreender as noções de simetria axial e identificar as simetrias numa
figura;
. Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo
deduções informais;
vocabulário
próprio;
Recursos: Espelhos ou miras ou polígonos recortados, acetatos com as figuras,
canetas de
acetato, retroprojector ou quadro interactivo.

Nos primeiros 10 minutos o professor resolve com o grupo turma a questão 1, dado
ser a primeira
tarefa em que os alunos identificam simetrias numa figura. Nos 30 minutos
seguintes,
organizados a pares ou em grupos de três, os alunos realizam a tarefa
autonomamente. Nos
próximos 30 minutos realiza-se a discussão em grande grupo e, nos últimos 20
minutos da aula,
é feita a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.
Com esta tarefa pretende-se que os alunos identifiquem eixos de simetria de
figuras no plano,
com especial destaque para os polígonos regulares, os triângulos e o círculo. No
caso dos
triângulos, os alunos devem considerar o número de eixos de simetria na sua
classificação e
ainda reconhecer a recta que contém a bissectriz de um ângulo como um eixo de
simetria desse
ângulo.
Durante o trabalho autónomo os alunos discutem ideias e processos e registam as
suas
observações e conclusões. Os grupos devem possuir espelhos ou miras e manuseá-
los de modo
a identificar eixos de simetria nas figuras apresentadas. Em alternativa, o
professor pode distribuir
os polígonos recortados para que os alunos façam dobragens de modo a identificar
os eixos de
simetria.
Seguidamente, durante a fase de discussão em grande grupo, o professor pode
colocar as
seguintes questões:
-De quantas maneiras diferentes conseguem posicionar o espelho, de forma que a
imagem
reflectida coincida, ponto por ponto, com a imagem inicial?
-E em relação ao triângulo equilátero, ao quadrado, ao pentágono regular e ao
hexágono
regular?
-Que relação existe entre o número de lados do polígono regular e o número de
eixos de
simetria?
-Por onde passam os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares?
-Quando um eixo de simetria passa por um vértice do polígono, o que acontece ao
ângulo
interno definido nesse vértice?
-Que conclusões podem tirar relativamente aos eixos de simetria dos triângulos
isósceles? E dos
escalenos?
-Quantos eixos de simetria é possível identificar num círculo?
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Após a discussão, o professor faz uma sistematização de toda a tarefa, podendo
focar os
seguintes pontos:
-A simetria pode ser observada em algumas figuras geométricas.
-Existem diferentes tipos de simetria, dependendo do tipo de isometria
associada; nesta tarefa
identificámos simetrias de reflexão.
-A simetria de reflexão reconhece-se se conseguirmos, por exemplo, colocar um
espelho sobre a
figura de modo que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja
exactamente igual à
figura completa. É o que acontece com a estrela (1.ª pergunta da tarefa): é
possível encontrar
quatro simetrias de reflexão pois existem quatro modos diferentes de colocar o
espelho ou a mira.
-A recta sobre a qual se coloca o espelho e que divide a figura ao meio, de modo
que uma
metade da figura seja a reflexão da outra metade, designa-se por eixo de
simetria ou eixo de
reflexão.
-No caso dos polígonos regulares (segundo grupo de questões), o número de eixos
de simetria é
igual ao número de lados do polígono regular.
-No triângulo equilátero os eixos de simetria passam pelos vértices e pelos
pontos médios dos
lados opostos.
-No quadrado os eixos de simetria são perpendiculares dois a dois e correspondem
às rectas
que passam por pares de vértices opostos ou pelos pontos médios de pares de
lados opostos.
-No pentágono regular os eixos de simetria passam pelos vértices e pelos pontos
médios dos
lados opostos.
-No hexágono regular os eixos de simetria passam por pares de vértices opostos
ou pelos
pontos médios de pares de lados opostos.
-Se um polígono regular tiver um número ímpar de lados, cada um dos seus eixos
de simetria
passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice; se o
número de lados for
par, metade dos eixos de simetria passam por pares de vértices opostos e a outra
metade passa
pelos pontos médios de pares de lados opostos.
-A bissectriz de um ângulo está contida no eixo de simetria desse ângulo. É uma
semi-recta com
origem no vértice do ângulo dividindo-o em dois ângulos congruentes.
-Relativamente aos triângulos, podemos concluir que o triângulo equilátero tem
três eixos de
simetria, o triângulo isósceles tem um eixo de simetria e o triângulo escaleno
não tem eixos de
simetria.
-O círculo tem um número infinito de eixos de simetria; cada eixo de simetria
que é possível
representar, contém um diâmetro do círculo.
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Informação:
Eixos de simetria dos polígonos regulares
Quadrado4 eixos de simetria
Triângulo equilátero Pentágono regular Hexágono regular
3 eixos de simetria 5 eixos de simetria 6 eixos de simetria
O número de eixos de simetria de um polígono regular é igual ao número de lados
desse
polígono. Assim, o número de eixos de um polígono regular de n lados é igual a
n.
Os eixos de simetria dividem cada um dos lados do polígono em dois segmentos de
recta
congruentes e/ou bissectam os ângulos, ou seja, dividem cada ângulo do polígono
em dois
ângulos congruentes.
Eixos de simetria dos triângulos
O triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria, o triângulo isósceles tem 1 eixo
de simetria e o
triângulo escaleno não tem eixos de simetria.
Eixos de simetria de um círculo
O número de eixos de simetria de um círculo é infinito.
Qualquer recta que contém um diâmetro do círculo é um eixo de simetria.
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Bissectriz de um ângulo
A bissectriz de um ângulo pertence ao eixo de simetria desse ângulo. Consiste
numa semi-recta
com origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.
Exemplo:
A semi-recta BD é a bissectriz do ângulo ABC. Cada ponto da bissectriz está à
mesma distância
dos dois lados do ângulo.
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Tarefa 5: O milagre dos dois espelhos4
1. A Alberta utilizou uma grelha que a professora lhe forneceu e desenhou o
seguinte motivo:
C
A
B
Quando observou o motivo juntando dois espelhos aos lados AB e AC obteve a
seguinte imagem:
Repitam a experiência da Alberta.
4 Adaptado de Programa de Acompanhamento e Formação em Matemática, ESE do
Instituto Politécnico do Porto
NPMATEB 2009/10

2. Utilizem as “grelhas“ que se encontram na folha seguinte.
2.1 Juntem os dois espelhos aos lados AB e AC dos novos motivos e repitam a
experiência.
2.2. Que polígonos conseguem observar em cada uma das grelhas?
2.3. Investiguem se existe alguma relação entre os polígonos obtidos e os
ângulos de vértice A
do triângulo inicial.
2.4. Procurem explicar a relação entre os polígonos obtidos e os ângulos de
vértice A do triângulo
inicial.
2.5. Indiquem o n.º de eixos de simetria de cada polígono obtido pelo “jogo“ de
espelhos.
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Grelhas para pintar e explorar:
C
Grelha 1
A
C
Grelha 2
B
A B
A
C
A
B
C
Grelha 3
Grelha 4
B
A B
C
B
Grelha 5
Grelha 6
C
A
NPMATEB 2009/10

NPMATEB 2009/10 37
Planificação da Tarefa 5: O milagre dos dois espelhos
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos visualizem
rosáceas
usando espelhos e identifiquem simetrias axiais e rotacionais numa rosácea, com
especial
destaque para a composição de polígonos regulares através da rotação de
triângulos.
Tópicos matemáticos: Reflexão, Rotação e Translação
. Medir, em graus, a amplitude de um ângulo.
. Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural
. Compreender as noções de simetria rotacional e axial;
. Identificar as simetrias de rosáceas;
. Construir rosáceas;
vocabulário
próprio;
Recursos: Espelhos, grelhas com triângulos, tesoura e lápis de cor. Transferidor
e
calculadora (facultativo). Retroprojector e 2 acetatos com a rosácea do
enunciado.

Nos primeiros 10 minutos o professor deve interpretar a tarefa com os alunos. Os
alunos, a
pares, devem ter 30 minutos para resolverem a 1.ª e a 2.ª questão. Nos 30
minutos seguintes
realiza-se a discussão em grande grupo e, nos últimos 20 minutos da aula faz-se
a
sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.
Na exploração da 2.ª questão pretende-se que os alunos identifiquem o
dodecágono, o octógono,
o hexágono, o pentágono, o quadrado e o triângulo.
Pretende-se que os alunos encontrem uma relação entre os polígonos obtidos e as
amplitudes
dos ângulos de vértice A do triângulo inicial, falando na divisão do ângulo giro
(3600) em partes
congruentes (neste caso em 12, 8, 6, 5, 4 e 3).
O professor deve perguntar:
-Através do polígono construído pela rotação do triângulo posso saber qual é a
amplitude do
ângulo do vértice A?
Analisando caso a caso, pretende-se que os alunos cheguem às seguintes
conclusões:
-No dodecágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 300
porque 3600 a
dividir por 12 é 30.
-No octógono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 450
porque 3600 a
-No hexágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 600
porque 3600 a
-No pentágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 720
porque 3600 a
-No quadrado o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 900
porque 3600 a
-No triângulo o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 1200
porque 3600 a
O professor pode perguntar: será que os números 30, 45, 72, 90 e 120 têm algo em
comum?
Pretende-se que os alunos relembrem, que estes números são divisores de 360 e
que todos eles
(incluindo o 360) são múltiplos de 3. O professor pode pedir contra-exemplos
para que os alunos
verifiquem que só conseguem construir uma rosácea se o ângulo for divisor de
360º.
NPMATEB 2009/10

Na síntese deve registar-se que as rosáceas obtidas foram conseguidas a partir
de um dado
triângulo considerando o seu transformado por sucessivas reflexões e que estas
rosáceas têm
por simetrias reflexões e rotações.
Como a amplitude do ângulo que os livros de espelhos definem é diferente em cada
caso, o
conjunto das simetrias da rosácea que se obtém é também diferente.
O uso do transferidor para auxiliar os alunos mais incrédulos ou para validar as
respostas fica ao
critério de cada professor, assim como o uso da calculadora.
Embora esta tarefa esteja essencialmente direccionada para a simetria rotacional
também deve
ser explorado o n.º de simetrias axiais de cada polígono usando-se as
explorações realizadas na
tarefa 4, “Descobrir eixos de simetria em polígonos“.
Para ajudar na visualização e na identificação das simetrias de rotação de uma
rosácea, o
professor pode projectar o enunciado da tarefa, identificando cada vértice da
rosácea aí
apresentada. De seguida sobrepõe-lhe outra imagem dessa rosácea e roda-a até que
as
rosáceas voltem a coincidir, identificando assim as 12 simetrias de rotação.
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40
NPMATEB 2009/10

Tarefa 6: Frisos e Mosaicos
1. Sobrepondo as duas filas – a da ficha e a do acetato – expliquem como devem
deslocar o
acetato para que as imagens continuem sobrepostas? Identifiquem as simetrias
observadas
neste friso.
2. Identifiquem as simetrias que observam nos frisos abaixo:
2.1.
2.2.
2.3.
3. Após as vossas explorações, digam o que entendem por friso.
NPMATEB 2009/10

4. Observem estes mosaicos Romanos5 que, devido à romanização, podem encontrar-
se em
vários lugares da Europa. São belos, não são? Pois sabe-se que os romanos
gostavam de usar
figuras simétricas nas suas decorações: essa tendência permanece até aos dias de
hoje. Para
cada figura apresentada, verifiquem se tem simetria e, em caso afirmativo,
caracterizem-na.
5 Adaptação de Field, Robert (1988). Geometric patterns forms roman mosaics.
Norfolk: Tarquin Publications.
NPMATEB 2009/10

NPMATEB 2009/10 44
Planificação da tarefa 6: Frisos e Mosaicos
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos
identifiquem e explorem
as simetrias existentes nos frisos e em rosáceas.
Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação.
Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional.
espaciais.
. Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos.
. Identificar simetrias.
. Identificar as simetrias de frisos e rosáceas;
. Construir frisos;
vocabulário
próprio;
Recursos: Tira em acetato com cada um dos frisos e miras ou espelhos.

Nos primeiros 40 minutos, os alunos realizam a tarefa em grupo de 3 ou 4
elementos. Nos
restantes 50 minutos, o professor inicia a exploração da tarefa em plenário
(comunicação e
discussão) e realiza a sistematização dos conceitos envolvidos.
No início da aula, o professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a
cada grupo um
acetato com cópia de cada um dos frisos e uma mira ou um espelho e papel
vegetal.
Na questão 1 os alunos devem sobrepor o acetato no friso que está na ficha e
proceder de
acordo com as indicações. Espera-se que os alunos identifiquem as simetrias de
translação
existentes no friso.
Na questão 2 os alunos devem identificar, em cada um dos frisos as simetrias
existentes:
-na questão 2.1. reflexões de eixo vertical e translações;
-na questão 2.2. reflexões deslizantes e translações;
-na questão 2.3. rotações de 180º e translações.
Na questão 3 é importante que se ponha em evidência que a figura é infinita e
apresenta sempre
simetrias de translação com a mesma direcção.
Na questão 4, no primeiro mosaico os alunos devem identificar 4 simetrias de
rotação, indicando
o centro e os ângulos (90º, 180º, 270º e 360º). Neste mosaico devem ser
identificados 4 eixos de
simetria. O segundo mosaico apenas apresenta simetria rotacional. Aqui os alunos
podem marcar
o centro e a amplitude do ângulo de rotação. Neste caso a figura fica invariante
se o ângulo de
rotação for de 90º, 180º, 270º e 360º.
O professor pode solicitar que a comunicação das descobertas seja feita em dois
momentos, um
para cada mosaico. Com a análise dos mosaicos pretende-se que sejam visualizadas
as
simetrias de rotação e axial.
No final da aula o professor entrega, aos alunos, uma ficha de avaliação
formativa individual (ver
sugestão, após a planificação da tarefa).
Sugestões de aplicações relacionadas com os subtópicos trabalhados com esta
tarefa:
http://www.innovationslearning.co.uk/subjects/maths/activities/year3/symmetry/sh
ape_ga
me.asp
NPMATEB 2009/10

http://www.mathsisfun.com/flash.php?path=
%2Fgeometry/images/rotation.swf&w=894&h=762&co
l=%23FFFFFF&title=Geometry+Rotation
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/frisos3.htm
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicios.htm
NPMATEB 2009/10

Mini-Ficha Formativa
Rosáceas com esquadros6
1. Contornando um esquadro isósceles constrói a seguinte rosácea:
Descreve o que observas nessa figura construída por ti.
2. Contornando um esquadro escaleno constrói as seguintes rosáceas:
2.1. Identifica as simetrias observadas nas figuras anteriores.
2.2. Explica como é possível indicar os ângulos de rotação, sem fazer quaisquer
medições.
6 Adaptação de Boyer, Carl B. (1996). História da Matemática (2ª ed). S. Paulo:
Editora Edgard Blucher, ltda.
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Tarefa 7: Construir frisos e rosáceas com papel e tesoura7
1. Corta uma tira de papel e dobra-a em fole, como mostra a figura 1.
Figura 1
Desenha uma figura num dos lados –de fora– da tira de papel dobrada.
Recorta a tua figura com cuidado.
Figura 2
Desdobra a tira.
Que simetrias observas?
7 Adaptado de O Ritmo das Formas (Atractor, 2001)
NPMATEB 2009/10

2. Executa dobragens e cortes numa folha de papel de acordo com o esquema
seguinte:
Quando terminares, desdobra o teu trabalho com cuidado.
Que simetrias observas?
3. Descobre quais as dobragens e recortes que tens de fazer para conseguires
produzir trabalhos
como os seguintes:
NPMATEB 2009/10

NPMATEB 2009/10 50
Planificação da tarefa 7: Construir frisos e rosáceas com papel e tesoura
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam
frisos e
rosáceas dobrando e recortando papel e identificando o tipo de simetrias
existente em cada
construção.
. Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo;
. Desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou
vertical;
. Compreender a noção de ângulo;
. Identificar no plano eixos de simetria de figuras;
. Construir frisos e identificar simetrias.
. Compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as
simetrias numa
figura;
. Identificar as simetrias de frisos e rosáceas;
. Construir frisos e rosáceas;
vocabulário
próprio;
Recursos: Papéis de vários tipos (lisos, coloridos, prateados), tesouras.

A tarefa é realizada individualmente nos primeiros 45 minutos. Nos 30 minutos
seguintes
promove-se a discussão em grande grupo, nos quais cada um dos alunos mostra as
suas
produções, criando oportunidade para se analisar o tipo de simetrias existente
em cada trabalho.
Nos últimos 15 minutos da aula, é feita a sistematização da tarefa e dos
conceitos envolvidos.
Na primeira parte da aula os alunos resolvem a tarefa e registam as suas
observações e
conclusões para, posteriormente, na fase discussão, explicarem o tipo de
simetrias que é
possível observar no seu friso e na sua rosácea.
Na fase de sistematização da tarefa é importante que o professor refira que
quando se recorta
uma figura num papel dobrado em fole, cada vinco de dobragem corresponde a um
eixo de
simetria. Todos os frisos e rosáceas construídos por este processo possuem
simetrias de
reflexão.
Na terceira parte da tarefa os alunos identificam os eixos de simetria, fazendo-
os corresponder
aos vincos de dobragem e ao motivo inicial (aquele que deve ser desenhado e
recortado para dar
origem ao friso ou à rosácea). De seguida, os alunos podem experimentar
reproduzir os
exemplos apresentados e verificar as suas respostas.
Os alunos podem ir visitar o museu do azulejo, para observar simetrias. Além
disso, a articulação
com a disciplina de EVT pode revelar-se muito útil na realização desta tarefa.
NPMATEB 2009/10

Reflexão, Rotação e Translação Tarefas Geometria 2o Ciclo

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