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Transformation_de_Lorentz-Poincaré_Karam_Ouharou.pdf
- 1. é é à 1. Quelques définitions é é é à à é è ô é é é é é é é è é é à é é é è é é à é à é è é é é à é é è é é é é é ô é é é à è é é à é é é é ê é è é è ê é é é é é é é é à à é é à é é é ê é
- 2. – 2. Les postulats é à é é é é é é ê é é é é é è è 𝑐 é é è é é é é é è û é é é é é ê è à é à è é é é à é ê é é é é é é é 3. La transformation de Lorentz-Poincaré é é é é é é é é é é é é é é é 𝑂 è à é é (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑂′ à 𝑣 (𝑂𝑥) 𝑡′ è à é é (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′) (𝑂′ 𝑥′) (𝑂𝑥) (𝑂′ 𝑦′) (𝑂′ 𝑧′) è (𝑂𝑦) (𝑂𝑧) 𝑡 = 𝑡′ = 0 ê é (0,0,0,0) é é 𝑀 é é é (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑂 é (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ , 𝑡′) 𝑂′ é à 𝑦′ = 𝑦 𝑧′ = 𝑧 é à (𝑥, 𝑡) (𝑥′ , 𝑡′) é ç é é 𝑥′ = 𝐴(𝑥, 𝑡) 𝑡′ = 𝐵(𝑥, 𝑡) 𝐴 𝐵 𝑥 𝑡
- 3. – é é é é à é é é 𝑀1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑡1) 𝑀2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) é è é (Δ𝑥12, Δ𝑡12) 𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é é é é é é 𝑀1 𝑀2 é é é Δ𝑥12 ′ = 𝑥2 ′ − 𝑥1 ′ = 𝐴(𝑥2, 𝑡2) − 𝐴(𝑥1, 𝑡1) = 𝐴 ˜(𝑥2 − 𝑥1, 𝑡2 − 𝑡1) Δ𝑡12 ′ = 𝑡2 ′ − 𝑡1 ′ = 𝐵(𝑥2, 𝑡2) − 𝐵(𝑥1, 𝑡1) = 𝐵 ˜ (𝑥2 − 𝑥1, 𝑡2 − 𝑡1) é (d𝑥, d𝑡) é é é é d𝑀 ⃗⃗ à 𝑀2 𝑀1 d𝑥′ = 𝐴 ˜( d𝑥, d𝑡) = ∂𝐴 ∂𝑥 d𝑥 + ∂𝐴 ∂𝑡 d𝑡 d𝑡′ = 𝐵 ˜ ( d𝑥, d𝑡) = ∂𝐵 ∂𝑥 d𝑥 + ∂𝐵 ∂𝑡 d𝑡 é é à 𝑥 à 𝑡 𝐴 𝐵 é 𝑥 𝑡 é 𝐴 𝐵 é 𝑥 𝑡 é é é é 𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑡 𝑡′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑡 ( 𝑥′ 𝑡′ ) = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) ( 𝑥 𝑡 ) 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑑 à é 𝑂′ 𝑂, 𝑂′ é (𝑣𝑡, 𝑡) 𝑂′ é é é (0, 𝑡′) 𝑎𝑣 + 𝑏 = 0 𝑡𝑂′ ′ = (𝑐𝑣 + 𝑑)𝑡𝑂′ è é 𝑂 −𝑣 (𝑂′ 𝑥′) à 𝑂′ é ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) −1 = 1 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ( 𝑑 𝑏 −𝑐 𝑎 ) é 𝑂 𝑑𝑣 + 𝑏 = 0 𝑡𝑂 = 1 Δ (𝑐𝑣 + 𝑎)𝑡𝑂 ′ ,
- 4. – Δ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 é é é é 𝑎 = 𝑑 è é é é 𝑂 𝑂′ 𝑐𝑣 + 𝑑 = 1 Δ (𝑐𝑣 + 𝑎) è Δ = 1 à 𝑐 = 1 − 𝑎2 𝑎𝑣 . é 𝑥′ = 𝑎(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝑡′ = 𝑎 (𝑡 + 1 − 𝑎2 𝑎2𝑣 𝑥) à é è 𝑂′′ (𝑂𝑥) à 𝑂 𝑤 (𝑂′ 𝑥′) à 𝑂′ é é é 𝑂′′ à é é 𝑂′ è (10) 𝑥′′ = 𝑎1(𝑥′ − 𝑤𝑡′) 𝑡′′ = 𝑎1 (𝑡′ + 1 − 𝑎1 2 𝑎1 2 𝑤 𝑥′ ) ç 𝑥′ 𝑡′ é é é 𝑂′′ é é 𝑂 𝑥′′ = 𝑎𝑎1 [(1 − 𝑤 1 − 𝑎2 𝑎2𝑣 ) 𝑥 − (𝑣 + 𝑤)𝑡] 𝑡′′ = 𝑎𝑎1 [(1 − 𝑣 1 − 𝑎1 2 𝑎1 2 𝑤 ) 𝑡 − ( 1 − 𝑎2 𝑎2𝑣 + 1 − 𝑎1 2 𝑎1 2 𝑤 ) 𝑥] . é é 𝑥′′ = 𝑎2(𝑥 − 𝑢𝑡) 𝑡′′ = 𝑎2 (𝑡 + 1 − 𝑎2 2 𝑎2 2 𝑢 𝑥) é é é 𝑥 𝑡 é é 𝑤 1 − 𝑎2 𝑎2𝑣 = 𝑣 1 − 𝑎1 2 𝑎1 2 𝑤 à 1 − 𝑎2 𝑎2𝑣2 = 𝑣 1 − 𝑎1 2 𝑎1 2 𝑤2 = 𝜒, ù 𝜒 é 𝑣 𝑤 é é é é 𝑣 𝑂′
- 5. – 𝑎 = 1 √1 + 𝜒𝑣2 . 𝑢 𝑣 𝑤 𝜒 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 1 − 𝜒𝑣𝑤 𝜒 𝜒 = 0 𝑎 = 𝑑 = 1, 𝑏 = −𝑣 𝑐 = 0 é é é é é 𝜒 > 0 ê é é à 1/√𝜒 (𝑣, 𝑤) ∈ ℝ+ ∗ 𝑢 < 0 é é é é é 𝑣𝑤 = 1/𝜒 𝑢 é 𝜒 > 0 é à 1/√𝜒 𝑣 = 𝑤 = 1/(2√𝜒) : 𝑢 > 1/√𝜒 𝜒 < 0 𝑎 é ℝ 𝑣 é à 1/√−𝜒 é 𝑐 é à 1/√−𝜒 é é é 𝑢 é à 𝑐 (𝑣, 𝑤) ∈] − 𝑐, 𝑐[ 2 é à è è é 𝑐 é é é ( 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑐𝑡′ ) = ( 𝛾 0 0 −𝛾𝛽 0 1 0 0 0 0 1 0 −𝛾𝛽 0 0 𝛾 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐𝑡 ) 𝛽 = 𝑣 𝑐 𝛾 = 1 √1 − 𝛽2 𝑣 = 0 à é 𝑣 ≪ 𝑐 é é é ç é é 𝑂′ 𝑣 = 𝑣𝑘 ⃗ ù 𝑘 ⃗ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟, 𝑡) é é 𝑀 é 𝑂′𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟′ ⃗⃗⃗ , 𝑡′ )
- 6. – 𝑟′ ⃗⃗⃗ = 𝛾𝑟∥ − 𝛾𝛽𝑐𝑡𝑘 ⃗ + 𝑟⊥ 𝑡′ = 𝛾𝑡 − 𝛾𝛽 𝑐 (𝑟 ⋅ 𝑘 ⃗ ), 𝑟∥ 𝑟⊥ 𝑟 è 𝑘 ⃗ é é é é à é é é é é 4. Géométrie de l’espace-temps de Minkowski é é é é é é é é é é 𝑀1(𝑐𝑡1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑀2(𝑐𝑡2, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) é 𝐸 é é Δ𝑠2 = Δ𝑠′2 Δ𝑠2 = 𝑐2(𝑡2 − 𝑡1)2 − (𝑥2 − 𝑥1)2 − (𝑦2 − 𝑦1)2 − (𝑧2 − 𝑧1)2 é Δ𝑠2 é é é é é é é ç è à é 𝐸 é 𝑔 𝑔: 𝐸 × 𝐸 → ℝ (𝐱, 𝐲) ↦ 𝑔(𝐱, 𝐲) = 𝜂𝑖𝑗𝑥𝑖 𝑦𝑗 ù é 𝐱 𝐲 é à E é ℬ = {𝐞𝑖}𝑖∈[0,3] é 𝜂𝑖𝑗 é 𝑔 é ∀𝑖 ∈ [0,3] 𝜂0𝑖 = 𝑔(𝐞0, 𝐞𝑖) = 𝛿0𝑖, ∀(𝑖, 𝑗) ∈ [ [1,3] ]2 𝜂𝑖𝑗 = 𝑔(𝐞𝑖, 𝐞𝑗) = −𝛿𝑖𝑗 é (+, −, −, −) é é é é é
- 7. – é é é à 𝑔(𝐱, 𝐱) 𝐱 é é é é é é é é é 𝑀1 = 𝑀2 𝑐2(𝑡2 − 𝑡1)2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 é é ê é 𝐸 à 𝑐 é 𝐸 𝐱 = 𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é 𝑔(𝐱, 𝐱) = 0 𝐱 è 𝑔(𝐱, 𝐱) > 0 𝐱 é é 𝑔(𝐱, 𝐱) < 0 𝐱 é é é é à é é é é é é è à é é ç ê é é â à è é é é é ê é é 𝑣 𝑂′ à 𝑂 è é é é é é é é é é ç Δ𝑠′2 = 𝑓(𝑣)Δ𝑠2 , ù 𝑓 𝑣 é é 𝑓(𝑣) = 1 𝑣 = 0 à é é è é 𝑓 ê Δ𝑠2 = 𝑓(−𝑣)Δ𝑠2 . 𝑓(𝑣)𝑓(−𝑣) = 1 𝑓 é à 𝑣 é é é é é à é é é é é à 2 ê é
- 8. – 𝑂′ (𝑂𝑥) à 𝑣 𝐴 é (𝑐𝑡, 𝑥) é é 𝑂 𝑐 à è é é é é à 𝐴 é 𝐴 = 𝑐𝑡𝐞0 + 𝑥𝐞1 = 𝑐𝑡′ 𝐞0 ′ + 𝑥′ 𝐞1 ′ ù ℬ′ = {𝐞𝑖 ′ }𝑖∈[0,1] é à 𝑂′ 𝐞0 =< 𝐞0, 𝐞0 ′ > 𝐞0 ′ +< 𝐞0, 𝐞1 ′ > 𝐞1 ′ 𝐞1 =< 𝐞1, 𝐞0 ′ > 𝐞0 ′ +< 𝐞1, 𝐞1 ′ > 𝐞1 ′ é 𝑐𝑡′ = ⟨𝐞0, 𝐞0 ′ 𝑐𝑡 + 𝐞1, 𝐞0 ′ 𝑥 𝑥′ = ⟨𝐞0, 𝐞1 ′ 𝑐𝑡 + 𝐞1, 𝐞1 ′ 𝑥 é à 𝑂′ é 𝛽 = 𝑣 𝑐 = − ⟨𝐞0, 𝐞1 ′ ⟨𝐞1, 𝐞1 ′ ⟩ . 𝐞0 ′ 𝐞1 ′ é é < 𝐞0 ′ , 𝐞0 ′ = 𝜂00 = 1 < 𝐞1 ′ , 𝐞1 ′ = 𝜂11 = −1 à 𝐞0 ′ , 𝐞02 − 𝐞0 ′ , 𝐞12 = 1 𝐞1 ′ , 𝐞02 − 𝐞1 ′ , 𝐞12 = −1. à é < 𝐞1, 𝐞1 ′ >2 =< 𝐞1 ′ , 𝐞1 >2 = 1 1 − 𝛽2 Etant donné que, pour 𝑣 = 0, 𝑥 = 𝑥′ et 𝑡 = 𝑡′ implique que < 𝐞1, 𝐞1 ′ >= 1, on déduit < 𝐞1, 𝐞1 ′ >= 1 √1 − 𝛽2 = 𝛾 < 𝐞0, 𝐞1 ′ >= −𝛽𝛾 Enfin, pour un point se déplaçant à la vitesse 𝑐 par rapport à 𝑂 et passant par 𝑂 = 𝑂′ à l'instant 𝑡 = 𝑡′ = 0, la transformation des coordonnées se traduit par
- 9. – 𝑐𝑡′ = (< 𝐞0, 𝐞0 ′ > +< 𝐞1, 𝐞0 ′ >)𝑐𝑡 𝑥′ = (< 𝐞0, 𝐞1 ′ > +< 𝐞1, 𝐞1 ′ >)𝑐𝑡 é é é à 𝑐 à 𝑂′ 𝑥′ = 𝑐𝑡′ é é < 𝐞0, 𝐞0 ′ > +< 𝐞1, 𝐞0 ′ >=< 𝐞0, 𝐞1 ′ > +< 𝐞1, 𝐞1 ′ > é à < 𝐞0, 𝐞0 ′ > +< 𝐞1, 𝐞0 ′ >= 𝛾(1 − 𝛽). (32) (37) < 𝐞0, 𝐞0 ′ >= 1 √1 − 𝛽2 = 𝛾 < 𝐞1, 𝐞0 ′ >= −𝛽𝛾. é é é 𝛾 𝑐 𝛾 à +∞ è é 𝜃 𝛾 = cosh(𝜃) 𝛽 é é à −sinh(𝜃)/𝛾 à −tanh(𝜃) é à é é 𝐿(𝜃) = ( cosh(𝜃) 0 0 sinh(𝜃) 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh(𝜃) 0 0 cosh(𝜃) ) det(𝐿(𝜃)) = 1 é ê é à (𝑂𝑥𝑡) è 𝜃 é é 𝐿(𝜃1)𝐿(𝜃2) = 𝐿(𝜃1 + 𝜃2). 𝛽 é à −tanh(𝜃) è è à (𝑂𝑥) 𝑤 = 𝑣1 + 𝑣2 1 + 𝑣1𝑣2/𝑐2 ù 𝑤 à 𝜃12 = 𝜃1 + 𝜃2, 𝑣1 à 𝜃1 𝑣2 à 𝜃2 é 𝑣1 𝑣2 é à 𝑐 𝑤 é à 𝑐 é
- 10. – 𝜃13 = 𝜃12 + 𝜃23 è 𝐿(𝜃1) 𝐿(𝜃2) é é é 𝑂 é 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 é é 𝑂′ à 𝑣 à 𝑂 ê é é é é é é 𝑂 é à 𝜃 𝑣 → 𝑐 ê 1/𝑐 𝑂 é à 𝑡0 ô è é é (𝑐𝑡 − 𝑡0)2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 è é é é à é ô 3 é è é é 𝜃 ô è 𝑂 è é é é à 𝑐 ê ô è ê é à (𝑐 → +∞) ô è é 𝑡 = 𝑡0