1. Um Estudo sobre
N˜ o-Comutatividade e
a
Dualidade T em
Cordas Bosˆ nicas
o
Rafael D’Andrea Alves da Rocha
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga

2. Um Estudo sobre N˜ o-Comutatividade e
a
Dualidade T em Cordas Bosˆ nicas
o
Rafael D’Andrea Alves da Rocha
Tese de Mestrado apresentada ao Programa de
P´ s-Graduacao em F´sica, Instituto de F´sica, da
o ¸˜ ı ı
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necess´ rios a obtencao do
a ` ¸˜
t´tulo de Mestre em Ciˆ ncias (F´sica).
ı e ı
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga
Colaborador: Carlos Alfonso M. Ball´ n Bayona
o
Rio de Janeiro
Marco de 2008
¸

4. D’Andrea, Rafael
Um Estudo sobre N˜ o-Comutatividade e Dualidade T em
a
Cordas Bosˆ nicas/ Rafael D’Andrea A. da Rocha. Rio de
o
Janeiro: UFRJ/IF, 2008.
xi, 91f.: il. ; 30cm.
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Dissertacao (Mestrado) - UFRJ / Instituto de F´sica /
¸˜ ı
Programa de P´ s-graduacao em F´sica, 2008.
o ¸˜ ı
Referˆ ncias Bibliogr´ ficas: f. 90-93.
e a
1. Teoria de Cordas. 2. N˜ o-Comutatividade. 3. Du-
a
alidade T. 4. Quantizacao de Dirac. 5. D-branas. I. Braga,
¸˜
Nelson Ricardo de Freitas. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro. Instituto de F´sica. Programa de P´ s-graduacao
ı o ¸˜
em F´sica. III. Um Estudo sobre N˜ o-Comutatividade e D-
ı a
ualidade T em Cordas Bosˆ nicas.
o

5. Resumo
Um Estudo sobre N˜ o-Comutatividade e Dualidade T em Cordas
a
Bosˆ nicas
o
Rafael D’Andrea Alves da Rocha.
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Colaborador: Carlos Alfonso M. Ball´ n Bayona.
o
Resumo da Dissertacao de Mestrado submetida ao Programa de P´ s-graduacao em F´sica, Instituto de F´sica,
¸˜ o ¸˜ ı ı
da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´ rios a obtencao do t´tulo de
a ` ¸˜ ı
Mestre em Ciˆ ncias (F´sica)
e ı
A dissertacao e um estudo sobre n˜ o-comutatividade e dualidade T em D-branas de cor-
¸˜ ´ a
das bosˆ nicas. Particularmente, o objetivo e investigar se (ou como) a n˜ o-comutatividade
o ´ a
se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magn´ tico, este sendo um espaco
e ¸
n˜ o-comutativo. O trabalho organiza-se como a seguir: 1. Introducao da corda bosˆ nica. 2.
a ¸˜ o
Quantizacao da corda. Surgimento da n˜ o-comutatividade em cordas ligadas a D-branas com
¸˜ a
campo de fundo constante. 3. Breve exposicao sobre dualidade T em cordas fechadas e abertas.
¸˜
Apresentacao dos ”candidatos” a sistema dual. 4. Quantizacao dos candidatos. 5. Conclus˜ es.
¸˜ ¸˜ o
Palavras-chave: teoria de Cordas, n˜ o-comutatividade, dualidade T, quantizacao de Dirac, quantizacao
a ¸˜ ¸˜
simpl´ tica, D-branas.
e
Rio de Janeiro
Marco de 2008
¸

6. Abstract
A Study of Noncommutativity and T-Duality in Bosonic Strings
Rafael D’Andrea Alves da Rocha.
Advisor: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Collaborator: Carlos Alfonso M. Ball´ n Bayona.
o
Abstract da dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ s-graduacao em F´sica, Instituto de F´sica,
¸˜ o ¸˜ ı ı
da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´ rios a obtencao do t´tulo de
a ` ¸˜ ı
Mestre em Ciˆ ncias (F´sica)
e ı
The dissertation is a study on noncommutativity and T-duality in D-branes for bosonic
strings. In particular, the goal is to figure out whether (or how) noncommutativity appears in a
system dual to a D2-brane with background, which a known noncommutative space. The work
is organized as follows: 1. The bosonic string setup is introduced. 2. The string is quantized by
means of several methods; noncommutativity shows up for a D2-brane with a constant B-field
spread over it. 3. A brief explanation on T-duality in closed and open strings is given; the
candidates for a dual system are presented. 4. Those candidates are quantized. 5. Conclusions.
Key-words: string theory, noncommutativity, T-duality, Dirac quantization, symplectic quanti-
zation, D-branes.
Rio de Janeiro
March 2008

8. ´
Indice
¸˜
1 Introducao 6
1.1 A acao da corda bosˆ nica livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ o 6
1.2 Introducao dos campos de fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 9
1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de contorno . . . . . . . . . .
¸˜ 13
1.4 A expans˜ o em modos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 16
¸˜
2 Quantizacao e N˜ o-Comutatividade
a 18
2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ ¸˜ 18
2.2 Quantizacao simpl´ tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ e 23
2.3 Quantizacao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 25
3 Dualidade T 33
3.1 Cordas fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Cordas fechadas em R1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Cordas fechadas em S 1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Cordas abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Caso livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 D2-brana num toro T 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Uma prescricao para a dualizacao de X 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ ¸˜ 48
3.2.4 Uma outra dualizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 51
3.2.5 Dualizando X 1 e X 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
xi

9. xii
¸˜
4 Quantizacao do Sistema Dual 60
4.1 Dualizacao por condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ ¸˜ 60
4.1.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ ¸˜ 60
4.1.2 Quantizacao via m´ todo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ e 63
4.2 Dualizacao por multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 66
4.3 Dualizacao de X 1 e X 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 68
Apˆ ndices
e 69
e ¸˜
A M´ todo de quantizacao de Dirac para a corda livre num espaco 1-d
¸ 69
B C´ lculo da massa
a 76
B.1 Cordas fechadas em R1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.2 Cordas fechadas em S 1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.3 Cordas abertas livres em S1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.4 D2-brana num toro T 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.5 Sistemas duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C Conex˜ es entre simetrias da teoria e simetrias do toro
o 85
D Descricao da worldsheet com X i adimensionais
¸˜ 88
Conclus˜ es
o 90

10. Primeiras palavras
¸˜
Motivacao: Uma breve hist´ ria das cordas
o
A teoria de cordas surgiu nos anos 60 como uma tentativa de descrever as interacoes fortes.
¸˜
Ap´ s um per´odo inicial de popularidade, essa iniciativa foi suplantada em 1974 pela rec´ m-
o ı e
nascida cromodinˆ mica quˆ ntica. N˜ o obstante, logo em seguida se descobriu que o gr´ viton
a a a a
surge naturalmente nessa descricao baseada em cordas, e comecou-se a pensar nas cordas como
¸˜ ¸
um modelo para a gravitacao. Estava inaugurada a teoria de cordas bosˆ nicas.
¸˜ o
No entanto, a teoria tinha problemas. Por exemplo, o espectro das cordas apresentava esta-
dos de massa negativa (t´ quions). Al´ m disso, percebeu-se que a teoria apresentaria anomalias
a e
a menos que o espaco-tempo tivesse inopinadas 26 dimens˜ es; demais, os f´ rmions n˜ o eram
¸ o e a
descritos pela teoria. Para consertar esses embaracos, acrescentou-se-lhe a supersimetria, que
¸
promoveu as cordas a “supercordas”, e n˜ o s´ introduziu os f´ rmions no jogo como eliminou os
a o e
t´ quions. E, se n˜ o livrou a teoria das inacredit´ veis 22 dimens˜ es extras, reduziu seu n´ mero
a a a o u
para mais toler´ veis 6, constituindo um espaco-tempo de (1+9) dimens˜ es.
a ¸ o
Na d´ cada de 80, com a chamada primeira revolucao das supercordas, a teoria despontou
e ¸˜
como uma poss´vel descricao de todas as interacoes conhecidas, e portanto uma promessa de
ı ¸˜ ¸˜
unificacao da f´sica. Foi nessa epoca que comecou a ser chamada de “teoria de tudo”. Vier-
¸˜ ı ´ ¸
am os anos 90, e, com eles, a segunda revolucao das supercordas, que trouxe as D-branas, as
¸˜
equivalˆ ncias da teoria (tais como a dualidade T), e a correspondˆ ncia AdS/CFT [18], que en-
e e
gatilhou uma nova busca por descricoes das interacoes fortes via modelos fenomenol´ gicos de
¸˜ ¸˜ o
1

11. 2
cordas, uma area muito ativa hoje na f´sca te´ rica. Ela possui muitas caracter´sticas de interesse
´ ı o ı
matem´ tico e incorpora naturalmente todas as propriedades essenciais do Modelo Padr˜ o, tais
a a
como grupos de calibre n˜ o-abelianos e As supercordas, entretanto, tˆ m seus cr´ticos, que n˜ o
a e ı a
s˜ o poucos. A teoria ainda n˜ o foi verificada f´ rmions quirais. experimentalmente. Na ver-
a a e
dade, nenhuma vers˜ o da teoria de cordas apresentou qualquer resultado sujeito aos meios de
a
verificcao atuais que difira daqueles de outras teorias. A escala de energia em que seria poss´vel
¸˜ ı
ver o car´ ter “c´ rdico” das part´culas e muito maior do que as dispon´veis experimentalmente.
a o ı ´ ı
O LHC e visto como uma oportunidade sem precedentes de se obter suporte emp´rico a teo-
´ ı `
ria, como a deteccao de part´culas supersim´ tricas ou a observacao de um car´ ter in´ dito da
¸˜ ı e ¸˜ a e
interacao gravitacional condizente com dimens˜ es extras. De qualquer modo, a teoria tal como
¸˜ o
est´ poderia sobreviver mesmo a ausˆ ncia de quaisquer novidades experimentais encorajadoras
a ` e
que o LHC possa trazer, e por isso alguns argumentam [30] que at´ o momento a teoria de
e
cordas n˜ o e false´ vel, e portanto talvez sequer mereca ser chamada de ciˆ ncia.
a ´ a ¸ e
N˜ o est´ claro como as supercordas produzir˜ o um modelo realista e preditivo da natureza,
a a a
se e que um dia o far˜ o. Mas a teoria e elegante, e no m´nimo j´ apresentou a comunidade cien-
´ a ´ ı a `
t´fica novos conceitos, como D-branas e dimens˜ es extras compactificadas, que possivelmente
ı o
ser˜ o parte fundamental de uma descricao completa do Universo. De maneira que, assim me
a ¸˜
parece, n˜ o faltam motivos para investigar o que mais pode advir desta “not´ vel e fascinante
a a
teoria” [4].
¸˜
A dissertacao
Os conceitos-chave nesta dissertacao s˜ o n˜ o-comutatividade, dualidade T e D-branas.
¸˜ a a
Segue abaixo uma explanacao sobre o que s˜ o esses conceitos e o que se prop˜ e fazer com
¸˜ a o
eles neste trabalho.

12. 3
N˜ o-comutatividade
a
Este n˜ o e um assunto novo. Pelo menos desde 1947 [51] concebeu-se um espaco-tempo
a ´ ¸
n˜ o comutativo em mecˆ nica quˆ ntica. No entanto, at´ recentemente n˜ o se levava realmente a
a a a e a
s´ rio tal tipo de tratamento, por raz˜ es que envolvem a n˜ o-localidade intr´nseca a tais modelos
e o a ı
e at´ mesmo quebra da invariˆ ncia de Lorentz e da causalidade [10, 22].
e a
No entanto, h´ mais de uma boa raz˜ o para estudar n˜ o-comutatividade. Uma delas seria a
a a a
possiblidade de melhorar a divergˆ ncia UV em teorias de campos. Uma segunda motivacao e
e ¸˜ ´
a tentativa de se encontrar variantes de teorias de Yang-Mills que sejam mais trat´ veis pertur-
a
bativamente. Entre essas variantes, figuram teorias de calibre n˜ o-comutativas [40, 52]. Uma
a
outra raz˜ o e a busca pela gravidade quˆ ntica. Talvez espacos n˜ o-comutativos sejam mais ad-
a ´ a ¸ a
a ´
equados para descrever a gravidade a pequenas distˆ ncias. E poss´vel que a gravidade sequer
ı
seja local nessa escala. O fato e que a n˜ o-localidade ainda n˜ o e bem entendida, e n˜ o faria
´ a a ´ a
mal estud´ -la em modelos simples a fim de aplic´ -las em tentativas realistas de se chegar a uma
a a
teoria quˆ ntica da gravitacao.
a ¸˜
Essa e uma das principais motivacoes para a atual atividade na area em teoria de cordas. De
´ ¸˜ ´
fato, a n˜ o-comutatividade surge em modelos muito simples de cordas interagindo com campos
a
de fundo. E o melhor e que as patologias apresentadas em teorias com n˜ o-comutatividade do
´ a
espaco-tempo n˜ o aparecem em teorias de cordas [22]. Um desses modelos simples e analisado
¸ a ´
nesta dissertacao.
¸˜
D-branas
Existem dois tipos gerais de cordas: fechadas e abertas, e v´ rias vers˜ es de teorias de cordas
a o
envolvem ambas (nem todas envolvem as abertas). Cedo se deu conta de que existe um fluxo
de energia pela corda, e no caso da corda aberta isso implica um problema com conservacao da
¸˜
energia. Portanto, uma teoria de cordas abertas consistente deve incluir um lugar para onde a

13. 4
energia flua uma vez que deixe a corda pelas pontas. Esse lugar e a chamada D-brana. Toda
´
corda aberta deve ter cada uma de suas pontas presas a alguma D-brana, que ali´ s, n˜ o e encar-
a a ´
ada como uma estrutura matem´ tica, e sim como um objeto f´sico, t˜ o real quanto as pr´ prias
a ı a o
cordas.
D-branas s˜ o hiper-superf´cies e podem possuir qualquer n´ mero de dimens˜ es, com um
a ı u o
limite m´ ximo estabelecido pela dimensionalidade do espac o-tempo (no caso das cordas bosˆ nicas,
a ¸ o
25 dimens˜ es espaciais). Como as pontas de uma corda aberta n˜ o podem se soltar da D-brana,
o a
decorre que D-branas determinam a condicao de contorno que as cordas devem satisfazer. Uma
¸˜
ponta de corda presa a uma D1-brana que se estende sobre o eixo X 1 pode mover-se apenas
nesta direcao, enquanto que uma ponta de corda presa a uma D25-brana (space-filling brane)
¸˜
est´ livre para mover-se sobre todo o espaco. No caso mais simples, as condicoes de contorno
a ¸ ¸˜
satisfeitas pelas 25 coordenadas de uma ponta de corda s˜ o indepententes entre si, e teremos
a
condicoes de Neumann para todas as direcoes paralelas a D-brana e de Dirichlet (o “D” em
¸˜ ¸˜ `
D-brana e de Dirichlet) para as ortogonais. As coisas se complicam quando existem campos na
´
D-brana, como veremos.
As D-branas, como objetos f´sicos que s˜ o, possuem tens˜ o, massa, e uma acao que deter-
ı a a ¸˜
mina sua dinˆ mica. No entanto, para os nossos fins, basta que elas sejam tratadas como objetos
a
infinitamente massivos e sem dinˆ mica, e nossa acao n˜ o incluir´ termos de D-branas.
a ¸˜ a a
Dualidade T
A palavra “dualidade” ser´ usada aqui com o significado de equivalˆ ncia f´sica entre difer-
a e ı
entes descricoes ou teorias. Em f´sica, uma dualidade e sempre bem-vinda, porque nos permite
¸˜ ı ´
aplicar resultados de um dado modelo trat´ vel mas n˜ o realista no sistema que efetivamente
a a
queremos descrever, que em geral e bem menos simples e palat´ vel.
´ a
A dualidade T, especificamente, relaciona diferentes teorias de corda (uma vez que se lhes
inclua supersimetria, uma caracter´stica importante de teorias de cordas mais realistas mas que
ı
n˜ o ser´ inclu´da nesta dissertacao), o que aponta para uma unificacao de duas das diferentes
a a ı ¸˜ ¸˜

14. 5
vers˜ es de supercordas (quais sejam, IIA e IIB) [16, 20, 4]. Para n´ s, no entanto, o que interessa
o o
e que a dualidade T aparece sempre que se tˆ m espacos em que ao menos uma direcao possui a
´ e ¸ ¸˜
topologia de uma c´rculo (o que chamaremos de “compactificacao”), e conecta um espaco com
ı ¸˜ ¸
raio de compactificacao pequeno a um de raio grande (essencialmente, de raio inverso). Mais
¸˜
detalhes sobre essa propriedade a conferir no cap´tulo 3.
ı
Roteiro do trabalho
´
E sabido [1, 23, 8, 14, 5] que uma D-brana com campo magn´ tico (ou, equivalentemente,
e
um campo de Kalb-Rammond) configura um espaco n˜ o-comutativo. Nosso objetivo principal
¸ a
e estabelecer a permanˆ ncia (ou n˜ o) do car´ ter n˜ o-comutativo na teoria que cont´ m o espaco
´ e a a a e ¸
dual a esse (dual via dualidade T, entenda-se). Chegamos a um resultado surpreendente, que
pede uma reinterpretacao do papel f´sico desempenhado pelas propriedades de comutacao de
¸˜ ı ¸˜
campos em dimens˜ es compactificadas. Pelo caminho, encontramos mais de uma maneira de
o
encontrar o espaco dual (cap´tulo 3), e um curioso paralelismo entre simetrias da nossa teoria e
¸ ı
simetrias do toro sobre o qual a situamos (apˆ ndice C).
e
No cap.1, introduzimos a acao da corda bosˆ nica, o tal sistema da D-brana com um cam-
¸˜ o
po magn´ tico, as expans˜ es de Fourier dos campos e da hamiltoniana, e mostramos a incon-
e o
sistˆ ncia dos comutadores canˆ nicos no sistema referido. No cap.2, apresentamos trˆ s difer-
e o e
entes maneiras consistentes de quantizar as cordas, o que nos leva as relacoes de comutacao
` ¸˜ ¸˜
apropriadas. No cap.3, falamos de dualidade T, mostramos como ela assoma em sistemas sim-
ples e, em particular, obtemos o espaco dual ao sistema de interesse deste estudo. No cap.4,
¸
aplicamos os m´ todos de quantizacao do cap.2 ao sistema dual apresentado no cap.3. Fechamos
e ¸˜
com as conclus˜ es e os apˆ ndices.
o e

15. Cap´tulo 1
ı
¸˜
Introducao
Neste cap´tulo apresentamos o ferramental b´ sico da teoria de cordas bosˆ nicas abertas,
ı a o
delineamos o sistema sobre o qual desejamos nos deter, e mostramos por que a quantizacao
¸˜
canˆ nica n˜ o funciona para ele.
o a
A corda bosˆ nica possui coordenadas X i (τ, σ) e momentos canˆ nicos P i (τ, σ), como se
o o
ver´ . Assim, parece razo´ vel postular os comutadores canˆ nicos
a a o
(X i (τ, σ), P j (τ, σ )) = iδ ij δ(σ − σ )
(X i (τ, σ), X j (τ, σ )) = 0 (1.1)
(P i (τ, σ), P j (τ, σ )) = 0.
No entanto, e necess´ rio verificar a compatibilidade dos comutadores com as condicoes
´ a ¸˜
de contorno para uma corda aberta. O campo de fundo (background) altera as condicoes de
¸˜
contorno que aparecem para a acao de corda livre, de modo que n˜ o e autom´ tico que relacoes
¸˜ a ´ a ¸˜
de comutacao que valham em um caso sejam aceit´ veis em outro. A bem da verdade, mesmo
¸˜ a
para uma corda livre os comutadores acima n˜ o s˜ o permitidos.
a a
¸˜
1.1 A acao da corda bosˆ nica livre
o
6

16. 7
Devido ao fato de que uma part´cula relativ´stica livre se move numa geod´ sica sobre o
ı ı e
espaco-tempo, sua acao e aquela que extremiza o comprimento invariante de sua trajet´ ria (linha
¸ ¸˜ ´ o
de mundo, ou worldline),
Sparticula ∝ ds, (1.2)
Da mesma forma, a acao de um objeto de p dimens˜ es movendo-se no espaco-tempo e
¸˜ o ¸ ´
proporcional ao hiper-volume (p+1)-dimensional da trajet´ ria [20, 13, 4, 17, 16]. Para o caso
o
ı a ¸˜ ´ ` ´
espec´fico de cordas, que s˜ o objetos bidimensionais, a acao e proporcional a area de sua folha
de mundo ou worldsheet (que nada mais e que a extens˜ o natural da linha de mundo de uma
´ a
part´cula a corda):
ı `
S=T d2 σ − det Gαβ (1.3)
onde T e a tens˜ o da corda e a m´ trica induzida e dada por
´ a e ´
Gαβ = gµν (X)∂α X µ ∂β X ν α, β = 0, 1. (1.4)
e a worldsheet e parametrizada pelas coordenadas σ 0 = τ , de car´ ter temporal, e σ 1 = σ,
´ a
de car´ ter espacial. Para cordas abertas, σ assume valores num intervalo finito (que aqui e
a ´
escolhido como σ ∈ [0, π], sendo que σ = 0 corresponde a uma das pontas da corda e σ = π
corresponde a outra). No caso de cordas fechadas, σ e peri´ dico (j´ que as “pontas” devem ser
` ´ o a
identificadas).
O espaco no qual a worldsheet est´ inserida e descrito pelas coordenadas X µ (τ, σ), cf.
¸ a ´
Fig.1.2.
Para o caso de um espaco de Minkowski, a acao (1.3) toma a forma
¸ ¸˜
SN G = T d2 σ ˙ ˙
(X · X )2 − X 2 X 2 , (1.5)
chamada acao de Nambu-Goto [31]. O ponto denota derivada em τ , e a linha, em σ. Devido
¸˜
a raiz quadrada que aparece em 1.5, esta acao e complicada de quantizar. Para contornar esse
` ¸˜ ´
problema, usa-se uma acao classicamente equivalente: a chamada acao de modelo sigma de
¸˜ ¸˜

17. 8
Figura 1.1: worldline de uma part´cula, worldsheet de uma corda aberta, e worldsheet de uma
ı
corda fechada
Figura 1.2: Worldsheet no embedding space. A linha na worldsheet representa uma corda num
dado tempo τ . Um ponto da corda e mapeado para as coordenadas X µ (τ, σ).
´
cordas, ou acao de Polyakov [20, 4]:
¸˜
T √
Sσ = d2 σ −hhαβ ∂α X · ∂β X, (1.6)
2
Repare que a´ se utiliza um campo auxiliar, a m´ trica da worldsheet, hα,β , com h = det hαβ
ı e
e hα,β = (h−1 )α,β . Esta acao possui simetrias, que nos permitir˜ o, ao serem fixadas com
¸˜ a
escolhas de calibre convenientes, tornar a quantizacao particularmente simples. Ei-las:
¸˜
• Transformacoes de Poincar´
¸˜ e

18. 9
• Reparametrizacoes. A acao e invariante sob os difeomorfismos
¸˜ ¸˜ ´
∂f γ ∂f δ
σ α → f α (σ) = σ α , hαβ (σ) = hγδ (σ )
∂σ α ∂σ β
• Transformacoes de Weyl. A acao e invariante sob a transformacao de escala
¸˜ ¸˜ ´ ¸˜
hαβ → eφ(σ,τ ) hαβ , δX µ = 0
As ultimas duas s˜ o simetrias locais, que podem ser usadas para escolher um calibre em que
´ a
a m´ trica hαβ assume uma forma particular. Fixaremos nossa m´ trica como se segue:
e e
 
 1 0 
hαβ = η αβ =   (1.7)
0 −1
Com isso, (1.6) toma a forma
T ˙
S= d2 σ(X 2 − X 2 ) (1.8)
2
A tens˜ o T da corda pode ser escrita em termos de um parˆ metro da teoria de cordas, o
a a
parˆ metro de Regge (Regge slope), α , que remonta aos prim´ rdios da teoria de cordas e prov´ m
a o e
da associacao das trajetorias de Regge observadas para hadrons a estados de cordas. A relacao
¸˜
1
e [31] T =
´ 2πα
. Esse parˆ metro tamb´ m se relaciona com a escala de comprimento da corda,
a e
√
ls , sendo ls = 2α . Para simplificar a notacao, estabeleceremos daqui em diante T = 1 [8].
¸˜
Est´ , pois, apresentada a acao para a corda livre. Estaremos interessados, entretanto, no
a ¸˜
caso em que existe um campo de fundo com o qual a corda interage.
¸˜
1.2 Introducao dos campos de fundo
Quando se calcula o espectro de cordas abertas e fechadas, aparecem campos n˜ o mas-
a
sivos (entre eles, o gr´ viton e o f´ ton). Estes campos, assim como as D-branas, possuem uma
a o

19. 10
dinˆ mica ditada por uma acao. Novamente como com as D-branas, n˜ o estamos interessados
a ¸˜ a
na dinˆ mica deles, e sim em como eles afetam a dinˆ mica das cordas, de modo que aqui ol-
a a
haremos apenas para o termo de interacao da corda com os campos. Estes, pois, ser˜ o tratados
¸˜ a
como campos de fundo prescritos. No caso, para nossos fins (quais sejam, de obter um espaco
¸
n˜ o-comutativo), basta-nos considerar a interacao da corda aberta com dois desses campos, o
a ¸˜
campo de Kalb-Rammond [31] e o de Maxwell. Na verdade, sequer precisamos considerar os
dois. O acoplamento deles com as cordas e tal que, como ser´ mostrado abaixo, existe uma
´ a
liberdade de calibre que nos permite ajustar, e.g., o campo de Maxwell para zero.
Investiguemos, portanto, o caso de cordas abertas interagindo com um campo de fundo
composto por um campo antissim´ trico de Kalb-Rammond e um campo de Maxwell. A acao
e ¸˜
ser´ composta do termo livre (1.8) mais os termos de interacao com os respectivos campos [20]:
a ¸˜
S = Sf + SB + SA
1 ˙ ˙
Sf = d2 σ gµν (X µ X ν − X µ X ν )
2
1
SB = d2 σ αβ
Bµν ∂α X µ ∂β X ν
2
SA = dτ Aµ ∂τ X µ |σ=0
σ=π
(1.9)
 
αβ 0 1 
onde = .
−1 0
Podemos expressar SA em uma forma mais interessante. Seja F = dA uniforme. Temos
Aµ = − 1 Fµν X ν , e
2
1
SA = − dτ Fµν X ν ∂τ X µ |σ=0
σ=π
2
1
= − dτ dσ∂σ (Fµν X ν ∂τ X µ )
2
1 1
= − dτ dσFµν ∂σ X ν ∂τ X µ − dτ dσFµν X ν ∂σ ∂τ X µ
2 2

20. 11
Integrando por partes em τ o ultimo termo, temos
´
1 1 1
SA = − dτ dσFµν ∂σ X ν ∂τ X µ + dτ dσFµν ∂τ X ν ∂σ X µ − dσ Fµν ∂σ X ν X µ |τ2
τ1
2 2 2
αβ
= − dτ dσ Fµν ∂α X µ ∂β X ν (1.10)
onde se supˆ s Fµν (τ1 ) = Fµν (τ2 ) = 0.
o
Note-se que a acao resultante,
¸˜
1
S= d2 σhαβ gµν ∂α X µ ∂β X ν + αβ
(Bµν − Fµν )∂α X µ ∂β X ν , (1.11)
2
possui uma simetria de calibre nos campos de background,


 Bµν → Bµν + ∂(µ Λν)
(1.12)

 Fµν → Fµν + ∂(µ Λν)
de modo que o campo fisicamente significativo (invariante de calibre) e F := B − F . Isso sig-
´
nifica que podemos escolher um calibre em que, por exemplo, B = 0, ou F = 0. Trabalharemos
com este ultimo. Nossa acao, portanto, simplifica-se:
´ ¸˜
1
S= d2 σ(hαβ gµν + αβ
Bµν )∂α X µ ∂β X ν . (1.13)
2
Usamos o princ´pio variacional para encontrar as equacoes de movimento e as condicoes de
ı ¸˜ ¸˜
contorno:
1
δS = d2 σ(∂α X µ ∂β δX ν + ∂α δX µ ∂β X ν )(hαβ gµν + αβ
Bµν )
2
1
= d2 σ ∂β (∂α X µ δX ν (hαβ gµν + αβ
Bµν )) − δX ν ∂α ∂β X µ (hαβ gµν + αβ
Bµν )
2
1
= d2 σ ∂β (∂α X µ δX ν (hαβ gµν + αβ
Bµν )) − δX ν ∂α ∂β X µ hαβ gµν
2
= 0. (1.14)
Na segunda linha, integramos por partes, e, na terceira, eliminamos o ultimo termo pela
´

21. 12
αβ
antissimetria de . A equacao de movimento e, portanto,
¸˜ ´
hαβ ∂α ∂β gµν X µ = 0 (1.15)
Vemos, com isso, que o campo B n˜ o contribui para a equacao de movimento (que e a
a ¸˜ ´
mesma encontrada no caso B = 0), o que e esperado, j´ que o campo interage com a corda
´ a
somente nas pontas. Para o termo de superf´cie, encontramos
ı
δX ν (∂σ gµν X µ + ∂τ Bµν X µ ) = 0. (1.16)
Vamos trabalhar com um campo Bµν constante e uniforme e tal que B12 = −B21 = B e
Bµ,ν = 0 ∀ µ, ν = 1, 2.1 Al´ m disso, estaremos num espaco plano de Minkowski, gµν = ηµν =
e ¸
diag{−1, 1, ..., 1}. A equacao de movimento torna-se a equacao de onda
¸˜ ¸˜
¨
X µ (τ, σ) − X µ (τ, σ) = 0, µ = 0, 1, ..., 25. (1.17)
Usaremos o calibre est´ tico, X 0 (τ, σ) = τ . Neste calibre, a equacao de movimento (1.17) e
a ¸˜ ´
trivialmente satisfeita para µ = 0.
Do conjunto de condicoes de contorno que anulam o termo de superf´cie, escolhemos o
¸˜ ı
seguinte:




 X a |σ=0,π = 0, a = 0, 3, 4, ..., 25

˙
X 1 + B X 2 |σ=0,π = 0 (1.18)




 X 2 − B X 1 |σ=0,π = 0
˙
Nos limites B = 0 e B → ∞, obtemos condicoes de Neumann e Dirichlet, respectivamente.
¸˜
Portanto, eis a´ a contribuicao do campo B: ele torna o que seriam as usuais condicoes de
ı ¸˜ ¸˜
contorno de Neumann e de Dirichlet em condicoes mistas, e que correlacionam as coordenadas
¸˜
1
Repare-se que isso e equivalente, por uma transformacao de calibre do tipo (1.12), a ter-se F12 = B e Fµν =
´ ¸˜
0 ∀ µ, ν = 1, 2. Em outras palavras, um campo B de Kalb-Rammond constante sobre todo o espaco-tempo e ¸ ´
fisicamente equivalente a um campo magn´ tico constante sobre a superf´cie onde as cordas prendem suas pontas.
e ı

22. 13
X 1 e X 2 . Veremos que este sistema n˜ o e compat´vel com os comutadores canˆ nicos, fazendo-
a ´ ı o
se necess´ rios m´ todos de quantizacao que levem em conta esse conjunto de condicoes de
a e ¸˜ ¸˜
contorno.
¸˜
1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de con-
torno
Vamos analisar a estrutura canˆ nica desta corda bosˆ nica. Da acao (1.13), temos a la-
o o ¸˜
grangeana
1 ˙ ˙ ˙
L(τ ) = dσ (X)2 − (X )2 + 2B(X 1 X 2 − X 1 X 2 ) (1.19)
2
Os momentos conjugados2 s˜ o
a
˙
P a (τ, σ) = X a (τ, σ) (1.20)
˙
P 1 (τ, σ) = X 1 (τ, σ) + BX 2 (τ, σ) (1.21)
˙
P 2 (τ, σ) = X 2 (τ, σ) − BX 1 (τ, σ) (1.22)
Nota: Como se pode ver, a escolha de Bµν = 0 ∀ µ, ν = 1, 2 deixa as coordenadas X a into-
cadas, com o momento e as condicoes de contorno usuais. Doravante, portanto, registraremos
¸˜
X a apenas quando for relevante.
Escrevamos as c.c. (condicoes de contorno) em funcao de X e P:
¸˜ ¸˜
MX 1 + BP 2 |σ=0,π = 0 (1.23)
MX 2 − BP 1 |σ=0,π = 0 (1.24)
com M := 1 + B 2 . Conforme veremos no Cap´tulo 2, podemos encarar (1.23) e (1.24) como
ı
2
A rigor, densidades de momento.

23. 14
v´nculos. Nesse caso, o comutador entre (1.23) e (1.24) deve se anular:
ı
(MX 1 (σ) + BP 2 (σ)|σ=0 , MX 2 (σ ) − BP 1 (σ )|σ =0 ) ≈ 0
Se aplicarmos as relacoes usuais de comutacao, (1.1), e usarmos a relacao entre a distribuicao
¸˜ ¸˜ ¸˜ ¸˜
de Dirac e sua derivada δ (x) = −δ(x)/x [29], isso torna-se
−MB (∂σ X 1 (σ), P 1 (σ ))|σ,σ =0 + (∂σ X 2 (σ ), P 2 (σ))|σ,σ =0 =
δ(σ − σ )
−2MB ∂σ δ(σ − σ ) |σ,σ =0 = 2MB |σ,σ =0 ≈ 0, absurdo !
σ−σ
Outra maneira de constatar esse conflito e discretizar a coordenada σ, dividindo o intervalo
´
[0, π] numa malha de N pontos, com N → ∞:
X i (σ) → Xn
i
X i (σ = 0, π) → X0,π
i
i i
com X0 e Xπ correspondendo as pontas σ = 0 e σ = π, respectivamente. A lagrangeana
`
discretizada e
´
1 ˙ 1 2B ˙ 1 2 1 ˙
L→ ( Xn ) 2 − 2
(Xn+1 − Xn )2 + Xn (Xn+1 − Xn ) − (Xn+1 − Xn )X 2 , (1.25)
2 1
2 n=0
e os momentos,
1 ˙1 2
Pn = Xn + BXn+1 n (1.26)
2 ˙2 1
Pn = Xn − BXn+1 n (1.27)
Pn
onde Xn+1 n := Xn+1 − Xn . Note-se que no limite → 0, temos P (σ) → , donde Pn e de
´
ordem O( ).

24. 15
Os comutadores canˆ nicos (1.1) para a vers˜ o discretizada s˜ o
o a a
(Xm , Pn ) := δ ij δmn
i j
(1.28)
i j i j
(Xm , Xn ) := (Pm , Pn ) := 0 (1.29)
Observe que, no limite → 0, esses comutadores reproduzem os da vers˜ o cont´nua.
a ı
As c.c. tornam-se
1 1 2
φ1 := (MX10 + BP0 ) = 0 (1.30)
1 2 1
φ2 := (MX10 − BP0 ) = 0. (1.31)
Assim, para que valham as c.c., devemos ter (φ1 , φ2 ) ≈ 0.
1 1 2 2 1
2
(MX10 + BP0 , MX10 − BP0 ) ≈ 0.
Se aplicarmos (1.28) e(1.29), obtemos
MB 1 1 2 2 MB 1 1 2 2
2
−(X10 , P0 ) + (P0 , X10 ) = 2
(X0 , P0 ) + (X0 , P0 ) ≈ 0, (1.32)
o que e uma contradicao.
´ ¸˜
Portanto, vemos que este sistema n˜ o aceita os comutadores canˆ nicos3 . Devemos proceder
a o
a quantizacao com cuidado. Proporemos neste estudo trˆ s m´ todos de quantizacao: quantizacao
` ¸˜ e e ¸˜ ¸˜
via equacao de Heisenberg, a quantizacao simpl´ tica e a quantizacao de Dirac, a serem desen-
¸˜ ¸˜ e ¸˜
volvidos no pr´ ximo cap´tulo. Os dois primeiros m´ todos fazem uso da expans˜ o das coorde-
o ı e a
nadas e momentos em modos de Fourier, que apresentaremos a seguir.
3
A rigor, as relacoes (1.1) devem ser modificadas mesmo no caso de corda livre. A saber, a δ(σ − σ ) deve ser
¸˜
substitu´da por uma funcao semelhante, mas cuja derivada se anule para σ ( ) = 0, π
ı ¸˜

25. 16
˜
1.4 A expansao em modos de Fourier
A expans˜ o de Fourier da solucao mais geral poss´vel para a equacao de movimento (1.17)
a ¸˜ ı ¸˜
e
´
1 i −inτ 1 i −inτ
X i (τ, σ) = xi + pi τ + wi σ + i αn e cos nσ + β e sin nσ, (1.33)
n=0
n n=0
n n
¸˜ o i ¯i
com i = 1, 2. A condicao de realidade sobre X i (τ, σ) imp˜ e as relacoes αn = α−n , βn = β−n .
¸ ˜ ¯i i
Com isso, podemos reescrever (1.33):
1 i −inτ 1 i −inτ ¯i inτ
X i (τ, σ) = xi +pi τ +wi σ+i (αn e − αn einτ ) cos nσ+
¯i (β e + βn e ) sin nσ.
n>0
n n>0
n n
(1.34)
Vamos introduzir os modos dependentes de τ , αn (τ ) := αn e−inτ , βn (τ ) := βn e−inτ , e a
i i i i
¸ ˜ i+ i
¯i i− i
¯i
notacao αn (τ ) := αn (τ ) + αn (τ ); αn (τ ) := αn (τ ) − αn (τ ); (an´ logo para β). A expans˜ o
a a
fica
i i− 1 i+
X i (τ, σ) = xi + pi τ + wi σ + αn (τ ) cos nσ + βn (τ ) sin nσ. (1.35)
n n
Daqui em diante, o somat´ rio em n > 0 fica impl´cito. Se substituirmos (1.35) em (1.18),
o ı
obtemos relacoes entre os modos de X 1 e X 2 :
¸˜
˙
X 1 + B X 2 |σ=0,π = w1 + βn (τ ) + Bp2 + Bαn (τ ) = 0
1+ 2+
˙
X 2 − B X 1 |σ=0,π = w2 + βn (τ ) − Bp1 − Bαn (τ ) = 0
2+ 1+
⇓
w1 = −Bp2 w2 = Bp1 1 2
βn (τ ) = −Bαn (τ ) 2 1
βn (τ ) = Bαn (τ )
Para simplificar a notacao, vamos renomear os modos:
¸˜
p := p1 w := p2 1
αn (τ ) := αn (τ ) 2
βn (τ ) := αn (τ )

26. 17
Com isso, as expans˜ es para X 1 (τ, σ) e X 2 (τ, σ), tornam-se, finalmente,
o
i − B +
X 1 (τ, σ) = x1 + pτ − Bwσ + αn cos nσ − βn sin nσ (1.36)
n n
i − B +
X 2 (τ, σ) = x2 + wτ + Bpσ + βn cos nσ + αn sin nσ, (1.37)
n n
onde, por brevidade, omitiremos o argumento dos α s e β s, mantendo em mente que eles s˜ o
a
funcoes de τ .
¸˜
As expans˜ es para os momentos (1.21) e (1.22) s˜ o
o a
P 1 (τ, σ) = M(p + αn cos nσ)
+
(1.38)
P 2 (τ, σ) = M(w + βn cos nσ)
+
(1.39)
A hamiltoniana e
´
H(τ ) = ˙
dσ P · X − L
˙ ˙ ˙ ˙ 1 ˙ ˙ ˙
= dσ (X 1 + BX 2 )X 1 + (X 2 − BX 1 )X 2 − (X)2 − (X )2 + 2B(X 1 X 2 − X 1 X 2 )
2
1 π ˙
= dσ (X)2 + (X )2
2 0
1 π
= dσ (P )2 + M(X )2 + 2B(−P 1 X 2 + P 2 X 1 ) (1.40)
2 0
Mπ 2 ¯ ¯
= [(p + w2 ) + αn αn + αn αn + βn βn + βn βn ]
¯ ¯ (1.41)
2
Obs: Conquanto a hamiltoniana receba contribuicoes das coordenadas transversais ao cam-
¸˜
po, X a , a = 3, 4, ..., 25, focaremo-nos apenas nas coordenadas X 1 e X 2 , j´ que, como dito, as
a
transversais comoportam-se de maneira idˆ ntica a do caso livre.
e `

27. Cap´tulo 2
ı
¸˜
Quantizacao e N˜ o-Comutatividade
a
Aqui, apresentamos os m´ todos de quantizacao usados neste estudo (para outras abordagen-
e ¸˜
´
s, cf., e.g., [19, 6, 21]). E neste cap´tulo que obtemos a n˜ o-comutatividade, ao calcularmos as
ı a
relacoes de comutacao numa D2-brana com campo magn´ tico.
¸˜ ¸˜ e
¸˜ ¸˜
2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg
O m´ todo mais simples de encontrar os comutadores (X µ (τ, σ), X ν (τ, σ )), (X µ (τ, σ), P ν (τ, σ )),
e
(P µ (τ, σ), P ν (τ, σ )) consiste em aplicar a equacao de Heisenberg nos operadores X µ . Com-
¸˜
o a ˙
paramos as expans˜ es do comutador entre X i (τ, σ) e a Hamiltoniana com a expans˜ o de X i (τ, σ).
Com isso, fazendo uso de algumas hip´ teses simplificadoras, obtemos muito diretamente os co-
o
mutadores dos modos de expans˜ o. Finalmente, usamos estes para calcular os comutadores
a
desejados.
Usando as expans˜ es (1.35) para X e (1.41) para a hamiltoniana, aplicamos a equacao de
o ¸˜
Heisenberg em X 1 (τ, σ):
Mπ 1 2 i −
(X 1 (τ, σ), H(τ )) = [(x , p + w2 ) + (αn , αm αm + αm αm ) cos nσ −
¯ ¯
2 n
B + ¯ ¯
− (βn , βm βm + βm βm ) sin nσ]
n
˙ + −
= X 1 (τ, σ) = p + αn cos nσ + iBβn sin nσ ,
18

28. 19
onde fizemos nossa primeira hip´ tese, de que os modos-zero xi , p, w comutam com os modos
o
de oscilacao, αn , αn , etc. Comparando os termos em τ e σ, vem
¸˜ ¯
Mπ 1 2
(x , p + w2 ) = p
2
iMπ +
(αn − αn , αm αm + αm αm ) = αn
¯ ¯ ¯
2n
MπB ¯ ¯ ¯ −
− (βn + βn , βm βm + βm βm ) = iBβn
2n
Supondo, agora, que os comutadores1 dos modos de expans˜ o sejam n´ meros, obtemos
a u
1
(x1 , p) = (2.1)
πM
iMπ
[αm (αn , αm ) + (αn , αm )αm − (αn , αm )αm − αm (αn , αm )] =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2n
iMπ +
[(αn , αm )αm + (αm , αn )αm ] = αn
¯ ¯ ¯
n
in
→ (αn , αm ) = −
¯ δmn (2.2)
πM
¯ in
(βn , βm ) = − δmn (2.3)
πM
Aplicando o mesmo procedimento para X 2 (τ.σ), o unico comutador novo e
´ ´
1
(x2 , w) = (2.4)
πM
Todos os outros comutadores se anulam.
1
Na verdade, estes s˜ o os parˆ nteses de Poisson, da teoria cl˜ ssica. Como usaremos sempre a prescricao
a e a ¸˜
usual de quantizacao, [A, B]P.B. → i(A, B), tomaremos a liberdade de nos referirmos aos parˆ nteses de Poisson
¸˜ e
como “comutadores” por todo o resto do trabalho, subentendendo-se sempre essa prescricao para os comutadores
¸˜
quˆ nticos.
a

29. 20
Para futura referˆ ncia, eis algumas expans˜ es de Fourier uteis [3]:
e o ´
1
(1 + 2 cos nσ cos nσ ) = δN (σ − σ )2 , para σ, σ ∈ [0, π] (2.5)
π n>0
1
2 sin nσ sin nσ = δD (σ − σ )3 , para σ, σ ∈ [0, π]. (2.6)
π n>0


 π − (σ + σ ), para 0 < σ + σ < 2π
1
2 sin n(σ + σ ) = (2.7)
n 

n>0 0, σ, σ = 0 ou π
De posse disso, procedemos aos comutadores dos campos:
iM − +
(X 1 (τ, σ), P 1 (τ, σ )) = (X 2 (τ, σ), P 2 (τ, σ )) = M(x1 , p) + (αn , αm ) cos nσ cos nσ
n
1
= (1 + 2 cos nσ cos nσ )
π
= δN (σ − σ ) (2.8)
(X 1 (τ, σ), P 2 (τ, σ )) = (X 2 (τ, σ), P 1 (τ, σ )) = 0 (2.9)
(P 1 (τ, σ), P 2 (τ, σ )) = 0 (2.10)
(X 1 (τ, σ), X 2 (τ, σ )) = (x1 , x2 ) + (x1 , p)Bσ − (w, x2 )Bσ +
iB − + iB + −
(αn , αm ) cos nσ sin mσ − (β , β ) sin nσ cos mσ
nm nm n m
B 1
= (x1 , x2 ) + [(σ + σ) + 2 sin n(σ + σ)] (2.11)
πM n
De (2.7), vemos que o somat´ rio acima sofre uma descontinuidade entre o corpo (bulk) e as
o
pontas da corda. No bulk, ele cancela a dependˆ ncia do comutador em σ e σ . Portanto, nesta
e
regi˜ o (X 1 (τ, σ), X 2 (τ, σ )) e constante,
a ´
B
(X 1 (τ, σ), X 2 (τ, σ )) = (x1 , x2 ) + .
M
Como B n˜ o interage com a corda nesta regi˜ o, e natural impormos (X 1 (τ, σ), X 2 (τ, σ )) =
a a ´

30. 21
B
0, como no caso livre. Com isso, fixamos o valor da constante, (x1 , x2 ) = − M , e podemos
avaliar o comutador (X 1 (σ), X 2 (σ )) em todos os pontos. Resumindo nossos resultados, fi-
camos com
(P i (σ), P j (σ )) = 0 (2.12)
(X i (σ), P j (σ )) = δ ij δN (σ − σ ) (2.13)




 0, 0 < σ, σ < π

(X i (σ), X j (σ )) = ij
− B , ponta σ = σ = 0 (2.14)
 M


 B ij
 , ponta σ = σ = π
M
onde subentendem-se comutadores a tempos iguais.
Nota-se que a unica diferenca entre os comutadores neste sistema e aqueles no caso de uma
´ ¸
D2-brana sem campo e a n˜ o-comutatividade entre X 1 (τ, σ) e X 2 (τ, σ), que, ali´ s, se anula
´ a a
para B = 0. Todas as outras relacoes de comutatividade s˜ o idˆ nticas.
¸˜ a e
A diferenca de sinal entre os comutadores nas pontas
¸
Observe-se que o sinal do comutador na ponta 0 e oposto ao da ponta π. Tal situacao
´ ¸˜
e intrigante porque, em princ´pio, a n˜ o-comutatividade e uma caracter´stica do espaco, n˜ o
´ ı a ´ ı ¸ a
devendo ter dependˆ ncia com a corda.
e
Em [8], argumenta-se que isso e esperado, porque estamos trabalhando com uma teoria de
´
cordas orientadas (isto e, uma teoria sens´vel a uma invers˜ o na orientacao da corda). De fato,
´ ı a ¸˜
se reorientarmos a corda, via uma reparametrizacao σ → σ := π − σ, inverte-se o sinal do
¸˜ ˜

31. 22
acoplamento com o campo B na acao, efetivamente mudando o sinal do campo:
¸˜
π
S = dτ dσ (∂τ X)2 − (∂σ X)2 + 2B(∂τ X 1 ∂σ X 2 − ∂σ X 1 ∂τ X 2 )
0
0
= − dτ d˜ (∂τ X)2 − (∂σ X)2 − 2B(∂τ X 1 ∂σ X 2 − ∂σ X 1 ∂τ X 2 )
σ ˜ ˜ ˜
π
π
= dτ d˜ (∂τ X)2 − (∂σ X)2 − 2B(∂τ X 1 ∂σ X 2 − ∂σ X 1 ∂τ X 2 ).
σ ˜ ˜ ˜
0
Ou seja, a mudanca de sinal no comutador que ocorreria por causa da reorientacao e neu-
¸ ¸˜ ´
tralizada pela correspondente mudanca de sinal de B.
¸
Mas isso n˜ o liquida o problema. Se tivermos uma corda aberta com ambas as pontas presas
a
a uma mesma brana, ou duas cordas de orientacoes opostas tocando a mesma D-brana, difer-
¸˜
entes pontos na D-brana apresentar˜ o diferentes valores para (X 1 , X 2 ). E, e.g., se porventura
a
um ponto da brana que num dado tempo foi visitado por uma ponta da corda vier a ser visitado
pela outra, teremos uma invers˜ o no sinal do comutador ali. Mais ainda, pode-se perguntar o
a
que acontece com a n˜ o-comutatividade na D-brana quando n˜ o h´ cordas presas a ela.
a a a
Figura 2.1: (A) Uma corda com as duas pontas presas a mesma brana; (B) Duas cordas de
`
orientacoes opostas presas a uma brana; (C) Uma corda movendo-se: a ponta 0 tocar´ o ponto
¸˜ a
que no momento e tocado pela ponta π; (D) Uma brana sem cordas
´
Enfim, se aceitarmos a dependˆ ncia do comutador na brana com a ponta de corda em
e
quest˜ o, somos levados a quest˜ es como que significado f´sico tˆ m as relacoes de comutacao
a o ı e ¸˜ ¸˜
entre as coordenadas da ponta corda na D-brana.

32. 23
¸˜
2.2 Quantizacao simpl´ tica
e
Outro m´ todo para encontrar os comutadores e o de quantizacao simpl´ tica. Aqui, o mecan-
e ´ ¸˜ e
ismo tamb´ m consistir´ em obter os comutadores dos modos de expans˜ o e us´ -los para calcular
e a a a
os comutadores entre X e P .
Primeiramente, escrevemos a lagrangeana na forma simpl´ tica (i.e., com somente termos
e
lineares nas velocidades),
L(τ ) = −H(τ ) + ˙
dσ P · X
π
+ i − B ˙+
= −H + M αn cos nσ − βn sin nσ)
˙
dσ (p + αm cos mσ)(p +
0 n n
+ i ˙− B +
+(w + βm cos mσ)(w + βn cos nσ + αn sin nσ)
˙ (2.15)
n n
Integrando em σ, obtemos
iπM + − + ˙− MB ˙+
L = πM (p2 + w2 ) + ˙+
(αn αn + βn βn ) + 2 (cos nπ − 1)(pβn − wαn )
˙
2n n
MB + + + ˙+
+ 2 2
(1 − cos mπ cos nπ)(βm αn − αm βn ) − H
˙ (2.16)
n −m
Aqui, estenderemos ao nosso caso o m´ todo apresentado por Faddeev e Jackiw em [11]:
e
L = ˙µi
aµi ξn − H
n
n>0 µ=1,2 i=1,2
= ˙ ˜ ¯˙ ˙ b ¯˙
an αn + an αn + bn βn + ˜n βn − H, (2.17)
n>0
com µ sendo o ´ndice de Lorentz e i indicando se se trata de α e β, ou de seus complexos con-
ı
˙ a ˙ ¯ ˙ ¯
˙ ˙
jugados. Aqui, portanto, as vari´ veis simpl´ ticas ξ s˜ o os αn , αn , βn , βn e os coeficientes s˜ o
a e a
os an , an , bn , ˜n .
˜ b
Parˆ ntese: um modo alternativo, com uma notacao menos pesada, e usar um unico ´ndice,
e ¸˜ ´ ´ ı
que dˆ conta de todos os osciladores αn , βn e seus conjugados. Nesse caso, ter´amos um sistema
e ı

33. 24
n˜ o muito diferente do tratado em [11]:
a
L= ˙
an ξn − H
n
No entanto, a notacao usada nesta secao, com v´ rios ´ndices, e vantajosa no ato de calcular os
¸˜ ¸˜ a ı ´
comutadores.
Os comutadores dos osciladores – que aqui s˜ o as vari´ veis simpl´ ticas – s˜ o dados pela
a a e a
inversa da matriz Hessiana da Lagrangeana.
mn
(ξm , ξn ) = [(f µν )−1 ]ji
µi νj
(2.18)
µν ∂aνi
n ∂aµj
(fij )mn = µj − mνi
(2.19)
∂ξm ∂ξn
Assim,  
∂an ∂am ∂bn ∂am
µν ∂aν
n ∂aµ  ∂αm
− ∂αn ∂αm
− ∂βn 
(f11 )mn = µ − m =
ν  (2.20)
∂ξm ∂ξn ∂an
− ∂bm ∂bn
− ∂bm
∂βm ∂αn ∂βm ∂βn
 
∂an ∂˜m
a ∂bn ∂˜m
a
µν ∂aνn ∂˜µ
a  ∂ αm
¯
− ∂αn ∂ αm
¯
− ∂βn 
(f12 )mn = ¯µ − m =
ν  (2.21)
∂ ξm ∂ξn ∂an
− ∂˜m
b ∂bn
− ∂˜m
b
¯
∂ βm ∂αn ¯
∂ βm ∂βn
etc.
No caso,
∂L iπM + MB MB +
an = = αn − 2 (cos nπ − 1)w + 2 (1 − cos mπ cos nπ)βm
∂ αn
˙ 2n n n − m2
∂L iπM + MB MB +
an
˜ = =− αn − 2 (cos nπ − 1)w + 2 (1 − cos mπ cos nπ)βm
˙
∂ αn
¯ 2n n n − m2
∂L iπM + MB MB +
bn = = βn + 2 (cos nπ − 1)p − 2 (1 − cos mπ cos nπ)αm
˙
∂ βn 2n n n −m 2
˜n ∂L iπM + MB MB +
b = =− βn + 2 (cos nπ − 1)p − 2 (1 − cos mπ cos nπ)αm
˙
¯
∂ βn 2n n n − m2

34. 25
donde obtemos
µν µν
(f11 )mn = (f22 )mn = 0
 
δmn
µν µν  n
0 
(f12 )mn = −(f22 )mn = iπM  .
δmn
0 n
Portanto,
 
δmn
0 0 0
 n 
 
 0 0 0 δmn 
 n 
f µν = iπM  
 − δmn 0 0 0 
 n 
 
0 − δmn 0
n
0
 
0 0 nδmn 0
 
 
i 
 0 0 0 nδmn 

⇒ (f µν )−1 =  .
πM  −nδ 0 0 0

 mn 
 
0 −nδmn 0 0
Assim, os unicos comutadores n˜ o-nulos para os osciladores s˜ o
´ a a
¯ in
(αm , αn ) = (βm , βn ) = −
¯ δm,n (2.22)
πM
idˆ ntico a (2.2) e (2.3). Os comutadores restantes, entre os modos-zero, s˜ o obtidos pela
e a
equacao de movimento dos operadores, com exatamente o mesmo mecanismo desenvolvido
¸˜
na secao anterior, de modo que o resultado e necessariamente o mesmo.
¸˜ ´
Portanto, o m´ todo de quantizacao simpl´ tica dos osciladores fornece os mesmos resultados
e ¸˜ e
que obtivemos com o m´ todo via equacao de Heisenberg: (2.12), (2.13), (2.14).
e ¸˜
¸˜
2.3 Quantizacao de Dirac

35. 26
Um modo alternativo de quantizacao e encarar as condicoes de contorno como v´nculos e
¸˜ ´ ¸˜ ı
usar o m´ todo de Dirac para sistemas vinculados [23].
e
O mecanismo consiste em, primeiramente, construir uma s´ rie de v´nculos φ(m) , m =
e ı
0, 1, 2, ... a partir das condicoes de contorno. Ent˜ o, se o conjunto de v´nculos obtido for de
¸˜ a ı
segunda classe, define-se a matriz invers´vel C a partir dos comutadores canˆ nicos entre os
ı o
v´nculos, Cmn := (φ(m) , φ(n) ) (se os v´nculos formarem um conjunto de primeira classe, ent˜ o
ı ı a
ainda subsiste uma simetria a fixar na teoria). Com isso, os comutadores de Dirac s˜ o definidos
a
por
(A, B)∗ := (A, B) − (A, φ(m) )Cmn (φ(n) , B)
−1
(2.23)
Comutadores de Dirac implementam os v´nculos na quantizacao do sistema. Esses comuta-
ı ¸˜
dores possuem a propriedade de valer fortemente para os v´nculos, pois
ı
(A, φ(p) )∗ = (A, φ(p) ) − (A, φ(m) )Cmn (φ(n) , φ(p) )
−1
= (A, φ(p) ) − (A, φ(m) )δmp Cnp
= 0
Para fins de ilustracao, no apˆ ndice A aplicamos o m´ todo ao caso da corda livre (sem
¸˜ e e
campo de fundo) num espaco 1-d (uma dimens˜ o espacial). Na secao a seguir, estendemos para
¸ a ¸˜
o caso de interesse – a D2-brana com campo B.
D2-brana com campo B
Comecamos pela cadeia de v´nculos, que obtemos de modo an´ logo ao usado no apˆ ndice
¸ ı a e
A.


 M∂ (m+1) X i + B ij ∂ (m) P j |σ=0,π , m par
φi(m) = (2.24)

 ∂ (m) P i |σ=0,π , m impar

36. 27
A matriz C, neste caso, e
´




 0, m, n impar

ij (m+1) (n)
Cmn = −2MB ij dσdσ δ(σ)δ(σ )∂σ ∂σ δ(σ − σ ), m, n par (2.25)




 Mδ ij dσdσ δ(σ)δ(σ )∂σ
(m+1) (n)
∂σ δ(σ − σ ), m par, n impar
Aqui, podemos escrever C como C = D ⊗ E + A ⊗ N , com
   
 −2MB 0   0 M 
D=  A= 
0 0 −M 0
sendo que
2
ij ij ij 2m −1 e−(σ/ ) 1
C(2m −2)(2n −2) = D00 Em n := −2MB (−1) (2(m + n ) − 3)! lim √
,σ→0 π σ 2(m +n )−3
2
e−(σ/ ) 1
C(2m −2)(2n −1) = Aij Nm n
ij
01 := M ij (−1)2m −1 (2(m + n ) − 2)! lim √ 2(m +n )−2
,σ→0 π σ
com m , n = 1, 2, 3, .... De modo que
1 1
Em n = Gm n lim
,σ→0 σ 2(m +n )−3
1 1
Nm n = Fm n lim
,σ→0 σ 2(m +n )−2
1 1
onde Gm n = − √π (2(m + n ) − 3)! e Fm n = − √π (2(m + n ) − 2)!. Com isso,
Em n = G−1n lim σ 2(m +n )−3
−1
m (2.26)
,σ→0
Nm n = Fm n lim σ 2(m +n )−2 ,
−1 −1
(2.27)
,σ→0
Quanto a inversa de C
`
   
−1
 −2BE N  1  0 −N 
C=M  ⇒ C −1 =   (2.28)
−N 0 M N −1 −2BN −1 EN −1

37. 28
Os comutadores de X e P com os v´nculos s˜ o
ı a


 (m)
i (m)j
dσ δ(σ )(X i (σ), ∂σ P j (σ )), m impar
(X (σ), φ )=
 jk
 B (m)
dσ δ(σ )(X i (σ), ∂σ P k (σ )), m par
(m)
dσ δ(σ )∂σ δ(σ − σ ) = (−1)m (m)
dσ δ(σ )∂σ δ(σ − σ )
δ(σ)
= (−1)m ∂σ δ(σ) = m!
(m)
σm
1
= m!δ(σ) lim
σ→0 σ m

 δ m!δ(σ) lim 1 , m impar
 ij
σ→0 σ m
⇒ (X i (σ), φ(m)j ) = (2.29)
 B ji m!δ(σ) lim 1 , m par

σ→0 σ m


 0, n impar
(φ(n)i , P j (σ )) =
 ij
 M (n+1)
dσ δ(σ)∂σ δ(σ − σ ), n par


 0, n impar
= 1 (2.30)
 M ij (n + 1)!δ(σ ) lim
 , n par
σ →0 σ n+1
Usando (2.26), (2.27), (2.28), (2.29) e (2.30), procedemos aos comutadores. Para (X i , P j ),